流體力學(xué)勢流理論上

流體力學(xué)第5章勢流理論

(Chapter5.

PotentialFlowTheory)

本章內(nèi)容：

研究不可壓理想流體無旋運動流場的速度分布、壓力分布及作用于物體上的力。Background：Aviation,ship&oceaneng.waterwaves.當(dāng)前1頁，總共55頁。5.1勢流問題的基本方程和邊界條件Laplace方程是線性方程。要使解唯一，需給出邊界條件、初始條件。5.1.1基本方程——LaplaceEquition

（influid）

勢流問題的數(shù)學(xué)描述——MathematicalModel當(dāng)前2頁，總共55頁。5.1.2邊界條件(BoundaryCondition)——速度勢在流體域邊界面上滿足的條件—物面運動速度—流體質(zhì)點的速度—物面的單位外法向量

1)物面邊界條件：物面不可穿透（onS）

S：

當(dāng)前3頁，總共55頁。若物面運動：對求全（物質(zhì)）導(dǎo)數(shù)若物面靜止不動：，則物面邊界條件簡化為

（onS

）

（onS）

5.1.1基本方程——LaplaceEquition當(dāng)前4頁，總共55頁。（1）大地坐標(biāo)系：

2)無窮遠(yuǎn)邊界條件

5.1.3初始條件（initialcondition)

初始時刻速度勢(或)在流體域內(nèi)或邊界上滿足的條件。（2）隨體坐標(biāo)系：若物體以V0運動，則問題轉(zhuǎn)化為物體不動，而流體從無窮遠(yuǎn)處以-V0

流來——繞流問題。當(dāng)前5頁，總共55頁。例5-1半徑為R的固定大球殼中充滿不可壓縮理想流體，半徑為a

的小球以速度V(t)在其中運動。試建立速度勢定解問題。yx0

zoＶ(t)

x解

:

取靜坐標(biāo)系o-xyz（在流體中）

外邊界條件：大球面方程為，得內(nèi)邊界條件：小球表面方程為當(dāng)前6頁，總共55頁。5.1.4勢流問題的求解方法解析解：簡單邊界問題。奇點疊加法；保角變換法（平面流）。數(shù)值解：復(fù)雜邊界問題。

CFD

—ComputationalFluidDynamics尋求速度勢滿足邊界條件和初始條件的Laplace方程的解。（onS）

（influid）

定解問題：當(dāng)前7頁，總共55頁。

5.2復(fù)勢（complexpotential）1)復(fù)勢函數(shù)：解析函數(shù)平面勢流5.2.1復(fù)勢與復(fù)速度（復(fù)平面）(C-R

條件)平面勢流:φ和ψ都是調(diào)和函數(shù)，，且滿足2)復(fù)速度（導(dǎo)數(shù)）與流體速度的關(guān)系：

借助復(fù)變函數(shù)數(shù)學(xué)工具解平面勢流問題。當(dāng)前8頁，總共55頁。4)5.2.1復(fù)勢與復(fù)速度（復(fù)平面）3)復(fù)速度的環(huán)路積分與速度環(huán)量和流量的關(guān)系：當(dāng)前9頁，總共55頁。解析函數(shù)的線性組合仍然是解析函數(shù)，仍然代表某一種流動的復(fù)勢。簡單流動組合成復(fù)雜流動——疊加法

5.2.1復(fù)勢的可疊加性當(dāng)前10頁，總共55頁。5.3平面勢流的基本解目的：求解最簡單的流動，為解決復(fù)雜勢流奠定基礎(chǔ)。內(nèi)容：均勻流、點源、點渦、偶極。方法：利用已知流動的特征，“湊”。mM當(dāng)前11頁，總共55頁。5.3.1均勻流(uniformstream)

=0

時：

≠

0

時：

xa

平板yV0o當(dāng)前12頁，總共55頁。5.3.2平面點源、點匯(sourceandsink)源強(qiáng)：源點注入流場的體積流量m。點源，點匯。點源位于（0，0）：

x

yψ=constφ=const

r當(dāng)前13頁，總共55頁。點源位于（x0，y0）：5.3.2平面點源、點匯(sourceandsink)當(dāng)前14頁，總共55頁。5.3.3平面偶極(dipole)偶極強(qiáng)度：設(shè)強(qiáng)度為m的源和匯相距

這對源匯構(gòu)成一新的奇點為偶極，方向由匯指向源。偶極既有大小，又有方向。+m-m位于(x0，y0），沿-x軸方向：點源，點匯當(dāng)前15頁，總共55頁。5.3.3平面偶極(dipole)位于（0，0）偶極：

當(dāng)前16頁，總共55頁。位于（0，0）偶極：

當(dāng)前17頁，總共55頁。5.3.4平面點渦(vortex)

Γ順時針方向，若逆時針，上式加負(fù)號。位于（0，0）點渦：

不難驗證，上述基本解滿足Laplace方程和相應(yīng)的無窮遠(yuǎn)條件的。另外，在源、渦和偶極的位置上存在奇異性（奇點）?？梢姡c源（匯）、偶極以及點渦都是奇點，均勻流是一個特殊的奇點。當(dāng)前18頁，總共55頁。

作業(yè)5-4補(bǔ)充題:已知復(fù)勢為:試分析以上流動的組成,繪出流線圖.當(dāng)前19頁，總共55頁。1.由基本解構(gòu)造復(fù)雜流動的解——基本解（奇點）疊加法。2.基本解疊加代表何種物理流動？5.4平面勢流基本解的疊加5.4.1均勻流和點源的疊加+當(dāng)前20頁，總共55頁?；蝰v點位置5.4.1均勻流和點源的疊加流體速度：當(dāng)前21頁，總共55頁。5.4.1均勻流和點源的疊加過駐點(a,0)流線方程：

時，，流線Ⅰ在無窮遠(yuǎn)處的半寬為。均勻流和源疊加可模擬繞彈形物體的流動。調(diào)整源強(qiáng)m和速度V0，改變流線的形狀。xy當(dāng)前22頁，總共55頁。5.4.1均勻流和點源的疊加流場中壓力分布壓力系數(shù)當(dāng)前23頁，總共55頁。5.4.2均勻流和一對等強(qiáng)度源匯的疊加x方向均勻流+等強(qiáng)度源匯：源(-b,0）、匯(b,0）＋

＋

當(dāng)前24頁，總共55頁。5.4.2均勻流和一對等強(qiáng)度源匯的疊加＋

將流線替換成物面，該解模擬流體繞卵形體的外部流動。點源推開流線，點匯收回流線。駐點位置：

過駐點流線：

xyo當(dāng)前25頁，總共55頁。5.4.3沿軸正向均勻流與偶極的疊加偶極位于（0，0），方向沿-軸：

速度分布：

駐點：

過駐點的流線由、的x軸和半徑的圓組成。該解模擬流體繞圓柱的流動。

當(dāng)前26頁，總共55頁。5.4.4繞圓柱體無環(huán)量流動研究半徑為

a

的無限長圓柱體在理想流體中等速直線運動的解。(r>a)(r=a)(r∞)數(shù)學(xué)模型：取固結(jié)于圓柱上的柱坐標(biāo)系V0oyxra當(dāng)前27頁，總共55頁。5.4.4繞圓柱體無環(huán)量流動(1)速度勢——基本解疊加法（通解）：

物面條件定解：

復(fù)勢：

當(dāng)前28頁，總共55頁。5.4.4繞圓柱體無環(huán)量流動(2)速度分布柱面上（r=a）：當(dāng)前29頁，總共55頁。5.4.4繞圓柱體無環(huán)量流動(3)壓力分布（無窮遠(yuǎn)處V0，p0）得全流場壓力分布。柱面上（r=a）：

Pressurecoefficient當(dāng)前30頁，總共55頁。5.4.4繞圓柱體無環(huán)量流動阻力為零(ArchimedesParadox)圓柱體在理想流體中作等速直線運動時，受到流體作用的阻力等于零，原因：沒有考慮流體的粘性。NoliftNodrag(4)圓柱受力當(dāng)前31頁，總共55頁。5.4.5繞圓柱有環(huán)量流動

半徑為

a

的圓柱以V0作等速直線運動，轉(zhuǎn)動角速度。(r>a)(r=a)(r∞)數(shù)學(xué)模型V0Goyxra當(dāng)前32頁，總共55頁。5.4.5繞圓柱有環(huán)量流動

V0Goyxra(1)速度勢：

當(dāng)前33頁，總共55頁。5.4.5繞圓柱有環(huán)量流動

(2)速度分布柱面上（r=a）：

當(dāng)前34頁，總共55頁。5.4.5繞圓柱有環(huán)量流動

若＜1，柱面上有兩個駐點:和；若=1，柱面上只有一個駐點:；若＞1，柱面上無駐點:。環(huán)量對流場的影響：當(dāng)前35頁，總共55頁。5.4.5繞圓柱有環(huán)量流動

(4)圓柱受力

柱面上（r=a）：

Pressurecoefficient(3)壓力分布當(dāng)前36頁，總共55頁。5.4.5繞圓柱有環(huán)量流動

阻力：升力：升力的大?。旱扔诿芏?、流速V0、環(huán)量Γ0、和柱體長度的乘積。升力的方向：沿v0方向逆速度環(huán)量旋轉(zhuǎn)90°所對應(yīng)的方向。

V0

Г0L圖5.4.7L的方向o當(dāng)前37頁，總共55頁。圓柱：繞圓柱上下表面流動不對稱、環(huán)量（旋轉(zhuǎn)）、粘性。機(jī)翼：機(jī)翼周圍流場不對稱、環(huán)量（機(jī)翼幾何形狀、攻角）、粘性。升力產(chǎn)生的原因（Magnuseffect）：當(dāng)前38頁，總共55頁。作業(yè)5-15-25-35-5當(dāng)前39頁，總共55頁?；舅枷耄簩⑽锢砥矫嫔线吔缧螤顝?fù)雜的流動變換到輔助平面上邊界形狀簡單的流動，求得輔助平面內(nèi)的流動后，再返回到物理平面。z

平面:ζ平面：(1:1)5.5平面勢流的保角變換法（復(fù)變函數(shù)方法）5.5.1保角變換的概念及流動關(guān)系如果ζ=f(z)在定義域內(nèi)單葉解析、導(dǎo)數(shù)f‘(z)≠0，則該變換是保角變換。如果ζ=f(z)在邊界上連續(xù)，域內(nèi)處處解析，該變換將平面上的一個區(qū)域變換為ζ平面上的一個區(qū)域，而且保持邊界上對應(yīng)點的順序不變。（1）保角變換

當(dāng)前40頁，總共55頁。

保角變換將z平面上物體邊界變?yōu)棣破矫嫔线吔绲耐瑫r，對應(yīng)點上的流動也(1:1)對應(yīng)。（2）兩平面內(nèi)對應(yīng)的流動關(guān)系①對應(yīng)的復(fù)勢：兩平面對應(yīng)點上的復(fù)勢相等。等勢線變換成等勢線，流線變換成流線：當(dāng)前41頁，總共55頁。

無窮遠(yuǎn)處：

②對應(yīng)的速度關(guān)系：若m∞為實常數(shù)，ζ上遠(yuǎn)方速度較z

上放大m∞倍，方向不變；若m∞為復(fù)常數(shù)，遠(yuǎn)方速度大小、方向都改變。

③

對應(yīng)的速度環(huán)量和體積流量（保持不變）設(shè)z平面上閉曲線C變換為ζ平面上的閉曲線C‘，沿對應(yīng)封閉曲線C和C’的積分②對應(yīng)的速度：當(dāng)前42頁，總共55頁。z

x

o

yR

4

3

2

1ζξoηR

4

3

2

1b1b2圖5.5.1平移變換z平面的圖形變換到ζ平面時，形狀不變，位置平移了距離b。

5.5.2常用的幾種保角變換關(guān)系（1）平移變換：當(dāng)前43頁，總共55頁。（μ為實常數(shù)）zxo

y

R

4

3

2

1ζξoηR

4

3

2

1

μ圖5.5.2旋轉(zhuǎn)變換z平面上的圖形變到ζ上時，形狀不變，但繞原點旋轉(zhuǎn)了μ度。

（2）旋轉(zhuǎn)變換：當(dāng)前44頁，總共55頁。（A為實常數(shù)）

②圓變換為橢圓z上圓r≠Aζ上橢圓

：（3）儒可夫斯基變換：

①圓變換為直線z上圓r=Aζ上直線ζ＝±A：z

xoy

A

4

3

2

1A

4

3

2

1ζ

ξ

η當(dāng)前45頁，總共55頁。

（A為實常數(shù)）

③圓變換為翼型z上位于（x0,y0)的圓r≠A

ζ上翼型

Joukowski變換：

利用Joukowski變換可討論理想流體繞平板和翼型的流動。

當(dāng)前46頁，總共55頁。5.5.3理想流體繞平板的流動

工程應(yīng)用：近似估計船用舵、風(fēng)向標(biāo)、對稱機(jī)翼等流動。物理

平面輔助平面輔助平面物理平面ζ上平板繞流復(fù)雜，復(fù)勢W(ζ)=？求解思路：物理平面ζ上平板變換為輔助平面z1上的圓，相應(yīng)地平板繞流變換為圓柱繞流.流速V0、板寬2a

，流向與平板夾角α。當(dāng)前47頁，總共55頁。復(fù)勢：變換函數(shù)(Joukowskimapping)：來流速度：當(dāng)前48頁，總共55頁。平板(無環(huán)量)繞流復(fù)速度：理論上平板端點ζ=±a處繞流速度趨于無限大。事實上，流體在平板后緣平滑