角平分線的性質(zhì)

12.3角平分線的性質(zhì)（一）當(dāng)前1頁，總共36頁。角平分線的定義：從一個(gè)角的頂點(diǎn)出發(fā)，把這個(gè)角分成相等的兩個(gè)角的射線叫做這個(gè)角的角OBAC平分線。當(dāng)前2頁，總共36頁。OBAC∠AOC=∠BOC∠AOB=2∠AOC=2∠BOC角平分線當(dāng)前3頁，總共36頁。

不利用工具，請(qǐng)你將一張用紙片做的角分成兩個(gè)相等的角。你有什么辦法？AOBC活動(dòng)1

再打開紙片，看看折痕與這個(gè)角有何關(guān)系？（對(duì)折）情境問題當(dāng)前4頁，總共36頁。1、如圖，是一個(gè)角平分儀，其中AB=AD,BC=DC。將點(diǎn)A放在角的頂點(diǎn),AB和AD沿著角的兩邊放下,沿AC畫一條射線AE,AE就是角平分線，你能說明它的道理嗎?活動(dòng)2情境問題ADBCE

如果前面活動(dòng)中的紙片換成木板、鋼板等沒法折的角，又該怎么辦呢？當(dāng)前5頁，總共36頁。2、證明：在△ACD和△ACB中

AD=AB（已知）

DC=BC（已知）

CA=CA（公共邊）∴△ACD≌△ACB（SSS）∴∠CAD=∠CAB（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等）∴AC平分∠DAB（角平分線的定義）ADBCE當(dāng)前6頁，總共36頁。把簡易平分角的儀器放在角的兩邊時(shí)，（1）平分角的儀器兩邊AB與AD相等，從幾何作圖角度怎么畫？（2）BC=DC，從幾何作圖角度怎么畫？BA····DC

探究體驗(yàn)當(dāng)前7頁，總共36頁。AＢＭＮＣ作法:⑴以O(shè)為圓心,任意長為半徑作弧,交OA于M,交OB于N.⑵分別以M,N為圓心,大于的長為半徑作弧,兩弧在∠AOB的內(nèi)部交于點(diǎn)C.⑶作射線OC,射線OC即為所求.0溫馨提示:

作角平分線是最基本的尺規(guī)作圖,大家一定要掌握噢!試一試

由上面的探究可以得出作已知角的平分線的方法

已知:∠AOB.

求作:∠AOB的平分線.當(dāng)前8頁，總共36頁。將∠

AOB對(duì)折,再折出一個(gè)直角三角形(使第一條折痕為斜邊),然后展開,觀察兩次折疊形成的三條折痕,你能得到什么結(jié)論?OABAOBED探究2---做一做當(dāng)前9頁，總共36頁。

已知：OC是∠AOB的平分線，點(diǎn)P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別是D、E.

求證：PD=PE.AOBPED證一證當(dāng)前10頁，總共36頁。已知：∠AOC=∠BOC

，點(diǎn)P在OC上，PD⊥OA于D，

PE⊥OB于E求證:PD=PEAOBEDPC∵

PD⊥OA，PE⊥OB證明：∴∠PDO=∠PEO=90°在△POD和△PEO中

∴△PDO≌△PEO（AAS）

∠PDO＝∠PEO∠AOC＝∠BOCOP=OP∴PD＝PE當(dāng)前11頁，總共36頁。角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等你能用文字語言敘述一下發(fā)現(xiàn)的結(jié)論嗎？說一說AOBPEDPD⊥OA，PE⊥OB∵OP平分∠AOB∴PD=PE.用符號(hào)表示為：當(dāng)前12頁，總共36頁。當(dāng)前13頁，總共36頁。∵如圖，AD平分∠BAC（已知）

∴

=

，()在角的平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等。BDCD（×）判斷：當(dāng)前14頁，總共36頁?！呷鐖D，DC⊥AC，DB⊥AB（已知）

∴

=

，()在角的平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等。BDCD（×）當(dāng)前15頁，總共36頁?！逜D平分∠BAC,DC⊥AC，DB⊥AB（已知）∴

=

，（）

DBDC在角的平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等?！滩槐卦僮C全等當(dāng)前16頁，總共36頁。練習(xí)3如圖，∵OC是∠AOB的平分線，又________________∴PD=PE()PD⊥OA，PE⊥OBBOACDPE

角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等當(dāng)前17頁，總共36頁。思考：要在Ｓ區(qū)建一個(gè)集貿(mào)市場，使它到公路，鐵路距離相等且離公路，鐵路的交叉處５００米，應(yīng)建在何處？（比例尺1：20000）ＳＯ公路鐵路當(dāng)前18頁，總共36頁。

1、如圖,OC是∠AOB的平分線,點(diǎn)P在OC上,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分別是D、E,PD=4cm,則PE=__________cm.ADOBEPC4當(dāng)前19頁，總共36頁。例1:如圖，在△ABC中，∠C＝900，AD平分∠BAC交BC于點(diǎn)D，若BC＝8,BD＝5，則點(diǎn)D到AB的距離為？ACDBE例題講解E當(dāng)前20頁，總共36頁。例2：如圖，△ABC的角平分線BM、CN相交于點(diǎn)P。求證：點(diǎn)P到三角形三邊的距離均相等。ABCPEFGMN例題講解當(dāng)前21頁，總共36頁。例3：在△OAB中，OE是∠

AOB的角平分線，且EA=EB，EC、ED分別垂直O(jiān)A，OB，垂足為C，D，求證：AC=BD。OABECD例題講解當(dāng)前22頁，總共36頁。［教學(xué)內(nèi)容9］例題講解變題1如圖，△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分線，DE⊥AB于E，F(xiàn)

在AC上，且BD=DF，求證：CF=EB.

AFCDBE

合作交流變題2如圖，△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分線，DE⊥AB于E，BC=8，BD=5，求DE.

ACDBE當(dāng)前23頁，總共36頁。變題1

如圖：在△ABC中，∠C=90°AD是∠BAC的平分線，DE⊥AB于E，F(xiàn)在AC上，BD=DF；求證：CF=EBACDEBF

分析:要證CF=EB,首先我們想到的是要證它們所在的兩個(gè)三角形全等,即Rt△CDF≌

Rt△EDB.

現(xiàn)已有一個(gè)條件BD=DF(斜邊相等),還需要我們找什么條件DC=DE(因?yàn)榻堑钠椒志€的性質(zhì))再用HL證明.試試自己寫證明。你一定行！當(dāng)前24頁，總共36頁。A0BMNPC1、如圖，OC平分∠AOB，PM⊥OB于點(diǎn)M，PN⊥OA于點(diǎn)N，△POM的面積為6，OM=6，則PN=_______。2練習(xí)當(dāng)前25頁，總共36頁。2、如圖:△ABC中,∠C=900，AD是∠BAC的平分線，DE⊥AB于E，F(xiàn)在AC上，BD=DF，求證：CF=EB

ACDBEF練習(xí)當(dāng)前26頁，總共36頁。3、如圖，△ABC中，∠C=90°，AC=CB，AD為∠BAC的平分線，DE⊥AB于點(diǎn)E。求證：△DBE的周長等于AB。ABCDE練習(xí)當(dāng)前27頁，總共36頁。B

思考：如圖所示OC是∠AOB的平分線,P是OC上任意一點(diǎn),問PE=PD?為什么?OAEDCPPD,PE沒有垂直O(jiān)A,OB,它們不是角平分線上任一點(diǎn)這個(gè)角兩邊的距離,所以不一定相等.當(dāng)前28頁，總共36頁。如圖，為了促進(jìn)當(dāng)?shù)芈糜伟l(fā)展，某地要在三條公路圍成的一塊平地上修建一個(gè)度假村.要使這個(gè)度假村到三條公路的距離相等,應(yīng)在何處修建？思考題當(dāng)前29頁，總共36頁。練習(xí)1：如圖，△ＡＢＣ的∠Ｂ的外角的平分線ＢＤ與∠Ｃ的外角的平分線ＣＥ相交于點(diǎn)Ｐ．求證：點(diǎn)Ｐ到三邊ＡＢ，ＢＣ，ＣＡ所在直線的距離相等．ＡＢＣＤＥＰFGHＢＰ當(dāng)前30頁，總共36頁。豐收樂園當(dāng)前31頁，總共36頁。◆這節(jié)課我們學(xué)習(xí)了哪些知識(shí)？小結(jié)1、“作已知角的平分線”的尺規(guī)作圖法；2、角的平分線的性質(zhì)：111角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等。

∵OC是∠AOB的平分線,

又PD⊥OA,PE⊥OB∴PD=PE(角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等).EDOABPC幾何語言:當(dāng)前32頁，總共36頁?；匚稛o窮定理（文字語言）:角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等.符號(hào)語言：∵∠1＝∠2PD⊥OA,PE⊥OB(已知）∴PD=PE(角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊距離相等).用尺規(guī)作角的平分線.OCB1A2PDE當(dāng)前33頁，總共36