江蘇省無(wú)錫地區(qū)中考數(shù)學(xué)選擇填空壓軸題專題8幾何變換問(wèn)題

專題08幾何變換問(wèn)題例1．如圖，斜邊長(zhǎng)再沿CB向左平移使點(diǎn)

12cm，∠A＝30°的直角三角尺B′落在原三角尺ABC的斜邊

ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°至△A′B′C的地點(diǎn)，AB上，則三角尺向左平移的距離為_(kāi)_____________．（結(jié)果保存根號(hào)）同類題型1.1把圖中的一個(gè)三角形先橫向平移

x格，再縱向平移

y格，就能與另一個(gè)三角形拼合成一個(gè)四邊形，那么x＋y（）A．是一個(gè)確立的值

B．有兩個(gè)不一樣的值C．有三個(gè)不一樣的值

D．有三個(gè)以上不一樣的值同類題型1.2已知：如圖△ABC的極點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（－4，－3），B（0，－3），C（－2，1），如將B點(diǎn)向右平移2個(gè)單位后再向上平移4個(gè)單位抵達(dá)B1點(diǎn)，若設(shè)△ABC的面積為S1，△AB1C的面積為S2，則S1，S2的大小關(guān)系為（）A．S1＞S2B．S1＝S2C．S1＜S2D．不可以確立例2．如圖，P是等邊△外一點(diǎn)，把繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°到′，已知∠′＝150°，′：ABCBPBPAPBPAP′C＝2：3，則PB：P′A是（）A．2：1B．2：1C．5：2D．3：1同類題型

2.1如圖，△

ABC為等邊三角形，以

AB為邊向形外作△

ABD，使∠ADB＝120°，再以點(diǎn)

C為旋轉(zhuǎn)中心把△CBD旋轉(zhuǎn)到△CAE，則以下結(jié)論：①DB＋DA，此中正確的有（）

D、A、E三點(diǎn)共線；②

DC均分∠BDA；③∠

E＝∠BAC；④DC＝A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)同類題型2.2如圖，在正方形ABCD中，O是對(duì)角線AC與BD的交點(diǎn)，M是BC邊上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)M不與B，C重合），⊥，與交于點(diǎn)，連結(jié)，，．以下五個(gè)結(jié)論：①△≌△；②△≌△；CNDMCNABNOMONMNCNBDMCCONDOM2221，此中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）③△OMN∽△OAD；④AN＋CM＝MN；⑤若AB＝2，則S△OMN的最小值是2A．2B．3C．4D．5同類題型2.3在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（3，0），B（0，4），將△BOA繞點(diǎn)A按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得△CDA，使點(diǎn)B在直線CD上，連結(jié)OD交AB于點(diǎn)M，直線CD的分析式為_(kāi)_________．同類題型2.4如圖，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝3，將矩形ABCD繞點(diǎn)B按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)獲得矩形GBEF，點(diǎn)A落在矩形ABCD的邊CD上，連結(jié)CE，CF，若∠CEF＝α，∠CFE＝β，則tanα﹒tanβ＝___________．同類題型2.5如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，將△ABC繞極點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)獲得△A′B′C，M是BC的中點(diǎn)，P是A′B′的中點(diǎn)，連結(jié)PM，若BC＝2，∠BAC＝30°，則線段PM的最大值是_____．同類題型2.6如圖1，一副含30°和45°角的三角板ABC和DEF疊合在一同，邊BC與EF重合，BC＝EF＝12，點(diǎn)G為邊EF的中點(diǎn)，邊FD與AB訂交于點(diǎn)H，如圖2，將三角板DEF繞點(diǎn)G按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)到60°的過(guò)程中，BH的最大值是_________，點(diǎn)H運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)是_________．例3．如圖，折疊菱形紙片ABCD，使得AD的對(duì)應(yīng)邊A1D1過(guò)點(diǎn)C，EF為折痕，若∠B＝60°，當(dāng)A1E⊥ABBE時(shí)，AE的值等于（）33－13＋13－1A．6B．6C．8D．2同類題型3.1如圖，正方形ABCD中，AD＝4，點(diǎn)E是對(duì)角線AC上一點(diǎn)，連結(jié)DE，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥ED，交AB于點(diǎn)F，連結(jié)DF，交AC于點(diǎn)G，將△EFG沿EF翻折，獲得△EFM，連結(jié)DM，交EF于點(diǎn)N，若點(diǎn)F是AB邊的中點(diǎn)，則△EMN的周長(zhǎng)是_____________．同類題型3.2最小時(shí)，則∠

如圖，∠MON＝40°，點(diǎn)APB的度數(shù)為（）

P是∠MON內(nèi)的定點(diǎn)，點(diǎn)

A、B分別在

OM，ON上挪動(dòng)，當(dāng)△

PAB周長(zhǎng)A．20°

B．40°

C．100°

D．140°同類題型3.3如圖，矩形紙片中，、分別為、的中點(diǎn)，將紙片折疊，使D點(diǎn)落在上，得ABCDGFADBCGF到△HAE，再過(guò)H點(diǎn)折疊紙片，使B點(diǎn)落在直線AB上，折痕為PQ．連結(jié)AF、EF，已知HE＝HF，以下結(jié)論：①△為等邊三角形；②⊥；③△∽△；④AD23）＝，此中正確的結(jié)論是（MEHAEEFPHEHAEAB5A．①②③B．①②④C．①③④D．①②③④同類題型3.4△中，∠＝90°，＝3，＝4，點(diǎn)D是的中點(diǎn)，將△沿翻折獲得△D．連ABCBACABACBCABDADAECE，則線段CE的長(zhǎng)等于_______．專題08幾何變換問(wèn)題例1．如圖，斜邊長(zhǎng)12cm，∠A＝30°的直角三角尺ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°至△A′B′C的地點(diǎn)，再沿CB向左平移使點(diǎn)B′落在原三角尺ABC的斜邊AB上，則三角尺向左平移的距離為_(kāi)_____________．（結(jié)果保存根號(hào)）解：如圖：連結(jié)B′B″，∵在Rt△ABC中，AB＝12，∠A＝30°，1BC＝2AB＝6，AC＝63，B′C＝6，AB′＝AC－B′C＝63－6，∵B′C∥B″C″，B′C＝B″C″，∴四邊形B″C″CB′是矩形，B″B′∥BC，B″B′＝C″C，∴△AB″B′∽△ABC，AB′B″B′∴AC＝BC，3－6B″B′即：＝，636解得：B″B′＝6－23．∴C″C＝B″B′＝6－23．同類題型1.1把圖中的一個(gè)三角形先橫向平移x格，再縱向平移邊形，那么x＋y（）A．是一個(gè)確立的值B．有兩個(gè)不一樣的值C．有三個(gè)不一樣的值D．有三個(gè)以上不一樣的值

y格，就能與另一個(gè)三角形拼合成一個(gè)四解：（1）當(dāng)兩斜邊重合的時(shí)候可構(gòu)成一個(gè)矩形，此時(shí)x＝2，y＝3，x＋y＝5；（2）當(dāng)兩直角邊重合時(shí)有兩種狀況，①短邊重合，此時(shí)x＝2，y＝3，x＋y＝5；②長(zhǎng)邊重合，此時(shí)x＝2，y＝5，x＋y＝7．綜上可得：x＋y＝5或7．選B．1.2已知：如圖△ABC的極點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（－4，－3），B（0，－3），C（－2，1），如將B點(diǎn)向同類題型右平移2個(gè)單位后再向上平移4個(gè)單位抵達(dá)B點(diǎn)，若設(shè)△ABC的面積為S，△ABC的面積為S，則S，S2的大小關(guān)系為（11121）A．S1＞S2B．S1＝S2C．S1＜S2D．不可以確立1解：△ABC的面積為S1＝2×4×4＝8，將B點(diǎn)平移后獲得B1點(diǎn)的坐標(biāo)是（2，1），因此△ABC的面積為S＝1×4×4＝8，122因此S1＝S2．選B．同類題型1.3同類題型1.4例2．如圖，P是等邊△外一點(diǎn)，把繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°到′，已知∠′＝150°，′：ABCBPBPAPBPAP′C＝2：3，則PB：P′A是（）A．2：1B．2：1C．5：2D．3：1解：如圖，連結(jié)AP，∵BP繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°到BP′，BP＝BP′，∠ABP＋∠ABP′＝60°，又∵△ABC是等邊三角形，AB＝BC，∠CBP′＋∠ABP′＝60°，∴∠ABP＝∠CBP′，在△ABP和△CBP′中，BP＝BP′∵∠ABP＝∠CBP′，AB＝BC∴△ABP≌△CBP′（SAS），AP＝P′C，∵P′A：P′C＝2：3，3∴AP＝2P′A，連結(jié)PP′，則△PBP′是等邊三角形，∴∠BP′P＝60°，PP′＝PB，∵∠AP′B＝150°，∴∠AP′P＝150°－60°＝90°，∴△APP′是直角三角形，3設(shè)P′A＝x，則AP＝2x，依據(jù)勾股定理，PP′＝AP2－P′A2＝9x2－x2＝5x，425則PB＝2x，5PB：P′A＝2x：x＝5：2．選C．同類題型2.1如圖，△為等邊三角形，以為邊向形外作△，使∠＝120°，再以點(diǎn)C為旋轉(zhuǎn)ABCABABDADB中心把△CBD旋轉(zhuǎn)到△CAE，則以下結(jié)論：①D、A、E三點(diǎn)共線；②DC均分∠BDA；③∠E＝∠BAC；④DC＝DB＋DA，此中正確的有（）A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)解：①設(shè)∠1＝x度，則∠2＝（60－x）度，∠DBC＝（x＋60）度，故∠4＝（x＋60）度，∴∠2＋∠3＋∠4＝60－x＋60＋x＋60＝180度，∴D、A、E三點(diǎn)共線；②∵△BCD繞著點(diǎn)C按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60°獲得△ACE，CD＝CE，∠DCE＝60°，∴△CDE為等邊三角形，∴∠E＝60°，∴∠BDC＝∠E＝60°，∴∠CDA＝120°－60°＝60°，DC均分∠BDA；③∵∠BAC＝60°，E＝60°，∴∠E＝∠BAC．④由旋轉(zhuǎn)可知AE＝BD，又∵∠DAE＝180°，DE＝AE＋AD．∵△CDE為等邊三角形，DC＝DB＋BA．同類題型2.2如圖，在正方形ABCD中，O是對(duì)角線AC與BD的交點(diǎn)，M是BC邊上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)M不與B，C重合），CN⊥DM，CN與AB交于點(diǎn)N，連結(jié)OM，ON，MN．以下五個(gè)結(jié)論：①△CNB≌△DMC；②△CON≌△DOM；2221）③△OMN∽△OAD；④AN＋CM＝MN；⑤若AB＝2，則S△OMN的最小值是，此中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（2A．2B．3C．4D．5解：∵正方形ABCD中，CD＝BC，∠BCD＝90°，∴∠BCN＋∠DCN＝90°，又∵CN⊥DM，∴∠CDM＋∠DCN＝90°，∴∠BCN＝∠CDM，又∵∠CBN＝∠DCM＝90°，∴△CNB≌△DMC（ASA），故①正確；依據(jù)△CNB≌△DMC，可得CM＝BN，又∵∠OCM＝∠OBN＝45°，OC＝OB，∴△OCM≌△OBN（SAS），OM＝ON，∠COM＝∠BON，∴∠DOC＋∠COM＝∠COB＋∠BPN，即∠DOM＝∠CON，又∵DO＝CO，∴△CON≌△DOM（SAS），故②正確；∵∠BON＋∠BOM＝∠COM＋∠BOM＝90°，∴∠MON＝90°，即△MON是等腰直角三角形，又∵△AOD是等腰直角三角形，∴△OMN∽△OAD，故③正確；AB＝BC，CM＝BN，∴BM＝AN，又∵Rt△中，2＋2＝2，BMNBMBNMN222∴AN＋CM＝MN，故④正確；∵△≌△，OCMOBN∴四邊形BMON的面積＝△BOC的面積＝1，即四邊形BMON的面積是定值1，∴當(dāng)△MNB的面積最大時(shí)，△MNO的面積最小，設(shè)BN＝x＝CM，則BM＝2－x，∴△的面積＝1（2－）＝－12＋x，MNB2xx2x∴當(dāng)x＝1時(shí)，△MNB的面積有最大值12，11此時(shí)S△OMN的最小值是1-=，故⑤正確；22綜上所述，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是5個(gè)，選D．同類題型2.3在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（3，0），B（0，4），將△BOA繞點(diǎn)A按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得△CDA，使點(diǎn)B在直線CD上，連結(jié)OD交AB于點(diǎn)M，直線CD的分析式為_(kāi)_________．解：∵△BOA繞點(diǎn)A按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得△CDA，∴△BOA≌△CDA，AB＝AC，OA＝AD，B、D、C共線，AD⊥BC，∴BD＝CD＝OB，OA＝AD，BO＝CD＝BD，∴OD⊥AB，設(shè)直線AB分析式為y＝kx＋b，把A與B坐標(biāo)代入得：3k＋b＝0，b＝44解得：k＝－3，b＝44∴直線AB分析式為y＝－x＋4，3∴直線分析式為y＝3，OD4xy＝－4x＋4聯(lián)立得：3，＝3y4x48x＝254836解得：36，即M（25，25），y＝25∵M(jìn)為線段OD的中點(diǎn)，72D（25，25），設(shè)直線CD分析式為y＝mx＋n，9672把B與D坐標(biāo)代入得：25m＋n＝25，n＝47解得：m＝－24，n＝4，7則直線CD分析式為y＝－24x＋4．同類題型

2.4如圖，在矩形

ABCD中，AB＝5，BC＝3，將矩形

ABCD繞點(diǎn)

B按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)獲得矩形

GBEF，點(diǎn)A落在矩形

ABCD的邊

CD上，連結(jié)CE，CF，若∠CEF＝α，∠CFE＝β，則

tanα﹒tanβ＝___________．解：過(guò)C點(diǎn)作MN⊥BF，交BG于M，交EF于N，由旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)可知，∠

ABG＝∠CBE，BA＝BG＝5，BC＝BE＝3，2由勾股定理得，CG＝BG＋DG＝4，DG＝DC－CG＝1，則＝2＋2＝10，AGADDG∵BABG＝，∠ABG＝∠CBE，BCBE∴△ABG∽△CBE，∴CEBC3，＝＝AGAB5310解得，CE＝，5∵∠MBC＝∠CBG，∠BMC＝∠BCG＝90°，∴△BCM∽△BGC，CMBC，即CM3∴＝＝，CGBG4512CM＝5，MN＝BE＝3，3CN＝3－＝，5529EN＝CE－CN＝，516FN＝EF－EN＝5－5＝5，33∴tanα﹒tanβ＝CNCN551﹒＝×＝．ENFN9161655同類題型2.5如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，將△ABC繞極點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)獲得△A′B′C，M是BC的中點(diǎn)，P是A′B′的中點(diǎn)，連結(jié)PM，若BC＝2，∠BAC＝30°，則線段PM的最大值是_____．解：如圖連結(jié)PC．在Rt△ABC中，∵∠A＝30°，BC＝2，∴AB＝4，依據(jù)旋轉(zhuǎn)不變性可知，A′B′＝AB＝4，∴A′P＝PB′，1PC＝2A′B′＝2，∵CM＝BM＝1，又∵PM≤PC＋CM，即PM≤3，PM的最大值為3（此時(shí)P、C、M共線）．同類題型2.6如圖1，一副含30°和45°角的三角板和疊合在一同，邊與EF重合，＝ABCDEFBCBCEF＝12，點(diǎn)G為邊EF的中點(diǎn)，邊FD與AB訂交于點(diǎn)H，如圖2，將三角板DEF繞點(diǎn)G按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)到60°的過(guò)程中，BH的最大值是_________，點(diǎn)H運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)是_________．解：如圖1中，作HM⊥BC于M，設(shè)HM＝a，則CM＝HM＝a．在Rt△ABC中，∠ABC＝30°，BC＝12，在Rt△BHM中，BH＝2HM＝2a，BM＝3a，∵BM＋FM＝BC，∴3a＋a＝12，a＝63－6，BH＝2a＝123－12．如圖2中，當(dāng)⊥時(shí)，易證GH⊥，此時(shí)BH的值最小，易知BH＝＋KH＝33＋3，1111∴HH＝BH－BH＝93－15，11當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為60°時(shí)，F(xiàn)與H重合，此時(shí)的值最大，易知最大值BH＝63，22察看圖象可知，在∠CGF從0°到60°的變化過(guò)程中，點(diǎn)H相應(yīng)挪動(dòng)的路徑長(zhǎng)＝2HH＋HH＝183－30＋[63－（123－12）]＝123－18．12例3．如圖，折疊菱形紙片ABCD，使得AD的對(duì)應(yīng)邊A1D1過(guò)點(diǎn)C，EF為折痕，若∠B＝60°，當(dāng)A1E⊥ABBE時(shí)，AE的值等于（）33－13＋13－1A．6B．6C．8D．2解：如下圖，延伸AB，D1A1交于點(diǎn)G，AE⊥AB，∠EAC＝∠A＝120°，11∴∠G＝120°－90°＝30°，又∵∠ABC＝60°，∴∠BCG＝60°－30°＝30°，∴∠G＝∠BCG＝30°，BC＝BG＝BA，設(shè)BE＝1，AE＝x＝A1E，則AB＝1＋x＝BC＝BG，A1G＝2x，∴GE＝1＋x＋1＝x＋2，222∵Rt△A1GE中，A1E＋GE＝A1G，∴x2＋（x＋2）2＝（2x）2，解得x＝1＋3，（負(fù)值已舍去）∴AE＝1＋3，BE13－1，∴＝＝2AE1＋3選D．同類題型3.1如圖，正方形ABCD中，AD＝4，點(diǎn)E是對(duì)角線AC上一點(diǎn)，連結(jié)DE，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥ED，交AB于點(diǎn)F，連結(jié)DF，交AC于點(diǎn)G，將△EFG沿EF翻折，獲得△EFM，連結(jié)DM，交EF于點(diǎn)N，若點(diǎn)F是AB邊的中點(diǎn)，則△EMN的周長(zhǎng)是_____________．解：解法一：如圖1，過(guò)E作PQ⊥DC，交DC于P，交AB于Q，連結(jié)BE，DC∥AB，∴PQ⊥AB，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ACD＝45°，∴△PEC是等腰直角三角形，PE＝PC，設(shè)PC＝x，則PE＝x，PD＝4－x，EQ＝4－x，∴PD＝EQ，∵∠DPE＝∠EQF＝90°，∠PED＝∠EFQ，∴△DPE≌△EQF，∴DE＝EF，∵DE⊥EF，∴△DEF是等腰直角三角形，易證明△DEC≌△BEC，∴DE＝BE，∴EF＝BE，∵EQ⊥FB，1FQ＝BQ＝2BF，AB＝4，F(xiàn)是AB的中點(diǎn)，∴BF＝2，∴FQ＝BQ＝PE＝1，∴CE＝2，PD＝4－1＝3，Rt△DAF中，DF＝42＋22＝25，DE＝EF＝10，如圖2，∵DC∥AB，∴△DGC∽△FGA，CGDCDG4∴＝＝＝＝2，AGAFFG2CG＝2AG，DG＝2FG，125FG＝3×25＝3，∵AC＝42＋42＝42，282∴CG＝3×42＝3，8252EG＝3－2＝3，連結(jié)GM、GN，交EF于H，∵∠GFE＝45°，∴△GHF是等腰直角三角形，25∴＝＝3＝10，GHFH23∴＝－＝10－10＝210，EHEFFH3310由折疊得：GM⊥EF，MH＝GH＝3，∴∠EHM＝∠DEF＝90°，DE∥HM，∴△DEN∽△MNH，DEEN∴＝，MHNH10EN10＝NH＝3，3EN＝3NH，210∵EN＋NH═EH＝，3∴＝10，EN22101010∴NH＝EH－EN＝3－2＝6，2210210252Rt△GNH中，GN＝GH＋NH＝(3)＋(6)＝6，由折疊得：MN＝GN，EM＝EG，∴△EMN的周長(zhǎng)＝EN＋MN＋EM＝10525252＋10＋6＋＝2；23解法二：如圖3，過(guò)G作GK⊥AD于K，作GR⊥AB于R，AC均分∠DAB，∴GK＝GR，1∴S△ADG2AD﹒KGAD4＝＝＝＝2，S△AGF1AF22AF﹒GRS△ADG1﹒∵2DGh＝＝2，S△AGF12GF﹒hDGGF＝2，同理，S△DNFDFDN＝3，＝＝S△MNFFMMN其余解法同解法一，可得：∴△的周長(zhǎng)＝＋＋＝10＋52＋52＝52＋10；EMNENMNEM2632解法三：如圖4，過(guò)E作⊥，⊥，EPAPEQADAC是對(duì)角線，∴EP＝EQ，易證△DQE和△FPE全等，∴DE＝EF，DQ＝FP，且AP＝EP，設(shè)EP＝x，則DQ＝4－x＝FP＝x－2，解得x＝3，因此PF＝1，AE＝32＋32＝32，∵DC∥AB，∴△DGC∽△FGA，∴同解法一得：CG＝2×42＝82，338252∴EG＝3－2＝3，42AG＝3AC＝3，過(guò)G作GH⊥AB，過(guò)M作MK⊥AB，過(guò)M作ML⊥AD，則易證△GHF≌△FKM全等，42GH＝FK＝3，HF＝MK＝3，410210ML＝AK＝AF＋FK＝2＋3＝3，DL＝AD－MK＝4－3＝3，即DL＝LM，∴∠LDM＝45°∴DM在正方形對(duì)角線DB上，過(guò)N作NI⊥AB，則NI＝IB，設(shè)NI＝y(tǒng)，NI∥EPNIFI∴＝EPFP2－y∴＝，1解得y＝1.5，因此FI＝2－y＝0.5，I為FP的中點(diǎn)，N是EF的中點(diǎn)，EN＝0.5EF＝10，2∵△BIN是等腰直角三角形，且BI＝NI＝1.5，31022325∴BN＝22，BK＝AB－AK＝4－3＝3，BM＝32，MN＝BN－BM＝22－32＝62，∴△EMN的周長(zhǎng)＝EN＋MN＋EM＝10525252＋102＋6＋3＝2．同類題型3.2如圖，∠＝40°，點(diǎn)P是∠內(nèi)的定點(diǎn)，點(diǎn)、分別在，上挪動(dòng)，當(dāng)△周長(zhǎng)MONMONABOMONPAB最小時(shí)，則∠APB的度數(shù)為（）A．20°B．40°C．100°D．140°解：如下圖：分別作點(diǎn)P對(duì)于OM、ON的對(duì)稱點(diǎn)P′、P″，連結(jié)OP′、OP″、P′P″，P′P″交OM、ON于點(diǎn)A、B，連結(jié)PA、PB，此時(shí)△PAB周長(zhǎng)的最小值等于P′P″．如下圖：由軸對(duì)稱性質(zhì)可得，OP′＝OP″＝OP，∠P′OA＝∠POA，∠P″OB＝∠POB，因此∠P′OP″＝2∠MON＝2×40°＝80°，因此∠OP′P″＝∠OP″P′＝（180°－80°）÷2＝5