計算方法與誤差演示

（優(yōu)選）計算方法與誤差課件當前1頁，總共54頁。

計算方法課程用途

１.1引言

我們每學習一門新課，首先總要大體了解一下為什么要開這門課，在這門課程中我們將要學習什么內(nèi)容，怎樣把這門課學好，學好這門課的標志是什么等等。

計算方法是怎樣一門課？它的重要性表現(xiàn)在什么地方？用學習數(shù)學的方法就能學好計算方法嗎？當前2頁，總共54頁。設(shè)計算法用計算機解決實際問題的一般步驟是：建立數(shù)學模型分析實際問題編寫程序代碼上機計算

前三步為建模，集中于問題及其解法或算法，與任何特定的計算機或計算機語言無關(guān)。后兩步為模型求解，集中于選擇某一種程序設(shè)計語言，把算法表達給特定的計算機。

廣義地說，為解決一個問題而采取的方法和步驟，就稱為“算法”。當前3頁，總共54頁。數(shù)學模型概述從現(xiàn)實對象到數(shù)學模型我們常見的模型玩具、照片、飛機、火箭模型……能夠?qū)嶋H潛水的小潛水艇……

地圖、電路圖、分子結(jié)構(gòu)圖……

~實物模型~物理模型~符號模型

模型是為了一定目的，對客觀事物的一部分進行簡縮、抽象、提煉出來的原型的替代物模型集中反映了原型中人們需要的那一部分特征當前4頁，總共54頁。你碰到過的數(shù)學模型——“航行問題”用x表示船速，y表示水速，列出方程：答：船速每小時20千米/小時.甲乙兩地相距750千米，船從甲到乙順水航行需30小時，從乙到甲逆水航行需50小時，問船的速度是多少?x=20y=5求解數(shù)學模型概述當前5頁，總共54頁。航行問題建立數(shù)學模型的基本步驟作出簡化假設(shè)（船速、水速為常數(shù)）；用符號表示有關(guān)量（x,y表示船速和水速）；用物理定律（勻速運動的距離等于速度乘以時間）列出數(shù)學式子（二元一次方程）；求解得到數(shù)學解答（x=20,y=5）；回答原問題（船速每小時20千米/小時）。

數(shù)學模型概述當前6頁，總共54頁。數(shù)學模型(MathematicalModel)和數(shù)學建模（MathematicalModeling)對于一個現(xiàn)實對象，為了一個特定目的，根據(jù)其內(nèi)在規(guī)律，作出必要的簡化假設(shè)，運用適當?shù)臄?shù)學工具，得到的一個數(shù)學結(jié)構(gòu)。建立數(shù)學模型的全過程（包括表述、求解、解釋、檢驗等）數(shù)學模型數(shù)學建模

數(shù)學模型的概念當前7頁，總共54頁。應(yīng)用領(lǐng)域人口、交通、經(jīng)濟、生態(tài)、醫(yī)學…數(shù)學方法初等數(shù)學、微分方程、規(guī)劃、統(tǒng)計…表現(xiàn)特性描述、求解、預(yù)報、決策……建模目的了解程度白箱灰箱黑箱確定和隨機靜態(tài)和動態(tài)線性和非線性離散和連續(xù)數(shù)學模型的分類當前8頁，總共54頁。建立數(shù)學模型的方法與步驟數(shù)學工具觀察分析建立模型模型應(yīng)用簡化假設(shè)模型求解收集數(shù)據(jù)及其相互關(guān)系檢驗評價確定主要因素實際問題當前9頁，總共54頁。調(diào)查研究模型假設(shè)建立數(shù)學模型的方法與步驟了解實際背景明確建模目的搜集有關(guān)信息掌握對象特征形成一個比較清晰的‘問題’針對問題特點作出合理的、簡化的假設(shè)建立模型用數(shù)學的語言、符號描述問題模型求解各種數(shù)學方法、軟件和計算機技術(shù)模型檢驗?zāi)Ｐ蛻?yīng)用與實際現(xiàn)象、數(shù)據(jù)比較，檢驗?zāi)Ｐ偷暮侠硇?、適用性當前10頁，總共54頁。建立數(shù)學模型案例例：有人借助英文詞匯建立了一個用算法表述生活圓滿程度的數(shù)學模型：1）將A、B、C、D、E、…、X、Y、Z這26個英文字母，

分別對應(yīng)百分數(shù)1%、2%、…、26%這26個數(shù)值2）對每一個英文詞包含的字母進行對應(yīng)百分數(shù)相加得到該詞的權(quán)重數(shù)，稱其為生活圓滿度。用這個數(shù)學模型,可算出人們所追求的生活圓滿度百分比數(shù):MONEY(金錢)：M+O+N+E+Y=13+15+14+5+25=72%LEADERSHIP(權(quán)利)：L+E+A+D+E+R+S+H+I+P=97%LOVE(愛情)：L+O+V+E=12+15+22+5=54%ATTITUDE(態(tài)度)：A+T+T+I+T+U+D+E=1+20+20+9+20+21+4+5=100%當前11頁，總共54頁。1.

對于要解決的問題建立數(shù)學模型2.研究用于求解該數(shù)學問題近似解的算法和過程3.按照2進行計算，得到計算結(jié)果建立數(shù)學模型轉(zhuǎn)化為數(shù)值公式進行計算換句話說當前12頁，總共54頁。

程序設(shè)計方法首先強調(diào)的是設(shè)計，其次才是實現(xiàn)（寫出程序代碼）。其核心是將程序設(shè)計過程分為兩部分。第一部分集中于問題及其解法或算法，與任何特定的計算機或計算機語言無關(guān)。第二部分集中于選擇某一種程序設(shè)計語言，把算法表達給特定的計算機。程序設(shè)計方法當前13頁，總共54頁。

算法的概念

廣義地說，為解決一個問題而采取的方法和步驟，就稱為“算法”。

?你想查看計算機CPU，首先必須將計算機斷電，拆除連線，打開機箱，然后按下夾子解除夾口，最后取出CPU進行查看。

?復(fù)制文件，首先要尋找所要復(fù)制的文件，然后選中，再進行復(fù)制，最后移動到需要的地方進行粘貼。當前14頁，總共54頁。

算法的分類：

本書所講述的算法只限于計算機算法，即計算機能執(zhí)行的算法。計算機算法可分為兩大類別：數(shù)值運算算法和非數(shù)值運算算法。數(shù)值運算的目的是求數(shù)值解，例如求方程的根，求一個函數(shù)的定積分等，都屬于數(shù)值運算范圍。非數(shù)值運算包括的面十分廣泛，最常見的是用于事務(wù)管理領(lǐng)域，例如圖書檢索、人事管理等。目前，計算機在非數(shù)值運算方面的應(yīng)用遠遠超過了在數(shù)值運算方面的應(yīng)用。當前15頁，總共54頁。

開計算方法這門課的重要意義

１.1引言計算方法是用數(shù)學方法借助計算機解決實際問題，側(cè)重點是求模型的數(shù)值解。通過對一些典型的數(shù)學問題的研究形成常用的求解方法體系，是為解決實際問題奠定基礎(chǔ)。

實際上，計算方法是數(shù)學方法的伸延，數(shù)學教科書中的遺留問題。在我們這里就可得到解決計算方法是求解數(shù)學問題的計算機方法當前16頁，總共54頁。

計算方法研究對象

１.1引言

由數(shù)學模型找到求解方法的過程，是計算方法要研究的核心問題。

計算方法所面對的正是“模型求解”，或者說求模型的數(shù)值解。因此我們不能把“計算方法”理解為“計算”的“方法”，而應(yīng)理解為借助計算機求解復(fù)雜數(shù)學問題的基本方法。當前17頁，總共54頁。計算方法研究對象研究對象：數(shù)值問題——有限個輸入數(shù)據(jù)（問題的自變量、原始數(shù)據(jù)）與有限個輸出數(shù)據(jù)（待求解數(shù)據(jù)）之間函數(shù)關(guān)系的一個明確無歧義的描述。如一階微分方程初值問題求函數(shù)解析表達式數(shù)學問題求函數(shù)在某些點的近似函數(shù)值數(shù)值問題當前18頁，總共54頁。1.求方程2x2+8x?3=0在[0,1]上的根x*2.求解線性方程組Ax=b，其中A為3階可逆方陣

x=(x1

,x2

,x3

)T

3.

已知y=P(x)為[x0,x1]上的直線,

滿足

P(x0)=y0

,P(x0)=y0求x*∈x0,x1）求P(x*)4.計算定積分

5.解常微分方程初值問題計算問題當前19頁，總共54頁。目的明確:

算法必須有明確的目的,其條件和

結(jié)論均應(yīng)有清楚的規(guī)定算法有四個特點2.定義精確：對算法的每一步都必須有精確的定義3.算法可執(zhí)行：算法中的每一步操作都是可執(zhí)行的4.步驟有限：算法必須在有限步內(nèi)能夠完成解題過程當前20頁，總共54頁。

1.2誤差的來源及分類

1.2.1誤差具有必然性與重要性（1）某些問題不存在嚴謹?shù)那蠼夥椒ǎ?）某些嚴謹?shù)那蠼夥椒▽嶋H上不可行（3）由觀測得到的原始數(shù)據(jù)，必然有誤差（4）蝴蝶效應(yīng)—如果誤差太大，求得的解就沒有意義了。當前21頁，總共54頁。1.2.2誤差的來源（1）模型誤差

（2）觀測誤差（3）截斷誤差（方法誤差）（4）舍入誤差（計算誤差）

科學計算中所處理的數(shù)據(jù)和計算的結(jié)果通常都是在一定范圍內(nèi)的近似值，它們與實際的真實值之間存在著誤差。也就是說，一個物理量的真實值和我們算出的值往往不相等，其差值稱為誤差。

誤差的來源有下面幾種當前22頁，總共54頁?？陀^量的準確值與數(shù)學模型的準確解的差——模型誤差

由觀測數(shù)據(jù)而產(chǎn)生的誤差

——觀測誤差

(方法誤差)數(shù)學模型的準確解與利用近似計算方法得到的解之差

——截斷誤差由于將數(shù)據(jù)進行舍入而產(chǎn)生的誤差

——舍入誤差當前23頁，總共54頁。由于問題不能精確求解，近似計算的方法所引起誤差稱為截斷誤差，這是計算方法本身出現(xiàn)的誤差，故又稱為方法誤差例1.3函數(shù)f(x)用泰勒(Taylor)多項式

（介于0與x之間）近似代替，則數(shù)值方法的截斷誤差是

截斷誤差的大小直接影響計算結(jié)果的精度和計算工作量，是數(shù)值計算中必須考慮的一類誤差1.2.3截斷誤差當前24頁，總共54頁。

當e*>0時，x*稱為弱近似值，當e*<0時，x*稱為強近似值|e*|越小，x*的精度越高1.3誤差的度量1.3.1絕對誤差和絕對誤差限

定義1.1(絕對誤差)

設(shè)為真值（準確值），為的一個近似值，稱為近似值的絕對誤差，簡稱誤差。

由于精確值一般是未知的,因而e*不能求出來,但可以根據(jù)測量誤差或計算情況設(shè)法估計出它的取值范圍，即誤差絕對值的一個上界或稱誤差限。當前25頁，總共54頁。

實際應(yīng)用中經(jīng)常使用這個量來衡量誤差限,這就是說,如果近似數(shù)的誤差限為,則，表明準確值x必落在上,常采用下面的寫法來表示近似值的精度或準確值x所在的范圍。定義1.2設(shè)存在一個正數(shù)，使則稱為近似值的絕對誤差限，簡稱誤差限或精度。當前26頁，總共54頁。例1.6而近似值x*=3.1415，它的絕對誤差是

0.0000926…，誤差限

x-x*=0.0000926…

0.0001=0.110-3例1.5設(shè)x==3.1415926…

近似值x*=3.14,它的絕對誤差是0.0015926…，誤差限 x-x*=0.0015926…

0.002=0.210-2可見，絕對誤差限*不是唯一的，但*越小越好當前27頁，總共54頁。定義1.3絕對誤差與精確值x的比值

稱為相對誤差。簡記為1.3.2相對誤差和相對誤差限

只用絕對誤差還不能說明數(shù)的近似程度,例如甲打字每100個錯一個,乙打字每1000個錯一個,他們的誤差都是錯一個,但顯然乙要準確些,這就啟發(fā)我們除了要看絕對誤差外,還必須顧及量的本身。當前28頁，總共54頁。

相對誤差越小,精度就越高,實際計算時,x通常是不知道的,通常用下列公式計算相對誤差定義1.4設(shè)存在一個正數(shù)，使

則稱為近似值的相對誤差限。簡記為當前29頁，總共54頁。解：根椐定義:甲打字時的相對誤差

例1.7甲打字每100個錯一個，乙打字每1000個錯一個，求其相對誤差

乙打字時的相對誤差當前30頁，總共54頁。定義1.5設(shè)x的近似值

其中是0到9之間的任一個數(shù),但n是正整數(shù),m是整數(shù),若則稱為x的具有n位有效數(shù)字的近似值，準確到第n位，是的有效數(shù)字。1.3.3有效數(shù)字當前31頁，總共54頁。解：

3.141592…=0.3141592…×3.142=0.3142×

m=1|π-3.142|=|0.3141592…×-0.3142×|

＜0.000041×＜0.0005=×

m–n=1–n=-3例1.83.142作為π的近似值時有幾位有效數(shù)字所以n=4，具有4位有效數(shù)字當前32頁，總共54頁。-3.141=0.3141592…101-0.3141101≤0.0000592101<0.0005101

<0.005=1/210-2

m-n=1-n=-2所以n=3具有3位有效數(shù)字例1.9當取3.141作為的近似值時-3.1416=0.3141592…101-0.31416101≤0.00000074101

≤0.0000074<0.00005<0.510-4m-n=1-n=-4所以n=5x*=3.1416有5位有效數(shù)字例1.10當取3.1416作為的近似值時當前33頁，總共54頁。定義1.5若近似值x*的絕對誤差限是某一位上的半個單位，則說x*精確到該位，若從該位到x*的左面第一位非零數(shù)字一共有n位，則稱近似值x*有n位有效數(shù)字。準確數(shù)有無窮多位有效數(shù)字.如例1.10用3.1416作為π的近似值,有幾位有效數(shù)字?π=3.14159265……x*=3.1416|π-3.1416|=0.0000073……<0.00005=0.5×10-4因此近似值精確到10-4,有5位有效數(shù)字.當前34頁，總共54頁。定理1.1若近似數(shù)x*=0.x1x2…xn10m具有n位有效數(shù)字，則其相對誤差∴1.3.4有效數(shù)字與相對誤差證:

∵x*

=0.x1x2…xn10m

∴x*≥x110m-1

又

∵x*

具有n位有效數(shù)字,則當前35頁，總共54頁。

一般應(yīng)用中可以取r*=1/2x110-(n-1),n越大,r*越小,∴有效數(shù)字越多，相對誤差就越小例1.12取3.14作為的四舍五入的近似值時，求其相對誤差解：3.14=0.314101x1=3m=1∵四舍五入的近似值,其各位都是有效數(shù)字∴n=3當前36頁，總共54頁。例1.14已知近似數(shù)x*有兩位有效數(shù)字，試求其相對誤差限解：已知n=2代入公式得

x*的第一位有效數(shù)字x1沒有給出，可進行如下討論：當

x1=1=5%x1=9=0.56%

取x1=1時相對誤差為最大，即5%當前37頁，總共54頁。定理1.2若近似數(shù)x*=0.x1x2…xn10m相對誤差

則該近似數(shù)具有n位有效數(shù)字由有效數(shù)字定義可知,x*具有n位有效數(shù)字。證畢證:∵x*=0.x1x2

…

xn

10m

∴x*≤(x1

+1)10m-1當前38頁，總共54頁。例1.14已知近似數(shù)x*的相對誤差限為0.3%，問x*

有幾位有效數(shù)字？ⅰ當x1=1時,310-3=1/410-(n-1)1210-3=10-(n-1)

上式兩邊取以10為底的對數(shù)得

lg22+lg3+(-3)=-n+1∵lg2=0.3010lg3=0.477120.3010+0.4771-4=-n∴n=2.9209ⅱ當x1=9時,310-3=1/2010-(n-1)610-3=10-n

上式兩邊取以10為底的對數(shù)得

lg2+lg3+(-3)=-n∴n=2.2219∴x*至少有3位有效數(shù)字

得解：由當前39頁，總共54頁。例1.16為使的近似數(shù)的相對誤差小于0.1%，問查開方表時，要取幾位有效數(shù)字？

解：∵8<<9∴x1=8

∴-(n-1)<lg2+2lg3+(-3)-n<1.2552-4-n<-2.7448∴n>2.7448

取n=3即查平方表時

8.37取三位有效數(shù)字

∴當前40頁，總共54頁。

注意:

已知有效數(shù)字,求相對誤差用公式已知相對誤差,求具有幾位有效數(shù)字公式當前41頁，總共54頁。介于x,x*之間1.4數(shù)值運算的誤差估計1.4.1函數(shù)運算誤差設(shè)一元函數(shù)f(x)具有二階連續(xù)導數(shù)，自變量x的一個近似值為x*

，f(x*

)作為f(x)近似,我們用Taylor展開的方法來估計其誤差。即有當前42頁，總共54頁。其中*為近似數(shù)x*的絕對誤差限，設(shè)與相差不大,可忽略*的高次項,于是可得出函數(shù)運算的誤差和相對誤差多元函數(shù)亦類似，用泰勒展開即可推導出來即當前43頁，總共54頁。如果是n元函數(shù)，自變量

的近似值分別為則其中所以可以估計到函數(shù)值的誤差界，兩個變量當前44頁，總共54頁。

(d*)=0.1m,(L*)=0.2m絕對誤差限

(s*)(800.2+1100.1)m2=27m2例1.16已測得某場地長L的值L*=110m,寬d的值

d*=80m,已知L-L*≤0.2m,d-d*≤0.1m

求場地面積S=Ld的絕對誤差限和相對誤差限其中相對誤差限解：當前45頁，總共54頁。例1.17正方形的邊長約為100cm,怎樣測量才能使其面積誤差不超過1cm2?解：設(shè)正方形邊長為xcm,測量值為x*cm,面積

由于

記自變量和函數(shù)的絕對誤差分別是e*、e(y*),則

e*=x-x*現(xiàn)要求e(y*)200e*<1,于是e*≤（1/200）cm=0.005cm

要使正方形面積誤差不超過1cm2，