多邊形及其內(nèi)角和

多邊形及其內(nèi)角和第1頁/共52頁§7.3.1多邊形第2頁/共52頁觀察下列圖案由這圖形你抽象出什么幾何圖形？第3頁/共52頁生活中的平面圖形由這圖形你抽象出什么幾何圖形？三角形第4頁/共52頁長方形生活中的平面圖形由這圖形你抽象出什么幾何圖形？第5頁/共52頁由這圖形你抽象出什么幾何圖形？四邊形生活中的平面圖形第6頁/共52頁第7頁/共52頁六邊形生活中的平面圖形由這圖形你抽象出什么幾何圖形？第8頁/共52頁八邊形生活中的平面圖形由這圖形你抽象出什么幾何圖形？第9頁/共52頁三角形長方形六邊形四邊形八邊形在平面內(nèi)，由若干條不在同一條直線上的線段首尾順次相連組成的封閉圖形叫做多邊形。多邊形的定義你能仿照三角形的定義給出多邊形的定義嗎？第10頁/共52頁了解一下頂點(diǎn)內(nèi)角邊對角線對角線：連接多邊形不相鄰的兩個頂點(diǎn)的線段。可表示為：五邊形ABCDE或五邊形DCBAEABCDE第11頁/共52頁ABCD12345內(nèi)角：多邊形相鄰兩邊組成的角外角：多邊形的邊與它的鄰邊的延長線組成的角。內(nèi)角外角678910第12頁/共52頁比一比你能說出這兩幅圖形的異同點(diǎn)嗎？（1）（2）如圖（1）這樣，畫出多邊形的任何一條邊所在的直線，整個四邊形都在這條直線的同一側(cè)，那么這個多邊形就是凸多邊形。本節(jié)我們只討論凸多邊形。第13頁/共52頁想一想：觀察下面多邊形，它們的邊，角有什么特點(diǎn)？

在平面內(nèi)，內(nèi)角都相等，邊也都相等的多邊形叫做正多邊形第14頁/共52頁7.3.2多邊形的內(nèi)角和第15頁/共52頁1、在平面內(nèi)，_____________________叫做多邊形。２、在多邊形中連接_________________的線段叫做多邊形的對角線。３、三角形的內(nèi)角和是_____度．４、你能夠利用三角形的內(nèi)角和求四邊形的內(nèi)角和嗎？試試看？ABCD思路：多邊形問題轉(zhuǎn)化為三角形問題來解決．四邊形的內(nèi)角和為360０由一些線段首尾順次相接組成的圖形多邊形不相鄰的兩個頂點(diǎn)的線段1800第16頁/共52頁問題，新知

長方形的內(nèi)角和是多少？為什么？如果是任意四邊形呢？第17頁/共52頁BADC（1）四邊形ABCD的內(nèi)角和是多少？（2）你是怎樣求的？第18頁/共52頁(1)從頂點(diǎn)A可以畫幾條對角線？分別是哪幾條？(2)這樣五邊形被分成了幾個三角形？

(3)五邊形的內(nèi)角和是多少度？ABDCE第19頁/共52頁你來探索六邊形的內(nèi)角和，你一定行！ABCDEF被分得三角形個數(shù)六邊形的內(nèi)角和4

4×180°第20頁/共52頁這種探索方法你掌握了嗎？請完成下表多邊形的邊數(shù)34567…n分成的三角形個數(shù)12…多邊形的內(nèi)角和180°180°×2180°×3…345n-2180°

×5(n-2)×180180°×4想一想：從表中你能發(fā)現(xiàn)什么？第21頁/共52頁n邊形的內(nèi)角和等于(n－2)．180°第22頁/共52頁想一想

AnA5

A1A4

A2A3

AnA5

A1A4

A2A3PP(1)(2)你還有其他的方法將多邊形分割成三角形嗎？第23頁/共52頁ABCDABCDEABCDEF

該圖中n邊形共有n個三角形，故所有三角形內(nèi)角和為n×180°，但每個圖中都有一個以紅圈圈住的點(diǎn)，它是一個圓周角360°，因此n邊形的內(nèi)角和為

n×180°-360°=(n-2)×180°多了什么？如何處理？第24頁/共52頁多了什么？如何處理？ABCDABCDEABCDEF這種分割方式，將多邊形分成n-1個三角形，故所有三角形的內(nèi)角和為（n-1）×180°，邊上一點(diǎn)周圍所形成的平角不是多邊形的內(nèi)角，因此n邊形的內(nèi)角和為

（n-1）×180°-180°=(n-2)×180°第25頁/共52頁例1：求八邊形的內(nèi)角和的度數(shù)。

解：（n－2）×180°＝（8－2）×180°

＝1080°答：八邊形的內(nèi)角和為1080°。第26頁/共52頁例2：一個正多邊形的一個內(nèi)角為150°，你知道它是幾邊形嗎？

解：設(shè)這個多邊形為n邊形，根據(jù)題意得：（n－2）×180＝1５0n

n＝12答：這個多邊形是12邊形。另解：由于多邊形外角和等于360°

而這個正多邊形的每個外角都等于

180°－150°＝30°，所以這個正多邊形的邊數(shù)等于

360°÷30°＝12。第27頁/共52頁例題、已知兩個多邊形的內(nèi)角和為1440°，且兩多邊形的邊數(shù)之比為1︰3，求它們的邊數(shù)分別是多少？

解:設(shè)它們的邊數(shù)分別是x,y.由題意得：（x-2）·180+（y-2）·180=1440x:y=1:3

解之得x=3y=9

答：它們的邊數(shù)分別是3和9。第28頁/共52頁牛刀小試：

（1）八邊形的內(nèi)角和等于

。

（2）已知一個多邊形的內(nèi)角和等于2340°，

它的邊數(shù)是

。

（3）小明在計算多邊形的內(nèi)角和時求得的

度數(shù)是1000°，他的答案正確嗎？為

什么？

1080°15第29頁/共52頁

（4）已知四邊形4個內(nèi)角的度數(shù)比是1︰2︰3︰4，那么這個四邊形中最大角的度數(shù)是

。（5）一個五邊形的三個內(nèi)角是直角，另兩個內(nèi)角都是n°，則n=

。（6）六角螺母的面是六邊形，它的內(nèi)角都相等，則這個六邊形的每個內(nèi)角是

。（7）在四邊形ABCD中，∠A與∠C互補(bǔ)，那么∠B與∠D有什么關(guān)系呢？為什么？144°135°120°第30頁/共52頁問題

大家清晨跑步嗎？小明就有每天堅持跑步的好習(xí)慣，他怎樣跑步呢？右圖就是小明清晨沿一個五邊形廣場周圍的小跑，按逆時針方向跑步的效果圖.請你觀察并思考如下幾個問題:(1)小明每從一條街道轉(zhuǎn)到下一條街道時，身體轉(zhuǎn)過的角是哪個角？在圖中標(biāo)出它們.ABCDE12345(2)他每跑完一圈，身體轉(zhuǎn)過的角度之和是多少？(3)在上圖中，你能求出1+∠2+∠3+∠4+∠5的大小嗎？你是怎樣得到的？第31頁/共52頁探索

（1）什么是三角形的外角？外角有什么性質(zhì)？

（2）類似地，在多邊形中找出外角多邊形的一邊與另一邊的延長線的夾角，叫做多邊形的外角。第32頁/共52頁做一做（1）如圖，求△ABC的三個外角的和。

三角形的三個外角之和為3600

第33頁/共52頁（2）四邊形的外角和等于多少度？（3）五邊形的外角和怎么求？n邊形呢？第34頁/共52頁猜想與說理:n邊形的外角和是多少度呢?

答:都是360°.因?yàn)槎噙呅蔚耐饨桥c它相鄰的內(nèi)角是鄰補(bǔ)角，所以n邊形的外角和加內(nèi)角和等于n·180°，內(nèi)角和為(n－2)·180°,因此，外角和為：n·180°－(n－2)·180°=360°.結(jié)論:多邊形的外角和都等于360°.第35頁/共52頁例3：一個多邊形的內(nèi)角和等于它的外角和的3倍，它是幾邊形？解：設(shè)它是n邊形，則(n-2).180=3×360解得：n=8答：它是8邊形第36頁/共52頁例3：一個正多邊形的每個內(nèi)角比相鄰?fù)饨谴?6°求這個多邊形的邊數(shù)。

解：設(shè)一個外角為x°，則內(nèi)角為（x＋36）°

根據(jù)題意得：

x+x+36＝180

x＝72360÷72＝5答：這個正多邊形為正五邊形。第37頁/共52頁（1）一個多邊形的每一個外角都是600，這個多邊形是幾邊形？它的內(nèi)角和等于多少度?(2)有沒有這樣的多邊形，它的內(nèi)角和是外角和的3倍？

（3）一個多邊形的每一個外角都相等，且每一個內(nèi)角都比外角大900，求這個多邊形的邊數(shù)和每個內(nèi)角的度數(shù)。

第38頁/共52頁7、兩個多邊形的邊數(shù)比是1:2,兩個多邊形的內(nèi)角和為1440度,求這兩個多邊形的邊數(shù),6、一個多邊形的每個內(nèi)角都比相鄰的外角3倍多20度,求這個多邊形的邊數(shù),5、四邊形的四個內(nèi)角的比是8:6:3:7,求它的四個內(nèi)角,4、一個多邊形的內(nèi)角和是外角和的4倍,這是幾邊形第39頁/共52頁強(qiáng)化訓(xùn)練第40頁/共52頁

三角形三個內(nèi)角的度數(shù)分別是（x+y)o,(x-y)o,xo,且x>y>0,則該三角形有一個內(nèi)角為（） A、30O B、45O C、60O D、90O2.一個正多邊形每一個內(nèi)角都是120o，這個多邊形是（） A、正四邊形 B、正五邊形

C、正六邊形 D、正七邊形CC第41頁/共52頁

３．一個多邊形木板，截去一個三角形后（截線不經(jīng)過頂點(diǎn)），得到新多邊形內(nèi)角和為2160o，則原多邊形的邊數(shù)為（ ）

A、13條 B、14條 C、15條 D、16條下列說法中，錯誤的是（ ）

A、一個三角形中至少有一個角不大于60O；B、有一個外角是銳角的三角形是鈍角三角形；C、三角形的外角中必有兩個角是鈍角；D、銳角三角形中兩銳角的和必然小于60O；AD第42頁/共52頁5.小明繞五邊形各邊走一圈，他共轉(zhuǎn)了___度。6.下列正多邊形（1）正三角形（2）正方形（3）正五邊形（4）正六邊形，其中用一種正多邊形能鑲嵌成平面圖案的是

；360（1）、（2）、（4）7.如下圖，AD是BC邊上的高，BE是△

ABD的角平分線，∠1=40°，∠2=30°，則∠C=___∠BED=

。65°60°ABCD12E第43頁/共52頁8、兩個多邊形的邊數(shù)比是1:2,兩個多邊形的內(nèi)角和為1440度,求這