三角函數(shù)知識點(diǎn)總結(jié)

高中數(shù)學(xué)第四章．三角函數(shù)考試內(nèi)容：角的概念的錐廣·弧度制．任意角的三角函數(shù)．單位圓中的三角函數(shù)線、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式止弦，余弦的誘導(dǎo)公式、兩徉和與差的正弦、余弦、正切，二倍角的正弦、余弦、正切，正弦函數(shù)、余眩函數(shù)的圖像和性質(zhì)．周期函數(shù)．函數(shù)y=n在x+到的圖像·正切函數(shù)的圖像和性質(zhì)·知三角函數(shù)值求角．正弦定理，余弦定理，斜三徉形解氵去，考試要求：o）理解任意角的概念、弧度的意義能正確地進(jìn)行弧度與角度的換算，掌握任意的弦、余弦、iE切的定義；了解余切、正割、余割的定義；掌握同角三函數(shù)的基本關(guān)系式；掌握正弦`余弦的誘導(dǎo)公式；了解周期函數(shù)與最小正周期的意義“掌握兩角和與兩角差的正、余茲、正切公式；掌握二倍角的正茲、余弦、正切公式．@）能正確運(yùn)用三公式，進(jìn)行簡單三角函數(shù)式的化簡、求值和恒等式證明巧）理解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)，止切函數(shù)的圖像和性質(zhì)，會用“五點(diǎn)法”畫止弦函數(shù)、余弦函數(shù)和函數(shù)y=?sin(cax到的簡圖，理解A“、忄的物理意義，（6）會山已知三角函數(shù)值求角，并會用符號arcsinx\arc?cosx\arctanx?。畂）掌握正茲定理、余舷定理，并能忉步運(yùn)用它們解斜三角形，（8）“同角三角承數(shù)基本關(guān)系式：n2+COS2[1=1，Sin —tan0tan·COS仃§04·三角函數(shù)知識要點(diǎn)：3：3@終邊在x軸上的角的集合：0180。E刁．終邊在y軸上的的集合一、18丁十9丁這@終邊在坐標(biāo)軸上的角的集合：090：。刁終邊在x軸上的角的集合：@聲：0180。+45。，走EZ@終邊在，：-軸上的角的集合一018伊一巧。，刁 四象限一半所在區(qū)域．若角“與角的終邊關(guān)于軸對稱，則角與的關(guān)系；0：360一@若角“與角聲的終邊關(guān)于y軸對稱，則角。與角的關(guān)：0=360。+180@若角。與角聲的終邊在一條直線上，則角。與角的關(guān)系： 角。與角的終邊互相垂直，則角。與角的關(guān)系：。一360鰷+±90。2·角度與弧度的互換關(guān)系；360：=2河18丁一1：=0．017451=573丁=57：1&注意：正角的弧度數(shù)為止數(shù)，負(fù)角的弧度數(shù)為負(fù)數(shù)，零角的弧度數(shù)為零資一料、弧度與角度互換公式: Irad—ー]SO~5730:5718~0.01745rad113、弧長公式./爿卩?. 扇形面枳公式 扇形 2 2,三角函數(shù):沒是一個任意角,在的終遭上任取(昇十 原PY十X十YXY十十XYⅵXy)P與原點(diǎn)的距高內(nèi)r,剿 に0こ(ー- tanaYⅵXSにな CSCO,三角函數(shù)在各象限的符號:(ー全二止弦,三切四余正、余割 余改、止割 正切、余切6、三角函數(shù) 1幾個重要沱:sinx>C0sxCx>sinx. イ譽(yù)Icos衂事XIcosxl 止弦踐:MP? 余弦殘:0M; 止切踐:AT.7.三角函數(shù)的定文域;(3)若0くxく測xくxぐanx三角函數(shù)定文域=引nXェIxE犬}f(x)=005Xはヒ犬}れ-0=tanxxE大:目ュ十-発。たEZ2f(x)=COtXェはER月ュ発試e/}=SeCXxE-日ュ十-龕,kE/2=CSCXェはE忙日イ疇た龕,kE/}同角三角函數(shù)的基本美系式: ーtaⅡ000こCOに (0ご夜 3田0わⅡ夜、00f0=1CSC-u-5を.?- 50-00ー51?0十CO工=130C-0-nーを=10こ0-ー00t-0=1誘公式把竺士。的三角函數(shù)化內(nèi)」三函數(shù),概括內(nèi)2“奇変偶不変,符號看象限”三角函數(shù)的公式;(一)基本美系資ー料coscos_τtanxcotΧsin2a2sinacosαcos(a—β)cosa+sinasinβsm(a+β)=acos,B+cosasinsin(a—β)sin —cosasinβ4cos2a=cosα—?ιηa2cosa—ι=1—2sina2tanata112a=l—tanaΙ—cosa221+cosa2α4Λη4Λη15?α?7510.iEVJ,，=smy=COSX〗一tanxy=cotx定義域RRo月+一0，*Z2R值域[一1，十刂RR周期性奇隅性奇函數(shù)隅函數(shù)奇數(shù)奇函數(shù)當(dāng)0，非奇非偶當(dāng)：0，奇函數(shù)單調(diào)性一十2k到2上為垢函[一十2走是，一一+2E到2上為減函數(shù)（z）2〕上為增函〔20，上為減函數(shù)（Ez）上為增函數(shù)〔ez）陸十0刁上為減函數(shù)℃kEZ）上為增函數(shù)，上為減函數(shù)（Ez）注意；@一y：一艸x與〗 攴的單調(diào)性止好相反；ycosx與y：co“的單調(diào)性也同樣相反．一般地，若〗：熹到在@司上遞垢（減），則、y一過在@司上遞減（增）．與y—「os叫的周期是丌@一y：艸（-+忉或，：co-+勿（=的的周期丆一的周期為20 ，如圖，翻折無效）@一y：艸（“十忉的對稱軸方程是x：0十 (kEZ),對稱中心以“，0〕；〗：co“+的對稱軸方程是x=kn(kEZ),對稱中心（“tan(cor+p)的對稱中心0一丞數(shù)、y—cos2x原點(diǎn)利 〗一co二2．的一一cos2丞數(shù)．函數(shù)，：tanx在R上為增函數(shù)．0）tana?tanp=—l,一應(yīng)：k開，而，：（-+匆是偶函數(shù)，則只能在某個單調(diào)區(qū)間單調(diào)遞增若在整個定義域，y=tanx為資一料增函數(shù)，同樣也是錯誤的@定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱是直x〕具有奇偶的必要不充分條件0奇偶性的兩個條件；一是定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱（奇偶都要〕，二是滿足奇偶性條件，偶函數(shù)：00一丆0〕，奇函數(shù)，．氣一奇偶性的單調(diào)奇同偶反．例如：，一tam丫是奇函數(shù)，y一tan(x+一的是非奇非偶（定義域不關(guān)于原點(diǎn)對稱）奇函數(shù)特有生質(zhì)！若0丘攴的定義域，則丿．一定有丿'0：00玄丫的定義域，她無此性質(zhì)）），@，不是周期函數(shù)；y：@回為周期函數(shù)（7'：丌）；），@，，-CO摑是周期函數(shù)（如圖）；〗：co圳為周期函數(shù)（丆一（如圖龍并韓所有周期函數(shù)都有最小止周期，例如： 《（0十勿十c03一 0一+b」之到三角函數(shù)圖象的作法；o、丿L何氵去；、描點(diǎn)氵去及其特例一一五點(diǎn)作圖法（正、余弦曲線），三點(diǎn)二線作圖法（止、余切曲線〕、利用圖象變換作三角函數(shù)圖象，三角函數(shù)的圖象變換有振幅變換、周期變換和相位變換等、 函數(shù)y=Asin（《ax-PW)的振幅法[，周期丆。，頻率 叫，相位ox+初相℃即當(dāng)x一0時的相位）、（當(dāng)>0，《o>0時以上公式可去絕對值符號美中y=sinx的圖象上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)保持不變，縱坐標(biāo)伸長〔當(dāng)法丨>的或縮短（當(dāng)0<]A|<1）到原來的閪倍，得到y(tǒng)=Asinx的圖象，叫做振幅變換或叫沿y軸的伸縮變換、（用y/A替換y）山y(tǒng)—sinx的圖象上的點(diǎn)的縱坐標(biāo)保持不變，橫坐標(biāo)伸長(0<10》<）或縮短0>1）到原來的0《倍，得到y(tǒng)—sinc?)x的圖象，叫做周期變換或叫做沿x軸的伸縮變換．用ox替換刈山y(tǒng)—sinx的圖象上所有的點(diǎn)向左（當(dāng)>的或向右（當(dāng)<劬平行移動1|個單位，得到y(tǒng)—sin(x+?)的圖象，叫做相位變換或叫做沿x軸方向的平移．的x+?替換對山y(tǒng)—sinx的圖象上所有的點(diǎn)向上（當(dāng)b>O)或向下（當(dāng)b<0)平行移動《b丨個單位，得到《y—sinx+b的圖象叫做沿y軸方向的平移，（用y．司替換y〕山y(tǒng)=:=slnx的圖象利用圖象變換作函數(shù)y=An0“+〕(A>O,。>0）(XER)的圖象：要特別注意：當(dāng)周期變換和相位變換的先后順序不同時，原圖象延x軸量伸縮量的區(qū)別。4、反三角函數(shù)：函數(shù)y=sinx,的反函數(shù)叫做反正弦函數(shù) y=arcsinx它的定義域是[一1]，值域是資一料函數(shù)y—COSXX到）的反應(yīng)丞數(shù)叫做反余弦函數(shù)，記作y=arccosx它的定義域是[一]，值域是[0，丌]、重?cái)?shù)y=tanx的反函數(shù)叫做反正切函數(shù)，記作y=arctanx它的定義域是（函數(shù)y—ctgx的]的反函數(shù)叫做反余切函數(shù)，記作y—arcctgx，它的定義域是（一+亠〕，值域是（0，ll.競宴知識要點(diǎn)、反三角函數(shù)反三角函數(shù)口1〕反止弦函數(shù)，一arcsinx是奇函數(shù)，故c“珊一—arcsuux，-卜司（一定要注明定義域，若艸卜+到，沒有x與，一一對應(yīng)，敖，一sr無反函數(shù)）注；sm(arcsurx)=xtxel-l,l]'訕“亠丫e反余弦函數(shù)y：cc。丫奇非偶，但有al℃c。蚱對十a(chǎn)l℃“(C)：。十以丌，．艸[一1刂、注；@cos(arccox)=x，攴El-《刂，@〗：。是1禺函數(shù)，y=arccosx奇非偶：而y：亠：和，一al℃sm．為奇重?cái)?shù)．反正切丞數(shù)y=arctan-x，定義域（一00，十），值域（一一），，：缸ctan丫是奇函數(shù)，arctanex)=—arctan-rxe（一，十．注；tan(arctanv〕一艸（一瞬+．反余切函數(shù)y=arccotx，定義域（乛+0，值域（一y一““00是非奇非偶．ecot卜對斗?cc（對一+2k“，丸e（一十@，：-艸一〕一“皿0一對互為奇函數(shù)，〗：“tanx同理為奇而〗=uccosx與.v=amcotx非奇非偶但滿足“eco一對+℃c一弄+丌上e[刁，駟cotx+amcot(—x)一丌十2《“e[一1山．止弦、余弦，正切，余切函數(shù)的解集，“的取值范解集“的取值范的解集SinX一的解集2C05X冖的解集>1同>1 攴：走十00 “，々七Z虱，t組IX：a的解集：三甭恒等式· 《》cot丸：的解集： CO$0COS20c0s40．．cos2 S11120sin3a=3sma—4sm0 sm窪一n 2]sm0 =4COS一3COS0一C0S0—cas—cos—c