第九章真空中的靜電場習題匯總

第章-空靜場匯總

11第章空的場1如圖9-1所，量+的個點荷分在長的邊形ABC的三個點使個荷力可三心放一電荷則Q為。

圖9–1

F303圖9–2

o

F2F1解由稱性知只個點電受為可。C處電荷受力為，中心的荷對的力F與，B兩個點電對的F，F(xiàn)三力平，所示，F(xiàn)FF

)0

1PPEEEP000P0001PPEEEP000P000因即

FFcos30

0

(

)

2

π

20

2

cos30解

9真中兩平的無長勻電直，線度為+和點和與帶共，置所示，右為坐正向則E=。E解1P點場為限長均帶線，在該產(chǎn)

，場的和即

1

2

2d其小

PEiii1πd2πdπd

圖9-3方沿軸正向（）理可E2

2π(3d)

iii2ππd1

in00in00方沿軸負向9一點荷+位一邊為的方體中如圖所示，則過體面通

量如該電移方的頂

圖9-4角上，通過立方體面的電通量是。解1點+位立方的心，通立的一電量，所通過一的為通的，據(jù)定其中為立方EqS體各形的高斯，，過面

2L的通q。S（當電q至方的頂上q

2

2相的側(cè)ABCD

圖9-5ABFE各E行各平，故過個面通為為了另面的量可q為心作外72

00個小的方形邊L且原平的方，所個立的一的通相，等

q

對原立體，每面的積大立體面面的，每的通為立一個的量，此過方一的通

S

E

。9如9-6示在場為的勻靜場AB點為連線向與方向致A點任徑B點場強積分

AB

E

=

。解電度沿合徑的流，有

E因

E

ACB

E

E

圖9-6

)ACBBDA9如9-7圖在荷q的場選以q為心為徑面一A處為勢零，點荷q為的處的勢。3

圖9-7

2000PP02000PP0解以荷q為心作半為的球面為斯利高理

S

E

0

in

，得場大為

πr

q0

q4πr

2則B處電勢

E

Rr

r

Rr

π

r

2

11r()πr9真中兩無大均勻電面A，，荷密別+，如9-8所示。若兩的間另面密為的無大后P點場強的小為]。A原的1/2．變

C．來的D零解每限均電面

+

+

-均空生勻，

E

0

。只和帶平因，

B面點產(chǎn)的場大、方相，場加理，

圖9-8

E

2

0

，向向。當A，間后，A，兩4

PP平在P產(chǎn)的相消是點場就于產(chǎn)的強變

E

0

因，B面插入板，P點場小為的，方變故（A。9關高定理理有下幾說法其正是]。A．如斯上E處零，該必電B．斯內(nèi)荷則面上E處處為C．如斯上E處為零則面必電D如斯有電則過面電量為E．高定變電適解：斯處為則只肯內(nèi)電的和零能定一定荷；斯內(nèi)荷，說穿斯的E通量零，

E

，而個函的積分零不這函定零高面處不，有穿高的通5

E

零，一高包一偶子則在斯上強處零，面荷代為；定不用恒場，用變的由可AB（）（E項是的根斯理

S

E

0

in

可（）是正的應（D*9以下法正確是]A電強等地勢定B．化對大的方的對值一C帶電體電定正D電為導一帶解電度電描電兩不物量，強為示驗在點的場零，勢的表試電該移考電時電力做為此場相的電不相電是一相，某體電的低與勢的擇關此正導上不定，電為導也定帶如無長帶圓我可柱上為勢。6

l2π0220220π0π02l2π0220220π0π02πR02由場與勢率關

E

l

，知（B）確，選。9電勻在徑的球上坐原于心，現(xiàn)球面x軸交處去元S并它至無遠（如9-9所示若選遠零參點，將S移后面電分變則心O點的強E與U別（i為單量[]。AB．C

QπRQπQπ

0

，Q(12πR，Q(1)π2，Q(1πR

))

S

D

QπR

0

，

Q(1πR

2

)

圖9-9解：面挖面S據(jù)強原理則處場強于電閉面和負面在該點產(chǎn)生場的疊。均帶合在心產(chǎn)合強為，面S很，將其為電為q

Q4

2

Q4πR

的電它在處生強為7

020162300π000AC020162300π000ACE

q4π

2

QπR

0方由指面球處電勢于電閉面該的

Q

和負面元S在點生4π

R的勢

4π

QR

的加此

Q)πRππ故（。9點電位于心

處，AC，于一

上，如9-10分求將試

電q從A移C，點則力功[]

圖9AAB場功大B．A到C場功大CA電場力功最D電力一大解本等面的用電的電中勢是為心同球因為A，，，D在一上故

。將驗q從點到，D各點時電8

000000020000000020場不，零應（。如9-11所示真邊為方的角分置電q，，q，q（q它正著個荷q，這個荷的小向

2

2F4

0

F2

0

F1

F3

2a圖9-11

-3

2qa圖9

-3解各荷正中產(chǎn)電方如所示兩2的點荷的作用相消q所合點荷，3對它的侖的，大：

πr

2

3r

2

r

2

qqa合的：向荷q。9

2020如所示一帶直為–L線荷為求列的場E（1）帶直延線離（導

3

2點為的場;

（2）帶直垂

1平線中心r處的場;

圖9-13（）帶電線一端A點距為處場解：本是計連分布荷生場度，棒長能略因而能棒看點荷可在導上選電元用電d的電強公出強（于點，如9-14示的標系在電直上一元電元d=在點的場為4r)電的沿x軸向。

dx

1

dE

由各元P點產(chǎn)

圖9-14的強相，整帶線P點10

L20y0y02yy2100122L20y0y02yy2100122場為E

(r)

π

r2rL2

(4r)場方軸正。（）于點建如所示的標。若在帶直垂平上，對

d

2

稱，dEx軸方的分量加，，，P

d

點場向y，荷d=x點生場強小

圖9-15dE

4πr

2dE

的y分為EEsin

4πr

2

sin

由何

r

csc

，

，xcsc

，是dE

4πr由

E)πr4πr1，此L2代入cosrL2)式y(tǒng)

4

0

r

r22)

2

2

0

rr11

rL2)πrrL4220x4220xxrL2)πrrL4220x4220xx)y42202x)xx()r)0Ly(x)rL)0LEEr22因，直在平線P點的強小

，向正。

r4r（）于P點建如圖所示坐標。

dE

電線標x處荷元d它點生場強

3大為

d

dE

(xr

圖9-16設強與軸成角，d在，Oy上的量為dsin

x

x2

4

0

x23/dEEcos

x)

r

2

4

0

x223/2則點總場，y量E0

4

0

2

141/r0

0

223/

Lπ22寫矢式12

x2r(Lr)0x2r(Lr)022xyLEx2yEiEj

4

0

1)

1L+rπ22

j場大EE

2

0

r

r22設場與軸正向的角則

arctanrr)E

一個玻棒被成徑為的圓環(huán)沿左半分地布荷+Q，沿右半分勻地

布荷Q如圖9-17所）試圓O處的場強（2）

+

+

+

+

Zn_

2+_

_-

_

若半心O處一離

圖9-17Zn2+

，其大。解（1）立如所示標，根對性個環(huán)心處電度向沿方。求電密為

QπR/2在半=的電元，圖-18所示其為q

QQQlR/2/2π它圓O處的強大為13

14π2π112220_2y_1y2π10πRRπ14π2π112220_2y_1y2π10πRRπ1yπRπR12222π2π1qdE200方如所示。dE投于，y軸，cosdEEcosR

+

+dq

+

dEdE11_dEdEd2_+圖9

Esin

220于，1/4周點強E的x分和y分為dE

π2Q20

220

（正方）0

Qsin20

20

（y正方）用量表，E

Q20

Q220

同可，邊1/4圓周O點的場E為

Q20

i

Q220

j故O點合強為E=E

Q220

（）在半中O處一鋅子Zn

，由鋅Zn電，Zn2+受e力14

QFEe220無長勻帶半柱面徑，面荷=，式是，向與Ox間夾如圖示，求線上的場度

d

dEd圖9-19

（

（圖9解把分無平于軸的電小條電的面坐取圖（a）示單長電為15

000x200yxyy0xy0000x200yxyy0xy0cos每帶窄在上生強小為E

π

R方如9-20b。量為Ecos

cosEsin

sin

積得EdE

π2π

4

E

πsincos2

因，軸Oz上強EEiEj=i4–兩平無均帶面面荷密度分別為1011C/m2，2–C/m2。此系的場分。解無大帶平，激的電強2大分EE2

8.85

由強原得板側(cè)大為16

12121121212R12=1.13V/m方垂板背板。在板場小=3.39V/mE方垂兩且板。在板右側(cè)場小為=1.13V/mE方垂板背板。一限大勻電平，荷面度為，在上一徑的圓，所試場

+疊法過孔并平

垂的上一點P場。解由疊原把

圖9洞成荷密+無限均帶電面放洞面為半的的疊。P的電強可看由面度的無大均帶平面生強和放圓均帶電的圓產(chǎn)生場E在處加所P處場為而

E17

202212xyz202212xyzyzyEi2設OP，帶電盤線一場公，2

i因，P處總為=

0

i–如，強在坐軸向分

Ex,EE

，中=800NmC，設d=10cm，求：（通方的電強量

（立內(nèi)總

1

2荷；（如場度

圖9

三量為E=E，=0，=800Nm–

C–

，再通立的電強通立體總荷解由于E=E=0，通過方上下、前、個面場度為又強有，以方上軸的、18

212n12e1x1x1111n1e2xxx22212n12e1x1x1111n1e2xxx22d2bd2)in0yz1x11e2x兩側(cè)和電量獻設方左右面分為E和，于的正法線量e方與的向的角故過S的電量為ScosπdS而正線的向與的向之間角，通S的電通為Scos0dS則方面總為ee1

225/25/25/（）高斯理

S

E

in所立內(nèi)總量

C

C（）果電強的三分變?yōu)镋=E=bx，，過x軸垂直兩側(cè)面電通為

E

Sπ

SS這個的電為

S

by19

e1e2y33e4y244e3ze1e2y33e4y244e3zee3e4e5e6in0ine通與軸直的個的通

S

dS這個的電為

S

4

又于E則通與z垂直兩面的通=0。整個方的電量由斯所以此立ES內(nèi)總量

）強場場度E與徑為R的球面軸平行，示試算此球電強量（2）場向這球的的角如圖9-23（），計過半球的強通解作為RE的面與半球S一構合面

S′

E

S′（a）

（b）圖9-2320

in2222in2222由閉內(nèi)電由斯有

S

E

而則

E

E

ES依定：上點線量是直指曲側(cè)因，過此球的電強度量（）

E

ERE（）

S

E

S

E

5π3πRE62（1）附場近為200V/m，方指向球心。計地球的總荷地半為

m）離場強為20V/m方指地心試這1400m的氣的均密。解（1慮地面近強向球心說明球負電取地心球為斯，利高斯理求得斯的電荷由定21

inE2E2250E63933633inE2E2250E6393363363EE57.142

S

E4

in得球總荷為Q

200)

C=9.0210C（）離地，方仍地中數(shù)減，明個度大層正。氣帶電，度為，與球，徑+h）面高面高定

S

)

Q0得處氣電量π

E(R)]

20)

]

C=C因<<R，層積為V

4[()]3.14[(6.37)(6.37)]337.141017

=則氣平電度

C/m3

=1.141012

C/m–兩同均電面徑別R，已球的面度+面點場度零試22

，外

inin12221inin12221122222121（）球面電面密；（）球面間離球為r場；（）球面各的場。解1）球和面電別在大面外一心球為高球，9-24示已

大面點場零則

+

1

1

2高面也處為即=0，

2整高上通

E

。

圖9-24由斯得

S

E

0

于

即即

1由得的電度RR（）圖，兩面間

2

1

1

2

+圖9-2523

2102202212r20in2in2102202212r20in2in以r為半同心球面高斯理

S

E

0

in

得Er

R于，面離為的場為(r)（）圖在球

+一心為斯高面

2

1

1

q

，高理

2

S

EE4r

0

圖9-26因小內(nèi)點強E(r)一限長均帶電壁筒，面半為，電密，求其場布并出Er線

（a）

（b圖924

in11in20in11in20解電分布有對稱帶圓激發(fā)電具軸性圖a）示，取為，徑rOy軸軸正柱高面由于E與上底的垂，所通圓個面場度為而過圓側(cè)電強量E2由斯可πrhin在筒

r

，

（1），入（）可，。πrh在筒

r

Rh

，入）可得π

π則E

r25

0dd000020dd00002E曲圖9-27（b）。–如9-28示在電密的限勻電相d處點荷q，平線有P點求P點電勢解由中及大電平電勢點能無遠選點q所在位為原

點沿方為軸方建

圖9-28立圖坐系選取處為零電點則點荷q限帶板在點生場為

q4π

2

0于，P點電

E

πx

2

q11)d()d)24d–兩同的帶球半分為R，R，知內(nèi)面勢V球的V=30V。（）內(nèi)、球上所電；（）兩個面間何的勢為？解：、球所電別q，，由勢原，外面勢表26

11020210220212001.3211020210220212001.321122r1122

π

π

60

V

π

π

V聯(lián)以式可q16.72（）兩個面間某電為零有πrπR則r2m=0.1m在半分為R和的兩層同面間勻布荷密

的電求1）球處

rR

，

Rr

，

rR

）電場度（離心處（

rR

，

Rr

，

rR

）電，出E，Vr曲線。解（1）荷均分在兩心中，電強沿向稱布以兩面心為心徑r的同面高，圖所。高斯理27

11q201in1231231220321113311q201in123123122032111331R()1

S

EE4r

in

2

得

E

in4πr在球（

r

（1），

，入1）得

1

2

E在球（

，

RR

q

43

π(r)

，入）得

1

2圖9-29

在球

r

)E3rq

43

π()

代（1得)rE曲圖9-29所示（）取窮遠為勢零

，由勢

V

r

E

可得域電布,時，rV

r

E+

E+

E=

r

Edr

Er

Edr

EdrEdr

)3

r

R)R2

r331322特當，rR28

(R

112222232223312r20322232R23321112222232223312r20322232R23321333rrr20321020V(R)當

時有V

Rr

E+

R

E=

Rr

Er

R

Er

Rr)3r

r

)R

dr

3

(

RrR)r特當

r

時有當

RV(R)3R時有rR)VEErrrV曲圖9-29所示

R)r一半為的限柱內(nèi)帶電電密為。（）柱內(nèi)外場強分；（2）軸電零求內(nèi)的勢布（）出電E勢V隨軸離r的r，r函數(shù)線

解（）荷具軸

E,對性電柱發(fā)電

29

4

圖9

ininRRininRR場具對性。帶圓軸，高半為圓柱為面。與下面法直，以圓兩面電度量，而過圓側(cè)的電強量E2π

，高理得2rh

0

in

（1在柱（

r

，

，入）可E

在柱（

r

，

，入）可

r（2）軸電零柱、電分為在柱（rV

0Edrrr2

dr

在柱（rVdrErdrdrlnrr2rRr4（）Er，函數(shù)線9-30示一勻電直長L，電荷度30

00rr00rr22為。求帶直的線離O（導線中）P電。解如圖9-31所示取電元ddx，在產(chǎn)的為πr)4(r)根電加理，則

dq

整帶線其線

dx

上產(chǎn)的為

圖9

Lxπ/2r

4π

L*9–27一半R的盤勻帶面度=2–5C/m的電，求（）線上一的電；（2）據(jù)強與變率系該的；（計盤心8cm處的勢場度解（1）立如9-32所示標將盤分許同

d

半的帶細其半

徑r，寬為r的圓面積

圖9dr環(huán)上量dq=r此31

πxxRxπ02222πxxRxπ022222022225在線點產(chǎn)生電πrdrV220根電加理軸上點P的電為