觀察歸納和猜想教師版

在解數(shù)學(xué)題時(shí)，往往從特殊的，簡(jiǎn)單的，局部的事例出發(fā)，探求一般的規(guī)律；或者從現(xiàn)有的結(jié)論，信息，通過(guò)觀察，類(lèi)比，聯(lián)想，進(jìn)而猜想未知領(lǐng)域的奧秘，這種思想方法叫歸納猜想.歸納猜想是學(xué)習(xí)和研究數(shù)學(xué)的最基本而又十分重要的方法，它能使復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，抽象問(wèn)題具體化，是探索解題思路的有效方法，也是科學(xué)發(fā)展史上的一種重要的方法.注釋?zhuān)簹w納猜想是建立在細(xì)致而深刻的觀察基礎(chǔ)上，解題中觀察活動(dòng)主要有三條途徑；從數(shù)與式的特征觀察；從幾何圖形的結(jié)構(gòu)觀察；通過(guò)對(duì)簡(jiǎn)單，特殊情況的觀察，再推廣到一般情況.同步課程˙觀察、歸納和新定義觀察、歸納和猜想知識(shí)講解同步練習(xí)規(guī)律類(lèi)的中考試題，無(wú)論在素材的選取、文字的表述、題型的設(shè)計(jì)等方面都別具一格，令人耳目一新，其目的是繼續(xù)考察學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)與實(shí)踐能力，在以往“數(shù)字類(lèi)”、“計(jì)算類(lèi)”、“圖形類(lèi)”的基礎(chǔ)上，現(xiàn)在又推陳同步課程˙觀察、歸納和新定義觀察、歸納和猜想知識(shí)講解同步練習(xí)模塊一：觀察、歸納和猜想【例1】點(diǎn)A、A、A、…、A（n為正整數(shù)）都在數(shù)軸上．點(diǎn)A在原點(diǎn)O的左邊，且AO1；2 3 n 1 1點(diǎn)A在點(diǎn)A的右邊，且AA2；點(diǎn)A在點(diǎn)A的左邊，且AA3；點(diǎn)A在點(diǎn)A的右邊，且1 21 3 2 32 4 3AA4；……，依照上述規(guī)律，點(diǎn)A、A所表示的數(shù)分別為（）． 43 2008 2009A．2008、2009B．2008、2009C．1004、1005D．1004、1004【答案】C【例2】如圖，點(diǎn)A、B對(duì)應(yīng)的數(shù)是a、b，點(diǎn)A在3、2對(duì)應(yīng)的兩點(diǎn)（包括這兩點(diǎn)）之間移動(dòng)，點(diǎn)B在1、0對(duì)應(yīng)的兩點(diǎn)（包括這兩點(diǎn)）之間移動(dòng)，則以下四式的值，可能比2008大的是（）． -3a -2 -1b 0 1 11A．baB．C．D．(ab)2ba ab【答案】C【例3】將連續(xù)的自然數(shù)1至36按如圖的方式排成一個(gè)長(zhǎng)方形陣列，用一個(gè)長(zhǎng)方形任意圈出其中的9個(gè)數(shù)，設(shè)圈出的9個(gè)數(shù)的中心的數(shù)為a，用含有a的代數(shù)式表示這9個(gè)數(shù)的和為.【解析】解決本題的關(guān)鍵是認(rèn)真審題，仔細(xì)觀察圖形，找數(shù)字之間的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，利用代數(shù)式的規(guī)律命題是近年來(lái)代數(shù)式命題的熱點(diǎn).本題主要考察列代數(shù)式，尋找長(zhǎng)方形中9個(gè)數(shù)之間的大小關(guān)系，若中心數(shù)為a，則a上方的數(shù)可記為a6，下方的數(shù)記為a6,左邊的數(shù)記為a1，右邊的數(shù)記為a1，左上方的數(shù)記為a7，右上方的數(shù)記為a5，左下方的數(shù)記為a5，右下方的數(shù)記為a7，所以這九個(gè)數(shù)相同步課程˙觀察、歸納和新定義同步課程˙觀察、歸納和新定義【答案】9a【例4】觀察算式：112;1322;13532; 13571642; 135792552用代數(shù)式表示這個(gè)規(guī)律（n為正整數(shù)）13579L2n1=____________【解析】用代數(shù)式表示數(shù)的規(guī)律，要認(rèn)真觀察特例，然后有特殊得到一般規(guī)律，特別注意n的表示意義.認(rèn)真觀察已知等式的數(shù)字變化規(guī)律，左邊為從1開(kāi)始的連續(xù)奇數(shù)的和，右邊為數(shù)字個(gè)數(shù)的平方.【答案】n2【變式練習(xí)】填在下面三個(gè)田字格內(nèi)的數(shù)有相同的規(guī)律，根據(jù)此規(guī)律，C=.56753 205675320531CBA5數(shù)成5,7,9L2n2排列.那么右下角的數(shù)是四方框第一行兩個(gè)數(shù)的和與左下角數(shù)的乘積.所以A7,B9,C579108【答案】108【答案】A【例5】觀察下列順次排列的等式：133221,3515421,5735621,7963821L，猜想：第n個(gè)等式（n為正整數(shù)）應(yīng)為【解析】觀察法解此題.根據(jù)前面的式子知第一項(xiàng)與第二項(xiàng)的乘積等于他們中間項(xiàng)的平方減1所以答案是2n12n12n21【答案】2n12n12n21【例6】第3頁(yè)寫(xiě)3、4、5，…，依此規(guī)則，即第n頁(yè)從n開(kāi)始，寫(xiě)n個(gè)連續(xù)正整數(shù)．求他第一次寫(xiě)出數(shù)字1000是在第幾頁(yè)？（）A.500B.501C.999D.1000同步課程˙觀察、歸納和新定義同步課程˙觀察、歸納和新定義【解析】觀察法知,四方框左上角的數(shù)成1,3,5,721nL排列,右上角的數(shù)成3,5,7,921nL排列,左下角的第n頁(yè)則第500頁(yè)開(kāi)始，從500寫(xiě)到500+（500-1）=999∴第501頁(yè)開(kāi)始，從501寫(xiě)到501+（501-1）=1001∴數(shù)字1000在第501頁(yè)第一次出現(xiàn)．故選擇B．【答案】B 2 2 3 3 4 4 a a【變式練習(xí)】已知2233，44……若1010（a，b都是正整 1122 3 3bb數(shù)），則a+b的最小值是____________【解析】通過(guò)觀察已有的三個(gè)等式，其左邊的一個(gè)因式的分母比分子小1，另一個(gè)因式就是第一個(gè)因式的分子；而右邊的兩個(gè)加數(shù)又分別為左邊的兩個(gè)因數(shù)。通過(guò)觀察知滿(mǎn)足條件的a10，b9。所以應(yīng)填19【答案】19

【例10】觀察按下列規(guī)則排成的一列數(shù)：，，，，，，，，，，，，，1213214321543 4 5 1 2 ，，，…在式子中，從左起第m個(gè)數(shù)記為F(m)，當(dāng)F(m) 時(shí)，求m的值和2 1 6 2001這m個(gè)數(shù)的積.【解析】題中式子可分組，(1)，(1，2)，(1，2，3)，(1，2，3，4)，(1，2，3，4，5)， 1 21 321 4321 543211，…各組數(shù)的個(gè)數(shù)依次為1，2，3，…6按規(guī)律2應(yīng)在第2002組（1，2，3，…，2002）中，20022001 2000 1該組前面共有：123L20012003001個(gè)數(shù)，故當(dāng)F(m)2時(shí)，m200300122003003，2001 又因?yàn)楦鹘M的數(shù)積為1，故這2003003個(gè)數(shù)的積為：121 20012003001【答案】 1 2003001【例11】觀察下面的變形規(guī)律：11 111 111，，...12223233434解答下面的問(wèn)題：1同步課程˙觀察、歸納和新定義1121231同步課程˙觀察、歸納和新定義1121231234123n⑴證明你猜想的結(jié)論； 1 1 1 1 ⑴求和： .... 122334 20092010【解析】⑴11nn1 ⑴證明：1－1＝n1－n ＝n1n＝1 . n n1n(n1)n(n1)n(n1)n(n1)⑴原式＝1－1＋1－1＋1－1＋…＋1－12 334 2009 2010 1 2009 ＝1 20102010【答案】20092010【例12】觀察下面的等式224，224；1 3 134，34； 2 2 2 2 4 1 4 145，45； 3 3 3 3 5 1 5 156，56；4 4 4 4小明的猜想正確嗎？為什么？如果不正確，請(qǐng)你觀察上面各式結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，歸納出一個(gè)猜想，并證明你的猜想．【解析】小明的猜想顯然是不正確的，易舉反例：1313，將第一組等式變形為224，224； 1 1得到如下猜想：n1(n1)n1(n1)，n n等式左邊(11)(n1)(n1)n1右邊，所以猜想正確．n n【例13】閱讀下列材料：1123012，1231234123，2331345234，343由以上三個(gè)等式相加，可得112233434520。3讀完以上材料，請(qǐng)你計(jì)算下列各題：⑴122334...1011（寫(xiě)出過(guò)程）；⑵122334...nn1_________；同步課程˙觀察、歸納和新定義小明歸納上面各式得到一個(gè)猜想：同步課程˙觀察、歸納和新定義小明歸納上面各式得到一個(gè)猜想：“兩個(gè)有理數(shù)的積等于這兩個(gè)有理數(shù)的和”，【答案】（1）原式11011124403（2）1nn1n23（3）1260 32 543 6543【例14】已知：C2 3，C310，C415，...觀察上面的計(jì)算過(guò)程，尋312 5123 61234找規(guī)律并計(jì)算C6．10【答案】210模塊二：循環(huán)規(guī)律【例15】根據(jù)下列圖形的排列規(guī)律，第2008個(gè)圖形是(填序號(hào)即可).(①；②；③；④.)……;【答案】③

1 2 3 98 99 100 3 7 98鄰三個(gè)數(shù)的和為常數(shù)，則aaaLaa的值為()． 1 2 3 99 100A．0B．40C．32D．26【解析】任意相鄰三個(gè)數(shù)的和為常數(shù)，意味著aaaLa7， 1 4 7 100aaaLa1， 2 5 8 98aaaLa9，3 6 9 99于是所求的和為：33971726，選D．【答案】D【例20】假設(shè)有足夠多的黑白圍棋子，按照一定的規(guī)律排成一行，如圖：……那么請(qǐng)問(wèn)第2007個(gè)棋子是黑的還是白的？答：．【答案】黑的．【例21】電子跳蚤游戲盤(pán)是如圖所示的ABC，ABACBC6．如果跳蚤開(kāi)始時(shí)在BC邊的P處，0BP2．跳蚤第一步從P跳到AC邊的P（第1次落點(diǎn)）處，且CPCP；第二步從P跳到 0 0 1 1 0 1同步課程˙觀察、歸納和新定義【例19】現(xiàn)有一列數(shù)a，a，同步課程˙觀察、歸納和新定義【例19】現(xiàn)有一列數(shù)a，a，a，…，a，a，a，其中971aaa，，，且滿(mǎn)足任意相2 1 2 3且BPBP…；跳蚤按照上述規(guī)則一直跳下去，第n次落點(diǎn)為P（n為正整數(shù)），則點(diǎn)P與2 n2009點(diǎn)P之間的距離為_(kāi)________．2010APP2P1 B P0 P3 C【答案】2【例22】如圖所示，數(shù)軸被折成90，圓的周長(zhǎng)為4個(gè)單位長(zhǎng)度，在圓的4等分點(diǎn)處標(biāo)上數(shù)字0，1，2，3．先讓圓周上數(shù)字2所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與數(shù)軸上的數(shù)3所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)重合，數(shù)軸固定，圓緊貼數(shù)軸沿著數(shù)軸的正方向滾動(dòng)，那么數(shù)軸上的數(shù)2009將與圓周上的數(shù)字______重合．【解析】200645012，則與數(shù)字0重合【答案】0【例23】把一數(shù)軸折成如圖所示，第1段為1個(gè)單位長(zhǎng)度，第2段為3個(gè)單位長(zhǎng)度，第3段為5個(gè)單位長(zhǎng)度，…，有一個(gè)圓，圓上刻一指針，開(kāi)始指針朝東，，圓周為4個(gè)單位長(zhǎng)度，圓所示位置為數(shù)軸原點(diǎn)，現(xiàn)開(kāi)始緊貼數(shù)軸沿著數(shù)軸的正方向滾動(dòng)，當(dāng)圓與2009接觸時(shí)，指針指向_____（東、南、西、北）．【解析】由45452025，454111，故2009在起點(diǎn)的南邊，200945021，故指針指向北．【答案】北北西東 南 同步課程˙觀察、歸納和新定義98765431023【例24】把一數(shù)軸折成如圖所示，第1段為1個(gè)單位長(zhǎng)度，第2同步課程˙觀察、歸納和新定義987654310232009接觸時(shí)，指針指向________（東、南、西、北）．北西O-1O-10A 南 【解析】在直的數(shù)軸上，線段AO41，414101，指針指向北；2009(14)2023，因?yàn)?3642016，202320167，故2009在點(diǎn)O的西邊，202345053，指針指向2西．【答案】西邊，指向西【例25】如圖所示，圓的周長(zhǎng)為4個(gè)單位長(zhǎng)度，在圓的4等分點(diǎn)處標(biāo)上數(shù)字0，1，2，3．先讓圓周上數(shù)字0所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與數(shù)軸上的數(shù)1所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)重合，再讓數(shù)軸按逆時(shí)針?lè)较蚶@在該圓上，那么數(shù)軸上的數(shù)2006將與圓周上的數(shù)字________重合．【答案】2【例26】如圖所示，按下列方法將數(shù)軸的正半軸繞在一個(gè)圓（該圓周長(zhǎng)為3個(gè)單位長(zhǎng)度，且在圓周的三等分點(diǎn)處分別標(biāo)上了數(shù)字0、1、2）上：先讓原點(diǎn)與圓周上數(shù)字0所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)重合，再將正半軸按順時(shí)針?lè)较蚶@在該圓周上，使數(shù)軸上1、2、3、4、…所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別與圓周上1、2、0、1、…所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)重合．這樣，正半軸上的整數(shù)就與圓周上的數(shù)字建立了一種對(duì)應(yīng)關(guān)系．⑵圓周上的數(shù)字a與數(shù)軸上的數(shù)5對(duì)應(yīng)，則a________；⑵數(shù)軸上的一個(gè)整數(shù)點(diǎn)剛剛繞過(guò)圓周n圈（n為正整數(shù)）后，并落在圓周上數(shù)字1所對(duì)應(yīng)的位置，這個(gè)整數(shù)是________（用含n的代數(shù)式表示） 32132102100122301223543210【答案】⑴2；⑵3n1．【例27】如圖所示，一數(shù)軸被折圍成長(zhǎng)為3，寬為2的長(zhǎng)方形，圓的周長(zhǎng)為4且圓上刻一指針，若在數(shù)同步課程˙觀察、歸納和新定義3同步課程˙觀察、歸納和新定義3210-5-4-3-2-10 76576543210-1【答案】C【例28】如圖，用數(shù)軸繞圓O三圈，圓周上的點(diǎn)B與數(shù)軸上表示6.9、0.9、5.1的點(diǎn)重合，數(shù)軸上與點(diǎn)A重合的點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的數(shù)最接近是（）BBOAA．2.3B．1.9C．2.7D．6.2【答案】B．【練1】觀察下列各式：（1）112；（2）23432；（3）3456752；（4）4567891072L請(qǐng)你根據(jù)觀察得到的規(guī)律判斷下列各式正確的是（）100510061007L301620112100510061007L301720112100610071008L301620112100710081009L301720112【解析】根據(jù)（1）112；（2）23432；（3）3456752；（4）4567891072可得出：aa1a2Lanana12,依次判斷各選項(xiàng)，只有C符合要求，故選C．同步課程˙觀察、歸納和新定義同步課程˙觀察、歸納和新定義課后練習(xí)【練2】四個(gè)電子寵物排座位，一開(kāi)始，小鼠、小猴、小兔、小貓分別坐在1，2，3，4號(hào)座位上（如圖所示），以后它們不停地變換位置，第一次上下兩排交換，第二次是在第一次換位后，再左右兩列交換位置，第三次再上下兩排交換，第四次再左右兩列交換…這樣一直下去，則第2005次交換位置后，小兔所在的號(hào)位是()A.1B.2C.3D.4【解析】小兔所在的號(hào)位的規(guī)律是4個(gè)一循環(huán)．因?yàn)?0053501余1，即第2005次交換位置后，小兔所在的號(hào)位應(yīng)和第一次交換后的位置相同，即圖2．故選A【答案】A【練3】觀察表一，尋找規(guī)律，表二、表三、表四分別是從表一中截取的一部分，其中a，b，c的值分別為（）A、20，29，30B、18，30，26C、18，20，26D、18，30，28【解析】表二截取的是其中的一列：上下兩個(gè)數(shù)字的差相等，所以a=15+3=18．表三截取的是兩行兩列的相鄰的四個(gè)數(shù)字：右邊一列數(shù)字的差應(yīng)比左邊一列數(shù)字的差大1，所b=24+25-20+1=30 ．表四中截取的是兩行三列中的6個(gè)數(shù)字：18是3的6倍，則c應(yīng)是4的7倍，即28．故選D．【答案】D同步課程˙觀察、歸納和新定義【練4】觀察下列等式：1312，132332，13233362，1323334310同步課程˙觀察、歸納和新定義13233343...1003的值．【解析】1323Ln3(12Ln)2，25502500．【答案】25502500【練5】有依次排列的3個(gè)數(shù)：3，9，8，對(duì)任相鄰的兩個(gè)數(shù)，都用右邊的數(shù)減去左邊的數(shù)，所得之差寫(xiě)在這兩個(gè)數(shù)之間，可產(chǎn)生一個(gè)新數(shù)串：3，6，9，1，8，這稱(chēng)為第一次操作；做第二次同樣的操作后也可產(chǎn)生一個(gè)新數(shù)串：3，3，6，3，9，10，1，9，8，繼續(xù)依次操作下去，問(wèn)：從數(shù)串3，9，8開(kāi)始操作第一百次以后所產(chǎn)生的那個(gè)新數(shù)串的所有數(shù)之和是多少？【解析】一個(gè)依次排列的n個(gè)數(shù)組成一個(gè)數(shù)串：a，a，…，a．2 n依題設(shè)操作方法可得新增的數(shù)為：aa，aa，…，aa．1 3 2 n n1所以，新增數(shù)之和為：aa原數(shù)串為3個(gè)數(shù)：3，98第1次操作后所得數(shù)串為：3，6，9，1，8，根據(jù)規(guī)律可知，新增2項(xiàng)之和為：83，第2次操作后所得數(shù)串為：3，3，6，3，9，