成考專升本高數(shù)二課堂筆記

第0章預(yù)備知識(shí)函數(shù)

新修訂的《大綱》中己刪去了函數(shù)這一章內(nèi)容，就是說函數(shù)知識(shí)在考試中不作考核要求,

即不會(huì)單獨(dú)出現(xiàn)有關(guān)函數(shù)概念及性質(zhì)的試題，但因微積分學(xué)是以初等函數(shù)為研究對(duì)象，所以

把函數(shù)做為預(yù)備知識(shí)，對(duì)于后面學(xué)好微積分學(xué)是十分必要的。

［復(fù)習(xí)考試要求］

1.理解函數(shù)的概念，會(huì)求函數(shù)的表達(dá)式、定義域及函數(shù)值。會(huì)求分段函數(shù)的定義域、函

數(shù)值，會(huì)作出簡(jiǎn)單分段函數(shù)的圖像。

2.理解函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、有界性和周期性。

3.了解函數(shù)了=/(")與其反函數(shù)丫二尸1(?之間的關(guān)系(定義域、值域、圖像)，會(huì)

求單調(diào)函數(shù)的反函數(shù)。

4.熟練掌握函數(shù)的四則運(yùn)算與復(fù)合運(yùn)算。

5.掌握基本初等函數(shù)的性質(zhì)及其圖像。

6.了解初等函數(shù)的概念。

7.會(huì)建立簡(jiǎn)單實(shí)際問題的函數(shù)關(guān)系式。

［主要知識(shí)內(nèi)容］

一、函數(shù)的概念

1.函數(shù)的定義

(1)常量與變量

常量：在觀察某種自然現(xiàn)象或技術(shù)過程中，保持不變的量，或者是取固定數(shù)值的量。常

量一般用字母a,b,c……表示。

變量：在觀察某種自然現(xiàn)象或技術(shù)過程中，變化著的量，或者是取不同數(shù)值的量。變量

一般用字母x,y,z,...表示。

(2)函數(shù)的定義設(shè)在某個(gè)變化過程中有兩個(gè)變量x和y,變量y隨變量x而變化，如

果變量x在非空實(shí)數(shù)集合D中取某一數(shù)值時(shí)，變量y依照某一對(duì)應(yīng)規(guī)律f總有惟-一確定的

數(shù)值與之對(duì)應(yīng)，則稱變量y為變量x的函數(shù)，記為

y=f(x)(xCD)

其中x叫自變量，y叫因變量或函數(shù)。

例如，收益函數(shù)y=ax(其中a表示價(jià)格)

勻速直線運(yùn)動(dòng)S=S0+vt

總成本函數(shù)0=的+51(其中Co為固定成本，G為單位可變成本)

在上述函數(shù)的定義中，重要的是：三因素兩要素。

定義域：在數(shù)軸上使函數(shù)f有定義的自變量的取值范圍(變化區(qū)域)D,稱為函數(shù)的

定義域。記為D(f)。

對(duì)應(yīng)規(guī)律：自變量x在D上每取一數(shù)值時(shí)，函數(shù)y按照某一確定的規(guī)律f,有確定的

數(shù)值與之對(duì)應(yīng)。

當(dāng)自變量x取某一定值a時(shí)，函數(shù)產(chǎn)f(x)的對(duì)應(yīng)值記為f(a),有時(shí)也記為y|x=a。

值域：函數(shù)y的取值范圍，稱為函數(shù)的值域，記為Z(f)。

例1.函數(shù)的定義兩要素

(1)下列各組函數(shù)中，兩個(gè)函數(shù)相同的是

A_f(x)=x,g(x)=J?

B/(x)=lnr3,g(x)=31nr

c/(x)=ln|x|,^(x)=Inx

x2-i

D,歡==I

【答疑編號(hào)noooioi：針對(duì)該題提問】

［答］B.

（2）［9501］下列各組函數(shù)中，兩個(gè)函數(shù)相等的是

AJ⑶=西）2,g（x）=V?

/-1

C/(r)=x,g(x)=r(sin2+cos2r)

D./（x）=lg（x2）j（x）=21gx

【答疑編號(hào)11000102：針對(duì)該題提問】

［答］C。

例2.求函數(shù)定義域

（1）［9401］函數(shù)'=4二7+館0-1）的定義域是

A.（0,5］B.（1,5］C,（1,5）D.（0,+oo）

【答疑編號(hào)11000103：針對(duì)該題提問】

［答］B。

5-x>0

l(x<5

以力=

(2)[9701]函數(shù)丁=J/-5X+4的定義域是

A.(-oo,1]B.[4,4-oo)

C.(-co,1]U[4,+oo)D.(-oo,1)U(4,4-oo)

【答疑編號(hào)11000104：針對(duì)該題提問】

[答]C。

x2-5x+4>0

(x-l)(x-4)>0

x<^x>4

D(f)=(-co.l]<sj[4,+cq)

ln(x+l)

(3)[0001]函數(shù)vx-1的定義域是

A.(-1,+oo)B.[-l,+oo)C.(1,+oo)D.[l,+oo)

【答疑編號(hào)11000105：針對(duì)該題提問】

[答]C。

%+1)0

(X-1)0

小

D(JO=(L+8)

例3.求函數(shù)值或進(jìn)行函數(shù)式的變換

(1)[9611]設(shè)f(x)=3x+5,則f[f(x)-2]=?

【答疑編號(hào)11000106：針對(duì)該題提問】

[答]9x+14

解：f(x)-2=3x+5-2

=3x+3

F[f(x)-2]=3(3x+3)+5

=9x+14

(2)設(shè)"I,則/S)-l

【答疑編號(hào)11000107：針對(duì)該題提問】

=(x*2)

［答］x-2

解：/(x)-l=_L_-l1

x-117T

i

x-l

/W-i

c1ix-lxT/

(3)設(shè)f(x2+l)=X4+3X2+2,貝IJf(x)=

【答疑編號(hào)11000108：針對(duì)該題提問】

[答]x?+x

/(X2+1)=(X4+2X2+1)+(X2+1)

=(x2+l)2+(x2+l)

f(t)=i2+t

f(x)=x2+x

2.函數(shù)的表示法

常用的函數(shù)表示法有三種：解析法(公式法)、表格法、圖示法。

(I)解析法對(duì)自變量和常數(shù)施加四則運(yùn)算、乘嘉、指數(shù)運(yùn)算、取對(duì)數(shù)、取三角函數(shù)等

數(shù)學(xué)運(yùn)算所得到的式子稱為解析表達(dá)式。用解析表達(dá)式表示一個(gè)函數(shù)就稱為函數(shù)的解析法，

也叫公式法。

(2)表格法在實(shí)際應(yīng)用中，常把自變量所取的值和對(duì)應(yīng)的函數(shù)值列成表，用以表示函

數(shù)關(guān)系，函數(shù)的這種表示法稱為表格法。

(3)圖示法設(shè)尸f(x)是一個(gè)給定的函數(shù)，定義域是D(f),由于自變量和函數(shù)都取

實(shí)數(shù)值，因而我們可以在平面上取定一個(gè)直角坐標(biāo)系Oxy,用x軸上的點(diǎn)表示自變量的值，

用y軸上的點(diǎn)表示函數(shù)值。于是，在D(f)內(nèi)的每一個(gè)x及相應(yīng)的函數(shù)值f(x)就確定了

該平面直角坐標(biāo)系中的一個(gè)點(diǎn)p(x,y),當(dāng)x在D(f)內(nèi)變動(dòng)時(shí)，點(diǎn)P在坐標(biāo)平面上移動(dòng)，

一般便得到平面上的一條曲線，這就是用圖示法表示函數(shù)。

函數(shù)的三種表示法各有優(yōu)缺點(diǎn)，在具體應(yīng)用時(shí)，常常是三種方法配合使用。

3.函數(shù)的圖像

用圖示法表示函數(shù)所得到的曲線，就稱為函數(shù)的圖像，用圖像表示函數(shù)，使我們有可能

借助于幾何圖形，形象直觀地研究事物的運(yùn)動(dòng)變化過程，它對(duì)于理解高等數(shù)學(xué)中的概念、方

法和結(jié)論是十分重要的。

描點(diǎn)法作圖，例如作函數(shù)y=x3的圖像。

定義域(3,+8),值域(-00,+00)

X-2-1012

y-8-1018

二、顯函數(shù)、隱函數(shù)和分段函數(shù)

(1)顯函數(shù)函數(shù)關(guān)系用解析式產(chǎn)f(X)表示的稱為顯函數(shù)，

如y=x2lgx,『一J'，等。

(2)隱函數(shù)由方程F(x,y)=0確定的函數(shù)關(guān)系產(chǎn)f(x),稱為隱函數(shù)。

(3)分段函數(shù)有時(shí)還要考察這樣的函數(shù)，對(duì)于其定義域內(nèi)自變量x的不同值，函數(shù)

不能用一個(gè)統(tǒng)一的公式表示，而是要用兩個(gè)或兩個(gè)以上的公式來表示。這類函數(shù)稱為“分段

函數(shù)”。

例如，分段函數(shù)

x+1x<0

y=<

lx-1x>0,

當(dāng)x<0時(shí)，函數(shù)式為y=x+l；當(dāng)x>0時(shí)，用函數(shù)式y(tǒng)=x-l來表示，這個(gè)函數(shù)的定義域

是(-00,+oo)?

關(guān)于分段函數(shù)要注意以下幾點(diǎn)：

1)分段函數(shù)是用幾個(gè)公式和起來表示一個(gè)函數(shù)，而不是表示幾個(gè)函數(shù)；

2)因?yàn)楹瘮?shù)式子是分段表示的，所以各段的定義域必須明確標(biāo)出；

3)對(duì)分段函數(shù)求函數(shù)值時(shí)，不同點(diǎn)的函數(shù)值應(yīng)代入相應(yīng)范圍的公式中去求;

4)分段函數(shù)的定義域是各項(xiàng)定義域的并集。

例4.分段函數(shù)

cosxx<0

/(x)=?r-

(1)[0106]設(shè)W*,貝Uf(0)=o

【答疑編號(hào)11000109：針對(duì)該題提問】

[答]1。

exx<-1

〃為)=<)

(2)[0301]設(shè)I11,則f(0)=。

【答疑編號(hào)11000110：針對(duì)該題提問】

[答]-1。

-11x1<1

01

(3)設(shè)I同,，則當(dāng)xe(-co,+co)時(shí)，f[f(x)]=_______

【答疑編號(hào)H000111：針對(duì)該題提問】

[答]1。

當(dāng)-12f(x)=1f{f(x)]=f(1)=1

當(dāng)x<-l或x>lf(x)=0f[f(x)]=f(0)=1

.,.當(dāng)XG(-00,+8),f[f(X)]=1

三、函數(shù)的簡(jiǎn)單性質(zhì)

1.函數(shù)的單調(diào)性

定義設(shè)函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有定義，

(1)如果對(duì)于(a,b)內(nèi)的任意兩點(diǎn)X1和X2，當(dāng)x1<X2時(shí);若

恒有f(xi)<f(x2),則稱函數(shù)f(x)在(a,b)內(nèi)是單調(diào)增加的;

恒有f(X1)<f(x2),則稱函數(shù)f(x)在(a,b)內(nèi)是嚴(yán)格單調(diào)增加的。

(2)如果對(duì)于(a,b)內(nèi)的任意兩點(diǎn)Xi和X2，當(dāng)Xi〈X2時(shí)，若

恒有f有1)>f(X2),則稱函數(shù)f(x)在(a,b)內(nèi)是單調(diào)減少的;

恒有f(X1)>f(x2).則稱f(x)在(a,b)內(nèi)是嚴(yán)格單調(diào)減少的。

注意：?jiǎn)握{(diào)增加或單調(diào)減少函數(shù)統(tǒng)稱為單調(diào)函數(shù)。單調(diào)性是對(duì)一個(gè)區(qū)間而不是對(duì)一個(gè)點(diǎn)

來講的。單調(diào)函數(shù)必須指出它的單調(diào)區(qū)間。

例如函數(shù)y=x2在區(qū)間(0,+oo)內(nèi)是單調(diào)增加的；在區(qū)間(-oo,0)內(nèi)是單調(diào)減少的；而

在區(qū)間(-00,+00)內(nèi)不是單調(diào)的。

2.函數(shù)的奇偶性

定義如果對(duì)于函數(shù)產(chǎn)f(x)定義域D中的任一點(diǎn)x恒有

f(-x)=f(x)

則稱f(x)為偶函數(shù)

如果對(duì)于定義域D中的任一點(diǎn)x恒有

f(-x)=-f(x)

則稱f(X)為奇函數(shù)。

偶函數(shù)的圖形關(guān)于Y軸對(duì)稱，奇函數(shù)的圖形關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。

3.函數(shù)的有界性

定義設(shè)函數(shù)產(chǎn)f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有定義，如果存在一個(gè)正數(shù)M,使得對(duì)于(a,b)

內(nèi)的任意一點(diǎn)x,恒有|f(x)|WM,則稱函數(shù)f(x)在(a,b)內(nèi)是有界的,否則，稱f(x)

在(a,b)內(nèi)是無界的。

例如：函數(shù)y=sinx,在(-co,+oo)內(nèi)，恒旬sinx|Wl,所以函數(shù)y=sinx在其定義域內(nèi)為

有界函數(shù)。

x

D(/)=(-co,(O.+co)

(l.+co)y=g有界|1|<1

4.函數(shù)的周期性

在自然界中，周而復(fù)始的現(xiàn)象叫做周期現(xiàn)象。

定義對(duì)于函數(shù)y=f(x),如果存在一個(gè)常數(shù)T>0,使得對(duì)于任意實(shí)數(shù)x,關(guān)系式f(x+T)

=f(x)恒成立，則稱f(x)為周期函數(shù)，稱滿足這個(gè)等式的最小正數(shù)T為函數(shù)的最小正周

期或簡(jiǎn)稱為周期。

例如產(chǎn)sinx就是??個(gè)周期函數(shù)，

sin(x+2^)=sinxA:=0,±l,±2—,最小正周期T=2開

對(duì)于函數(shù)y=sin。x,

工—2兀

sin(nwx+2k?r)=sineo(x+—^―)=sineox兌=0,±1,±2,…,

o)最小正周期

例5.函數(shù)的性質(zhì)

(1)［0201］函數(shù)f(x)=x3sinx>

(A)奇函數(shù)(B)偶函數(shù)

(C)有界函數(shù)(D)周期函數(shù)

【答疑編號(hào)11000112：針對(duì)該題提問】

［答］B。

。(力=(-8,+8)

/(-x)=(-x)3sin(-x)

=.(一sinx)

=/sinx

=/w

^(x)=/(x)［———9(a>0,awl)

(2)［9702］設(shè)f(x)為奇函數(shù)，且a'+l2，則是

F(X)

(A)奇函數(shù)(B)偶函數(shù)

(C)非奇非偶函數(shù)(D)既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)

【答疑編號(hào)11000113：針對(duì)該題提問】

［答］B。

12-(/+1)

g③

22(ax+1)

］一/

2(>+1)

15/i

g(-x)==-g(x)

2(a~x+\')2(/+1)

g③為奇函數(shù)F(x)=f(X)g(X)為偶函數(shù)

(3)在(0,+co)內(nèi)，卜列函數(shù)中是無界函數(shù)的是

1

y=

(A)丫5(B)I77

(C)y=sinx(D)y=ln(1+x)

【答疑編號(hào)11000114：針對(duì)該題提問】

［答］D。

四、反函數(shù)

定義設(shè)已知函數(shù)為y=f(x)(1)

如果由此解出的x=M?)(2)

是一個(gè)函數(shù)，則稱為y=f(x)的反函數(shù)，記為x=P(y),并稱y=f(x)為直接函

數(shù)。

注意：習(xí)慣上常用x表示自變量，用y表示因變量，因此將x=P(y)中的y換為x,

而將x換為y,記作y=P(x)。

定理如果函數(shù)產(chǎn)f(x),D(f)=X,Z(f)=Y是嚴(yán)格單調(diào)增加(或減少)的，則

它必定存在反函數(shù)

x=伊"),=匕Z(協(xié)=X

并且也是嚴(yán)格單調(diào)增加(或減少)的。

求反函數(shù)的步驟：

第一步：從直接函數(shù)產(chǎn)f(x)中解出x二08),看它是否能成為函數(shù)；

第二步：如果*=是函數(shù)，將字母x換成y,將字母y換成x得『=加力這就是y=f

(x)的反函數(shù)。

注意：

(1)直接函數(shù)產(chǎn)f(X)與它的反函數(shù)尸尸的圖形，必定對(duì)稱于直線產(chǎn)X(一般地，二

者是不同的函數(shù)，其圖形是不同的曲線)；

(2)直接函數(shù)y=f(x)與它的反函數(shù)x=f'(y)是同一條曲線(二者是不同的函數(shù)，

但是，它們的圖形是同一條曲線)。

根據(jù)這個(gè)結(jié)論，當(dāng)我們知道了直接函數(shù)y=f(x)的圖形之后，就可利用對(duì)稱于直線產(chǎn)x

⑴［9402］函數(shù)f(x)=2X“的反函數(shù)數(shù)(x)等于

(A)log2(x+l)(B)l+Iog2X

111+X

一=10g2---

(C)21-x(D)21og2x

【答疑編號(hào)11000201：針對(duì)該題提問】

［答］B。

MT

x-l=log2y

x=l+log2y

y=l+log2x(x)0)

(2)函數(shù)/(*)="的值域是o

【答疑編號(hào)11000202：針對(duì)該題提問】

［答］(0,1)U(1,+00)

y=&x

1

一=iny

X

1

x=----

Iny

Z(7)=(0,1)U(L+8)

（3）函數(shù)2'+1的反函數(shù)p（x）=

【答疑編號(hào)11000203：針對(duì)該題提問】

11+X

y=i°g2；—

［答］l-x

五、基本初等函數(shù)

1.常數(shù)函數(shù)

y=c

它的定義域是（-00,+00）,圖形是一條平行于X軸的直線，顯然這是個(gè)偶函數(shù)。

2.毒函數(shù)

y=姆（以為實(shí)數(shù)）

它的定義域隨"值的不同而不同，但不管〃值是多少，它在（0,8o）內(nèi)總是有定義的。

當(dāng)"〉°時(shí)，它的圖形如圖1,不論"為何值，它的圖形都通過原點(diǎn)（0,0）和點(diǎn)（1,1）,

在（0,+8）內(nèi)嚴(yán)格單調(diào)增加且無界。

當(dāng)"<°時(shí)，它的圖形如圖2,在(0,E)內(nèi)嚴(yán)格單調(diào)減少且無界，曲線以x軸和y軸

為漸近線，都通過點(diǎn)(l,l)o

y=x.y=x^2.y=3

y=x2

-2-1-2

y=x9y=x

3.指數(shù)函數(shù)

y=ax(a>0,a聲1)

它的定義域是(-00,+8),由于不論x為何值，總有aX>0,且a°=l,所以它的圖形總是

在x軸的上方，

且通過點(diǎn)(0,1)。

當(dāng)a>0時(shí)，函數(shù)嚴(yán)格單調(diào)增

加且無界，曲線以x軸的負(fù)半軸為

漸近線；

當(dāng)0<a<l時(shí),函數(shù)嚴(yán)格單

調(diào)減少且無界，曲線以x軸的正半

軸為漸近線，如圖3

以無理數(shù)e=2.7182818…為底的指數(shù)函數(shù)y=ex,是微積分中經(jīng)常用到的。

4.對(duì)數(shù)函數(shù)

y=logax(a>0,a￥l)

它的定義域?yàn)?0,+oo),不論a為何值，對(duì)數(shù)曲線都通過點(diǎn)(1,0)。

當(dāng)a>l時(shí)，函數(shù)嚴(yán)格單調(diào)增加且無界，曲線以y軸的負(fù)半軸為漸近線；

當(dāng)0<a<l時(shí)函數(shù)嚴(yán)格單調(diào)

減少且無界，曲線以y軸的正半軸

為漸近線，如圖4所示。

以無理數(shù)e為底的對(duì)數(shù)函數(shù)

y=k>geX叫自然對(duì)數(shù)函數(shù)，簡(jiǎn)記作

y=lnxo

自然對(duì)數(shù)函數(shù)在微積分中是經(jīng)常用到的。

5.三角函數(shù)

三角函數(shù)有以下六個(gè)：

y=sinxy=cosxy=tanx

y=cotxy=secxy=cscx

在微積分中，三角函數(shù)的自變量X一律以“弧度”為單位。例如X=1就表示X等于一個(gè)

弧度(57。1744.8")。

函數(shù)y=sinx的定義域?yàn)?-co,+00),是奇函數(shù)，且是周期等于的周期函數(shù)，其圖形如

圖5所示。

函數(shù)尸cosx的定義域?yàn)?-co,+oo),是偶函數(shù)，且是周期等于2兀的周期函數(shù)，其圖形

如圖6所示。

因?yàn)閨sinx|Wl,|cosx|<l,所以它們都是有界函數(shù)。

x^(2k+t)—(k=0,±1,±2,“)

函數(shù)y=tanx的定義域是2的一切實(shí)數(shù)。它是奇函數(shù)，且是

周期為的周期函數(shù)，其圖形如圖7所示。

函數(shù)y=cotx的定義域是X#加的一切實(shí)數(shù)。它也是奇函數(shù)，且是周期為的周期函數(shù)，

其圖形如圖8所示。

圖7圖8

6.反三角函數(shù)

常見的反三角函數(shù)有以下四個(gè)：

y=arcsinxy=arccosx

y=arctanxy=arccotx

它們是作為相應(yīng)三角函數(shù)的反函數(shù)定義出來的，由于y=sinx,y=cosx在定義域內(nèi)不單

r7V

XW[——,-]

調(diào)，所以對(duì)于產(chǎn)sinx,只考慮22,對(duì)于產(chǎn)cosx,只考慮xG[0,利使他們單調(diào)，并

使其反函數(shù)存在。此時(shí)我們稱反正弦函數(shù)和反余弦函數(shù)取主值,

--<arcsinx<—,0<arccosx<^

即22,

它們的圖形分別為圖9和圖10中的實(shí)線部分。

y=arcsinx和y=arccosx的定義域都是[-1,1]。

--<arctanx(-

同理，對(duì)于反正切函數(shù)尸arctanx,也取主值22,即22,它的定義

域?yàn)?-00,400),其圖形如圖II所示。

六、復(fù)合函數(shù)與初等函數(shù)

1.復(fù)合函數(shù)

⑴y=e",〃=/

⑵了==1+v2,v=sinx

y=yl+sin?x

定義：設(shè)y是u的函數(shù)產(chǎn)f(u),而u又是x的函數(shù)，又設(shè)X表示函數(shù)u=?S)的定義

域的一個(gè)子集，如果對(duì)于X上的每一個(gè)取值x所對(duì)應(yīng)的u值，函數(shù)尸f(u)有定義，則y

通過u=°(x)而成為*的函數(shù)，記為y=/Ie(x)]這個(gè)函數(shù)叫做由函數(shù)產(chǎn)f(皿及u=wS)復(fù)

合而成的復(fù)合函數(shù)，它的定義域?yàn)閄,其中x稱為自變量，u稱為中間變量，y稱為因變量

或函數(shù)。

所以復(fù)合函數(shù)實(shí)際就是將中間變量代入后所構(gòu)成的函數(shù)。

注意：不是任何兩個(gè)函數(shù)都可以復(fù)合成一個(gè)復(fù)合函數(shù)的。

例如y=arcsinu及u=x2+2就不能復(fù)合成一個(gè)復(fù)合函數(shù)。因?yàn)閷?duì)于u=x2+2的定義域(-8,

+oo)內(nèi)的任何值x所對(duì)應(yīng)的u值(都大于或等于3)都不能使y=arcsinu有意義。

y=azrsinM,〃=/+2

y=f(u),u=f(y),v=g(ix)

y=/{g[g(x)]}

復(fù)合函數(shù)不僅可以由一個(gè)中間變量，還可以有更多的中間變量，如u、v、w、t等，即

可以經(jīng)過多次復(fù)合得到?個(gè)函數(shù)。

在求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)時(shí)，往往要反過來考慮問題，即一個(gè)函數(shù)是有哪兒個(gè)基本初等函數(shù)(或

簡(jiǎn)單函數(shù))復(fù)合而成的？

例7.復(fù)合函數(shù)

(1)[0206]設(shè)f(x)=lnx,g(x)=e2x+1,則f[g(x)]=。

【答疑編號(hào)11000204：針對(duì)該題提問】

[^]lne2x+l=2x+k

/Ig(x)]=ln0T

=(2x+l)lne

=2x+l

〃x)=tanx,g(x)=3

(2)[0401]設(shè)*,則f[g(x)]=o

【答疑編號(hào)11000205：針對(duì)該題提問】

1

tan—亍

商士。

(切=tang(x)

=tan-4-

(3)［9906］設(shè)y=31u=v2,v=tanx,則復(fù)合函數(shù)y=f(x)=

【答疑編號(hào)11000206：針對(duì)該題提問】

242

v

y=3=33X

(4)設(shè)f(x)的定義域是［1,10］,復(fù)合函數(shù)f(KT)的定義域是o

【答疑編號(hào)11000207：針對(duì)該題提問】

［答］［0,1］。

1<1OZ<10

10°<10x<101

0<x<l

。(力=［。刀

2.初等函數(shù)

定義由基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的四則運(yùn)算(加、減、乘、除)或有限次復(fù)合所構(gòu)成、

并能用一個(gè)解析式表示的函數(shù)稱為初等函數(shù)。

y=

例如，y=sin(3x-l),y=tan2(Inx)等都是初等函數(shù)。

y=sin(3x-l)

y=ln(x+、l+

y=ln

2

y=tan(Inx)

在微積分中所研究所討論的主要是初等函數(shù)。

附錄：常用的初等數(shù)學(xué)基本公式

一、乘法公式；反之，因式分解公式

(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab

(a+b)(a-b)=a2-b2

(aib)2=a2±2ab+b2

(a±b)3=a3±3a2b+3ab2±b3

(aib)(a2ab+b2)=a3±b3

二、一元二次方程ax?+bx+c=0(a#))

一=-一--4"d_4比/

求根公式2a

三、指數(shù)

m

n

a-n=m__a=---

1.指數(shù)有關(guān)概念：a°=l/a"=瓶質(zhì)

2.指數(shù)運(yùn)算法則

x-y

小/會(huì)計(jì),(a，y=&胡⑷)*=a"

四、對(duì)數(shù)

1.對(duì)數(shù)定義若a°=N，則b=logaN(a>O,arl)

lnN

2.對(duì)數(shù)性質(zhì)：logal=0,logaa=l,。砥=N(e=N)

3.對(duì)數(shù)運(yùn)算法則

x

loga-=logax-logay

log(xy)=logax+logayy

log/=aloga「臉皺」聯(lián)"

五、數(shù)列

1.等差數(shù)列：

通項(xiàng)公式an=a1+(n-1)d

3力------------yT---------------------u.

前n項(xiàng)和公式22

2.等比數(shù)列：

n_1

通項(xiàng)公式an=aiq

_"1(1-0”)_?-強(qiáng)4

七=-------=-------

前n項(xiàng)和公式.9

六、常用三角函數(shù)公式

1.同角三角函數(shù)間基本關(guān)系式

sina+cosa=1tanor+1=secacotc+l=csca

sinaCSCa=1cosa-seca=1tancr-cota=1

sina人cosa

tanar=----cota=—：---

cosasina

2.二倍角公式

sin2a=2sina-cosa

cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a

3.降暴公式

.21-cos2a21+cos2a

sina=---------cosa=---------

22

七、特殊角的三角函數(shù)值

度0°30°45°60°90°180°270°360°

乃幾允我3%

0

弧度5T2區(qū)

743

\V2皂

sin010-10

222

乖V2\

cos10-101

T22

乖

tan01上不存在0不存在0

T

八、旋轉(zhuǎn)體的面積與體積公式

1.正圓柱體：%=2%法隆=2仃2+2方4V=nr2h

2.正圓錐體：%="隆=#+芯八V=%Rh

3

2V=￡%戶

3.球體：$=4仃3

九、直線

無=tana(aw—)

1.直線的傾角和斜率：2

2.直線的斜截式方程：八以+貼*°)

3.兩直線的平行與垂直：己知兩條直線4=%了+句,?2：7=歷"+與

若［1〃?2,則%=k22.若?11?2，則可—*2=-1

第一章極限和連續(xù)

第一節(jié)極限

［復(fù)習(xí)考試要求］

1.了解極限的概念(對(duì)極限定義"￡-N'、"￡-?'、"e-M"等形式的描述不作要求)。會(huì)

求函數(shù)在一點(diǎn)處的左極限與右極限，了解函數(shù)在一點(diǎn)處極限存在的充分必要條件。

2.了解極限的有關(guān)性質(zhì)，掌握極限的四則運(yùn)算法則。

3.理解無窮小量、無窮大量的概念，掌握無窮小量的性質(zhì)、無窮小量與無窮大量的關(guān)系。

會(huì)進(jìn)行無窮小量階的比較(高階、低階、同階和等價(jià))。會(huì)運(yùn)用等價(jià)無窮小量代換求極限。

4.熟練掌握用兩個(gè)重要極限求極限的方法。

［主要知識(shí)內(nèi)容］

(一)數(shù)列的極限

1.數(shù)列

定義按一定順序排列的無窮多個(gè)數(shù)

為,％…/，…

稱為無窮數(shù)列，簡(jiǎn)稱數(shù)列，記作{Xn},數(shù)列中每?個(gè)數(shù)稱為數(shù)列的項(xiàng)，第n項(xiàng)X”為數(shù)列

的一般項(xiàng)或通項(xiàng)，例如

(1)1,3,5,…，(2n-l),...

1111

一__.???_???

(2)2'4'8'2*'

123n

一1_???

(3)2'3'4"+1'

1+(一1嚴(yán)

(4)1,0,1.0,...2,...

【答疑編號(hào)11010101：針對(duì)該題提問】

都是數(shù)列。它們的一般項(xiàng)分別為

1n1+(-1)”“

(2n-l),2"?+12

對(duì)于每一個(gè)正整數(shù)n,都有一個(gè)xn與之對(duì)應(yīng)，所以說數(shù)列｛Xn｝可看作自變量n的函數(shù)xn=f

（n）,它的定義域是全體正整數(shù)，當(dāng)自變量n依次取1,2,3…一切正整數(shù)時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值

就排列成數(shù)列。

在幾何匕數(shù)列｛Xj可看作數(shù)軸上的?個(gè)動(dòng)點(diǎn)，它依次取數(shù)軸匕的點(diǎn)X].X2,X3,…Xn.…。

2.數(shù)列的極限

定義對(duì)于數(shù)歹U｛Xn｝,如果當(dāng)n—oo時(shí)，Xn無限地趨于一個(gè)確定的常數(shù)A,則稱當(dāng)n趨于

無窮大時(shí)，數(shù)列｛Xn｝以常數(shù)A為極限，或稱數(shù)列收斂于A,記作

lim/=4或x*-＞月（當(dāng)徵—coB寸）

否則稱數(shù)列｛Xn｝沒有極限，如果數(shù)列沒有極限，就稱數(shù)列是發(fā)散的。

數(shù)列極限的幾何意義：將常數(shù)A及數(shù)列的項(xiàng)/瓜2,…/,…依次用數(shù)軸上的點(diǎn)表示，若

數(shù)列｛Xn｝以A為極限，就表示當(dāng)n趨于無窮大時(shí)，點(diǎn)Xn可以無限靠近點(diǎn)A,即點(diǎn)Xn與點(diǎn)A

之間的距離|x/A|趨于0。

（二）數(shù)列極限的性質(zhì)與運(yùn)算法則

1.數(shù)列極限的性質(zhì)

定理1.1（惟一性）若數(shù)列｛X0｝收斂，則其極限值必定惟一。

定理1.2（有界性）若數(shù)列｛Xn｝收斂，則它必定有界。

注意：這個(gè)定理反過來不成立，也就是說，有界數(shù)列不一定收斂。

2.數(shù)列極限的存在準(zhǔn)則

定理1.3（兩面夾準(zhǔn)則）若數(shù)列｛Xn｝,｛yn｝,｛Zn｝滿足以下條件：

（1）匕氣氣（"1,2,3…）,

limy”=limz”=A

（2）,

lim冗=A

hill19

定理1.4若數(shù)列｛xJ單調(diào)有界，則它必有極限。

3.數(shù)列極限的四則運(yùn)算定理。

如果limq=A貝ijlimy*=瓦則

定理1.5…"

（1）地⑥士居”黜勺士愿3月±3

⑵酚（%K）=Q%Q.（配用）=43

rlimxA

Emy,#0"-?tavlimy.B

（3）當(dāng)…&時(shí)，z"

（三）函數(shù)極限的概念

1.當(dāng)XTXo時(shí)函數(shù)f（x）的極限

（1）當(dāng)X—Xo時(shí)f（X）的極限

定義對(duì)于函數(shù)產(chǎn)f（X）,如果當(dāng)X無限地趨于Xo時(shí)，函數(shù)f（X）無限地趨于一個(gè)常數(shù)

A,則稱當(dāng)X-XO時(shí)，函數(shù)f（x）的極限是A,記作

hm/(x)=^

人rAg

或f（X）—A（當(dāng)X—>Xo時(shí)）

例y=f(x)=2x+l

x—>1,f(x)—??

【答疑編號(hào)11010102：針對(duì)該題提問】

X<1X—1

x…0.90.990.999...—>1

y??,2.82.982.998-3

x>lx—1

x—1.11.011.001…71

y…3.23,023.002…—3

(2)當(dāng)XTXO時(shí)f(x)的左極限

定義對(duì)于函數(shù)y=f(x),如果當(dāng)x從X。的左邊無限地趨于X。時(shí)，函數(shù)f(x)無限地趨

于一個(gè)常數(shù)A,則稱當(dāng)XTXO時(shí)，函數(shù)f(x)的左極限是A,記作

lim_f(x)=A

一近或f(xo-O)=A

(3)當(dāng)x—xo時(shí)，f(x)的右極限

定義對(duì)于函數(shù)產(chǎn)f(X),如果當(dāng)X從Xo的右邊無限地趨于Xo時(shí)，函數(shù)f(x)無限地趨

于一個(gè)常數(shù)A,則稱當(dāng)x—xo時(shí)，函數(shù)f(x)的右極限是A,記作

lim/(x)=A

一布或f(xo+O)=A

x+1x<0

0x=0

x-1x>0求域?/(?,場(chǎng)餌

例如函數(shù)

【答疑編號(hào)11010103：針對(duì)該題提問】

解：當(dāng)x從0的左邊無限地趨于0時(shí)f(x)無限地趨于一個(gè)常數(shù)lo我們稱當(dāng)x-0時(shí),

f(x)的左極限是1,即有

limf(x)lim_(x+1)=1

xfCT八'

當(dāng)x從0的右邊無限地趨于0時(shí),f(x)無限地趨于一個(gè)常數(shù)-1。我們稱當(dāng)x-0時(shí)，f

(x)的右極限是-1,即有

蚓人力=%(片1)=1

班八X”勖f(x)

lim_/(x)lim/(x)lim/(x)

顯然，函數(shù)的左極限-X。-、右極限一5與函數(shù)的極限-%之間有以

下關(guān)系：

定理1.6當(dāng)XTXO時(shí)，函數(shù)f(x)的極限等于A的必要充分條件是

lim_/(x)=limf(x)-A

1X—>X—>人0

這就是說：如果當(dāng)X-XO時(shí)，函數(shù)f(x)的極限等于A,則必定有左、右極限都等于A。

lim/(x)=A

反之，如果左、右極限都等于A,則必有、7”。

攵_1

〃x)=J(xwl)

x-1

X-1時(shí)RX)T?

/(x)=巴1=(x+l)('T)=x+1

x#lx-1x-1

x—1fifx)—>2

仁V—1o

lim----=2

xf1x-1

父-1

〃X)=J(XKl)

對(duì)于函數(shù)x-l,當(dāng)x-l時(shí)，f(x)的左極限是2,右極限也是2。

圖2

2.當(dāng)X-8時(shí)，函數(shù)f(x)的極限

(1)當(dāng)XTOO時(shí)，函數(shù)f(X)的極限

y=f(x)x一8f(x)—>?

1_

y=f(x)=l+x

1

X—>00f(x)=l+X—>1

Hm(l+—)=1

19x

定義對(duì)于函數(shù)kf(X),如果當(dāng)XT8時(shí)，f(X)無限地趨于一個(gè)常數(shù)A,則稱當(dāng)XT8

時(shí)，函數(shù)f(x)的極限是A,記作

lim/(x)=A

—8或f(x)—A(當(dāng)x—co時(shí))

(2)當(dāng)X—+8時(shí)，函數(shù)f(x)的極限

定義對(duì)于函數(shù)產(chǎn)f(x),如果當(dāng)XT+OO時(shí)，f(x)無限地趨于一個(gè)常數(shù)A,則稱當(dāng)X—+8

時(shí)，函數(shù)f(x)的極限是A,記作

期/(x)=4

這個(gè)定義與數(shù)列極限的定義基本上一樣，數(shù)列極限的定義中n一+8的n是正整數(shù)；而在

這個(gè)定義中，則要明確寫出XT+OO,且其中的x不一定是正整數(shù)，而為任意實(shí)數(shù)。

y=f(x)x一+oof(x)x一？

/(x)=2+^

=2+1

1

x—>+oo,f(x)=2+&->2

觸(2+e”2

例：函數(shù)f(x)=2+e",當(dāng)XT+OO時(shí)，f(x)—?

【答疑編號(hào)11010104：針對(duì)該題提問】

1

解：f(x)=2+e-x=2+&，

1

x—>+co,f(x)=2+2—2

hm(2+@”2

所以一權(quán)

(3)當(dāng)x—?oo時(shí)，函數(shù)f(x)的極限

定義對(duì)于函數(shù)kf(x),如果當(dāng)X-8時(shí)，f(x)無限地趨于一個(gè)常數(shù)A,則稱當(dāng)X--8

時(shí)，f(x)的極限是A,記作

x螞0yU)=A

X--oof(x)—??

1

則f(x尸2+6’(x<0)

x—>-00,-x—>+8

1

f(x尸2+^/^一2

螞Q+白=2

/W=2+-IL(X<0)

例：函數(shù)7一X,當(dāng)X--8時(shí)，f(x)—?

【答疑編號(hào)11010105：針對(duì)該題提問】

解：當(dāng)X—?8時(shí)，?XT+OO

〃x)=2+，=

、-x-2,即有

山上述X—*00,X一+8,X-"00時(shí)，函數(shù)f(X)極限的定義，不難看出：X—W時(shí)f(x)

的極限是A充分必要條件是當(dāng)XT+OO以及XT?8時(shí)，函數(shù)f(x)有相同的極限Ao

f(x)=1+—

例如函數(shù)X,當(dāng)XT?8時(shí)，f(x)無限地趨于常數(shù)1,當(dāng)XT+00時(shí)，f(X)也

/(X)=1+—

無限地趨于同一個(gè)常數(shù)1,因此稱當(dāng)X—00時(shí)X的極限是1,記作

+—)=1

其幾何意義如圖3所示。

f(x)=l+X

lim(1+3

ifX

lim(1+—)=1

x

y=arctanx

limarctanx="-,limarctanx=—

—-co2―他2

limarctanx

不存在。

但是對(duì)函數(shù)y=arctanx來講，因?yàn)橛?/p>

limarctanx=—

—?Ko2

即雖然當(dāng)x—時(shí)，f（X）的極限存在，當(dāng)X—+8時(shí)，f（x）的極限也存在，但這兩個(gè)

極限不相同，我們只能說，當(dāng)x-8時(shí)，尸arctanx的極限不存在。

（四）函數(shù)極限的定理

lim/(X)

定理1.7（惟一性定理）如果1%存在，則極限值必定惟一。

定理1.8（兩面夾定理）設(shè)函數(shù),“），8。），“熾）在點(diǎn)殉的某個(gè)鄰域內(nèi)（殉可除外）

滿足條件:

limg(x)=lim=工

g(x)</(x)<A(x)

(1),（2）一。

lim/（x）=-4

則有一、o

注意：上述定理1.7及定理1.8對(duì)x-?8也成立。

卜面我們給出函數(shù)極限的四則運(yùn)算定理

lim/(x)=A,limg(z)=B

定理1.9如果一為。貝ij

lim[/(x)±g(x)]=lim/(x)±limg(x)=A±B

lim[/(x)-g(x)]=(lim/(x))(limg(x))=AB

(2)

lim/(x)

/(x)A

11m----=---------——

limg(x)=3。0x-?xog(x)limg(x)B

(3)當(dāng)時(shí)一，1A時(shí)，

上述運(yùn)算法則可推廣到有限多個(gè)函數(shù)的代數(shù)和及乘積的情形，有以下推論：

推論：

lim[^(x)±^(x)±-±/?(x)]=lim水x)±lim/2(x)±-±lim力⑶

lim[c-/(%)]=c-Hm/(x)

(2)Xf/X->KQ

lim[/(x)r=[lim/(x)r

⑶XT%

用極限的運(yùn)算法則求極限時(shí),必須注意:這些法則要求每個(gè)參與運(yùn)算的函數(shù)的極限存在,

且求商的極限時(shí)，還要求分母的極限不能為零。

另外，上述極限的運(yùn)算法則對(duì)于X-8的情形也都成立。

(五)無窮小量和無窮大量

1.無窮小量(簡(jiǎn)稱無窮小)

定義時(shí)于函數(shù)丁=/(*),如果自變量x在某個(gè)變化過程中，函數(shù)/s)的極限為零,

則稱在該變化過程中，,。)為無窮小量，一般記作lim/(x)=O.

常用希臘字母外/『，…來表示無窮小量。

定理1.10函數(shù)/(”)以A為極限的必要充分條件是：

了。）可表示為A與一個(gè)無窮小量之和。

lim/（%）=A<^>f（x）=A+a

（a為無窮?。?/p>

注意：

（1）無窮小量是變量，它不是表示量的大小，而是表示變量的變化趨勢(shì)無限趨于為零。

（2）要把無窮小量與很小的數(shù)嚴(yán)格區(qū)分開，?個(gè)很小的數(shù)，無論它多么小也不是無窮

小量。

（3）一個(gè)變量是否為無窮小量是與自變量的變化趨勢(shì)緊密相關(guān)的。在不同的變化過程

中，同一個(gè)變量可以有不同的變化趨勢(shì)，因此結(jié)論也不盡相同。

例如.x—>0sinx—>0,cosx—>1

兀.?

x—>—sinx—>1

2

x78Sinx振蕩型發(fā)散

|sinx|<l

（4）越變?cè)叫〉淖兞恳膊灰欢ㄊ菬o窮小量，例如當(dāng)x越變?cè)酱髸r(shí)，入就越變?cè)叫?

但它不是無窮小量。

lim0=0

（5）無窮小量不是一個(gè)常數(shù)，但數(shù)“0”是無窮小量中惟一的?個(gè)數(shù)，這是因?yàn)閄T'。?

2.無窮大量（簡(jiǎn)稱無窮大）

定義；如果當(dāng)自變量'~勺（或8）時(shí)，的絕對(duì)值可以變得充分大（也即無限地

增大），則稱在該變化過程中，為無窮大量。記作

注意：無窮大（00）不是一個(gè)數(shù)值，“8”是一個(gè)記號(hào)，絕不能寫成X=8或/。）=8

3.無窮小量與無窮大量的關(guān)系

無窮小量與無窮大量之間有一種簡(jiǎn)單的關(guān)系，見以下的定理。

1

定理L11在同一變化過程中，如果為無窮大量，則了（乃為無窮小量；反之,

1

如果『（X）為無窮小量，且/（x）w°,則力>）為無窮大量。

當(dāng)―〃加一無窮大

“、

X-8,/（X）=-----1--Y

（X-D無窮小

當(dāng)彳78,/（x）=e-為無窮小

一