線段的垂直平分線的性質(zhì)

線段的垂直平分線的性質(zhì)第一頁，共24頁。線段的垂直平分線的性質(zhì)人教2011課標(biāo)版數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊第十三章軸對(duì)稱第二頁，共24頁。

1.前面我們學(xué)習(xí)了軸對(duì)稱圖形，線段是軸對(duì)稱圖形嗎？什么是線段的垂直平分線

2.你能找出線段的對(duì)稱軸嗎？

3.線段的對(duì)稱軸與這條線段有什么關(guān)系？說明理由．

創(chuàng)設(shè)情境，溫故知新第三頁，共24頁。你能用不同的方法驗(yàn)證這一結(jié)論嗎？探索并證明線段垂直平分線的性質(zhì)如圖，直線l垂直平分線段AB，P1，P2，P3，…是l上的點(diǎn)，請(qǐng)猜想點(diǎn)P1，P2，P3，…到點(diǎn)A與點(diǎn)B的距離之間的數(shù)量關(guān)系．相等．ABlP1P2P3第四頁，共24頁。探索并證明線段垂直平分線的性質(zhì)

請(qǐng)?jiān)趫D中的直線l上任取一點(diǎn)，那么這一點(diǎn)與線段AB兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等嗎？線段垂直平分線上的點(diǎn)與這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等．ABlP1P2P3第五頁，共24頁。已知：如圖，直線l⊥AB，垂足為C，AC=CB，點(diǎn)P在l上．求證：PA=PB．探索并證明線段垂直平分線的性質(zhì)證明：“線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等．”ABPCl第六頁，共24頁。探索并證明線段垂直平分線的性質(zhì)證明：∵l⊥AB，∴∠PCA=∠PCB．又

AC=CB，PC=PC，∴△PCA≌△PCB（SAS）∴

PA=PB．ABPCl已知：如圖，直線l⊥AB，垂足為C，AC=CB，點(diǎn)P在l上．求證：PA=PB．第七頁，共24頁。探索并證明線段垂直平分線的性質(zhì)用幾何語言表示為：∵CA=CB，l⊥AB

或∵點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上∴PA=PB．∴PA=PB．

ABPCl線段垂直平分線的性質(zhì)：線段垂直平分線上的點(diǎn)與這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等．第八頁，共24頁。解：AB=AC=CE

,AB+BD=DE

.

∵AD⊥BC，BD=DC∴AB=AC∵點(diǎn)C在AE的垂直平分線上∴AC=CE．

∴AB=AC=CE例題講解例1

如圖，AD⊥BC，BD=DC，點(diǎn)C在AE的垂直平分線上，AB，AC，CE的長度有什么關(guān)系？AB+BD與DE有什么關(guān)系？ABCDE∵

AB=CE，BD=DC∴AB+BD=CD+CE

即AB+BD=DE．第九頁，共24頁。練習(xí)1因?yàn)锳D為BC的中垂線，所以

。

理由：

AB＝AC線段垂直平分線上的點(diǎn)與這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等．BCAD練習(xí)2如圖,NM是線段AB的中垂線,下列說法正確的有：。①AB⊥MN,②AD=DB，③MN⊥AB，④MD=DN，⑤AB是MN的垂直平分線ABMND①②③課堂練習(xí)第十頁，共24頁。例2如圖，在△ABC中，已知AC=27，AB的垂直平分線交AB于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E，△BCE的周長等于50，求BC的長.ABCED例題講解第十一頁，共24頁。變式1如圖，在△ABC中，已知AC=27，AB的垂直平分線交AB于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E，BC=23，求△BCE的周長。ABCED例題講解第十二頁，共24頁。變式2如圖，在△ABC中，AB的垂直平分線交AB于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E，已知AD=15，

△BCE的周長等于50，求△BAC的周長.ABCED例題講解第十三頁，共24頁。變式3如圖，在△ABC中，AB的垂直平分線交AB于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E，△BCE的周長等于50，△BAC的周長等于80，求AD的長.ABCED例題講解第十四頁，共24頁。探索并證明線段垂直平分線的判定反過來，如果PA=PB，那么點(diǎn)P是否在線段AB的垂直平分線上呢？點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上．已知：如圖，PA=PB．求證：點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上．第十五頁，共24頁。探索并證明線段垂直平分線的判定證明：如圖，作PC⊥AB則∠PCA=∠PCB=90°．在Rt△PCA和Rt△PCB中，∵PA=PB，PC=PC，∴

Rt△PCA≌Rt△PCB（HL）．∴

AC=BC．又

PC⊥AB，∴點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上已知：如圖，PA=PB．求證：點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上．第十六頁，共24頁。探索并證明線段垂直平分線的判定用幾何符號(hào)表示為：∵

PA=PB，∴點(diǎn)P在AB的垂直平分線上．線段垂直平分線的判定與一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上．第十七頁，共24頁。這些點(diǎn)能組成什么幾何圖形？

探索并證明線段垂直平分線的判定你能再找一些到線段AB兩端點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)嗎？能找到多少個(gè)到線段AB兩端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)？

在線段AB的垂直平分線l上的點(diǎn)與A，B的距離都相等；反過來，與A，B的距離相等的點(diǎn)都在直線l上，所以直線l可以看成與兩點(diǎn)A、B的距離相等的所有點(diǎn)的集合．ABPCl第十八頁，共24頁。解：直線AM

是線段BC

的垂直平分線.∵AB=AC，∴點(diǎn)A在BC的垂直平分線上．∵

MB=MC，∴

點(diǎn)M在BC的垂直平分線上∴直線AM是線段BC的垂直平分線．例3

如圖，AB=AC，MB=MC．直線AM是線段BC的垂直平分線嗎？ABCDM例題講解第十九頁，共24頁。例4已知:如圖,在ΔABC中,邊AB，BC的垂直平分線交于P.（1）求證：PA=PB=PC;（2）點(diǎn)P是否也在邊AC的垂直平分線上呢？由此你還能得出什么結(jié)論？BACMNM’N’P例題講解PA=PB=PCPA=PB點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上分析：PB=PC點(diǎn)P在線段BC的垂直平分線上第二十頁，共24頁。結(jié)論：三角形三邊垂直平分線交于一點(diǎn)，這一點(diǎn)到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等。例題講解例4已知:如圖,在ΔABC中,邊AB，BC的垂直平分線交于P.（1）求證：PA=PB=PC;（2）點(diǎn)P是否也在邊AC的垂直平分線上呢？由此你還能得出什么結(jié)論？證明：∵點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線MN上，∴PA=PB.同理PB=PC.∴PA=PB=PC.∵PA=PC.∴點(diǎn)P在線段AC的垂直平分線上BACMNM’N’P第二十一頁，共24頁。（1）本節(jié)課學(xué)習(xí)了哪些內(nèi)容？（2）線段垂直平分線的性質(zhì)和判定是如何得到的？兩者之間有什么關(guān)系？（3）如何判斷一條直線是否是線段的垂直平分線？

課堂小結(jié)第二十二頁，共24頁。二、逆定理：到線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上。一、性質(zhì)定理：線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的