高等數(shù)學上63定積分在物理學上的應用課件

第三節(jié)一、變力沿直線所作的功二、液體的側(cè)壓力三、引力問題四、轉(zhuǎn)動慣量(補充)定積分在物理學上的應用

第六章一、變力沿直線所作的功設(shè)物體在連續(xù)變力

F(x)作用下沿x

軸從x＝a移動到力的方向與運動方向平行,求變力所做的功.在其上所作的功元素為因此變力F(x)在區(qū)間上所作的功為例1.一個單求電場力所作的功.解:當單位正電荷距離原點r

時,由庫侖定律電場力為則功的元素為所求功為說明:位正電荷沿直線從距離點電荷

a

處移動到b處(a<b),在一個帶+q電荷所產(chǎn)生的電場作用下,P288-1例3.試問要把桶中的水全部吸出需作多少功?解:

建立坐標系如圖.在任一小區(qū)間上的一薄層水的重力為這薄層水吸出桶外所作的功(功元素)為故所求功為(KJ

)設(shè)水的密度為(KN)一蓄滿水的圓柱形水桶高為5m,底圓半徑為3m,P289-3面積為A的平板二、液體側(cè)壓力設(shè)液體密度為深為h

處的壓強:當平板與水面平行時,當平板不與水面平行時,所受側(cè)壓力問題就需用積分解決.平板一側(cè)所受的壓力為小窄條上各點的壓強例4.

的液體,

求桶的一個端面所受的側(cè)壓力.解:

建立坐標系如圖.所論半圓的利用對稱性,側(cè)壓力元素端面所受側(cè)壓力為方程為一水平橫放的半徑為R

的圓桶,內(nèi)盛半桶密度為P290-4三、引力問題質(zhì)量分別為的質(zhì)點,相距r,二者間的引力:大小:方向:沿兩質(zhì)點的連線若考慮物體對質(zhì)點的引力,則需用積分解決.例5.設(shè)有一長度為l,線密度為的均勻細直棒,其中垂線上距a

單位處有一質(zhì)量為

m

的質(zhì)點

M,該棒對質(zhì)點的引力.解:

建立坐標系如圖.細棒上小段對質(zhì)點的引力大小為故垂直分力元素為在試計算P291-5利用對稱性由對稱性,棒對質(zhì)點引力的水平分力故棒對質(zhì)點的引力大小為棒對質(zhì)點的引力的垂直分力為引力大小為注意正負號3)當質(zhì)點位于棒的左端點垂線上時,內(nèi)容小結(jié)(1)先用微元分析法求出它的微分表達式dQ一般微元的幾何形狀有:扇、片、殼等.(2)然后用定積分來表示整體量

Q,并計算之.1.用定積分求一個分布在某區(qū)間上的整體量Q

的步驟:2.定積分的物理應用:變力作功,側(cè)壓力,引力,轉(zhuǎn)動慣量等.條、段、環(huán)、帶、(99考研)思考與練習提示:

作x軸如圖.1.為清除井底污泥,用纜繩將抓斗放入井底,泥后提出井口,纜繩每在提升過程中污泥以20N/s

的速度從抓斗縫隙中漏掉,現(xiàn)將抓起污泥的抓斗提升到井口,抓斗抓起的污泥重2000N,提升速度為3m/s,問克服重力需作多少焦耳(J)功?已知井深30m,抓斗自重400N,將抓起污泥的抓斗由抓起污x

提升dx

所作的功為

米重50N,2.設(shè)星形線上每一點處線密度的大小等于該點到原點距離的立方,提示:

如圖.在點O處有一單位質(zhì)點,求星形線在第一象限的弧段對這質(zhì)點的引力.同理故星形線在第一象限的弧段對該質(zhì)點的引力大小為作業(yè):

P2912,3,5,9,12銳角取多大時,薄板所受的壓力P

最大.備用題斜邊為定長的直角三角形薄板,垂直放置于解:

選取坐標系如圖.設(shè)斜邊長為l,水中,并使一直角邊與水面相齊,則其方程為問斜邊與水面交成的四、轉(zhuǎn)動慣量(補充)質(zhì)量為m

的質(zhì)點關(guān)于軸

l

的轉(zhuǎn)動慣量為的質(zhì)點系若考慮物體的轉(zhuǎn)動慣量,則需用積分解決.關(guān)于軸

l

的轉(zhuǎn)動慣量為例6.⑴

求圓盤對通過中心與其垂直的軸的轉(zhuǎn)動慣量;⑵

求圓盤對直徑所在軸的轉(zhuǎn)動慣量.解:

⑴建立坐標系如圖.設(shè)圓盤面密度為.小圓環(huán)質(zhì)量對應于的小圓環(huán)對軸l

的轉(zhuǎn)動慣量為故圓盤對軸l

的轉(zhuǎn)動慣量為設(shè)有一個半徑為R