全等三角形學(xué)習(xí)

全等三角形學(xué)習(xí)第1頁/共94頁下列各組圖形的形狀與大小有什么特點(diǎn)？觀察第2頁/共94頁下列各組圖形的形狀與大小有什么特點(diǎn)？觀察第3頁/共94頁下列各組圖形的形狀與大小有什么特點(diǎn)？觀察第4頁/共94頁下列各組圖形的形狀與大小有什么特點(diǎn)？思考:他們能完全重合嗎?觀察第5頁/共94頁下列各組圖形的形狀與大小有什么特點(diǎn)？思考:他們能完全重合嗎?觀察第6頁/共94頁每組的兩個(gè)圖形有什么特點(diǎn)?完全重合觀察第7頁/共94頁

把一塊三角板按在紙上，畫下圖形，照?qǐng)D形剪下紙板。剪下的紙板與三角板大小、形狀完全相同嗎？他們能夠完全重合嗎？想一想第8頁/共94頁形狀、大小相同的圖形放在一起能夠完全重合。能夠完全重合的兩個(gè)圖形叫做全等形能夠完全重合的兩個(gè)三角形叫做全等三角形概念第9頁/共94頁第10頁/共94頁全等形包括規(guī)則圖形和不規(guī)則圖形全等第11頁/共94頁兩個(gè)圖形全等，它們的形狀一定相同，大小一定相等！形狀相同大小相同觀察下面三組圖形，它們是不是全等圖形？為什么？第12頁/共94頁形狀不同觀察第13頁/共94頁大小不同觀察第14頁/共94頁下列兩三角形是怎樣由一個(gè)三角形得到另一個(gè)三角形？它們有什么特點(diǎn)？思考BACNPMACBDE第15頁/共94頁下列兩三角形是怎樣由一個(gè)三角形得到另一個(gè)三角形？它們有什么特點(diǎn)？思考ABCDCBADE第16頁/共94頁下列兩三角形是怎樣由一個(gè)三角形得到另一個(gè)三角形？它們有什么特點(diǎn)？思考BDC

一個(gè)三角形經(jīng)過平移、旋轉(zhuǎn)、翻折后所得到的三角形與原三角形全等。第17頁/共94頁ABCEDF1、能夠完全重合的兩個(gè)三角形,叫全等三角形EDF2、把兩個(gè)三角形重合到一起．重合的頂點(diǎn)叫做對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)，重合的邊叫做對(duì)應(yīng)邊，重合的角叫做對(duì)應(yīng)角。全等三角形的概念對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)是點(diǎn)A和點(diǎn)D，點(diǎn)B和點(diǎn)E，點(diǎn)C和點(diǎn)F；對(duì)應(yīng)邊是AB和DE，AC和DF，BC和EF;對(duì)應(yīng)角是∠A和∠D，∠B和∠E,∠C和∠F第18頁/共94頁A

BCEDF“全等”用符號(hào)“≌”表示圖中的△ABC和△DEF全等，記作:△ABC≌△DEF讀作:△ABC全等于△DEF全等三角形的表示

你能否直接從記作?ABC≌?DEF中判斷出所有的對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)、對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角？第19頁/共94頁ABCDEF≌?≌!注意記兩個(gè)三角形全等時(shí)，通常把表示對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的字母寫在對(duì)應(yīng)的位置上。第20頁/共94頁SOTDCNMOAB兩個(gè)全等三角形的位置變化了，對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角的大小有沒有變化？由此你能得到什么結(jié)論？尋找各圖中兩個(gè)全等三角形的對(duì)應(yīng)元素。觀察與思考EADCBF第21頁/共94頁全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等.

如圖：∵△ABC≌△DFE∴AB=DF,BC=FE,AC=DE幾何語言：∵△ABC≌△DFE∴∠A=∠D,∠B=∠F,∠C=∠EDEFABC圖形語言：全等三角形的性質(zhì)第22頁/共94頁例題講解，掌握新知如圖,△ABC≌△DCB，指出所有的對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角。ODCBA解：∵△ABC≌△DCB∴AB與DC，BC與CB，AC與BD是對(duì)應(yīng)邊∠A與∠D，∠ABC與∠DCB，∠ACB與∠DBC是對(duì)應(yīng)角第23頁/共94頁例題講解，掌握新知ODCBA圖中△ABO≌△DCO，試寫出這兩個(gè)三角形中相等的邊和相等的角。解：∵△ABO≌△DCO∴AB=DC，BO=CO，AO=DO∠A=∠D，∠ABO=∠DCO，∠AOB=∠DOC第24頁/共94頁ABCDEF∵△ACB≌△DEF∴AB=DF,CB=EF,AC=DE.∴∠A=∠D,∠CBA=∠F,∠C=∠DEF.

先寫出全等式，再指出它們的對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角探究交流第25頁/共94頁ABCD∵△ABC≌△ABD∴AB=AB,BC=BD,AC=AD.∴∠BAC=∠BAD,∠ABC=∠ABD∠C=∠D.規(guī)律一：有公共邊的，公共邊是對(duì)應(yīng)邊

先寫出全等式，再指出它們的對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角探究交流第26頁/共94頁ACDB∵△AOC≌△BOD∴AO=BO,AC=BD,OC=OD.∴∠A=∠B,∠C=∠D,∠AOC=∠BOD.規(guī)律二：有對(duì)頂角的，對(duì)頂角是對(duì)應(yīng)角o

先寫出全等式，再指出它們的對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角探究交流第27頁/共94頁ABCDE∵△ABC≌△ADE∴AB=AD,AC=AE,BC=DE∴∠A=∠A,∠B=∠D,∠ACB=∠AED.規(guī)律三：有公共角的，公共角是對(duì)應(yīng)角先寫出全等式，再指出它們的對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角探究交流第28頁/共94頁

先寫出全等式，再指出它們的對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角∵△ABC≌△FDE∴AB=FD,AC=FE,BC=DE∴∠A=∠F,∠B=∠D,∠ACB=∠FED.規(guī)律五：一對(duì)最大的角是對(duì)應(yīng)角一對(duì)最小的角是對(duì)應(yīng)角ABCFDE規(guī)律四：一對(duì)最長(zhǎng)的邊是對(duì)應(yīng)邊一對(duì)最短的邊是對(duì)應(yīng)邊探究交流第29頁/共94頁3.有公共角的，公共角一定是對(duì)應(yīng)角。4.對(duì)應(yīng)角所對(duì)的邊是對(duì)應(yīng)邊，對(duì)應(yīng)邊所對(duì)的角是對(duì)應(yīng)角．5.在兩個(gè)全等三角形中最長(zhǎng)邊對(duì)最長(zhǎng)邊，最短邊對(duì)最短邊，最大角對(duì)最大角，最小角對(duì)最小角。1.有公共邊的，公共邊一定是對(duì)應(yīng)邊。2.有對(duì)頂角的，對(duì)頂角一定是對(duì)應(yīng)角。規(guī)律第30頁/共94頁找出下列全等三角形的對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角ABCD△ABD≌△CBD課堂練習(xí)第31頁/共94頁找出下列全等三角形的對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角ABCDO△AOD≌△COD課堂練習(xí)第32頁/共94頁找出下列全等三角形的對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角ABDCE△ABC≌△ADE課堂練習(xí)第33頁/共94頁找出下列全等三角形的對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角△ADE≌△CBFBFCDAE課堂練習(xí)第34頁/共94頁找出下列全等三角形的對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角ABMNC△ABN≌△ACM△ABM≌△ACN課堂練習(xí)第35頁/共94頁找出下列全等三角形的對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角ABCD△AOB≌△DOC△ABC≌△DCBO課堂練習(xí)第36頁/共94頁如圖,△ABD≌△EBCDABCE2、如果AB=3cm,BC=5cm,求BE、BD的長(zhǎng).

∴BE=3cm,BD=5cm解：∵△ABD≌△EBC∴AB=EB，BC=BD∵AB=3cm,BC=5cm1、請(qǐng)找出對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角。

AB與EB、BCBD、ADEC，∠A∠BEC、∠D∠C、∠ABD∠EBC課堂練習(xí)第37頁/共94頁如圖,△EFG≌△NMH2、如果EF=2.1cm,EH=1.1cm,HN=3.3cm,求NM、HG的長(zhǎng).∴HG=EG-HG=3.3-1.1=2.2解：∵△EFG≌△NMH∴NM=EF=2.1,EG=HN=3.31、請(qǐng)找出對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角。

NMFGEH課堂練習(xí)第38頁/共94頁△ABD≌△ACE，若∠ADB=100°，∠B=30°，說出△ACE中各角的大?。緼BCDE解：∵△ABD≌△ACE，

∴∠AEC=∠ADB=1000，

∠C=∠B=300，又∵∠A+∠AEC+∠C=180°∴∠A=1800-∠AEC-∠C=1800-1000-300=500課堂練習(xí)第39頁/共94頁如圖,已知△AOC≌△BOD求證：AC∥BD能力提高第40頁/共94頁

把四邊形ABCD紙片沿EF折疊使點(diǎn)C落在四邊形ABCD內(nèi)部，如圖,則∠C與∠1+∠2之間的一種數(shù)量關(guān)系始終保持不變，這個(gè)規(guī)律是()∠C=∠1+∠22∠C=∠1+∠23∠C=∠1+∠23∠C=2(∠1+∠2)ABCD12EFC′B能力提高第41頁/共94頁互相重合的角叫做＿＿＿互相重合的邊叫做＿＿＿＿

其中：互相重合的頂點(diǎn)叫做＿＿＿2.

叫全等三角形。1.能夠重合的兩個(gè)圖形叫做

。全等形4.全等三角形的

和

相等對(duì)應(yīng)邊對(duì)應(yīng)角對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)課堂小結(jié)

能夠完全重合的兩個(gè)三角形3.“全等”用符號(hào)“

”來表示，讀作“

”對(duì)應(yīng)邊對(duì)應(yīng)角5.書寫全等式時(shí)要求把對(duì)應(yīng)字母放在對(duì)應(yīng)的位置上全等于≌第42頁/共94頁再見學(xué)習(xí)幾何的關(guān)鍵是要開動(dòng)腦筋第43頁/共94頁12.1全等三角形的判定

第十二章全等三角形人民教育出版社義務(wù)教育教科書八年級(jí)數(shù)學(xué)（上冊(cè)）第44頁/共94頁全等三角形的性質(zhì)是？全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等反過來成立嗎？第45頁/共94頁第46頁/共94頁本節(jié)就來討論這個(gè)問題先任意畫出一個(gè)△ABC，再畫一個(gè)△A’B’C’，使△ABC與△A’B’C’滿足上六個(gè)條件中的一個(gè)或兩個(gè)。你畫出的△A’B’C’與△ABC一定全等嗎？?jī)蓚€(gè)直角三角形，有一個(gè)角相等，它們?nèi)葐?？探?第47頁/共94頁有一條邊相等的兩個(gè)三角形全等嗎？一邊、一角相等的兩個(gè)三角形全等嗎？第48頁/共94頁通過畫圖我們可以發(fā)現(xiàn)，滿足上述六個(gè)條件中的一個(gè)或兩個(gè)，△ABC與△A’B’C’不一定全等。滿足三個(gè)條件呢？能保證他們?nèi)葐?？我們來分情況討論。先任意畫一個(gè)△ABC再畫一個(gè)△A’B’C’，使A’B’=AB，B’C’=BC，C’A’=CA。把畫好的△A’B’C’剪下，放到△ABC上，它們?nèi)葐?？探?第49頁/共94頁畫一個(gè)△A’B’C’，使A’B’=AB，A’C’=AC，B’C’=BC；1、畫線段B’C’=BC；2、分別以B’、C’為圓心，線段AB，AC為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)A’；3、連接線段A’B’，A’C’；CAA’BC’B’第50頁/共94頁

探究2反應(yīng)了什么規(guī)律？三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等(可簡(jiǎn)寫成SSS)你能寫出它的符號(hào)語言嗎？第51頁/共94頁

在△ABC與△A’B’C’中，∵AB=A’B’，BC=B’C’，AC=A’C’∴△ABC≌△A’B’C’CAA’BC’B’符號(hào)語言第52頁/共94頁我們?cè)?jīng)作過這樣的實(shí)驗(yàn)，將三根木條釘成一個(gè)三角形木架，這個(gè)三角形木架的形狀、大小就不變了。就是說三角形的形狀大小也就確定了，這里用到的就是上面的結(jié)論。用上面的結(jié)論可以判斷兩個(gè)三角形全等，判斷兩個(gè)三角形全等的過程，叫做證明三角形全等。第53頁/共94頁例1如圖，△ABC是一個(gè)鋼架，AB=AC，AD是連接點(diǎn)A與BC中點(diǎn)D的支架。求證△ABC≌△ACDCABD第54頁/共94頁分析：要證△ABC≌△ACD，可以看這兩個(gè)三角形三邊是否_______它們相等嗎？相等CABD第55頁/共94頁CABD證明：∵D是BC的中點(diǎn)，∴BD=CD﹛AB=AC，在△ABD與△ACD中BD=CD，AD=AD，∴△ABD≌△ACD(SSS）(公共邊)(已證)(已知)第56頁/共94頁你學(xué)會(huì)了嗎？從例1可以看出，證明是由題設(shè)(已知)出發(fā)，經(jīng)過一步步推理，最后推出結(jié)論(求證)正確的過程。第57頁/共94頁已知AC=FE，BC=DE，點(diǎn)A、D、B、F在一條直線上，AD=FB。要用“邊邊邊”證明△ABD≌△FDE，除了已知中的AC=FE，BC=DE以還應(yīng)該有什么條件？怎樣才能得到這個(gè)條件？ABCDEF第58頁/共94頁工人師傅常用角尺平分一個(gè)任意角。做法如下：如圖，∠AOB是一個(gè)任意角，在邊OA、OB上分別取OM=ON，移動(dòng)角尺，使角尺兩邊相同的刻度分別與M，N重合，過角尺頂點(diǎn)C的射線OC便是∠AOB的平分線。為什么？練習(xí)第59頁/共94頁先任意畫一個(gè)△ABC，再畫一個(gè)△A’B’C’，使A’B’=AB，∠A’=∠A，AC=A’C’，(即使有兩邊和它們的夾角對(duì)應(yīng)相等)，把畫好的△A’B’C’

剪下，放到△ABC上，它們?nèi)葐?？探?第60頁/共94頁CAA’BC’B’畫一個(gè)△A’B’C’，使A’B’=AB，A’C’=AC，∠A’=∠A；1、畫∠DA’E=∠A；2、在射線A’D上截取A’B’=AB，在射線A’E上截取A’C’=AC；3、連接線段B’C’；第61頁/共94頁

探究3反應(yīng)了什么規(guī)律？?jī)蛇吅退鼈兊膴A角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等(可簡(jiǎn)寫成SAS)你能寫出它的符號(hào)語言嗎？第62頁/共94頁CAA’BC’B’符號(hào)語言

在△ABC與△A’B’C’中，∵AB=A’B’，AC=A’C’，∠A’=∠A∴△ABC≌△A’B’C’第63頁/共94頁例2如圖有一池塘，要測(cè)池塘兩端A、B的距離，可先在平地上取一個(gè)可以直接到達(dá)A和B的點(diǎn)C，連接AC并延長(zhǎng)到D,使CA=CD；連接BC并延長(zhǎng)到E，使CE=CB，連接DE，量出DE的長(zhǎng)就是A、B的距離，為什么？第64頁/共94頁分析：如果能證明△ABC≌△DEC，就可以得到AB____DE=在△ABC與△DEC中，CA=CD，CB=CE，∠1=∠2△ABC≌△DEC還差一個(gè)條件是：_________________第65頁/共94頁證明：﹛CA=CD，在△ABC與△DEF中∠1=∠2，CB=CE，∴△ABC≌△DEF(SAS）(已知)(對(duì)頂角相等)(已知)第66頁/共94頁你學(xué)到了什么？從例2可以看出，因?yàn)槿热切蔚膶?duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等，所以證明分別屬于兩個(gè)三角形的線段相等或者角相等的問題，常通過證明這兩個(gè)三角形全等來解決。第67頁/共94頁探究4我們知道，兩邊和它們的夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等。由“兩邊及其中一邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等”的條件能判定兩個(gè)三角形全等嗎？為什么？第68頁/共94頁可以通過畫圖來回答，還可以通過實(shí)驗(yàn)來回答把一長(zhǎng)一短的兩根細(xì)木棍的一端用螺釘鉸合在一起，使長(zhǎng)木棍的另一端與射線BC的端點(diǎn)B重合，適當(dāng)調(diào)整好長(zhǎng)木棍與射線BC所成的角后，固定住長(zhǎng)木棍，把短木棍擺起來動(dòng)動(dòng)手第69頁/共94頁練習(xí)1、如圖，兩車從路段AB的一端A出發(fā)，分別向東，向西行進(jìn)相同的距離，到達(dá)C、D兩地，此時(shí)C、D到B的距離相等嗎？為什么？ADCB第70頁/共94頁2、如圖，點(diǎn)E、F在BC上，BE=CF，AB=DC，∠B=∠C，求證：∠A=∠DADCBFE第71頁/共94頁探究5先任意畫一個(gè)△ABC，再畫一個(gè)△A’B’C’，使A’B’=AB，∠A’=∠A，∠B’=∠B，(即兩角和它們的夾邊對(duì)應(yīng)相等)，把畫好的△A’B’C’

剪下，放到△ABC上，它們?nèi)葐幔康?2頁/共94頁畫一個(gè)△A’B’C’，使A’B’=AB，∠A’=∠A,∠B’=∠B；1、畫A’B’=AB；2、在A’B’同旁畫∠DA’B’=∠A，∠EB’A’=∠B，A’D，B’E交于點(diǎn)C’；ABCA’B’C’E’D’第73頁/共94頁兩角和它們的夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等(可簡(jiǎn)寫成ASA)你能寫出它的符號(hào)語言嗎？CAA’BC’B’

在△ABC與△A’B’C’中，∵∠A’=∠A，AB=A’B’，∠B’=∠B，∴△ABC≌△A’B’C’第74頁/共94頁探究6

在△ABC與△DEF中，∠A=∠D，∠B=∠E，

BC=EF，△ABC與△DEF全等嗎？能利用角邊角的條件證明你的結(jié)論嗎？CADBFE第75頁/共94頁兩個(gè)角和其中一個(gè)角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等(可簡(jiǎn)寫成AAS)CAA’BC’B’

在△ABC與△A’B’C’中，∵∠A’=∠A，∠B’=∠B，BC=B’C’，∴△ABC≌△A’B’C’第76頁/共94頁例3如圖，D在AB上，E在AC上，AB=AC，∠B=∠C，求證AD=AEABCDE第77頁/共94頁ABCDE分析：如果能證明△ABE_____△ACD，就可以得到AB____DE≌=﹛AB=AC，在△ABE與△ACD中∠B=∠C，∠A=∠A，∴△ABE≌△ACD(ASA）(已知)()(已知)證明：公共角∴AD=AE()全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等第78頁/共94頁探究7三角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等嗎？現(xiàn)在我們學(xué)了哪些判定全等的方法？第79頁/共94頁判定兩個(gè)三角形全等的方法1、SSS：三邊對(duì)應(yīng)相等2、SAS兩邊及夾角對(duì)應(yīng)相等3、ASA兩角夾邊對(duì)應(yīng)相等4、AAS兩角及一角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等第80頁/共94頁1、如圖，要測(cè)量河兩岸相對(duì)兩點(diǎn)A，B兩點(diǎn)的距離，可以在AB的垂線BF上取兩點(diǎn)C，D，使BC=CD，再定出BF的垂線DE，使A，C，E在一條直線上，這時(shí)測(cè)得DE的長(zhǎng)就是AB的長(zhǎng)，為什么？ABCDEF第81頁/共94頁2、如圖，AB⊥BC，AD⊥DC，∠1=∠2，求證AB=AD12ABCD分析：如果能證明△ABC_____△ACD，就可以得到AB____AD≌=第82頁/共94頁對(duì)于兩個(gè)直角三角形，除了直角相等的條件外，還要滿足幾個(gè)條件，這兩個(gè)直角三角形就全等了？討論ABCDEF第83頁/共94頁由三角形全等的條件判斷，對(duì)于兩個(gè)直角三角形，滿足一邊一銳角對(duì)應(yīng)相等，或兩直角邊對(duì)應(yīng)相等，這兩個(gè)直角三角形全等嗎？如果滿足斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等，這兩個(gè)直角三角形全等嗎？第84頁/共94頁探究８先任意畫一個(gè)ＲＴ△ABC，使∠Ｃ＝９０°，再畫一個(gè)ＲＴ△A’B’