第8講 整除問題

第八講除問題在學(xué)習(xí)整數(shù)除法時，我們已經(jīng)知道：被除除×余數(shù)。這里要求除數(shù)不為零，且余數(shù)小于除數(shù)。當(dāng)兩個整數(shù)、(，a被b除余數(shù)為零（商為整數(shù)）時，則稱a被b整或者整除a，也把做b的數(shù)b叫約數(shù)，記作b。如果被b除得的余數(shù)不零，則稱a不被b整，或不除，記作|a。很顯然是任何整數(shù)的約數(shù)對任何的整數(shù)a有a是何非零整數(shù)的倍數(shù)，，a為整數(shù)，則|0。一般來說整數(shù)a是能被整數(shù)除只要真正做除法就可以判斷是對于一些特殊數(shù)，可以有比較簡單的判斷方法。一．?dāng)?shù)的整除的特征．我們已經(jīng)學(xué)過奇數(shù)和偶數(shù)，正是以能否被2整來區(qū)分偶數(shù)和奇數(shù)的。因此有下面的結(jié)論：末位數(shù)字為0、、46的數(shù)能被整除。偶數(shù)可以表示為2，奇數(shù)可以表示為k+1其中為數(shù)．末位數(shù)字為0的數(shù)一定能被整。這種數(shù)總可以表示為10（k為數(shù)．末位數(shù)字為0或整數(shù)一定能被5整除。這種數(shù)總可以表示為k（k為數(shù)．末兩位數(shù)字組成的兩位數(shù)能被（25整除的整數(shù)一定能被4或）整除。如2016=2000+16因100是4和25的數(shù)，所以2000是和的數(shù)，只要考察是否為4或的倍數(shù)即可，由于4|16，25

，以4|2016

能被25整的整數(shù)，末兩位字只可能是00255075能被4除的整數(shù)，末兩位數(shù)字可能是0004、08、16……96.．末三位數(shù)字組成的三位數(shù)能被（125）整除的整數(shù)一定能被8或125）整除。由于1000=8×125因此1000的數(shù)當(dāng)然也是的數(shù)。如判斷是為8的倍數(shù)，只需看末三位數(shù)組成的三位數(shù)能被8整除即可。432，即8|432所以8|765432.．各個數(shù)位上的數(shù)字之和能被（或）除的整數(shù)必能被3或）整除。如是能被3（9整除？由于×××××××××××××99+2×前一個括號里的各項(xiàng)都是（或9倍數(shù)因判斷是能被（整，只要考察第二個括號里的各數(shù)之和能否被3或）除。而第二個括號內(nèi)的各數(shù)之和恰好是原數(shù)478323的各個數(shù)位的數(shù)字之和。因?yàn)槭?的數(shù)是倍數(shù)以478323可以被或除。一個整數(shù)的奇數(shù)數(shù)字之和與偶數(shù)位數(shù)字之和的差如果是11的數(shù)那么這個整數(shù)也是11的倍數(shù)數(shù)個位位位…稱為奇數(shù)位位位萬…稱為偶數(shù)位如判斷能否被整?！?0000+2×1000+5100+5×=4×(9999+1)+2–××–1)+9

×9999+2×××11)+(42+55+9)××××9+5)+–2+55+9)前一個部分顯然可以被整，因此只需判斷后一部分2+5是是的數(shù)即可。而這一部恰好是奇數(shù)位的數(shù)字之和減去偶數(shù)位的數(shù)字之和的差。由于–2+55+9=11是11的數(shù)，所以可被除。現(xiàn)在要判斷是否為11的數(shù)，只需直接計(jì)算–是是11的倍數(shù)即可。(1+8+9+7)(7+5+2)=25是的倍數(shù)，所以7295871是倍數(shù)。上面所舉的例子都是奇數(shù)位數(shù)字之和大于偶數(shù)位數(shù)字之和的情形。如果奇數(shù)位數(shù)字和小于偶數(shù)位數(shù)字和怎么辦？這時只需計(jì)算偶數(shù)位數(shù)字之和減去奇數(shù)位數(shù)字之和即可。我們還發(fā)現(xiàn)任何一個三位數(shù)連寫兩次組成的六位數(shù)一定能夠被除。如186這個三位數(shù)，連寫兩次得到六位數(shù)，于這個數(shù)的奇數(shù)位的數(shù)字和是6+1+8偶數(shù)位的數(shù)字和是8+6+1，它們的為，所以是倍數(shù)。一般地三數(shù)

連寫兩次組成的六位數(shù)

abcabc

這六位數(shù)的奇數(shù)位的數(shù)字和c+b，偶數(shù)位的數(shù)字和是+，們的差為0故必有11|

abcabc

。象這樣的六位數(shù)能否被整呢？如被除后商為，余數(shù)為零能否不做÷，而有簡單的判斷方法呢？由于×1001，而1001=711×13所以一能被7整。這也啟發(fā)我們，由于1001=7×13故若一個數(shù)被1001整除，則這個數(shù)必能被7整除，也能被11和13整?；?qū)⒁粋€數(shù)分為兩部分的和或差，如果其中一部分為的倍數(shù)，另一部分是7（或13的倍數(shù)，那么原數(shù)也一定是（11或13）的倍數(shù)。如判斷是是的數(shù)？由于1000+704=2839×1001(2839704)。因?yàn)?839是7的倍數(shù)，所以也7的數(shù)。而2135不11（或）的倍數(shù)，所以也是11或）的倍數(shù)。實(shí)際上，對于2839704樣一個七位數(shù)，要判斷它是否為7（或）的倍數(shù)，需將它分為和704個數(shù)，看它們的差是否被7（11或13整除即可。又如是被整，可將為和兩數(shù)，只要看–42=910否被整除即可。由于910=13×7013|91011|91013|429527|42952，1142952.．一個三位以上的整數(shù)能否被（11或）整除，只需看這個數(shù)的末三位數(shù)字表示的三位數(shù)與末三位數(shù)字以前的數(shù)字所組成的數(shù)的差（以大減?。┠芊癖?）整除。若數(shù)字位數(shù)過大，可以將多位數(shù)從后往前三位一組進(jìn)行分段。奇數(shù)段各三位數(shù)之和與偶數(shù)段各三位數(shù)之和的差若能被（11或）整除，則原來的多位數(shù)也能被7（或13整除。如3546725可分為、三段，奇數(shù)段的為，數(shù)段為，二者的差為728×13×2可以被13整除但能被整除，所以能被7和整除，不能被整除

二．整除的幾條性質(zhì)整除的以下性質(zhì)是最基本的，也是最常用的。（1a（a為零整數(shù)（2若ab且ba，則=b（3若b且，那么c；（4若a且cb，那么c+；若≥b，那么c|(ab；（5若m是零整數(shù)，且ba則必有；反若am，則；（6如果，ca且、沒有除1以的公約數(shù)（此時稱bc質(zhì)么bc。對于（3由2|4，4|12，可推出。對于（4由4|36，4|16，可推出4|(36+16)4|(3616)。對于（5由3|9，可推出××；之由3×4|9×4可推出3|9。對于（6有3|24，2|24，且3與互，可推出3。例一個首位數(shù)字為5的小六位數(shù)個數(shù)能被9整除位數(shù)字均不相同。解：一個以5為首位的六位數(shù)×××××，要想使的各位數(shù)字均不相同且最小，可以寫成但個數(shù)的數(shù)字和是不9的數(shù)故能將末位數(shù)字改為。這時是倍數(shù)。所以是足條件的六位數(shù)。例2老師買了72本同的書，當(dāng)沒記住每本書的價格，只用鉛筆記下了用掉的總錢數(shù)，回校后發(fā)現(xiàn)有兩個數(shù)字看不清楚了，總錢數(shù)eq\o\ac(□,為)eq\o\ac(□,)137.元（eq\o\ac(□,中)eq\o\ac(□,)為看不清的數(shù)字你能幫助補(bǔ)上這兩個數(shù)字嗎？解：首先將□化為整數(shù)，eq\o\ac(□,即)□角。由于每本書的價格相同，所以□137□。但72=8×9，所以應(yīng)該整除□□。由于eq\o\ac(□,8|)137□，所以8|37□，由此可知=376時才8|376又由于除，所以其數(shù)字和必倍數(shù)，即□+17是的倍數(shù)，所以eq\o\ac(□,只)eq\o\ac(□,)能，因此原數(shù)為11376角，即元。例．在后面補(bǔ)上三個數(shù)，組成一個六位數(shù)，使它能分別被、4、整除，且使這個數(shù)盡可能的小。解妨補(bǔ)上三個數(shù)字后的六數(shù)是68于個六位數(shù)分別被整，所以它應(yīng)滿足如下三個條件：（1數(shù)字和5+6+8+a+c是3的數(shù)；（2末兩位數(shù)字組成的兩位數(shù)

bc

是的數(shù)；（3末位數(shù)字c為5。由于bc，c不能為，只能是0，且b只是、4、、、。又因?yàn)?|(5+6+8+a++)所以3|(5+6+8+b+0)，當(dāng)b=2時，3|(5+6+8++2+0)a以為、3、6、；當(dāng)b=4時，3|(5+6+8++4+0)a以為、4、7；當(dāng)b=6時，3|(5+6+8++6+0)a以為、5、8；當(dāng)b=8時，3|(5+6+8++2+0)a以為、3、6、；

當(dāng)b=0時，3|(5+6+8++6+0)a以為、5、8；要使得六位數(shù)

568abc

盡可能小，則取0b應(yīng)取，c取0所以被、4、整除的最小六位數(shù)68為568020.例．求能被26整的六位數(shù)□2015□。解：由于26=2×，所以所求六位數(shù)2015□應(yīng)該分別被213整，被除的個位只能是24、、；所求的六位數(shù)被13整除，必有eq\o\ac(□,)與□的差是13的數(shù)。當(dāng)個位為0時，×13+7，所以eq\o\ac(□,)也應(yīng)滿足被13除余7eq\o\ac(□,即)100+13+7被除余，□×100+13+7=□×(7×13+9)+13+7=13×(7□×eq\o\ac(□,+7)eq\o\ac(□,)，即×eq\o\ac(□,+7)eq\o\ac(□,)滿被除，合要求eq\o\ac(□,的)存在；當(dāng)個位為2時，×13+9，所以eq\o\ac(□,)也應(yīng)滿足被13除余9eq\o\ac(□,即)100+13+7被除余，□×100+13+7=□×(7×13+9)+13+7=13××eq\o\ac(□,(7)+1)+9×eq\o\ac(□,+7)eq\o\ac(□,)，即×eq\o\ac(□,+7)eq\o\ac(□,)滿被余9，即×□+7=13+9×□2是13的數(shù)，所eq\o\ac(□,以)能是6，六位數(shù)是；當(dāng)個位為4時154=11，以eq\o\ac(□,20)eq\o\ac(□,)也滿足被13除11，eq\o\ac(□,即)100+13+7被除余11，□×□×××□×eq\o\ac(□,)，即9eq\o\ac(□,+7)eq\o\ac(□,)滿足被13余11即×□+7=13+11，×eq\o\ac(□,–)eq\o\ac(□,)4是13倍數(shù)，符合要求的□不存在；當(dāng)個位為時156=12×13所以eq\o\ac(□,)也滿足被13整除，eq\o\ac(□,即)100+13+7被13整除，100+13+7=□×(7×13+9)+13+7=13×(7×□+1)+9×eq\o\ac(□,)，即×eq\o\ac(□,+7)eq\o\ac(□,)滿被整，所以eq\o\ac(□,只)eq\o\ac(□,)能，六位數(shù)是；當(dāng)個位為時，×13+2所以eq\o\ac(□,)也應(yīng)滿足被13除余，eq\o\ac(□,即)100+13+7除余，□×100+13+7=□×(7×13+9)+13+7=13×(7□×eq\o\ac(□,+7)eq\o\ac(□,)，即×eq\o\ac(□,+7)eq\o\ac(□,)滿被除，×□+7=13k+2，×eq\o\ac(□,+5)eq\o\ac(□,)是的倍數(shù)，符合要求的□不存在；綜上所述，符合要求的六位數(shù)只有620152和例將然數(shù)23…依次寫下去組成一個數(shù)…。如果寫到某個自然數(shù)時，所組成的數(shù)恰好第一次能被72整，問這個自然數(shù)是多少？解：由于要求恰好第一次能被72除，因此以從前往后的順序去尋找。如果先考慮被8整，那么末位應(yīng)為偶數(shù)，且末三位數(shù)字組成的三位數(shù)應(yīng)該是的數(shù)。因此依次看三位數(shù)、456、、、112314516718192、920、212、122222、232324、、252526、262、728282、930、132、334、536、738、394……中那些是倍數(shù)。如知道為8的倍數(shù)再看以123456789101112是為倍數(shù)。由于這兩個數(shù)都不是的數(shù)不足條件條的數(shù)還要在其他的數(shù)中尋找。像這樣試驗(yàn)下去，速度較慢。由于被8整的數(shù)一定能被4整，故只需對被4整除的數(shù)（這樣的數(shù)非常容易看出）進(jìn)行檢驗(yàn)即可。經(jīng)檢驗(yàn)，形如123456……，三位是516192920、272的然數(shù)都不是倍數(shù)，而當(dāng)末三位是536時，才滿足題目條件。即23456…33343536好被整

除，故所求的自然數(shù)是36.解法二：先考慮被9整，再考慮被除。由于……202122……前個字的和為是的數(shù)故在考察位數(shù)超過數(shù)時，前數(shù)字可以不再看；接下來，由于的字之和為，是9倍數(shù)，故在超過位的數(shù)是否被除時，前個字可以不看；接下來，由于的字之和為，是9的倍數(shù)，故在超過位數(shù)是否被整時，前個數(shù)字可以不看；由于的字之和為，是9的數(shù)，故在超過位的數(shù)是否被整除時，前43個字可以不看；由于的數(shù)字之和為9，是9的倍數(shù)，故在超過45位數(shù)是否被9整時，前個數(shù)字可以不看；由于的字之和為，是9的數(shù)，故在超過位的數(shù)是否被整除時，前61個字可以不看；再下一個就是，字之和是倍數(shù)；……以上做法把按自然數(shù)依次寫下去組成的數(shù)分成若干段，各段的數(shù)字和均為9的數(shù)，即…然后再看各段末三位數(shù)字組成的三位數(shù)是否為8倍數(shù)。、617、718、、627、都是的倍數(shù)，只有8倍數(shù)。即一直寫到36時第一次恰好是的倍數(shù)。練

習(xí)

題．個數(shù)是任何自然數(shù)的倍數(shù)，這數(shù)是；一個數(shù)是任何自然數(shù)的約數(shù)，這個數(shù)是。答案：0；1．四位數(shù)□eq\o\ac(□,5)被、、7整，則這個數(shù)是。解：四位數(shù)□eq\o\ac(□,5)被整除末位數(shù)字只能是5或0又?jǐn)?shù)能被6除所末位數(shù)字不是，只能是。則eq\o\ac(□,50)eq\o\ac(□,)能3整，□處只能填、58，對于5550、5850都不能被除，而5250=7750，所這個數(shù)是5250.．能被、4、5整的最大三位是；小四位數(shù)是。解：一個數(shù)能同時被、4、除，這個數(shù)一定是3×5=60的數(shù)，所以滿足條件的最大三位數(shù)是960最小四位數(shù)是．一個無重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)□eq\o\ac(□,6)，千位與十位數(shù)字看不清楚了，但知道這個數(shù)能被75整除，這樣的五位數(shù)有個。解：五位數(shù)eq\o\ac(□,6)eq\o\ac(□,)□5能被×整除，所以末兩位數(shù)字可能是00、25、5075，所以十位數(shù)字可能是或。

又該數(shù)能被3整除，若十位數(shù)字是，對于eq\o\ac(□,3)，□處可以填、8，這時三位數(shù)是和38625。若十位數(shù)字是，對于eq\o\ac(□,3)，□處可以填、9，這時三位數(shù)是和39675。所以這樣的五位數(shù)有。．一個各位數(shù)字均不相同的六位數(shù)的首位數(shù)字為7，且能被除，這樣的數(shù)字中最小的是。解：六位數(shù)的首位數(shù)字是，且各位數(shù)字均不相同，最小的是701234，而701234……6不能被11整，只要改為701239則能被11除，滿足條件。．六位數(shù)□2015能被整除，這樣的六位數(shù)是。解：設(shè)這個六位數(shù)為

ab

，×，所以六位數(shù)

a2015b

能被和11分整除。因?yàn)槟鼙?整除且3除剩的兩個a的字和被除余1又這個數(shù)