第33屆全國中學(xué)生物理競賽復(fù)賽理論考試試題

第33屆全國中學(xué)生物理競賽復(fù)賽理論考試試題2016年9月17日說明：所有解答必須寫在答題紙上，寫在試題紙上無效。一、（20分）如圖，上、下兩個平凸透光柱面的半徑分別為&、R2,且兩柱面外切；其剖面（平面）分別平行于各自的軸線，且相互平行；各自過切點(diǎn)的母線相互垂直。取兩柱面切點(diǎn)O為直角坐標(biāo)系O-XYZ的原點(diǎn)，下側(cè)柱面過切點(diǎn)O的母線為X軸，上側(cè)柱面過切點(diǎn)O的母線為Y軸。一束在真空中波長為丸的可見光沿Z軸負(fù)方向傍軸入射，分別從上、下柱面反射回來的光線會發(fā)生干涉；借助于光學(xué)讀數(shù)顯微鏡，逆著Z軸方向，可觀測到原點(diǎn)附近上方柱面上的干涉條紋在X-Y平面的投影。R1和R2遠(yuǎn)大于傍軸光線干涉區(qū)域所對應(yīng)的兩柱面間最大間隙。空氣折射率為n0=1.00。試推導(dǎo)第k級亮紋在X-Y平面的投影的曲線方程。已知：a.在兩種均勻、各向同性的介質(zhì)的分界面兩側(cè)，折射率較大（小）的介質(zhì)為光密（疏）介質(zhì)；光線在光密（疏）介質(zhì)的表面反射時，反射波存在（不存在）半波損失。任何情形下，折射波不存在半波損失。伴隨半波損失將產(chǎn)生大小為n的相位突變。b.sinxx,二、（20分）某秋天清晨，氣溫為4.0℃,一加水員到實(shí)驗(yàn)園區(qū)給一內(nèi)徑為2.00m、高為2.00m的圓柱形不銹鋼蒸餾水罐加水。罐體導(dǎo)熱良好。罐外有一內(nèi)徑為4.00cm的透明圓柱形觀察柱，底部與罐相連（連接處很短），頂部與大氣相通，如圖所示。加完水后，加水員在水面上覆蓋一層輕質(zhì)防蒸發(fā)膜（不溶于水，與罐壁無摩擦），并密閉了罐頂?shù)募铀?。此時加水員通過觀察柱上的刻度看到罐內(nèi)水高為1.00m。⑴從清晨到中午，氣溫緩慢升至24.0℃,問此時觀察柱內(nèi)水位為多少？假設(shè)中間無人用水，水的蒸發(fā)及罐和觀察柱體積隨溫度的變化可忽略。（2）從密閉水罐后至中午，罐內(nèi)空氣對外做的功和吸收的熱量分別為多少？求這個過程中罐內(nèi)空氣的熱容量。已知罐外氣壓始終為標(biāo)準(zhǔn)大氣壓p0=1.01x105Pa,水在4.0℃時的密度為p0=1.00x103kg-m-3,水在溫度變化過程中的平均體積膨脹系數(shù)為新3.03X10-4K-1,重力加速度大小為g=9.80m.s-2,絕對零度為一273.15℃。

三、(20分)木星是太陽系內(nèi)質(zhì)量最大的行星(其質(zhì)量約為地球的318倍)。假設(shè)地球與木星均沿圓軌道繞太陽轉(zhuǎn)動，兩條軌道在同一平面內(nèi)。將太陽、地球和木星都視為質(zhì)點(diǎn)，忽略太陽系內(nèi)其它星體的引力；且地球和木星之間的引力在有太陽時可忽略。已知太陽和木星質(zhì)量分別為砥和mj，引力常量為G。地球和木星繞太陽運(yùn)行的軌道半徑分別是re和j假設(shè)在某個時刻：地球與太陽的連線和木星與太陽的連線之間的夾角為&這時若太陽質(zhì)量突然變?yōu)榱?，求⑴此時地球相對木星的速度大小、和地球不被木星引力俘獲所需要的最小速率%。(2)試討論此后地球是否會圍繞木星轉(zhuǎn)動，可利用⑴中結(jié)果和數(shù)據(jù)ms*2.0x1030kg、m『1.9x1027kg、木星公轉(zhuǎn)周期T.-12yo四、(20分)蹦極是年輕人喜愛的運(yùn)動。為研究蹦極過程，現(xiàn)將一長為L、質(zhì)量為m、當(dāng)僅受到繩本身重力時幾乎不可伸長的均勻彈性繩的一端系在橋沿b,繩的另一端系一質(zhì)量為M的小物塊(模擬蹦極者)；假設(shè)M比m大很多，以至于均勻彈性繩受到繩本身重力和蹦極者的重力向下拉時會顯著伸長，但仍在彈性限度內(nèi)。在蹦極者從靜止下落直至蹦極者到達(dá)最下端、但未向下拉緊繩之前的下落過程中，不考慮水平運(yùn)動和可能的能量損失。重力加速度大小為go(1)求蹦極者從靜止下落距離y(j<L)時的速度和加速度的大小,蹦極者在所考慮的下落過程中的速度和加速度大小的上限。(2)求蹦極者從靜止下落距離y(y<L)時，繩在其左端懸點(diǎn)b處張力的大小。

五、（20分）一種拉伸傳感器的示意圖如圖a所示：它由一半徑為r2的圓柱形塑料棒和在上面緊密纏繞N（N>>1）圈的一層細(xì)繩組成；繩柔軟絕緣，半徑為7外表面均勻涂有厚度為t（t<<r1<<r2）、電阻率為p的石墨烯材料;傳感器兩端加有環(huán)形電極（與繩保持良好接觸）。未拉伸時，纏繞的繩可視為N個橢圓環(huán)挨在一起放置;該橢圓環(huán)面與圓柱形塑料棒的橫截面之間的夾角為9（見圖a），相鄰兩圈繩之間的接觸電阻為Hc。現(xiàn)將整個傳感器沿塑料棒軸向朝兩端拉伸:繩間出現(xiàn)n個縫隙，每個縫隙中剛好有一整圈繩，這圈繩被自動調(diào)節(jié)成由一個未封閉圓環(huán)和兩段短直線段（與塑料棒軸線平行）串接而成（見圖b）。假設(shè)拉伸前后9、rrr2、p、t均不變。⑴求拉伸后傳感器的伸長率￡（￡是傳感器兩電極之間距離的伸長與其原長之比）和兩環(huán)形電極間電阻的變化率；（2）在傳感器兩環(huán)形電極間通入大小為I的電環(huán)形電極細(xì)繩流，求此傳感器在未拉伸及拉伸后，在塑料棒軸線上離塑料棒中點(diǎn)O距離為（遠(yuǎn)大于傳感器長度）的P點(diǎn)（圖中未畫出）處沿軸向的磁感應(yīng)強(qiáng)度。環(huán)形電極細(xì)繩己知：長半軸和短半軸的長度分別為。和b的橢圓的周長為九(3a^-b--7ab)，其中b￥0。圖b.拉伸后某縫隙普個倍增極六、（20分）光電倍增管是用來將光信號轉(zhuǎn)化為電信號并加以放大的裝置，其結(jié)構(gòu)如圖a所示：它主要由一個光陰極、n個倍增級和一個陽極構(gòu)成；光陰極與第1倍增級、各相鄰倍增級及第n倍增級與陽極之間均有電勢差K從光陰極逸出的電子稱為光電子，其中大部分（百分比n）被收集到第1倍增級上，余下的被直接收集到陽極上；每個被收集到第i倍增級（i=1,…，n）的電子在該電極上又使得3個電子（岳1）逸出；第i倍增級上逸出的電子有大部分（百分比。）被第i+1圖b.拉伸后某縫隙普個倍增極電荷量絕對值為e。⑴求光電倍增管放大一個光電子的平均能耗，已知布>1,n>>1;(2)為使盡可能多的電子從第，倍增級直接到達(dá)第注1倍增級而非陽極，早期的光電倍增管中，會施加垂直于電子運(yùn)行軌跡所在平面(紙面)的勻強(qiáng)磁場。設(shè)倍增級的長度為i且相鄰倍增級間的幾何位置如圖b所示，倍增級間電勢差引起的電場很小可忽略。所施加的勻強(qiáng)磁場應(yīng)取什么方向以及磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為多少時，才能使從第，倍增級垂直出射的能量為%的電子中直接打到第，+1倍增級的電子最多？磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為多少時，可以保證在第，+1倍增級上至少收集到一些從第，倍增級垂直出射的能量為E/勺電子？七、(20分)兩根質(zhì)量均勻分布的桿AB和BC，質(zhì)量均為m，長均為l，A端被光滑鉸接到一固定點(diǎn)(即AB桿可在豎直平面內(nèi)繞A點(diǎn)無摩擦轉(zhuǎn)動)。開始時C點(diǎn)有外力保持兩桿靜止，A、C在同一水平線AD上，A、B、C三點(diǎn)都在同一豎直平面內(nèi)，NABC=60°。某時刻撤去外力后兩桿始終在豎直平面內(nèi)運(yùn)動。(1)若兩桿在B點(diǎn)固結(jié)在一起，求(i)初始時兩桿的角加速度；(ii)當(dāng)AB桿運(yùn)動到與水平線AD的夾角為6時，AB桿繞A點(diǎn)轉(zhuǎn)動的角速度。(2)若兩桿在B點(diǎn)光滑鉸接在一起(即BC桿可在豎直平面內(nèi)繞B點(diǎn)無摩擦轉(zhuǎn)動)，求初始時兩桿的角加速度以及兩桿間的相互作用力。八、（20分）質(zhì)子是由更小的所謂“部分子”構(gòu)成的。歐洲大型強(qiáng)子對撞機(jī)（LHC）是高能質(zhì)子-質(zhì)子對撞機(jī)，質(zhì)子束內(nèi)單個質(zhì)子能量為E=7.0TeV（1TeV=103GeV=10i2eV）,兩束能量相同的質(zhì)子相向而行對撞碎裂，其中相撞的兩個部分子a、b相互作用湮滅產(chǎn)生一個新粒子。設(shè)部分子a、b的動能在質(zhì)子能量中所占的比值分別為%、％b，且遠(yuǎn)大于其靜能。（1）假設(shè)兩個部分子a、b對撞湮滅產(chǎn)生了一個靜質(zhì)量為m=1.0TeV/c2的新粒子S,求％s a和％b的乘積％axb；（2）假設(shè)新粒子S產(chǎn)生后衰變到兩個光子，在新