第二講 牛吃草問題2

牛吃草題牛草題知要1定義英國科學(xué)家牛頓在他的《普通算術(shù)》一書中，有一道關(guān)于牛在牧場上吃草的問題，即牛在牧場上吃草，牧場上的草在不斷的、均勻的生長．后人把這類問題稱為牛吃草問題或叫做“牛頓問題”。這類問題難在哪呢？到底什么是“牛吃草問題”呢？舉兩個簡單例子來說明：舉例一：倉庫里有一堆草，給頭牛吃，6天可以吃完，如果給3頭牛吃，幾天能吃完？這道題該怎么處理呢？我們可以借助下面這個關(guān)系式來進(jìn)行求解：由于每頭牛每天的吃草量是不變的此可以把它設(shè)為單位“1”樣4頭牛6吃掉的草量就等于4×=（個）單位，而頭牛每天吃掉“3”個單位的草，因此3牛需要÷8（天）才能吃完．但是，這道題還不是真正的“牛吃草問題”。真正的“牛吃草問題”不是讓一群牛去倉庫里吃草，而是去一片草地上吃草。二者之間最大區(qū)別在于倉庫里草的總量是固定不變的，而草地上的草是在不停地生長，這樣一來問題就變復(fù)雜了。舉例二有一片牧場每天都在均勻地生長如果在牧場上放養(yǎng)頭牛那么天就把草吃完了如果放養(yǎng)24頭牛，那么天就把草吃完了。（1如果放養(yǎng)32頭牛，多少天可以把草吃完？（2要放養(yǎng)多少頭牛，才能恰好14天把草吃完？分析：這是最常見的牛吃草問題，這類問題的難點(diǎn)在于牛吃草的同時，草還在生假設(shè)一頭牛天吃個單位的草會發(fā)現(xiàn)兩種放養(yǎng)方法吃的總草量不同。為什么會這樣呢？因?yàn)閮纱尾萆L的天數(shù)不同，于是就可以算出草生長的速度了．2特點(diǎn)在“牛吃草”問題中，因?yàn)椴菝刻於荚谏L，草的數(shù)量在不斷變化，也就是說這類問題的工作總量是不固定的，一直在均勻變化。把例1的方法總結(jié)一下，得出牛吃草問題的基本解題步驟：1.將每頭牛每天的草量設(shè)為單位“1”；2.比較已知條件中的吃草總量，算出草每天的生長量；3.計算草地原有草總量；4.根據(jù)所問問題求．知識點(diǎn)撥：“牛吃草”問題主要涉及三個量：草的數(shù)量、牛的頭數(shù)、時間。難點(diǎn)在于隨著時間的增長，草也在按不變的速度均勻生長，所以草的總量不定。解“牛吃草”問題的主要依據(jù)：1.草的每天生長量不變；2.每頭牛每天的食草量不變；3.草的總量草場原有的草量新生的草量，其中草場原有的草量是一個固定值4.新生的草量每天生長量天數(shù)．同一片牧場中的“牛吃草”問題，一般的解法可總結(jié)為：1.設(shè)定1頭1天吃草量為“1”；1

2.草的生長速度(應(yīng)牛的頭數(shù)較多天3.原來的草量對應(yīng)牛的頭數(shù)吃的天數(shù)草的生長速度吃的天數(shù)；4.吃的天數(shù)原來的草量(的頭數(shù)草的生長速度)5.牛的頭數(shù)原來的草量吃的天數(shù)草的生長速度?！芭３圆荨眴栴}有很多的變例抽水問題檢票口檢票問源量問題分行程問題等等有理解了“牛吃草”問題的本質(zhì)和解題思路，才能以不變應(yīng)萬變，輕松解決此類問題。例題精講：板塊一、一塊地的“牛吃草問題”【1

有一片牧場草每天都在均勻地生長如果在牧場上放養(yǎng)8頭那么10天就把草吃完了如果養(yǎng)24頭牛，那么7天就把草吃完了。（1如果放養(yǎng)32頭牛，多少天可以把草吃完？（2要放養(yǎng)多少頭牛，才能恰好14天把草吃完？【】

牧場上有一片勻速生長的草地，可供27頭吃6周，或供23頭牛吃9周，那么它可供多少頭牛吃18周？【3

進(jìn)入冬季后，有一片牧場上的草開始枯萎，因此草會均勻地減少．現(xiàn)在開始在這片牧場上放羊，如果放38羊，需要25天把草吃完；如果放30只羊，需要30天把草吃完。如果放20只羊，這片牧場可以吃多少天？【固

因天氣寒冷，牧場上的草不僅不生長，反而每天以均勻的速度在減少。已知牧場上的草可供33牛吃5天，可供24頭吃6天，照此計算，這個牧場可供多少頭牛吃10天【4

由于天氣逐漸冷起來，牧場上的草不僅不生長，反而以固定的速度在減少．已知某塊草地上的草可供0頭牛吃5天，或可供15牛吃．照此計算，可以供多少頭牛吃10天？【固

由于天氣逐漸冷起來，牧場上的草不僅不長，反而以固定的速度在減少。如果某塊草地上的草可供頭牛吃天，或可供16頭牛吃6，那么可供多少頭牛吃12天？【5

一塊勻速生長的草地可供16頭牛吃20天者供100只吃12天果一頭牛一天吃草量等于5只一天的2

吃草量，那么這塊草地可供10頭牛和75只一起吃多少天？【鞏固】一片牧草，每天生長的速度相同?，F(xiàn)在這片牧草可供0頭牛12天，或可60只羊吃天如1牛的吃草量等于只羊的吃草量，那么12頭牛與88羊一起吃可以吃幾天？【6

有一牧場，17牛30天可將草吃完19頭牛24天以吃完．現(xiàn)有若干頭牛吃6天后，賣4牛，余下的牛再吃兩天便將草吃完．問：原來有多少頭牛吃草均勻生長)【鞏固】一片草地，可供牛吃30天也可供牛吃40天如果4頭牛吃30天，又增加了2牛一起吃，還可以再吃幾天？【鞏固】一個牧場上的青草每天都勻速生長。這片青草可27頭牛吃6天，或23頭牛吃9，現(xiàn)有一群牛吃了4天后賣掉2頭余下的牛又吃了4天將草吃。這群牛原來有多少頭？【7

一片勻速生長的牧草，如果讓馬和牛去吃15天草吃盡；如果讓馬和羊去吃20天將草吃盡如果讓牛和羊去吃，將草吃盡．已知牛和羊每天的吃草量的和等于馬每天的吃草量．現(xiàn)在讓馬、牛、羊一起去吃草，幾天可以將這片牧草吃盡？【鞏固】現(xiàn)在有牛、羊、馬吃一塊草地的草，牛、馬吃需要45吃完，于是馬、羊吃需要60吃完，于是牛、羊吃需要90天完，牛、羊一起吃草的速度為馬吃草的速度，求馬、牛、羊一起吃，需多少時?【8

有三塊草地，面積分別為公頃，頃和8公頃。每塊地每公頃的草量相同而且長的一樣快，第一塊草地可供11頭吃10天，第二塊草地可供12頭牛吃14。第三塊草地可供19牛吃多少天？由題目可知，這是三塊面積不同的草地，為了解決這個問題，首先要將這三塊草地的面積統(tǒng)一起來，這里可以使用最小公倍數(shù)的方法。3

模塊二、牛吃草問題知識衍變有很多的問題看上去和“牛吃草”毫無聯(lián)系，但仔細(xì)觀察就會發(fā)現(xiàn)，它們都只是換了個形式的“牛吃草”而已．這樣的問題通常都可以看成牛吃草問題來求解?！?

假設(shè)地球上新生成的資源增長速度是一定的，照此計算，地球上的資源可供億生活90年或供90億人生活210年為了使人類能夠不斷繁衍，地球上最多能養(yǎng)活多少人？【2

畫展8:30開但早有人來排隊(duì)入場從一個觀眾來到時起若每分鐘來的觀眾一樣多如果開3個入場口，9點(diǎn)就不再有人排隊(duì)；如果開入場口，8點(diǎn)45就沒有人排隊(duì)。求第一個觀眾到達(dá)的時間。【鞏固】畫展9開門，但早有人來排隊(duì)入場，從第一個觀眾來到時起，若每分鐘來的觀眾一樣多，如果開3入場口，9點(diǎn)9分就不再有人排隊(duì)；如果開5入場口，點(diǎn)5就沒有人排隊(duì)．求第一個觀眾到達(dá)的時間．【】【4

自動扶梯以均勻速度由下往上行駛，小明和小麗從扶梯上樓，已知小明每分鐘走25臺階，小麗每分鐘走20級臺階，結(jié)果小明用了分鐘，小麗了6分鐘分別到達(dá)上。該扶梯共有多少級臺階？在地鐵車站中，從站臺到地面有一架向上的自動扶梯．小強(qiáng)乘坐扶梯時，如果每秒向上邁一級臺階，那么他走過20級階后到達(dá)地面如果每秒向上邁兩級臺階么走過級階到達(dá)地面站臺到地面有級臺階．【鞏固】兩個頑皮的孩子逆著自動扶梯行駛的方向行走，男孩每秒可3級梯級，女孩每秒可2級梯級，結(jié)果從扶梯的一端到達(dá)另一端男孩走了秒，女孩走了300秒。問：扶梯共有多少級梯級？【5【6

小明從甲地步行去乙地，出發(fā)一段時間后，小亮有事去追趕他，若騎自行車，每小時行15千米，時可以追上；若騎摩托車，每小時行35千米，1時可以追上；若開汽車，每小時行45千米，分鐘能追上?？熘新囃瑫r從A出發(fā)沿同一公路開往B地途中有騎車人也在同方向進(jìn)這三輛車分別用鐘、8分鐘、14分鐘追上騎車人．已知快車每分鐘行800米，慢車每分鐘行600，中速車的速度是多少？【鞏固】有固定速度行駛的甲車和乙車，如果甲車以現(xiàn)在速度的2倍追趕乙車，5小時后甲車追上乙車；如果甲車以現(xiàn)在速度的3倍趕乙車，小時后甲車追上乙車，那么如果甲車以現(xiàn)在的速度去追趕乙車，問：幾個小時后甲車追上乙車？4

【7

甲、乙、丙三車同時從

地出發(fā)到

地去．甲、乙兩車的速度分別是每小60千和每小時48千米．有一輛卡車同時從迎面開來，分別在它們出發(fā)后6小時、時、時先后與甲、乙、丙車相遇，求丙車的速度．【鞏固】小新、正南、妮妮三人同時從學(xué)校出發(fā)到公園去．小新、正南兩人的速度分別是每分20米和每分鐘16米在他們出發(fā)的同時，風(fēng)間從公園迎面走來，分別在他們出發(fā)后鐘、7分鐘、鐘先后與小新、正南、妮妮相遇，求妮妮的速度．【】

一條船有一個漏洞水以均勻的速度漏進(jìn)船內(nèi)待發(fā)現(xiàn)時船艙內(nèi)已進(jìn)了一些水如果用人舀水3時舀完。如果只有5個舀水，要小時才能完?，F(xiàn)在要想在2小時舀完，需要多人？【鞏固】一個水池，池底有泉水不斷涌出，用10部抽水機(jī)20時可以把水抽干，用15部同的抽水機(jī)小時把水抽干。那么用25部這樣的抽水機(jī)多少小時以把水抽干？【鞏固】一只船發(fā)現(xiàn)漏水時，已經(jīng)進(jìn)了一些水，現(xiàn)在水勻速進(jìn)入船內(nèi)，如果3淘水40分可以淘完；人淘水16分鐘可以把水淘完，那么，淘水幾分鐘可以把水淘完？【9

一個裝滿了水的水池有一個進(jìn)水閥及三個口徑相同的排水閥如果同時打開進(jìn)水閥及一個排水閥30分鐘能把水池的水排完，如果同時打開進(jìn)水閥及兩個排水閥，則0分鐘把水池的水排完．問：關(guān)閉進(jìn)水閥并且同時打開三個排水閥，需要多少分鐘才能排完水池的水？【10

一個蓄水池有1個進(jìn)水口15個出水口，水從進(jìn)水口勻速流入．當(dāng)池中有一半的水時，如果打開個出水口，9小時可以把水排空．如果打開出水口，18時可以把水排空．如果是一滿池水，打開全部出水口放水，那么經(jīng)過時分水池剛好被排空．【鞏固】

有一個蓄水池裝了

9

根相同的水管，其中一根是進(jìn)水管，其余

根是出水管．開始時，進(jìn)水管以均勻的速度不停地向蓄水池注水．后來，想打開出水管，使池內(nèi)的水全部排光．如果同時打開

根出水管，則

小時可排盡池內(nèi)的水；如果僅打開

根出水管，則需

小時才能排盡池內(nèi)的水．若要在

4.5

小時內(nèi)排盡池內(nèi)的水，那么應(yīng)當(dāng)同時打開多少根出水管？【11

北京密云水庫建有

0

個泄洪洞，現(xiàn)在水庫的水位已經(jīng)超過安全線，并且水量還在以一個不變的速度增加，為了防洪，需要調(diào)節(jié)泄洪的速度，假設(shè)每個閘門泄洪的速度相同，經(jīng)測算，若打開一個泄洪閘個小時以后水位降至安全線；若同時打開兩個泄洪閘，個小時后水位降至安全線．根據(jù)抗洪形勢，需要2個小時使水位降至安全線以下，則至少需要同時打開泄洪閘的數(shù)目為多少個？【鞏固】由于環(huán)境惡化、氣候變暖，官廳水庫的水在勻速減少，為了保證水庫的水量，政府決定從上游的壺流河水庫以及5

冊田水庫分別向官廳水庫進(jìn)行調(diào)水已知這兩個水庫的每個閘門放水量是相同的，如果同時打開壺流河水庫5個閘門30小可以使官廳水庫水量達(dá)到原來的標(biāo)準(zhǔn)同時打開冊田水庫的閘門40小時可以使官廳水庫水量達(dá)到原來的標(biāo)準(zhǔn)，如果24小時使官廳水庫水量達(dá)到原來的標(biāo)準(zhǔn)，問需同時打開兩個水庫的幾個閘門【12

小方用一個有洞的杯子從水缸里往三個同樣的容積的空桶中舀水。第一個桶距水缸有米小方用3次恰好把桶裝滿；第二個桶距水缸有米，小方用4次好把桶裝滿。第三個桶距水缸有3，那么小方要多少次才能把它裝滿（假設(shè)小方走路的速度不變，水從杯中流出的速度也不變）【13

甲、乙、丙三個倉庫，各存放著數(shù)量相同的面粉，甲倉庫用一臺皮帶輸送機(jī)和12個工人，小時可將甲倉庫內(nèi)面粉搬完；乙倉庫用一臺皮帶輸送機(jī)和28個人，小時可將倉庫內(nèi)面粉搬完；丙倉庫現(xiàn)有2皮帶輸送機(jī)，如果要用2小把丙倉庫內(nèi)面粉搬完同時還要多少個工人？(個工人每小時工效相同每臺皮帶輸送機(jī)每小時工效也相同，另外皮帶輸送機(jī)與工人一起往外搬運(yùn)面粉【14

某建筑工地開工前運(yùn)進(jìn)一批磚，開工后每天運(yùn)進(jìn)相同數(shù)量的磚，如果250個工人砌磚墻，可以把磚用完，如果派160個人，10可以把磚用完，現(xiàn)在派名工人砌了10天后，又增加5名工人一起砌，還需要再砌幾天可以把磚用完？【15

某建筑工地開工前運(yùn)進(jìn)一批磚，開工后每天運(yùn)進(jìn)相同數(shù)量的磚，如果15工人砌磚墻14天可以把磚用完，如果派20個人，可以把磚用完，現(xiàn)在派若干名工人砌了6天后，調(diào)走名工人，其余工人又工作才砌完，問原來有多少工人來砌墻？課后練習(xí)練1練2

倉庫里原有一批存貨，以后繼續(xù)運(yùn)貨進(jìn)倉，且每天運(yùn)進(jìn)的貨一樣多。用同樣的汽車運(yùn)貨出倉，如果每天4汽車，9天恰好運(yùn)完；如果每天用5輛汽車，6天恰好運(yùn)完。倉庫里原有的存貨若1輛汽車運(yùn)則需要多少天運(yùn)完？有一個水池，池底存了一些水，并且還有泉水不斷涌出。為了將水池里的水抽干，原計劃調(diào)8臺抽水機(jī)同時工作。但出于節(jié)省時間的考慮，實(shí)際調(diào)來9臺抽水機(jī)，這樣比原計劃節(jié)省小時。工程師們測算出，如果最初調(diào)來

0

臺抽水機(jī)，將會比原計劃節(jié)省

2

小時。這樣，將水池的水抽干后，為了保持池中始終沒有水，還應(yīng)該至練3

少留下臺抽水機(jī)。一水庫原有存水量一定，河水每天勻速入庫。5抽水機(jī)連續(xù)天干，臺同樣的抽水機(jī)連續(xù)天抽干，若要6天干，要多少臺同樣的抽水機(jī)？練4

快、中、慢三車同時從A出發(fā)，追趕一輛正在行駛的自行車。三車的速度分別是每小時24千米、20千米、千米?？燔囎飞献孕熊囉昧诵r，中追上自行車用了小時，慢車追上自行車需要用多少小時？6

練5

一水池中原有一些水，裝有一根進(jìn)水管，若干根抽水管。進(jìn)水管不斷進(jìn)水，若用4抽水管抽水6小時可以把池中的水抽干，那么用16抽水管）小時可將可將水池中的水抽干。練6練7

某碼頭剖不斷有貨輪卸下貨物，又不斷用汽車把貨物運(yùn)走，如9汽車12小時可以把它們運(yùn)完，如果8汽車，16小可以把它們運(yùn)完。如果開始只用3汽車，10小時后增加若干，再過小也能運(yùn)完，那么后來增加的汽車是（）輛。有一片草地，每天都在勻速生長，這片草可16頭牛吃20天，可供只羊吃12天。如果一頭牛的吃草量等于4羊的吃草量，那么10頭牛60羊一起吃可以吃多少天？練8

某水庫建有10個泄洪閘，現(xiàn)在水庫的水位已經(jīng)超過安全警戒線，上游的河水還在按一不變的速度增加。為了防洪，需開閘泄洪。假設(shè)每個閘門泄洪的速度相同，經(jīng)測算，若打開一個泄洪閘小時水位降到安全線，若打開兩個泄洪閘10小時水位降到安全線。在抗洪指揮部要求5.5小時內(nèi)使水位降到安全線，問