理論力學(xué)習(xí)題

第一章思考題平均速度與瞬時(shí)速度有何不同在什么情況下，它們一致答：平均速度因所取時(shí)間間隔不同而不同，它只能對(duì)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)作一般描述，平均速度的方向只是在首末兩端點(diǎn)連線的方向；而瞬時(shí)速度表示了運(yùn)動(dòng)的真實(shí)狀況，它給出了質(zhì)點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)軌道上各點(diǎn)處速度的大小和方向（沿軌道切線方向）。只有在勻速直線運(yùn)動(dòng)中，質(zhì)點(diǎn)的平均速度才與瞬時(shí)速度一致。在極坐標(biāo)系中，V=rv=r0，為什么a=r-r02而非r為什么r 0 ra=r8+22而非a=r。+r0?你能說(shuō)出a中的-r0;和a中另一個(gè)用出現(xiàn)的原0 0 r 0因和它們的物理意義嗎答：在極坐標(biāo)系中，徑向速度和橫向速度，不但有量值的變化，而且有方向的變化，單位矢量對(duì)時(shí)間的微商不再等于零，導(dǎo)致了上面幾項(xiàng)的出現(xiàn)。實(shí)際上將質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)視為徑向的直線運(yùn)動(dòng)以及以極點(diǎn)為中心的橫向的圓周運(yùn)動(dòng)。因此徑向加速度分量a中，除經(jīng)向直線運(yùn)動(dòng)的加速度r外，還有因橫向速度的方向變化產(chǎn)生的加速度分量-r0,2；橫向加速度分量中除圓周運(yùn)動(dòng)的切向加速度分量r0夕卜，還有沿橫向的附加加速度2r0，其中的一半r0是由于徑向運(yùn)動(dòng)受橫向轉(zhuǎn)動(dòng)的影響而產(chǎn)生的，另一半r0是由于橫向運(yùn)動(dòng)受徑向運(yùn)動(dòng)的影響而產(chǎn)生的。在內(nèi)稟方程中，“在內(nèi)稟方程中，“是怎樣產(chǎn)生的為什么在空間曲線中它總沿著主法線n的方向當(dāng)質(zhì)點(diǎn)沿空間曲線運(yùn)動(dòng)時(shí)，副法線方向的加速度^^等于零，而作用力在副法線方向的分量Fb一般不等于零，這是不是違背了牛頓運(yùn)動(dòng)定律呢答：由于自然坐標(biāo)系是以軌道切線、主法線和副法線為坐標(biāo)系，當(dāng)質(zhì)點(diǎn)沿著軌道曲線運(yùn)動(dòng)時(shí)，軌道的切線方向始終在密切平面內(nèi)，由于速度方向的不斷變化，產(chǎn)生了〃沿主法線方向且指向曲率中心。在副法線方向不存在加速度分量，4等于零，這并不違背牛頓運(yùn)動(dòng)定律，因?yàn)樵诟狈ň€方向作用的主動(dòng)外力不一定為零，但可做到ZFb=0，即所有外力之和在副法線方向平衡。在怎樣的運(yùn)動(dòng)中，只有〃而無(wú)〃在怎樣的運(yùn)動(dòng)中，又只有〃而無(wú)〃在怎樣的運(yùn)動(dòng)中，既有〃又有〃答：質(zhì)點(diǎn)在變速直線運(yùn)動(dòng)中，只有〃而無(wú)〃；質(zhì)點(diǎn)在勻速曲線運(yùn)動(dòng)中，只有〃而無(wú)〃；質(zhì)點(diǎn)在變速曲線運(yùn)動(dòng)中，既有〃又有〃。dr與包有無(wú)不同dv與包有無(wú)不同試就直線運(yùn)動(dòng)與曲線運(yùn)動(dòng)分別加dtdt dtdt以討論。答：直線運(yùn)動(dòng)中：更是速度，是矢量；生是速率，是標(biāo)量；dt dt更是加速度，是矢量；變是加速度的大小，是標(biāo)量。dtdtdr dr: dv dv; = I = 更是加速度，是矢量；變是加速度的大小，是標(biāo)量。dtdtdr dr: dv dv; = I = Idt dt dt dt曲線運(yùn)動(dòng)中:更是速度，是矢量;dt如是速度的徑向分量，是標(biāo)量;dt更是加速度，是矢量；型是加速度的切向分量，是標(biāo)量。dtdt人以速度y向籃球網(wǎng)前進(jìn)，則當(dāng)其投籃時(shí)應(yīng)用什么角度投出跟靜止時(shí)投籃有何不同答：設(shè)靜止時(shí)投籃角度為e，運(yùn)動(dòng)時(shí)投籃角度為小，且：0<8,。>900，籃球?yàn)閯?dòng)點(diǎn)，人為運(yùn)動(dòng)參照系，籃球網(wǎng)不動(dòng)。人的速度為牽連速度V，球e對(duì)人的速度為相對(duì)速度V，人靜止時(shí)投籃速度為V0，也就是球的絕對(duì)速度。因此：rr??.ctge>ctg八0，因余切函數(shù)是減函數(shù)。故：e<。，即人以速度V向籃球網(wǎng)前進(jìn)時(shí)，其投籃的拋射角較靜止時(shí)應(yīng)大些，才能準(zhǔn)確地將球投入藍(lán)中。

雨點(diǎn)以勻速,落下，在一有加速度僅的火車中看它走什么路線答：這屬于牽連運(yùn)動(dòng)為平動(dòng)的問(wèn)題。以車廂為參照雨點(diǎn)以勻速,落下，在一有加速度僅的火車中看它走什么路線答：這屬于牽連運(yùn)動(dòng)為平動(dòng)的問(wèn)題。以車廂為參照系建立坐標(biāo)系o―xy，則雨點(diǎn)受慣性力一頓作用，忽略雨點(diǎn)的重力，則動(dòng)力學(xué)方程為:-rmmx=ma 即口：Ix=a=吊數(shù)my=0 [y=v=常數(shù)雨點(diǎn)在乂方向作勻加速運(yùn)動(dòng)，在y方向作勻速運(yùn)動(dòng)，與重力場(chǎng)中物體的平拋運(yùn)動(dòng)相比較知，雨點(diǎn)相對(duì)于火車走的是一條拋物線，若X=aw常數(shù)，則要經(jīng)過(guò)積分才能知道路徑。某人以一定的功率劃船，逆流而上，當(dāng)船經(jīng)過(guò)一橋時(shí)，船上的漁竿不慎掉入河中，兩分鐘后，此人才發(fā)現(xiàn)，立即返棹追趕，追到漁竿之處在橋的下游600米的地方，問(wèn)河水的流速是多大答：以船為動(dòng)點(diǎn)，河水為動(dòng)系，岸為定系。船對(duì)水的相對(duì)速度：，水對(duì)岸的流速（及漁竿的速度）為牽連速度v，所以：…120義(v—v)+600600120+ r e 二 v+v v解得：v=2.5解得：v=2.5米/秒。物體運(yùn)動(dòng)的速度是否總是和所受的外力的方向一致為什么答：物體運(yùn)動(dòng)速度并不一定和所受的外力方向一致。只有物體的加速度方向才和其所受外力的方向一致。速度總是沿著切線方向，而作用于質(zhì)點(diǎn)的外力是可以有不同方向的，所以物體運(yùn)動(dòng)的速度并不總是和所受外力的方向一致。在哪些條件下，物體可以作直線運(yùn)動(dòng)如果初速度的方向和力的方向不一致，則物體是沿力的方向還是沿初速度的方向運(yùn)動(dòng)試用一具體實(shí)例加以說(shuō)明。答：當(dāng)力的作用方向與物體的初速度方向一致或相反時(shí)，物體才能作直線運(yùn)動(dòng)。如果力的方向與物體的初速度方向不一致，則物體既不沿力的方向也不沿初速度的方向運(yùn)動(dòng)，如拋射體運(yùn)動(dòng)。質(zhì)點(diǎn)僅因重力作用而沿光滑靜止曲線下滑，達(dá)到任意一點(diǎn)時(shí)的速度只和什么有關(guān)為什么是這樣假如不是光滑的又將如何答：如圖所示，取x軸為零勢(shì)線，由于曲線光滑，曲線對(duì)質(zhì)點(diǎn)的作用力和位移方向垂直，該力不作功，故機(jī)械能守恒：1—mv1—mv2=2o1mmv2—mgyV=■\,：v0+2gy即達(dá)到任一點(diǎn)的速度只與初速度及下降的高度有關(guān)，而與曲線的形狀無(wú)關(guān)。如果曲線不是光滑的，則有摩擦力存在，摩擦力在質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中作功，由動(dòng)能定理有：mv2—1mv2=mgy+Jfdl22Jfdl由于摩擦力作功與路徑有關(guān)，所以摩擦力存在時(shí)，質(zhì)點(diǎn)到達(dá)任一點(diǎn)的速度與初速度及下降的高度有關(guān)，還與曲線的形狀有關(guān)。為什么質(zhì)點(diǎn)被約束在一光滑靜止的曲線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，約束力不作功我們利用動(dòng)能定理或能量積分，能否求出約束力如不能，應(yīng)當(dāng)怎樣去求答：因?yàn)榧s束力與運(yùn)動(dòng)方向垂直，所以在光滑靜止曲線上，約束力不作功，用動(dòng)能定理或能量積分無(wú)法求出約束力。此時(shí)可以用動(dòng)能定理或能量積分先求出速度，在利用內(nèi)稟方程中的法向運(yùn)動(dòng)微分方程，可求出約束力。質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量是1kg，它運(yùn)動(dòng)時(shí)的速度是：/=3:+2j+老k,式中入j、k是沿xyz軸上的單位矢量，求此質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量和動(dòng)能的量值。答：動(dòng)量：P=mv=3i+2j+<3k動(dòng)量的量值： p=mv=.332+22+3=4（單位）動(dòng)能： T=1mv2=1（32+22+3）=8（單位）2在上題中，當(dāng)質(zhì)點(diǎn)以上述速度運(yùn)動(dòng)到（1,2,3）點(diǎn)時(shí)，它對(duì)原點(diǎn)0及z軸的動(dòng)量矩各是多少答：質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到（1,2,3）點(diǎn)時(shí)，它對(duì)原點(diǎn)。的位矢為：jjjjr=i+2j+3kTOC\o"1-5"\h\z則對(duì)。點(diǎn)的動(dòng)量矩為：ji j k—>J=rxmv=1 2 32 晶=（2v'3-6）j+（9-v-'3）j-4k對(duì)z軸的動(dòng)量矩為：jjJ=J?k=-4動(dòng)量矩守恒是否就意味著動(dòng)量也守恒已知質(zhì)點(diǎn)受有心力作用而運(yùn)動(dòng)時(shí)，動(dòng)量矩是守恒的，問(wèn)它的動(dòng)量是否也守恒答：動(dòng)量矩守恒的條件是；M=rXF=0；動(dòng)量守恒的條件為：F=0。由于m=rxF=0時(shí)，可以是r與F共線而F豐0，故動(dòng)量矩守恒時(shí)動(dòng)量不一定守恒。-r以質(zhì)點(diǎn)在有心力作用下的運(yùn)動(dòng)為例，F(xiàn)=F(r)r,顯然M=rXF=0，動(dòng)r量矩守恒，但因?yàn)镕w0，動(dòng)量不守恒。實(shí)際上質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量沿軌道切線，其大小和方向時(shí)刻在變化。如F=F(r)，則在三維直角坐標(biāo)系中，仍有VxF=0的關(guān)系存在嗎試檢驗(yàn)之。答：F=F(r)-，貝h

rF=F(r)x F=F答：F=F(r)-，貝h

rxryrzrVxVxF=-rjdSyF(r)yrkS女F(r)zr=[((Fz)-^(Fy)]i+[](F-)—[(Fz)]j+[《(F^)-^(Fx)]k

Sy r Sz r Sz r Sx r Sx r Sy y-i(VxF)-i(VxF)xSzSySFSr

蔡(F7)j曰)=z-(一)LSzSrSySFSry—(—)—SrrSzTOC\o"1-5"\h\zSr x Sry Sr zr2=xdd.xxF(r)-r+y2+ zdd.xxF(r)-rSx r Syr Sz r—?(VxF)=0同理：(Vx同理：(VxF)=0y——(VxF)z=0VxF=0即有心力場(chǎng)是無(wú)旋場(chǎng)，有心力場(chǎng)是保守力場(chǎng)。在平方反比引力問(wèn)題中，勢(shì)能曲線應(yīng)具有什么樣的形狀答：平方反比引力：F(r)=-GMmr2勢(shì)能為:V=-fF?dr=-fF(r)dr=Jr^-^mdr=8r2GMm勢(shì)能曲線形狀如圖所示。GMm我國(guó)發(fā)射的第一顆人造地球衛(wèi)星的軌道平面和地球赤道平面的夾角為，比蘇聯(lián)及美國(guó)第一次發(fā)射的都要大，我們說(shuō)，交角越大，技術(shù)要求越高，這是為什么又交角大的優(yōu)點(diǎn)是什么答：評(píng)定發(fā)射人造衛(wèi)星的技術(shù)指標(biāo)應(yīng)從多方面綜合考慮，不應(yīng)簡(jiǎn)單地一概而論。衛(wèi)星的軌道平面和地球赤道平面的夾角大，利用地球自轉(zhuǎn)的線速度就小，因而就需要火箭的推動(dòng)力要大，技術(shù)要求就高。交角大，衛(wèi)星“掃射”地球表面積大，因而了解信息就多。但人造地球衛(wèi)星的軌道平面和地球赤道平面的夾角，是按衛(wèi)星的功能和實(shí)際需要來(lái)確定的。盧瑟福公式對(duì)引力庫(kù)侖場(chǎng)來(lái)講也能適用嗎為什么答：盧瑟福公式由平方反比斥力得到，而引力庫(kù)侖場(chǎng)為平方反比引力，兩者實(shí)質(zhì)一樣，只差一符號(hào)，引力場(chǎng)中軌道的偏轉(zhuǎn)與斥力場(chǎng)中偏轉(zhuǎn)的方向

相反，故盧瑟福公式也能使用。第一章 習(xí)題沿水平方向前進(jìn)的槍彈，通過(guò)某一距離s的時(shí)間為t1,而通過(guò)下一等距離s的時(shí)間為t,試證明槍彈的減速度(假定是常數(shù))為:22s(t-1)1112(11+12)證：設(shè)初速度為v，加速度為：-aTOC\o"1-5"\h\z通過(guò)第一段距離S：s=yt-Lt2 (1)i2 1通過(guò)2s距離： 2s=v(t+1)-1a(t+1)2 (2)012 2 12(1)(2)兩式聯(lián)立，消去v得：[(1)義(t+1)-(2)xt]s(t-1)=a.at((t+1)2 1 2 121 2. 2s(t-1)… 1112(11+12)證畢。

某船向東航行，速率為每小時(shí)15千米，在正午經(jīng)過(guò)某一燈塔，另一船以同樣速度向北航行，在下午1時(shí)30分經(jīng)過(guò)此燈塔，問(wèn)在什么時(shí)候兩船的距離最近最近的距離是多少解：以正午為計(jì)時(shí)零點(diǎn)，設(shè)/時(shí)兩船相距最近，其最近距離為s。設(shè)東向船為A，北向船為B，以燈塔為坐標(biāo)原點(diǎn)0，建立坐標(biāo)系0—冷，如圖所示。在/時(shí)刻，兩船位置分別為:AQ,0)AB(0,yB)x=vty=v(t-1.5x=vty=v(t-1.5)BS=xx2+y2*AB=vt22+(t—1.5)2dsv21+2(t-1.5)八——= / 、=0dt22t2+(2-1.5)2則：21+2(t-1.5)2=0:.t=0.75小時(shí)（即午后45分鐘）將t值代入S表達(dá)式得:Si=15,0.752+6.75-1.5%=15.9（千米）答：在正午后45分鐘兩船相距最近，其最近距離為15.9千米。曲柄西=r，以勻角速①繞定點(diǎn)。轉(zhuǎn)動(dòng)，此曲柄借連桿人8使滑塊B沿直線ox運(yùn)動(dòng)，求連桿上C點(diǎn)的軌跡方程及速度。設(shè)AC=CB=a/AOB=。/ABO二▼。解：如圖所示建立坐標(biāo)系0 xy，。點(diǎn)的坐標(biāo)為:rsin。=2asinV(3)由（1）（2）兩式消去v得： a2=y2+（x-rcos力）2即： x-rcos。=a22-y2 (4)由⑵(3)兩式消去v得：2y=rsin4 (5)由(4)(5)兩式消去^得： r2=4y2+(x-.222-y2)2上式化簡(jiǎn)得軌道方程為:4x2(a2—y2)=(x2+3y2+a2-r2)2對(duì)(1)(2)兩式取微商得:TOC\o"1-5"\h\zJX=-r6sin巾一aWsinV (6)[y=aWcosW (7)對(duì)(3)式取微商得： r4)cos6=2aWcosW.r4cos4 “、W=有萩 ⑻將(8)代入(6)(7)得：.I-.? r4sinwcos6x=一r4sin4- v 2cosw? 1 ， 一y=—r4cos4 4=3< ^2。點(diǎn)的速度為,'(r4sin4-r4sinWc0s4)2+(1r4cos4)21 2cosW 2———”4sin4cosWsin(4+W)+cos242cosW細(xì)桿OL繞O點(diǎn)以勻角速①轉(zhuǎn)動(dòng)，并推動(dòng)小環(huán)C在固定的鋼絲AB上滑動(dòng)，如圖所示，d為一已知常數(shù)，試求小環(huán)的速度及加速度的量值。解：如圖建立直角坐標(biāo)系O—xy，小環(huán)在任意時(shí)刻的位矢為：

r=OC=xi+r=OC=xi+yj=dtgQi+djTOC\o"1-5"\h\zv= =d-0,sec20i= 3idt d式中用至4：sec20=-J—

cos20式中用至4：.小環(huán)的速度的量值為：v=X2+d23dva=-dt—ddva=-dt—d，3sec20Jdt=2d32sec20,tg0itg0IX2+d2.=232X id2小環(huán)的加速度的量值為：a=232xX2礦山升降機(jī)作加速度運(yùn)動(dòng)時(shí)，其變加速度可用下式表示:a=a=c(1-sin2T式中c及T為常數(shù)，試求運(yùn)動(dòng)開(kāi)始t秒后升降機(jī)的速度及其所走過(guò)的路程。已知升降機(jī)的初速度為零。

解：升降機(jī)作直線加速運(yùn)動(dòng)，則:TOC\o"1-5"\h\z史=c（1-sin三-）dt 2T兩邊積分:fVdv=Jtc（1-sin上）dt0 0 2T，V=c[t+—（cos巴-1）]兀 2TdsVdsV=—=c

dtr2T.兀t[t*云（C0S2T-（IlA=（IlA=從9X+生Ir）證：由已知：v=r=Xr沿位矢方向兩邊積分:c[t+三（cos巴-1）]dt

兀 2Trt2,2T2T.兀ts=c[T+T（不Sin2T-）]一質(zhì)點(diǎn)沿位矢及垂直于位矢的速度分別為Xr及U0，式中hU是常數(shù)，試證其沿位矢及垂直于位矢的加速度分別為:、 U202a=X2r- r r

TOC\o"1-5"\h\zdv d()d( \:.a==an)+ (^0j)dt dt dt=Xri+入rdi+^0j+日0”dt dt■■■=X范+Xr0j+從0j一從00iX2X2r-i+，r0+JIRRRR202=X2r- r(IlA=r0X+上IrJ證畢。試自x=rcos0,y=rsin0出發(fā)，計(jì)算X及y,并由此推出徑向加速度ar和橫向加速度a0。90解：x、y坐標(biāo)與平面極坐標(biāo)八0之間的關(guān)系，如圖所示。90JX=rcos0-r0sin0y=rsin0+r0cos0??X=rcos0-r0sin0-r0sin0???-r0sin0-r02cos0■■■■=rcos0-2r0sin0-r0sin0-r02cos0■■■■■y=rsin0+r0cos0+r0cos0+r0cos0-r02sin0■■■■=rsin0+2r0cos0+r0cos0-r02sin0a=Xcos0+ysin0r=rcos20-2r0sin3cos3-r02cos0-r0sin0cos0+rsin20+2r0cos3sin0+r0cos3sin3-r02sin20

a0=ycosO-xsinO=rsin3cos3+2r0cos20+r0cos20一r02sin3cosO-rsinOcos0+2r0sin20+r0sin20+r02cos3sin0=2r0+r0...徑向加速度為：a橫向加速度為:a橫向加速度為:a=2r0+r00質(zhì)點(diǎn)作平面運(yùn)動(dòng)，其速率保持為常數(shù)。試證其速度矢量V與加速度矢量a正交。證：KV=V2=常數(shù)（已知）上式對(duì)時(shí)間取微商：2ka=0 即：ka=01a即速度矢量v與加速度矢量a正交。又證：因?yàn)橘|(zhì)點(diǎn)作平面運(yùn)動(dòng)，速度總沿軌道切線方向。VVI工、 —dV—dv—v2—而 a=——=—i+—jdtdtp又V為常數(shù)（已知），史=0dt

所以:a—所以:a——dt故：1a 即速度矢量—與加速度矢量a正交。證畢。一質(zhì)點(diǎn)沿著拋物線y2—2px運(yùn)動(dòng)，其切向加速度的量值為法向加速度量值的-2k倍，如此質(zhì)點(diǎn)從正焦弦（pp）的一端以速度u出發(fā)，試求其達(dá)到正2焦弦另一端的速率。dv vdv v2 d0 dsd0 d0a——a———v2——v —v—Tdtnpdsdtdsdt由題意知:dtdt積分:

Jv—=-2kf°d°°0v=ue-k九質(zhì)點(diǎn)沿著半徑為廠的圓周運(yùn)動(dòng)，其加速度矢量與速度矢量間的夾角a保持不變。求質(zhì)點(diǎn)的速度隨時(shí)間而變化的規(guī)律。已知初速度為v0。解：按題意畫(huà)圖，如圖所示。a沿切向與v同向間夾角a解：按題意畫(huà)圖，如圖所示。a沿切向與v同向間夾角a，即a與v間夾角為a，為常數(shù)。貝hat=ctgaandVdtdvv2———ctgadtrJvdv ctgav0V2r1 1在上題中，試證其速度可表示為:V=Ve(°-°0)ctga0式中°為速度矢量與X軸間的夾角且當(dāng)式中°為速度矢量與X軸間的夾角且當(dāng)t=0時(shí)io證：T-ctga

andVa二—Tdtds

d°dvctga=--vd0分離變量積分：Jvdv=ctgaj0d0v0v 00In—=(0-0)ctgav 00v=ve(0-00)ctga0證畢。假定以飛機(jī)從A處向東飛到B處，而后又向西飛回原處，飛機(jī)相對(duì)于空氣的速度為力,而空氣相對(duì)于地面的速度則為"，A與B之間的距離為I，飛機(jī)相對(duì)于空氣的速率/保持不變。(a)假定v0=0，則空氣相對(duì)于地面是靜止的，試證來(lái)回飛行的總時(shí)間為：t=2；0v'(b)假定空氣速度向東(或向西)，試證來(lái)回飛行的總時(shí)間為：；t= t0B1-v2/v'20(c)假定空氣速度向北(或向南)，試證來(lái)回飛行的總時(shí)間為:t= t0NV'1-v2/v'20解：本題是牽連運(yùn)動(dòng)為平動(dòng)的問(wèn)題

選擇：動(dòng)點(diǎn)(運(yùn)動(dòng)物體)飛機(jī);其中動(dòng)系——空氣;定系 大地。選擇：動(dòng)點(diǎn)(運(yùn)動(dòng)物體)飛機(jī);其中動(dòng)系——空氣;定系 大地。v'為相對(duì)速度，vo為牽連速度，v為絕對(duì)速度。⑸空氣靜止v0=°v=/其大小為:,21v=v=——t其大小為:°21

v'(b)設(shè)空氣向東流動(dòng)當(dāng)飛機(jī)由西向東飛行時(shí)，4=v°+v1t= ABv+v'°當(dāng)飛機(jī)由東向西返回時(shí)：—vA=v°-v1t= BA v'-v°故來(lái)回所花時(shí)間:t=t+t= + BABBAM+vM_v21_2v'l_V7V'2一V2 1一V2/V’20 0t= 0 1-V2/v'20(c)設(shè)風(fēng)從南向北吹，飛機(jī)由西向東飛行時(shí)相對(duì)速度為、，飛機(jī)由東向西飛時(shí)相對(duì)速度為V，如圖所示。:.tN:.tNlI:'V‘2-V21 0t, 0V'1-V2/V,2“ 0一飛機(jī)在靜止空氣中每小時(shí)的速率為100千米，如果飛機(jī)沿每邊為6千米的正方形飛行，且風(fēng)速為每小時(shí)28千米，方向與正方形的某兩邊平行，則飛機(jī)繞此正方形飛行一周，需時(shí)多少解：設(shè)飛機(jī)為動(dòng)點(diǎn)，風(fēng)為動(dòng)系，南向北吹，大地為靜系。如圖所示。飛機(jī)向北行：V=V解：設(shè)飛機(jī)為動(dòng)點(diǎn)，風(fēng)為動(dòng)系，南向北吹，大地為靜系。如圖所示。飛機(jī)向北行：V=V+V且由V飛機(jī)向南行：V=飛機(jī)向南行：V=M—y飛機(jī)向東或向西行：:V‘2-Vll

+ V+V'V'—V0 021+—?21+—? =：V，2—V20r

vT-IV'1——0-21r 121r 1 V,1—V2/V,2V0、, 1+i =11—V2/M2IV0 ,=0.2552小時(shí)=15_5分鐘16當(dāng)一輪船在雨中航行時(shí)，它的雨蓬遮著篷的垂直投影后2米的甲板,篷高4米，但當(dāng)輪船停航時(shí)，甲板上干濕兩部分的分界線卻在篷前3米，如果雨點(diǎn)的速度為8米/秒，求輪船的速率。解：選擇：動(dòng)點(diǎn) 雨點(diǎn)動(dòng)系——輪船靜系——岸邊雨對(duì)地的速度（絕對(duì)速度）V=8m/s雨對(duì)船的速度（相對(duì)速度）為v，船對(duì)地的速度（牽連速度）為v0方向如圖所示。由相對(duì)運(yùn)動(dòng)速度公式有：v=v0+v'由圖形知：AABC與速度三角形相似，則：vAB<32+42 1 == =1V0BC3+2/.v=V°=8m/s寬度為d的河流，其流速與到河岸的距離成正比。在河岸處，水流速度為零，在河流中心處，其值為c，一小船以相對(duì)速度u沿垂直于水流的方向行駛，求船的軌跡以及船在對(duì)岸靠攏的地方。分離變量積分：Jyydy=\xUddx0 02C所以船的軌跡為:cx=——y2

udV二k(d-y)=d(d-y)cd4udytgdytg°二dud2c(d-y)分離變量積分:J：(d分離變量積分:J：(d-y)dy=Jd2xud1xdxcd2c4u所以船的軌跡為:cd——cd——y2-——ud2u船在對(duì)岸靠攏的地點(diǎn):ccd——d2--cdud2u2u小船M被水沖走后，有一蕩槳人以不變的相對(duì)速度烏朝岸上A點(diǎn)劃回，假定河流速度C1沿河寬不變，且小船可以看成一個(gè)質(zhì)點(diǎn)，求船的軌跡。解：這是一個(gè)牽連運(yùn)動(dòng)為平動(dòng)的問(wèn)題，選取平面極坐標(biāo)系。dr——(

rdsin①C1 十—2-——解：這是一個(gè)牽連運(yùn)動(dòng)為平動(dòng)的問(wèn)題，選取平面極坐標(biāo)系。dr——(

rdsin①C1 十—2-——(3)Jdr-JJ -Jrd""9+kJcsc9d9sin9心ck—-2C19、，Inr=-ln(sin9)+kln(tg)+A^2當(dāng)r=r時(shí)，9=9nA=Inr+Insin①-kIntg號(hào)rIn——Inrosin9 0sin9+-**

tg(902)則：sin則：sin①tgka

sin①tgka0令：a—3sin9sinkacoskasin9coskasinka0

2sinacosasinkacoska2sinacosacoskasinka0sink-iacosk+1a 0-cosk+iasink-ia0所以船的軌跡為:sink-iacosk+iar=r o0cosk+iasink-ia0一質(zhì)點(diǎn)自傾角為a的斜面的上方0點(diǎn)，沿一光滑斜槽0人下降，如欲使此質(zhì)點(diǎn)到達(dá)斜面上所需的時(shí)間為最短，問(wèn)斜槽0A與豎直線所成之角e應(yīng)為何值OA_OBcosOA_OBcosacos(a-0)即：(i)質(zhì)點(diǎn)下降的加速度為：gcos0OA=2gcos0?12將（2）式代入（1）式得:

2g2gcos0?12

cosaOBcos(a—0)2?OB?cosa

gcos(a—0)cos0dt2_2?OBcosdt2_2?OBcosad0 gsin0sin(a—0sin0cos(a—0)cos20cos0cos2(a—0)2?2?OBcosa sin(20—a)cos20?cos2(a—0))=0則：即：2則：即：20—a=0sin(20—a)=0證畢。將質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)豎直上拋于有阻力的媒質(zhì)中，設(shè)阻力與速度平方成正比，即R=mk2gv2，如上擲時(shí)的速度為V。，試證此質(zhì)點(diǎn)又落至投擲點(diǎn)時(shí)的速度為：v0 -1+k2v2'' 0證：選取坐標(biāo)系0乂，質(zhì)點(diǎn)受力分析如圖所示。上升：質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程為:mX=-mg-mk2gv2dx上式可寫(xiě)為:dx上式可寫(xiě)為:X-=-g(1+k2X2)dx分離變量積分得:ln(1+k2X2)=-2k2gx+C1=C=ln(1+k2V2),代入上式得:In+k2X2=(1+k2v2)+k2X2=(1+k2v2)e-2k2gx0到達(dá)最高點(diǎn)：X=0nx=21—ln(l+k2v2)下降：質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程為:mx=一mg+mk2gv2X—=-g(1-k2X2)dx積分得:ln(1-k2X2)=2k2gx+C1+k2v201文=0x= ln(1+k2V2)nC=-ln(1+k2v2),代入上式得:2k2g 0 2 0ln(1+k2X2)?(1+k2v2)=2k2gx0落至投擲點(diǎn)：x=0(1+k2x2).(1+k2v2)=10所以質(zhì)點(diǎn)又落至投擲點(diǎn)時(shí)的速度為:? 匕x=V= 0一j1+k2v20證畢。一槍彈以仰角、初速自傾角為的斜面的下端發(fā)射，試證子彈擊中斜面的地方和發(fā)射點(diǎn)的距離(沿斜面量取)及此距離的最大值分別為：1 2v2cosasin(a-B)d=-0 gCOS2Bdmaxv2 兀 B=—0-sec2(--2g 4 2證：選取坐標(biāo)系oxy，受力分析如圖所示。槍彈運(yùn)動(dòng)微分方程為：mx=0■■my=-mg(1)(2)y=vsina利用初始條件：t=0 Jx=y=vsinaIX=vcosat0對(duì)(1)(2)兩式積分兩次得:x=vcosa?t(4)1,

y=vsina?t-—gt

o2(4)(3)(4)兩式消去t,得軌跡方程為:gy=xtga x22v2cos2a0子彈擊中斜面點(diǎn)：A(dcosP,dsinP)，滿足軌跡方程:gdsinP=dcosP-tga (dcosP)22v2cos2a0解得子彈擊中斜面的地方和發(fā)射點(diǎn)的距離為:1 2v2cosasin(a-P)d=0 (5)g cos2P對(duì)(5)式取極值:dd

da2vdd

da2v2 0——gcos2P[-sinasin(a-P)+cosacos(a-P)]2v22v2cos(2a-P)八—0 =0g cos2P于是：2a-P=la/+日將a的表達(dá)式代入（5）得距離的最大值為:dmaxV2=—e-將a的表達(dá)式代入（5）得距離的最大值為:dmaxV2=—e-sec22g將一質(zhì)點(diǎn)以初速v0拋出，羽。與水平線所成之角為a，此質(zhì)點(diǎn)所受到的空氣阻力為其速度的mk倍，m為質(zhì)量，k為比例常數(shù)。試求當(dāng)此質(zhì)度與水平線所成之角又為a時(shí)所間。解：受力分析如圖所示。建立坐標(biāo)系O-xy質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)微分方程為:mx=—mkkmy=—mky—mg利用初始條件："0X=vcosa0y=vsina

0對(duì)上式積分得:(x=vcosa?e—kty=vksina+g

k01]vksina+gle—一g」當(dāng)2=二 =-tga時(shí)X vcosa?ekt(yksina+g)e-kt-g=-kvsina?e-kt(2vksina+g)e-kt=g02vksina+gg所需時(shí)間為:如向互相垂直的勻強(qiáng)電磁場(chǎng)E、H中發(fā)射一電子，并設(shè)電子的初速度V與E及H垂直，試求電子的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。已知此電子所受的力為e（E+秘XB），B為磁感應(yīng)強(qiáng)度，e為電子所帶的電荷，v為任一瞬時(shí)電子運(yùn)動(dòng)的速度。kZ=eyBi+(eE-exc.B)JBkZ=eyBi+(eE-exc.B)JBiJTOC\o"1-5"\h\z電子受力：F=e(E+vxB)=eEJ+eX y0 0設(shè)電子的質(zhì)量為m，則運(yùn)動(dòng)微分方程為:'mx=eBy (1)mny=eE-eBX (2)、mZ=0 (3)利用初始條件：t=0z=0z=0，對(duì)（3）式積分兩次得:

(4)利用初始條件：=0y=0文=V，對(duì)（1）(4)利用初始條件：=0y=0文=V，對(duì)（1）式積分得:(5)將（5）代入（2）式得:eB一my=eE-eB( y+V)m整理得:e2B2

y y=m2eE+eBV

mm(6)特征方程為:e2B2八r2+ =0m2（6）式齊次方程的通解為:cos竺t+Csin空tm2m（6）式非齊次方程的特解為:mEmV’2eB2eB所以方程（6）的通解為:eB eBmEmVy=y+y=Ccos——t+Csin——t+ (7)1 2 1m2m eB2 eB（7）式取微商得:.eBC.eB eBC eBy= isin——t+ 2cos——tm mm m利用初始條件：利用初始條件：t=0y=0y=0nq=mv-b 0，代入⑺得：mE、eBmEmVy=——(V-—)cos——tmE、eBmEmVy=——(V-—)cos——t+ eBBmeB2eB(8)將（8）代入（5）式得:=(V-E)cos竺t+EBmB(9)利用初始條件：t=0x=0，對(duì)（9）式積分得:m E、.eB-E,x=—(V——)sin—t+—teB Bm B(10)（8）（10）為電子的運(yùn)動(dòng)方程。在上題中，如（a）B=0，則電子的軌道為在豎直平面（xy平面）的拋物線;"）如￡=0，則電子的軌道為半徑等于”的園，試證明之。eB證：（a）8=0，電子的運(yùn)動(dòng)微分方程為：'mX= （1）<my=eE （2）mz=0利用初始條件："0 r二丁"工二0［文=vy=0z=o對(duì)（1）（2）（3）式積分兩次得：x=VtI_eE6y 122mz=0聯(lián)立消去t得:y=^^x2——軌道為Xy平面的拋物線。2mV2(b)E=0，電子的運(yùn)動(dòng)微分方程為:'mx=eBy<my=-eBX

mz=0(4)(5)(6)利用初始條件：t=0z=0Z=0，對(duì)（6）式積分兩次得：z=0利用初始條件：t=0 ，X=y=0，對(duì)（4）（5）式積分得:Ix=vy=0eB——y+VmeB- Xm⑺(8)*得：mVXdX+ydy+dy=0eB利用初始條件：t=0X=y=0，對(duì)上式積分得:x2+y2+mVLy=0

eB則電子的軌道為:x2+（y+m）2二喘）2―半徑等于m的園。質(zhì)量為m與2m的兩質(zhì)點(diǎn)，為一不可伸長(zhǎng)的輕繩所聯(lián)結(jié)，繩掛在一光滑的滑輪上，在m的下端又用固有長(zhǎng)度為a、倔強(qiáng)系數(shù)k為鱉的彈性繩掛a上另外一個(gè)質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)，在開(kāi)始時(shí)，全體保持豎直，原來(lái)的非彈性繩拉緊，而有彈性的繩則處在固有長(zhǎng)度上，由此靜止?fàn)顟B(tài)釋放后，求證這運(yùn)動(dòng)是簡(jiǎn)諧的，并求出其振動(dòng)周期及任何時(shí)刻兩段繩中的張力T及廠。解：取隔離體，受力分析如圖所示，建立坐標(biāo)ox運(yùn)動(dòng)微分方程為:2mx=2mg一T<mx=mg一T+T'2mx=mg-T3 3(1)⑵⑶，由題意知：T，=m(x3-x2-a) (4)x1+x2=常數(shù)(5)對(duì)（5）式求導(dǎo)兩次得：x+x=0 （6）12將（4）（6）代入（1）（2）（3）消去T和x得：1⑺(8)(9)⑼⑺(8)(9)⑼x1-(10):

m8(x-x)--g-323(10)2m.x=-2mg+T2mg

mg〈mx=(x-x)-T2a32TOC\o"1-5"\h\z??cmg， 、mx=2mg(x-x)I3a3 2(7)+(8)得:3mx--2mg+mg(x-x)2 a3 2(11)4g(11)石(x3-x2)-（11）式的通解為:TOC\o"1-5"\h\z, '4g —. '4g --Acos'-t+Bsin'-t+2a33a 3a定積分常數(shù):--A衛(wèi)sin.''HZt+B、:互cos/

3a 33a33a33a定積分常數(shù):t-0x-x-ax-x-0nA--aB=0

3 2 3 2-a-a(2-cos二—t)3a(12)利用（6）式，（2）+（3）-（1）得:-3x-3xi-0(13)由（6）和（13）式知三個(gè)質(zhì)點(diǎn)作相同規(guī)律運(yùn)動(dòng)，由（11）知質(zhì)點(diǎn)作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，其周期為:2?！福?a：3aT=——=2兀,——二兀:—3 \'4gg將（12）代入（4）得:4g、T=mg(1-cos,盧)V3a(7)-(8)x2: —2mg+T—2mg(x—x)+2T=0a3 23T=2mg+2mg(x-x)a32八八1 ：4g、T=2mg(1--cos.-t)3 、■3a滑輪上系一不可伸長(zhǎng)的繩，繩上懸一彈簧，彈簧另一端掛一重為W的物體，當(dāng)滑輪以勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，物體以勻速v0下降，如將滑輪突然停止，試求彈簧的最大伸長(zhǎng)及最大張力。假定彈簧受卬的作用時(shí)靜伸長(zhǎng)量為九0。解：以彈簧原長(zhǎng)處為彈性勢(shì)能零點(diǎn)，以彈簧平衡位置（伸長(zhǎng)九0時(shí)）為坐標(biāo)原點(diǎn)o建立坐標(biāo)Ox，且以0點(diǎn)為重力勢(shì)能零點(diǎn)，如圖所示。由機(jī)械能守恒得：——v2+—k入2=—k（X+x}-Wx （1）2g0 2 0 2 0彈簧處于平衡位置時(shí)，W=kX。代入⑴式并化簡(jiǎn)得:X=-y"鼠不是題目所求，舍去。二彈簧的最大伸長(zhǎng)量為：且最大張力為:且最大張力為:TmaxTmax=k入max「入o「入o+v0，入+v-o~叫g(shù)J、v0一彈性繩上端固定，下端懸有m及加兩質(zhì)點(diǎn)。設(shè)〃為繩的固有長(zhǎng)度，》為加m后的伸長(zhǎng)，c為加m,后的伸長(zhǎng)。今將m,任其脫離而下墜，試證質(zhì)點(diǎn)m在任一瞬時(shí)離上端O的距離為：g,a+b+ccosi—tb證：研究對(duì)象為質(zhì)點(diǎn)m，其受力分析如圖所示。設(shè)坐標(biāo)原點(diǎn)O1在(a+b)處，向下為正，建立坐標(biāo)軸O1X。設(shè)繩的彈性系數(shù)

mg為k，質(zhì)點(diǎn)平衡時(shí)，kb=mg貝hk=暨，質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方bmg程為:mx=mg一k(b+x)=一kx上式為簡(jiǎn)諧振動(dòng)方程，其解為:x=x=AcosCot+9)0=1蟲(chóng)記+9. 4iT-x=一Aj—sin

bb. 4iT-x=一Aj—sin

bb\b0J將初始條件：t=0x=cx=0代入得:,1g/.x=ccos..—t

bb故任一時(shí)刻m離上端的距離為:ga+b+ccos；,—t

b證畢。一質(zhì)點(diǎn)自一水平放置的光滑固定圓柱面凸面的最高點(diǎn)自由滑下，問(wèn)滑

至何處，此質(zhì)點(diǎn)將離開(kāi)圓柱面假定圓柱體的半徑為,解：以質(zhì)點(diǎn)為研究對(duì)象，受力分析如圖所示。設(shè)質(zhì)點(diǎn)m滑至與豎直線夾角為0處離開(kāi)圓柱面，此時(shí)N=0，則質(zhì)點(diǎn)的法線方程為：(1)V2(1)質(zhì)點(diǎn)滑動(dòng)過(guò)程中，只保守力作功，機(jī)械能守恒m—=mgcos0r質(zhì)點(diǎn)滑動(dòng)過(guò)程中，只保守力作功，機(jī)械能守恒mgr=m7nv2+mgrcos0 (2)^2⑴、⑵兩式聯(lián)立得：o=cos-123重為W的小球不受摩擦而沿半長(zhǎng)軸為2、半短軸為b的橢圓弧滑下，此橢圓的短軸是豎直的，如小球自長(zhǎng)軸的端點(diǎn)開(kāi)始運(yùn)動(dòng)時(shí)，其初速為零，試求小球在到達(dá)橢圓的最低點(diǎn)時(shí)它對(duì)橢圓的壓力。解：小球受力分析如圖所示，到達(dá)最低點(diǎn)時(shí)，(1)法向方程為:V解：小球受力分析如圖所示，到達(dá)最低點(diǎn)時(shí)，(1)法向方程為:V2m—二N一mg由機(jī)械能守恒得:mgb=gmv2由機(jī)械能守恒得:mgb=gmv2橢圓方程:x2 y2——+—=1a2 b2,dy bxy=——=- dx xX2a2y1——a2d2y by= =- dx2 X23a2(1-一)32a2曲率半徑:3

(1+y'2)32一”

y(a4-a2x2+b2x2)32a2TOC\o"1-5"\h\za4b bx=0將曲率半徑p和v2代入（1）式得:「2b2、N=mg(1+ )a2到達(dá)最低點(diǎn)時(shí)對(duì)橢圓的壓力為:2b2P=N=mg(1+ )a2一質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)自光滑圓滾線的尖端無(wú)初速地下滑，試證在任何一點(diǎn)的壓力為2mgcos0，式中0為水平線和質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)方向間的夾角，已知圓滾線方程為x=a(20+sin20),y=-a(1+cos20).

解：質(zhì)點(diǎn)受力分析如圖所示，在自然坐標(biāo)系中，質(zhì)點(diǎn)的法向運(yùn)動(dòng)微分方程為:V2m一二N-mgcos0(1)由機(jī)械能守恒得:由圓滾線方程得:解：質(zhì)點(diǎn)受力分析如圖所示，在自然坐標(biāo)系中，質(zhì)點(diǎn)的法向運(yùn)動(dòng)微分方程為:V2m一二N-mgcos0(1)由機(jī)械能守恒得:由圓滾線方程得:dx=2a(1+cos20)d0—y=2asin20d0曲率半徑為:dsp=——Yd0dx. ,dy、=.(——)2+(—)2

丫d0) (d0)=4acos0(3)將（2）（3）代入（1）得:—+mgcos0P2y 2a(1+cos20)、=mg(cos0-——)=mg(cos0+ )=2mgcos0p 4acos0在任何一點(diǎn)的壓力為:P=N=2mgcos0

上題中，如圓滾線不是光滑的，且質(zhì)點(diǎn)自圓滾線的尖端自由下滑，達(dá)到圓滾線的最低點(diǎn)時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，則摩擦系數(shù)N應(yīng)滿足下式:試證明之。證：受力分析如圖所示，質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程為:--從—=g(---從—=g(-sin0+從cos0)dtp(3)將v=ddtp=坐ds=pd0=4acos0d0，代入(3)式:d0v-—日v2—=g(日cos0-sin0)dsdsvdv-從v2d0=g(從cos0-sin0)4acos0-d0上式兩邊乘因子：得：上式兩邊乘因子：得：d(v2e-2日。)=2g(從cos20一sin0cos0)4ae―^ed0=8pagcos20e-2^ed0-4agsin20e-2^ed0上式兩邊積分：0=三n0=0；v=0nv=0：20=0v2e-2p0v=00=0v2e-2p0v=0/=8pag[

0="；v=0e-3四0cos0(一2日cos0+2sin0)0=0+ 4(1+p)。=兀2』e-3^0d0]-4ag[e-3四0(一3日sin20-2cos20)0=0,

°』20=8pag(-1—e-s2(p2+1)4p(p2+1)、 . ,1+e-p兀、)—4ag(- )2(p2+1)2P2+1—e-p^ 1+e-p兀、0=-2pag( p2+1 )+2ag(GF)2P2-2e-p^0=-2ag( )p2+1即：p即：p2—e-p兀=0故:證畢。故:假定單擺在有阻力的媒質(zhì)中振動(dòng)，并假定振幅很小，故阻力與0-成正比，且可寫(xiě)為r=-2mkl0.，式中m是擺錘的質(zhì)量，l為擺長(zhǎng)，k為比例常數(shù)，比，試證當(dāng)k2<g時(shí)，單擺的振動(dòng)周期為:lt=2兀'——-——Vg-k2l證：選取自然坐標(biāo)系，單擺受力分析如圖所示，單擺在媒質(zhì)中的切向運(yùn)動(dòng)微分方程為:

證：選取自然坐標(biāo)系，單擺受力分析如圖所示，單擺在媒質(zhì)中的切向運(yùn)動(dòng)微分方程為:方程（2）m—=方程（2）m—=一mgsin6一2mkl6dt(1)6很小，則：sin8小，所以（1）式可寫(xiě)為:的特征根為:r=—k±.L,1k2-g

l時(shí)，方程（2）的解為:g6=Ae-ktcos(、一l單擺的振動(dòng)周期為:2兀 c:——=2兀，3 \，g—k2l證畢。光滑楔子以勻加速度％沿水平面運(yùn)動(dòng)，質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)沿楔子的光滑斜面滑下求質(zhì)點(diǎn)的相對(duì)加速度〃，和質(zhì)點(diǎn)對(duì)楔子的壓力P。解：取楔子為坐標(biāo)系，在楔子上建立坐標(biāo)系oxy解：取楔子為坐標(biāo)系，在楔子上建立坐標(biāo)系oxy(1)a°沿x軸正向，質(zhì)點(diǎn)受力分析如圖所示。質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程為：ma'=mgsin0+(1)a°沿x軸正向，質(zhì)點(diǎn)受力分析如圖所示。質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程為：ma'=mgsin0+macos。0=N一mgcos0+masin0所以:aa=gsin0+acos0N=mgcos0一masin0o質(zhì)點(diǎn)對(duì)楔子的壓力P與N大小相等、方向相反。(2)同理，a。沿x軸負(fù)向，質(zhì)點(diǎn)受力分析如圖所示。質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程為：ma'=mgsin0-macos00=N-mgcos0-masin0a'=gsin0-acos0N=mgcos0+masin0質(zhì)點(diǎn)對(duì)楔子的壓力P與N大小相等方向相反。綜上所求結(jié)果得:aa=gsin0±acos0P=N=mgcos0masin0

o光滑鋼絲圓圈的半徑為r，其平面為豎直的。圓圈上套一小環(huán)，

其重為叫如鋼絲圈以勻加速度a沿豎直方向運(yùn)動(dòng)，求小環(huán)的相對(duì)速度,及圈對(duì)小環(huán)的反作用力R。解：以圓圈為參照系，建立坐標(biāo)系o——xy=-r(g=-r(g+a)JesinedeTOC\o"1-5"\h\zvrr er0 0(v2-v2)=r(g+a)(cose-cos。)2r rg 0v2=v2+2r(g+a)(cose一cos。)（3）代入（2）得:v2dvm-rdtV2m—r~=R一mgcos0+macos0r=一mgsin0+masin0(5)(6)同理解得:v2=v2+2r(g一a)(cos0—cos0) (7)r r0wa v2R=—[(1一一)(3cos0-2cos0)r+—rr](8)綜合以上結(jié)果:v2=v2+2r(g±a)(cos0—cos0)r r0wa v2R=—[(1±一)(3cos0-2cos0)r+f]rg0g火車質(zhì)量為m,其功率為常數(shù)工如果車所受的阻力f為常數(shù)，則時(shí)間與速度的關(guān)系為：mk1k一vfm(v一v)t= In o—— o-f2k一vff如果f和速度V成正比，則:mv,vk一fv2t=In 2f v(k一vf)式中v0為初速度，試證明之。證：1）功率：k=Fv=常數(shù)，則：F=—v火車運(yùn)動(dòng)微分方程為：dvk「m—=--fdtvvdv,

m =dtk-fv=dt(k-fv-k)=dt-皿f(k-fv)積分:Jtdt=叱Jvj^-mJvdv0fv0k-ffv0mk、k-fvm/ 、t=——In———0--—(v-v)f2k-fvf02）阻力f和速度v成正比：f八v，火車運(yùn)動(dòng)微分方程為:mdv=-—九vdtv分離變量積分:Jtdt=mJv—vdvo vQk—九v2mkk一九v2t二一--In——--2九 k—九v20將X=/代入上式得:vmv,vk-fv2t=In o-2f v(k-vf)

質(zhì)量為小的物體為一錘所擊，設(shè)錘所加的壓力是均勻地增減的，當(dāng)在沖擊時(shí)間T的一半時(shí)，增值最大值P,以后又均勻減小至零，求物體在各時(shí)刻的速率以及壓力所作的總功。解：所加的壓力：F=kt，k為常數(shù)t=-時(shí)，F(xiàn)=PP=k-nk=竺??.F=竺t2 2 - -物體運(yùn)動(dòng)微分方程為：mdv_2Pt

dt-(1)（1）式分離變量積分:Jvmdv_0P- -、V_ 12 (0<t<—)m- 2-<t<-時(shí)，F(xiàn)_at+b a、b為常數(shù)22Pa2Pa_——b_2P-t_—時(shí)，F(xiàn)_Pt_-時(shí)，F(xiàn)_0得:22PF_——t+2P-物體運(yùn)動(dòng)微分方程為:TOC\o"1-5"\h\zdv 2Pm _——t+2P (2)dt-當(dāng)t_-時(shí)，v_P2 4m（2）式分離變量積分:fvmdv=JP4mt(-竺t+2P)dt-T2當(dāng)t=T時(shí)，P

v= 12mtPTv= 2m(-T2+4Tt-2t2)(-<t<T)

2壓力所作的總功為:1PT八 P2T2w=-m(——)2-0= 2 2m 8m檢驗(yàn)下列力是否是保守力如是，則求出其勢(shì)能。檢驗(yàn)下列力是否是保守力如是，則求出其勢(shì)能。(a)F=6abz3y-20(a)F=6abz3y-20bx3y2F=6abxz3-10bx4yF=18abxyz2(b)F=18abyz3-20bx3y2F=18abxz3-10bx4yF=6abxyz2(c)F=iF(x)+jF(y)+kFQ)(c)解：力是保守力的充要條件為：VxF=0即：VxF=即：VxF=ia

ax

FxjaayFyk

a

az

Fzj+dj+d.xy(afjay(af~ax(a)(df afy—z———^I=18abxz2-18abxz2=0、ay azJ二18abyz2—18abyz2=0(afaf),, … … …八―I=6abz3—40bx3y—6abz3+40bx3y=0ay)此力是保守力，其勢(shì)能為:V=JF-dr=—rJ(x,y,z)(F-(0,0,0) x ydx+Fdy+Fdz=—/,o,okdx—》,y，0)Fdy—『，y，z)Fdz(0,0,0)x (x,0,0)y (x,y,0)z二—Jq,0,oQabz3y—20bx3y2)x(0,0,0)—J*y,0)(6abxz3—10bx4y)dy—J&y,z18abxyz2dz(x,0,0) (x,y,0)=0—Jy—10bx4ydy—Jz18abxyz2dz00=5bx4y2—6abxyz3af aF(b)—z——=6abxz2—54abxz2豐0ay az=54abyz2—6abyz2*0———^-x=18abz3—4abx3y—18abz3+40bx3y=0ax az...此力不是保守力，不存在勢(shì)能。aaf——二0azTOC\o"1-5"\h\zaf af 八 — z=0az ax上—"二0

ax az此力是保守力，存在勢(shì)能，在Q,y,2）處相對(duì)于Q0,y0,z0）的勢(shì)能為:V=」F?dr=-fxF(x)dx—JyF(yy)dy—JzV=」F?drx0 y0 z0根據(jù)湯川核力理論，中子與質(zhì)子之間的引力具有如下形式的勢(shì)能:ke-arV（r）= ,k<0r試求：6）中子與質(zhì)子之間的引力表達(dá)式，并與平方反比定律相比較；（b）求質(zhì)量為m的粒子作半徑為a的圓運(yùn)動(dòng)的動(dòng)量矩J及能量E.解：6）中子與質(zhì)子之間的引力表達(dá)式：dV(r) ke-ar kae-ar k(1+ar)e-arF= = + = dr r2r r2平方反比引力定律:「GMmk2mF= = r2 r2（b）質(zhì)量為m的粒子作半徑為a的圓運(yùn)動(dòng)，向心力為:-v-v2k(1+ar)e-arF=m——= r r2(k<0，力□"一”)k(1+ar)e-ar,k(1+aa)e-aav2= | =- mr r=a ma動(dòng)量矩:J2=(amv)2二一mka(1+aa)e-aa能量：L1 - k(1+aa)e-aa ke-aa k(1-aa)e-aaE=2mv2+y=-2a+二= 2a已知作用在質(zhì)點(diǎn)上的力為:式中系數(shù)2小1門(mén)=1,2,3)都是常數(shù)，問(wèn)這些aj應(yīng)滿足什么條件，才有勢(shì)能存在如這些條件滿足，試計(jì)算其勢(shì)能。解：勢(shì)能存在的充要條件為：vxF=0，即：(dF aFy————zI=a—a—0TOC\o"1-5"\h\zJz ayJ23 32("一竺J—a-a-0IaxazJ 31 13(afaf\—————I—a—a—0、ay axJ12 21要滿足以上條件，必須滿足：a—aa—aa—a即滿足：a=a(i豐j)，勢(shì)能存在。其勢(shì)能為:V=JV=JF?dr=-Jg，y，z(-(0,0,0) xdx+Fdy+Fdzj=-Jq,o,o)fdx-JQ，y，0)Fdy-JQ，y，z)Fdz(0,0,0)x (x,0,0)y (x,y,0)z=_Jq,0,oQx+ay+az)dxTOC\o"1-5"\h\z(0,0,0) 11 12 13-J&y,0Qx+ay+az)dy-J*y,z)(ax+ay+az)dz(x,0,0) 21 22 23 (x,y,0) 31 32 33=-—(ax2+ay2+az2+2axy+2azx+2ayz)

2 11 22 33 12 13 23一質(zhì)點(diǎn)受一與距離的3次方成反比的引力作用在一直線上運(yùn)動(dòng)，試證此2質(zhì)點(diǎn)自無(wú)窮遠(yuǎn)到達(dá)〃時(shí)的速率和自〃靜止出發(fā)到達(dá)f時(shí)的速率相同。4證：如圖所示，質(zhì)點(diǎn)受引力作用:F(r)=-上k為比例系數(shù)r3/2質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程為:TOC\o"1-5"\h\zd2r ,m =-kr-3/2dt2d2rdvdvdr dv =—= =v—

dt2dtdrdt dr則上式為:dv,

mv—=-kr-3/2dr質(zhì)點(diǎn)由8到a：Jv1mvdv=—kJar-3/2dr質(zhì)點(diǎn)由質(zhì)點(diǎn)由a到4：Jv2mvdv=-kJ4r-3/2dr

av2 1— 1-^―-2kr-24-2ka-22a14k-1v-,—a42mm證畢。一質(zhì)點(diǎn)受一與距離成反比的引力作用在一直線上運(yùn)動(dòng)，質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量為m，比例系數(shù)為工如此質(zhì)點(diǎn)從距原點(diǎn)。為a的地方由靜止開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，求其到達(dá)0點(diǎn)所需的時(shí)間。解：質(zhì)點(diǎn)受引力為：F---，其運(yùn)動(dòng)微分方程為:xdv k（1）m-二一一（1）dt x即：dv即：mv——二dx

分離變量積分:Jvmvdv=一kJx—0 axm^nv2=kIna2 xdxv=-dt,2k■a-、mdxv=-dt,2k■a-、m即x)（v與x反向，取負(fù)值）(xe(0,a)「.Ina>0xf0InaT9)令：y=-ln(a)\xx=ae-y2 dx=-2aye-y2dy，代入（2）式得;22ae-y23dt分離變量積分:(分離變量積分:(x:af0y:0T9)故到達(dá)0點(diǎn)所需的時(shí)間為:mt九故到達(dá)0點(diǎn)所需的時(shí)間為:mt九t=a.■ \2k試導(dǎo)出下面有心力量值的公式:mh2dp-2F= 2dr式中m為質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量，r為質(zhì)點(diǎn)到力心的距離，力=r式中m為質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量，r為質(zhì)點(diǎn)到力心的距離，力=r句=常數(shù)，P為力心到軌由動(dòng)能定理:—>mv2)=F?dr=FdrFdr=d[―m(—)2]2pmh2dp-2F= dr證畢。試?yán)蒙项}的結(jié)果，證明:&）如質(zhì)點(diǎn)走一圓周，同時(shí)力心位于此圓上，則力與距離五次方成反比。（的如質(zhì)點(diǎn)走一對(duì)數(shù)螺線，而其極點(diǎn)即力心，則力與距離立方成反比。

mh2dp-2Fmh2dp-2F= 2drmh2d/r2 (一)-22dr2R=2mh2R2—(r-4)=-8mh2R2—dr(b)對(duì)數(shù)螺線：r=ea0dr=aea0d0=ard0mh2.dz mh2 1 sin-2a (r-2)= 2 dr sin2ar3證畢。如質(zhì)點(diǎn)受有心力作用而作雙紐線r2=a2cos20的運(yùn)動(dòng)時(shí)，則:3ma4h2F= r7試證明之。證：1_ 1raJcos20dusin20 d2u3一cos證：1_ 1raJcos20d0a(cos20)32 d0a(cos20)52a(cos20)52

代入比耐公式:一mh2u代入比耐公式:一mh2u2(F=-mh21 3a2cos20a(cos20)523mh2a4證畢。質(zhì)點(diǎn)所受的有心力如果為其中四及V都是常數(shù)，并且v<h2，則其軌道方程可寫(xiě)成:a

r= 1+ecosk0試證明之。式中k2=吐V,a=世,e=坐匕（A為積分常數(shù)）。h2 旦2 日2證：由比耐公式:d2u,、 52,V、F=-mh2u2(——+u)=-m(——+—)

d02 r2r3v<h2 令：k2=吧——，上式變?yōu)?h2上式變?yōu)?其解為： m=Acos(k9+9)極軸轉(zhuǎn)動(dòng)90角度，使得9。=0,貝［有：己=Acosk9于是:U2于是:=Acosk9+——

h2k2令：a=安，則:u21Aac