2019版數(shù)學(xué)題組訓(xùn)練：第10章第2講 雙曲線

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精第二講雙曲線題組1求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程1.[2016天津,6,5分］［理］已知雙曲線x24—y2b2=1(b〉0)，以原點(diǎn)為圓心,雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)為半徑長(zhǎng)的圓與雙曲線的兩條漸近線相交于A，B,C，D四點(diǎn),四邊形ABCD的面積為2bA。x24-3y24=1 B。x24-4y23=1C.x22.［2014天津，5，5分］［理］已知雙曲線x2a2—y2b2=1（a〉0，b〉0)的一條漸近線平行于直線l：y=2x+10,雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)在直線A.x25-y220=1 B。x220—y25=1C.3x225題組2雙曲線的幾何性質(zhì)問題3.[2016全國(guó)卷Ⅰ,5,5分］[理］已知方程x2m2+n-y23mA。（—1,3) B.（-1，3)C。（0,3) D.（0,3）4。［2016全國(guó)卷Ⅱ,11,5分］[理］已知F1,F2是雙曲線E:x2a2-y2b2=1的左、右焦點(diǎn),點(diǎn)M在E上,MF1與x軸垂直，sin∠MF2F1=13A。2 B。32 C。3 5.[2015新課標(biāo)全國(guó)Ⅱ，11,5分]［理］已知A，B為雙曲線E的左、右頂點(diǎn)，點(diǎn)M在E上,△ABM為等腰三角形,且頂角為120°,則E的離心率為(）A。5 B。2 C。3 D。26。[2015四川,5，5分]［理]過雙曲線x2-y23=1的右焦點(diǎn)且與x軸垂直的直線,交該雙曲線的兩條漸近線于A,B兩點(diǎn),則｜AB|=(A.433 B.23 C。6 D.7.[2014新課標(biāo)全國(guó)Ⅰ,4，5分］［理］已知F為雙曲線C：x2-my2=3m（m〉0)的一個(gè)焦點(diǎn)，則點(diǎn)F到C的一條漸近線的距離為()A。3 B。3m C.3 D。3m8。［2014廣東,4，5分]［理]若實(shí)數(shù)k滿足0〈k〈9，則曲線x225—y29-k=1與曲線x225A。離心率相等 B。虛半軸長(zhǎng)相等C.實(shí)半軸長(zhǎng)相等 D。焦距相等9。［2013新課標(biāo)全國(guó)Ⅰ,4,5分][理]已知雙曲線C：x2a2-y2b2=1（a>0,b〉0）的離心率為52A。y=±14x B.y=±13xC.y=±12x10.［2017北京,9，5分][理]若雙曲線x2-y2m=1的離心率為3,則實(shí)數(shù)m=11.[2017山東，14，5分][理]在平面直角坐標(biāo)系xOy中,雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0，b>0）的右支與焦點(diǎn)為F的拋物線x2=2py（p>0)交于A,B兩點(diǎn)。若12.［2016北京,13,5分][理］雙曲線x2a2—y2b2=1(a〉0,b〉0)的漸近線為正方形OABC的邊OA，OC所在的直線,點(diǎn)B為該雙曲線的焦點(diǎn).13。[2014福建，19，13分][理]已知雙曲線E：x2a2-y2b2=1(a〉0,b〉0）的兩條漸近線分別為l1:y=2x，(Ⅰ)求雙曲線E的離心率;（Ⅱ）如圖10-2—1,O為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)直線l分別交直線l1,l2于A，B兩點(diǎn)(A,B分別在第一、四象限）,且△OAB的面積恒為8.試探究：是否存在總與直線l有且只有一個(gè)公共點(diǎn)的雙曲線E？若存在，求出雙曲線E的方程；若不存在,說明理由。圖10—2-1A組基礎(chǔ)題1.［2018遼寧省五校聯(lián)考，4]在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知雙曲線C：x2a2—y2b2=1(a>0，b〉0)的離心率為5，從雙曲線C的右焦點(diǎn)F引漸近線的垂線，垂足為A,若△AFO的面積為1，則雙曲線A。x22—y28=1 B.x24-y2=1C.x24—y2162。［2018合肥市高三調(diào)研，4]雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b〉0)的一條漸近線與直線x+2y—1A。52 B。5 C。3+12 D.3。［2017長(zhǎng)春市高三第四次質(zhì)量監(jiān)測(cè)，11]已知F1，F(xiàn)2是雙曲線C：x2a2-y2b2=1(a>0,b〉0)的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是雙曲線C上一點(diǎn)，若｜PF1｜+|PF2|=6a，且△PF1F2最小內(nèi)角為30°,則雙曲線A。2x±y=0 B。x±2y=0C.2x±y=0 D。x±2y=04.[2017成都市三診,5]已知雙曲線C:x2a2—y2b2=1（a>0,b>0)，直線l:y=2x-2.若直線l平行于雙曲線C的一條漸近線且經(jīng)過C的一個(gè)頂點(diǎn)，則雙曲線A.1 B。2 C。5 D.45.［2017沈陽市三模，6]已知F1,F2是雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a〉0,b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn)，若在雙曲線上存在點(diǎn)P滿足2|PF1+PF2A。（1,2］ B.(1，2]C。[2,+∞) D.［2，+∞)6。[2017桂林、百色、梧州、崇左、北海五市聯(lián)考，11］設(shè)P為雙曲線x2-y215=1右支上一點(diǎn),M，N分別是圓(x+4)2+y2=4和（x-4）2+y2=1上的點(diǎn)，設(shè)|PM|—｜PN|的最大值和最小值分別為m，n,則|m—n｜=(A。4 B。5 C.6 D.7B組提升題7.［2018廣東第一次七校聯(lián)考,11］已知雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦點(diǎn)為F，以F為圓心和雙曲線的漸近線相切的圓與雙曲線的一個(gè)交點(diǎn)為M，且A.52 B.5 C。2 D。8.［2018南昌市調(diào)研，12]已知雙曲線C：x2a2—y2b2=1（a〉0，b>0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，P為雙曲線C上第二象限內(nèi)一點(diǎn)，若直線y=bax恰為線段PF2A.2 B。3 C。5 D。69.［2018洛陽市尖子生第一次聯(lián)考，9］設(shè)雙曲線C:x216-y29=1的右焦點(diǎn)為F，過F作雙曲線C的漸近線的垂線，垂足分別為M，N,若d是雙曲線上任意一點(diǎn)P到直線MN的距離，則d|A。34 B。45C。510.［2018益陽市、湘潭市高三調(diào)考,15］已知F為雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b〉0)的左焦點(diǎn),定點(diǎn)A為雙曲線虛軸的一個(gè)端點(diǎn),過F，A兩點(diǎn)的直線與雙曲線的一條漸近線在y軸右側(cè)的交點(diǎn)為B,若AB答案1.D根據(jù)圓和雙曲線的對(duì)稱性，可知四邊形ABCD為矩形。雙曲線的漸近線方程為y=±b2x,圓的方程為x2+y2=4,不妨設(shè)交點(diǎn)A在第一象限，由y=b2x,x2+y2=4,得xA=44+b2,yA=2.A由題意可知,雙曲線的一條漸近線y=bax與直線y=2x+10平行,所以ba=2①，且左焦點(diǎn)為(-5，0),所以a2+b2=c2=25②，由①②,解得a2=5，b2=20,故雙曲線的方程為x25-y23.A由題意得（m2+n）（3m2—n）>0,解得-m2<n<3m2.由該雙曲線兩焦點(diǎn)間的距離為4，得m2+n+3m2—n=4，即m2=1,所以—1〈n<3.故選A.4。A設(shè)F1(—c,0）,將x=-c代入雙曲線方程，得c2a2—y2b2=1，所以y2b2=c2a2—1=b2a2,所以y=±b2a.因?yàn)閟in∠MF2F1=13,所以tan∠MF2F1=|MF1||F1F2|=b5。D設(shè)雙曲線的方程為x2a2-y2b2=1(a〉0，b>0），不妨設(shè)點(diǎn)∠MBA=120°，作MH⊥x軸于點(diǎn)H，則∠MBH=60°,BH=a,MH=3a,所以M（2a,3a).將點(diǎn)M的坐標(biāo)代入雙曲線的方程x2a2—y2b2=1,得a=b6.D由雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程x2—y23=1，得右焦點(diǎn)F(2，0)，兩條漸近線方程為y=±3x,直線AB:x=2,所以不妨取A（2,23）,B(2，-23),則｜AB｜=437。A由題意知,雙曲線的方程可化為x23m-y23=1,不妨設(shè)F(3m+3,0)，漸近線方程為3x—3m+3y=8。D由0<k<9,易知兩曲線均為雙曲線且焦點(diǎn)都在x軸上,由25+9-k=259。C因?yàn)殡p曲線x2a2-y2b2=1的焦點(diǎn)在x軸上,所以雙曲線的漸近線方程為y=±bax。又離心率為e=ca=a2+b2a=10.2由雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程可知a2=1,b2=m，所以a=1，c=1+m，所以e=ca=1+m1=311.y=±22x設(shè)A(x1,y1），B（x2,y2).由拋物線的定義可知｜AF|=y1+p2,｜BF|=y2+p2，|OF｜=p2。由｜AF｜+｜BF|=y1+p2+y2+p2=y1+y2+p=4｜OF｜=2p由x12=2py1,x22由x12a2-y12b2=1,則b2a2·x1+x2p=x2+x112。2雙曲線x2a2-y2b2=1的漸近線方程為y=±bax,由已知可得兩條漸近線互相垂直，由雙曲線的對(duì)稱性可得ba=1，即a=b.因?yàn)檎叫蜲ABC的邊長(zhǎng)為2，所以c=22，所以a2+b2=c2=13。解法一(Ⅰ）因?yàn)殡p曲線E的漸近線分別為y=2x,y=-2x，所以ba=2，所以c2故c=5a.從而雙曲線E的離心率e=ca=5（Ⅱ)由（Ⅰ）知，雙曲線E的方程為x2a2—y設(shè)直線l與x軸相交于點(diǎn)C，如圖D10—2-2所示。圖D10—2—2當(dāng)l⊥x軸時(shí)，若直線l與雙曲線E有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，則|OC｜=a，｜AB|=4a。因?yàn)椤鱋AB的面積為8,所以12|OC|·｜AB|=即12a·4a=8，解得a=2此時(shí)雙曲線E的方程為x24—y2若存在滿足條件的雙曲線E，則E的方程只能為x24—y2以下證明:當(dāng)直線l不與x軸垂直時(shí)，雙曲線E:x24—y2設(shè)直線l的方程為y=kx+m,依題意,得k>2或k〈—2,則C（-mk，0)記A（x1,y1），B(x2，y2）.由y=kx+m,y=2x,消去x，得y1由S△OAB=12｜OC|·|y1-y2|12｜-mk｜·｜2m2-k-2m2+k|=8，即m2=4|4由y=kx+m,x24-y216=1,消去y，得(4因?yàn)?-k2〈0，所以Δ=4k2m2+4（4-k2)(m2+16)=-16(4k2—m2-16)。又m2=4(k2—4),所以Δ=0,即l與雙曲線E有且只有一個(gè)公共點(diǎn).因此,存在總與l有且只有一個(gè)公共點(diǎn)的雙曲線E，且E的方程為x24-y2解法二（Ⅰ)同解法一.(Ⅱ)由（Ⅰ）知，雙曲線E的方程為x2a2-y設(shè)直線l的方程為x=my+t，A(x1，y1)，B(x2,y2).依題意得—12〈m〈1由x=my+t,y=2x,消去x,得y1設(shè)直線l與x軸相交于點(diǎn)C，則C(t,0).由S△OAB=12|OC|·｜y1-y2｜=8,得12｜t|·|2t1所以t2=4｜1—4m2|=4（1-4m2)。由x=my+t,x2a2-y24a2=1,消去x,得(4m因?yàn)?m2—1〈0，直線l與雙曲線E有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，所以Δ=64m2t2-16（4m2-1）(t2-a2)=0,即4m2a2+t2—a2=0,即4m2a2+4(1—4m2)-a2=0,即(1-4m2）（a2—4）=0,所以a2=4.因此,存在總與l有且只有一個(gè)公共點(diǎn)的雙曲線E，且E的方程為x24—y2A組基礎(chǔ)題1。D因?yàn)殡p曲線C的右焦點(diǎn)F到漸近線的距離|FA|=b,｜OA|=a，所以ab=2，又雙曲線C的離心率為5，所以1+b2a2=5，即b2=4a2,解得a2=1,b2=4,所以雙曲線C的方程為x2-2.B由已知得ba=2，所以e=ca=a2+b23.A不妨設(shè)｜PF1｜>｜PF2|，則|PF1|-|PF2|=2a,|PF1|+|PF2|=6a,所以|PF1｜=4a，｜PF2|=2a,且｜F1F2|=2c，即|PF2|為最小邊,即∠PF1F4。B根據(jù)題意知,雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上,漸近線方程為y=±bax.因?yàn)橹本€l平行于雙曲線C的一條漸近線，所以ba=直線l：y=2x-2與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(1，0),即雙曲線C的一個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1,0），所以a=1，則b=2a=2，故雙曲線C的焦點(diǎn)到漸近線的距離為2，故選B。5。D∵2｜PF1+PF2｜≤|F1F2|，∴4|OP｜≤2c,即|OP|≤c2。又|OP｜≥a，∴a≤c2，即c≥2a,6.C易知雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1(-4,0)，F(xiàn)2(4，0)，恰為兩個(gè)圓的圓心，兩個(gè)圓的半徑分別為2,1,所以|PM|max=｜PF1|+2,｜PN|min=|PF2|—1，故|PM｜—|PN｜的最大值為（|PF1｜+2）-（｜PF2｜—1）=(|PF1|-｜PF2｜）+3=5。同理｜PM|—|PN｜的最小值為(｜PF1｜—2)—(|PF2|+1）=（|PF1｜—｜PF2｜)-3=—1，所以|m—n|=6,故選C。Ｂ組提升題7。C易知雙曲線的漸近線方程為y=±bax,則點(diǎn)F(c，0）到漸近線的距離為|bc|a2+b2=bcc=b,即圓F的半徑為b.令x=c，則y=±bc2a2-18.C如圖D10—2—3，直線PF2的方程為y=—ab(x-c),設(shè)直線PF2與直線y=bax的交點(diǎn)為N，易知N(a2c,abc）。又線段PF2的中點(diǎn)為N，所以P（2a2-c2c，2abc)。因?yàn)辄c(diǎn)P在雙曲線C上,所以(2a2圖D10-2-39。B雙曲線C:x216—y29=1中,a=4，b=3,c=5，右焦點(diǎn)F（5，0）,漸近線方程為y=±34x。不妨設(shè)M在直線y=34x上,N在直線y=—34x上,則直線MF的斜率為—43，其方程為y=-43(x—5），設(shè)M(t,34t),代入直線MF的方程,得34t=