課線代件另一ch7線性空間

線性空間是線性代數(shù)最基本的概念之一，也是一線性空間是為了解決實(shí)際問(wèn)題而引入的，它是某一、線性空間的概念個(gè)抽象的概念，它是向量空間概念的推廣．它在理Ch7線性空間論上具有高度的概括性.一類事物從量的方面的一個(gè)抽象，即把實(shí)際問(wèn)題看作向量空間，進(jìn)而通過(guò)研究向量空間來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題．定義設(shè)V是一個(gè)非空集合，R為實(shí)數(shù)域.在V的元素間定義加法運(yùn)算，在實(shí)數(shù)和V的元素間定義數(shù)乘運(yùn)算.若集合V對(duì)這兩種運(yùn)算封閉，且兩種運(yùn)算滿足以下八條運(yùn)算規(guī)律，那么V

就稱為數(shù)域R上的線性空間．設(shè)對(duì)對(duì)負(fù)說(shuō)明

線性運(yùn)算．

1．凡滿足以上八條規(guī)律的加法及數(shù)乘運(yùn)算，稱為

2．若線性空間V中的元素是向量，則V即為第四章一定是通常意義的向量，可以是任何數(shù)學(xué)對(duì)象.中的向量空間．但一般的線性空間中的元素不約定：今后不論線性空間中元素是何形式，一律稱為向量，這時(shí)線性空間也可稱為向量空間.線性空間的判定方法(1)一個(gè)集合，如果定義的加法和數(shù)乘運(yùn)算是通常的實(shí)是一個(gè)線性空間【例1】實(shí)數(shù)域上的全體矩陣，對(duì)矩陣的加法和數(shù)乘運(yùn)算構(gòu)成實(shí)數(shù)域上的線性空間，記作數(shù)或矩陣間的加乘運(yùn)算，則只需檢驗(yàn)對(duì)運(yùn)算的封閉性【例2】次數(shù)不超過(guò)n的多項(xiàng)式的全體，記作，對(duì)于通常的多項(xiàng)式加法、數(shù)乘多項(xiàng)式的乘法構(gòu)成向即量空間.【解】通常的多項(xiàng)式加法、數(shù)乘多項(xiàng)式的乘法兩種運(yùn)算是線性運(yùn)算，且構(gòu)成線性空間.【例3】n次多項(xiàng)式的全體，對(duì)于通常的多項(xiàng)式加法和數(shù)乘運(yùn)算不構(gòu)成向量空間對(duì)運(yùn)算不封閉.加法與數(shù)和函數(shù)的數(shù)乘，構(gòu)成實(shí)數(shù)域上的線性空間．一般地在區(qū)間上全體實(shí)連續(xù)函數(shù)，對(duì)函數(shù)的【例4】正實(shí)數(shù)的全體，記作，在其中定義加法及乘數(shù)運(yùn)算為驗(yàn)證對(duì)上述加法與乘數(shù)運(yùn)算構(gòu)成線性空間．(2)一個(gè)集合，如果定義的加法和數(shù)乘運(yùn)算不是通常的實(shí)數(shù)間的加乘運(yùn)算，則必需檢驗(yàn)是否滿足八條線性運(yùn)算規(guī)律．【證明】所以對(duì)定義的加法與乘數(shù)運(yùn)算封閉．下面一一驗(yàn)證八條線性運(yùn)算規(guī)律：對(duì)負(fù)所以對(duì)所定義的運(yùn)算構(gòu)成線性空間．不構(gòu)成線性空間．對(duì)于通常的有序數(shù)組的加法及如下定義的乘法【例5】個(gè)有序?qū)崝?shù)組成的數(shù)組的全體對(duì)運(yùn)算封閉.不滿足第五條運(yùn)算規(guī)律線性空間.由于所定義的運(yùn)算不是線性運(yùn)算，所以不是定義設(shè)V是一個(gè)線性空間，L是V的一個(gè)非空子定理線性空間V的非空子集L

構(gòu)成子空間的充要L也構(gòu)成一個(gè)線性空間，則稱L為V的子空間．集，如果對(duì)于V

中所定義的加法和數(shù)乘兩種運(yùn)算條件是：L對(duì)于V中的線性運(yùn)算封閉．子空間：【解】(1)不構(gòu)成子空間.因?yàn)閷?duì)【例6】有的下列子集是否構(gòu)成子空間？為什么？有于是對(duì)任意滿足間.二、線性空間的基與維數(shù)已知：在中，線性無(wú)關(guān)的向量組最多由n個(gè)向量組成，而任意n+1個(gè)向量都是線性相關(guān)的．

問(wèn)題：線性空間的一個(gè)重要特征——在線性空間V中，最多能有多少線性無(wú)關(guān)的向量？則稱為線性空間V的一個(gè)基，

定義

在線性空間V

中,如果存在n個(gè)元素滿足:(1)線性無(wú)關(guān)；(2)V中任一元素都可由線性表示．即存在數(shù)，使稱為在這個(gè)基下的坐標(biāo)．有序數(shù)組記作n稱為V的維數(shù)，并稱V為n維線性空間．記作

當(dāng)一個(gè)線性空間V

中存在任意多個(gè)線性無(wú)關(guān)的元例如，所有實(shí)系數(shù)的x的多項(xiàng)式的全體對(duì)多項(xiàng)式加法及數(shù)與多項(xiàng)式乘法構(gòu)成線性空間.素時(shí)，就稱V

是無(wú)限維的．是其一個(gè)基.我們只討論有限維線性空間.線性空間的構(gòu)造：其中是的一個(gè)基.【例7】在線性空間中，是它的一個(gè)基.任一不超過(guò)4次的多項(xiàng)式可表示為因此p(x)在這個(gè)基下的坐標(biāo)為若取另一組基則因此p(x)在基下的坐標(biāo)為注意:線性空間V的任一元素在不同的基下所對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)一般不同，一個(gè)元素在一個(gè)基下對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)是唯一的．【例8】所有二階實(shí)矩陣組成的集合V，對(duì)于矩陣的加法和數(shù)乘，構(gòu)成實(shí)數(shù)域

R上的一個(gè)線性空間.對(duì)于V中的矩陣線性無(wú)關(guān)而矩陣A在這組基下的坐標(biāo)為是V的一組基，同一個(gè)向量在不同的基下的坐標(biāo)有什么關(guān)系呢？在n維線性空間V中，任意n個(gè)線性無(wú)關(guān)的向量都可以作為V的一組基.對(duì)于不同的基，同一個(gè)向量的坐標(biāo)是不同的．問(wèn)題：換句話說(shuō)，隨著基的改變，向量的坐標(biāo)如何改變呢？稱此公式為基變換公式．三、基變換與坐標(biāo)變換設(shè)和是線性空間的兩組基，且

記則基變換公式可寫成矩陣P稱為由基到基的過(guò)渡矩陣．P必可逆.若坐標(biāo)為則有基變換公式為由元素在基下坐標(biāo)唯一得坐標(biāo)變換公式：【