圓板的應(yīng)力分析課件

第三章薄板理論及設(shè)計(jì)工程應(yīng)用平封頭：常壓容器、高壓容器；貯槽底板：可以是各種形狀；換熱器管板：薄管板、厚管板；板式塔塔盤(pán)：圓平板、帶加強(qiáng)筋的圓平板；反應(yīng)器觸媒床支承板等。引子

板類(lèi)結(jié)構(gòu)是工程中最常見(jiàn)的部件之一，通常承受兩種不同作用方式的外載，如圖所示。t(a)受縱向載荷的板(b)受橫向載荷的板

第一種載荷情況為彈性力學(xué)平面應(yīng)力問(wèn)題，第二種載荷情況為板的彎曲問(wèn)題，本節(jié)將討論第二種情況。當(dāng)兩種外載同時(shí)作用時(shí)，可通過(guò)疊加求解。板：厚度遠(yuǎn)小于其它兩個(gè)方向尺寸(圓板為其直徑)且中面為平面的物體。什么是板？？§3.1基本概念與假設(shè)變形特點(diǎn)：雙向彎曲，變形后中面常被彎成不可展曲面，存在翹曲，且其周長(zhǎng)也有所改變。因此，一般板中的內(nèi)力除彎矩、扭矩和剪力外還有薄膜力(沿中面的拉壓力)。

當(dāng)中面的wmax遠(yuǎn)小于板厚

t

時(shí)，通常稱(chēng)為板的小撓度問(wèn)題，此時(shí)板內(nèi)的薄膜力很小，可略去不計(jì)，認(rèn)為中面無(wú)伸縮；當(dāng)wmax與

t

為同一量級(jí)時(shí)，則為板的大撓度問(wèn)題，此時(shí)板內(nèi)的薄膜力較大，因而不能忽略。一般在工程要求的精度范圍內(nèi)，當(dāng)時(shí)，按小撓度問(wèn)題計(jì)；當(dāng)時(shí)，按大撓度問(wèn)題考慮。撓度：中面各點(diǎn)沿中面法線(xiàn)方向的位移，常用w表示。薄板與厚板：一般認(rèn)為當(dāng)板厚t小于其它最小尺寸的1/5時(shí)，屬于薄板；否則為厚板。對(duì)于薄板，在作出一些假設(shè)后，其分析可以簡(jiǎn)化且能給出滿(mǎn)意的結(jié)果。至于厚板，則須按三維問(wèn)題來(lái)分析，其求解過(guò)程較為復(fù)雜?；炯僭O(shè)：對(duì)于小撓度薄板，除假設(shè)材料是均勻連續(xù)和各向同性的外，還采用了以下與梁彎曲理論類(lèi)似的假設(shè)7彈性薄板的小撓度理論建立基本假設(shè)---克?；舴騅irchhoff②變形前位于中面法線(xiàn)上的各點(diǎn)，變形后仍位于彈性曲面的同一法線(xiàn)上，且法線(xiàn)上各點(diǎn)間的距離不變。類(lèi)同于梁的平面假設(shè):變形前原為平面的梁的橫截面變形后仍保持為平面，且仍然垂直于變形后的梁軸線(xiàn)。③平行于中面的各層材料互不擠壓，即板內(nèi)垂直于板面的正應(yīng)力較小，可忽略不計(jì)。①板彎曲時(shí)其中面保持中性，即板中面內(nèi)各點(diǎn)無(wú)伸縮和剪切變形，只有沿中面法線(xiàn)的撓度。只有橫向力載荷

本章主要討論圓形薄板(簡(jiǎn)稱(chēng)圓板)在軸對(duì)稱(chēng)橫向載荷作用下的小撓度彎曲問(wèn)題。以上各內(nèi)力的正向如圖2-28(b)所示，且它們都只是r的函數(shù)，而與z無(wú)關(guān)。另外，由于彎曲應(yīng)力不引起厚度的改變，因而中面同一法線(xiàn)上各點(diǎn)的撓度相等，位移w也就是中面的撓度。z(a)圖2-28各應(yīng)力沿板厚的分布與合成(b)z

于是，可將各應(yīng)力分量沿板厚合成為相應(yīng)的內(nèi)力?？煞謩e合成為彎矩，可合成為橫向剪力，它們之間的關(guān)系為(e)

設(shè)圓板承受軸對(duì)稱(chēng)橫向分布載荷

。通常薄板彎曲的平衡方程以?xún)?nèi)力表示，因此可沿坐標(biāo)(r，θ)截取中面上的微小面積作為微元體，其受力如圖2-26所示。圖中彎矩以雙箭頭表示，方向遵循右手螺旋法則?；?2-55)2.平衡方程0

rqz圖2-26圓板的微體受力

dr(2-56)

式(2-55、56)即為圓板軸對(duì)稱(chēng)彎曲問(wèn)題的平衡方程，含有

3個(gè)未知量，須考慮圓板彎曲后的變形關(guān)系。0

r圖2-26圓板的微體受力

0

rqz

drcccc或

由于，故圓板的物理方程為將(2-57)代入代入(e)板的抗彎剛度

(2-59)4.物理方程(2-58)(d)(e)比較由材力(2-60)(d)(2-59)易見(jiàn)：正應(yīng)力的最大值在板的上下表面，剪應(yīng)力的最大值在中面上。(2-60#)5.應(yīng)力計(jì)算(p50)圓板軸對(duì)稱(chēng)彎曲基本方程：(2-55)平衡方程：(2-56)物理方程：(2-59)4個(gè)方程，4個(gè)未知量。將(2-59)代入(2-56)，得

(2-61)

兩邊乘r后求導(dǎo)，再將(2-55)代入，可得(2-62)

式(2-61,62)即為圓板軸對(duì)稱(chēng)彎曲問(wèn)題的撓曲微分方程。圓板軸對(duì)稱(chēng)彎曲撓曲方程：6.撓曲微分方程

任意半徑r處的剪力由區(qū)域平衡可得：代入(2-61)積分得圖#1受均布載荷和彎矩的簡(jiǎn)支圓板MRt

qM1.受均布載荷和彎矩作用的圓板(見(jiàn)圖)MrQrQrMrrq得由于應(yīng)是有限量，故C2=0，于是(2-64)

(#1a)將和代入得聯(lián)解得于是邊界條件：MRt

qM(#1b)(#1c)代入得(#1a)(2-59)(2-60#)代入得均布載荷簡(jiǎn)支圓板(M=0)顯然，在板中心撓度和應(yīng)力最大

同樣，由式(#1)可得Rt

q圖2-29(a)(2-67)

(2-70)

(2-72)

(2-68)

(2-73)

均布載荷固支圓板圖2-29(b)Rt

q

可由邊界條件，借助于(#1)求得。將第一式代入得再將M代回(#1)，即得固支圓板的撓度、彎矩和應(yīng)力為(#1)(2-74)

(2-76)

(2-77)

顯然，最大撓度在板中心，其值為最大彎矩為徑向彎矩，發(fā)生在邊緣處(2-75)

相應(yīng)的最大應(yīng)力為(2-78)

圖2-29(b)Rt

q

板內(nèi)任意半徑r處的剪力Qr，由區(qū)域平衡可得：積分得2.受均布彎矩和剪力作用的環(huán)板于是式(2-61)成為(a)

為簡(jiǎn)化計(jì)算，上式可改寫(xiě)為圖#1受均布彎矩和剪力的環(huán)板Q1M1Rt

R1Q1M1rR1QrMr邊界條件：代入得將Q1M1Rt

R1及(a)

圖c的wc可由受均布彎矩和剪力的環(huán)板解答得出。將M1和Q1代入(#2)，并注意到符號(hào)相反，即R1Rq(a)Q1M1(b)q(c)Q1M1+=--Q1M1Rt

R1(#2)

則得于是(p58w表達(dá)式)

R1Rq(a)Q1M1(b)q(c)Q1M1+=在R1處，撓度最大，其值為式中：同理可求得最大彎矩和相應(yīng)的應(yīng)力。

應(yīng)用類(lèi)似的過(guò)程可以求解承受不同載荷和具有不同邊界條件的環(huán)板。圖2-2列舉了幾種典型環(huán)板的最大撓度和最大應(yīng)力()，可供設(shè)計(jì)計(jì)算參考。R/R11.52.03.04.05.0圖例k1k2k1k2k1k2k1k2k1k2(a)0.4140.9760.6641.4400.8241.8800.8302.0800.8132.190(b)0.4911.1900.9022.0401.2203.3401.3004.3001.3105.100(c)0.03130.3360.1250.7400.2911.2100.4171.4500.4921.590(d)0.00620.2730.03290.7100.1101.5400.1792.2300.2342.800(e)0.02490.4280.08770.7530.2091.2050.2931.5140.3501.745(f)0.00640.2200.02370.4050.0620.7030.0920.9330.1141.130圖2-2幾種典型環(huán)板的計(jì)算系數(shù)(a)(b)(c)(d)qR1

RqR1

RqR1

RPR1

RPR1

RqR1

R(e)(f)集中載荷：分布載荷：圖A不同受力形式的圓板圖B不同受力形式的環(huán)板§3.4帶有平蓋圓筒的邊緣分析圓筒在內(nèi)壓p，Q0和M0作用下連接處的平行圓增量與轉(zhuǎn)角由表2-1和式2-46為：平蓋可視為圖示力學(xué)模型。

在壓力p和M0-Q0t2/2作用下連接處的轉(zhuǎn)角，可由(#1a)式求得，過(guò)程如下：Q0Q0M0-Q0t2/2M0-Q0t2/2t2p(b)

式中：因在板下表面引起的平行圓半徑增量為：

其次，由引起的平行圓半徑增量可按以下推導(dǎo)得出：(#1a)D2M0-Q0t2/2(c)

(d)

(e)

(#1a)MRt

qM-pQ0Q0M0-Q0t2/2M0-Q0t2/2t2p代入變形協(xié)調(diào)方程，得：聯(lián)解即得Q0、M0，詳見(jiàn)教材式(2-87)。(b)

圓筒(c)

(d)

(e)

平蓋(g)

Q0、M0解得后，可由下式求得圓筒與平蓋中的總應(yīng)力。(2-88)

圓筒：平蓋：Q0Q0M0-Q0t2/2M0-Q0t2/2t2p薄膜應(yīng)力均布?jí)簯?yīng)力純彎曲均布載荷§3.5平蓋的工程設(shè)計(jì)根據(jù)強(qiáng)度條件，平蓋的計(jì)算厚度為：(2-107)式中K—結(jié)構(gòu)特征系數(shù)；

Dc—封頭的有效直徑，mm。

K和Dc與封頭-筒體的具體連接結(jié)構(gòu)有關(guān)，見(jiàn)表2-8。表2-8平蓋系數(shù)K選擇表表2-8平蓋系數(shù)