微積分5.7-5.8二重積分經(jīng)濟(jì)應(yīng)用

27三月20231§5.7

二重積分一、概念與一元定積分的情況類似，我們討論曲頂柱體的體積的計(jì)算。所謂曲頂柱體，是指以曲面z=f(x,y)為頂、以區(qū)域D為底、以D的邊界為準(zhǔn)線、以平行于z軸的直線為母線所構(gòu)成的柱體。

思路仍是“化整為零”，“以平代曲”、“積零為整”。一元函數(shù)的定積分應(yīng)用到多元函數(shù)中即得到多重積分。Newton在討論萬有引力時(shí)包含了多重積分的計(jì)算，當(dāng)時(shí)他用了幾何論述。為了直觀起見，下面從幾何中引入二重積分的定義。27三月20232曲頂柱體27三月20233問題

曲頂柱體的體積的計(jì)算。

解決曲頂柱體的體積的計(jì)算步驟：①分割：把曲頂柱體用分成若干個(gè)非?！凹?xì)”的小曲頂柱體；②近似求和：小曲頂柱體很細(xì)小時(shí)，把每個(gè)小曲頂柱體近似地看作小普通柱體計(jì)算體積，把所有的結(jié)果加在一起；③取極限:讓小曲頂柱體的個(gè)數(shù)無限增多(這時(shí)每個(gè)小曲頂柱體也無限地“細(xì)”)取極限，所得的結(jié)果認(rèn)為曲頂柱體的體積。

下面詳細(xì)地討論計(jì)算過程。①分割在中取n個(gè)小區(qū)域D1、D2、…、Dn滿足：D1∪D2∪…∪Dn=D

Di∩Dj=Φ(i≠j)稱之為D上的一個(gè)分劃。27三月20234記Di的面積為Δσi，i=1,2,···,n。

以Di為底、z軸為母線、Di的邊界為準(zhǔn)線作曲頂柱體，記其體積為ΔVi，則所求曲頂柱體的體積②近似求和對(duì)每個(gè)Di，稱其中任意兩點(diǎn)間的距離的最大值為Di的直徑，記為di，即di

=max{|AB|:A、B∈Di}并記當(dāng)d充分小(這時(shí)每個(gè)di都很小)時(shí)，每個(gè)Di所對(duì)應(yīng)的小曲頂柱體的“頂”可近似看作是“平”的。27三月20235在每個(gè)Di中任取一點(diǎn)(ξi,ηi)，以f

(ξi,ηi)作為平頂柱體的高，則第i個(gè)小曲頂柱體的體積可近似表示為原曲頂柱體的體積可近似表示為③取極限令d→0取極限，得到曲頂柱體的計(jì)算公式：27三月20236我們把最后的極限式定義為二重積分。

定義

設(shè)f(x,y)在有界閉區(qū)域D上有定義。將D分為n個(gè)小區(qū)域Δσ1,Δσ2,···,Δσn，第i個(gè)小區(qū)域的面積為Δσi

，直徑為di，d=max{d1,d2,···,dn}。若對(duì)存在，則稱f(x,y)在區(qū)域D上可積，此極限稱為f(x,y)在區(qū)域D上的二重積分，記為其中f(x,y)為被積函數(shù)，x、y為積分變量，dσ為面積元素，D為積分區(qū)域。27三月20237

注

①和定積分一樣，二重積分的結(jié)果為常數(shù)，只和函數(shù)f(x,y)、區(qū)域D有關(guān)，和分劃方法、(ξi,ηi)的取法無關(guān)(因此在實(shí)際計(jì)算重積分時(shí)常采用特殊的分劃和選點(diǎn)方法)，也與變量無關(guān)：②關(guān)于可積性條件有以下結(jié)果：

◆f(x,y)在D上可積，則f(x,y)在D上有界；

◆f(x,y)在D上連續(xù)，則f(x,y)在D上可積(條件可減弱，如只有有限個(gè)間斷點(diǎn)的有界函數(shù)在有界閉區(qū)域內(nèi)可積)。若z=f(x,y)在D上連續(xù)非負(fù)，二重積分z=f(x,y)為頂?shù)那斨w的體積。表示以區(qū)域D為底面，幾何意義：27三月20238二、性質(zhì)性質(zhì)2(線性性質(zhì))性質(zhì)1推論27三月20239性質(zhì)3(區(qū)域可加性)性質(zhì)4推論1推論227三月202310性質(zhì)5(積分中值定理)27三月202311三、計(jì)算根據(jù)定義，如果二重積分存在，則其數(shù)值只與積分區(qū)域和被積函數(shù)有關(guān)，而與區(qū)域的分化方法以及點(diǎn)(ξi,ηi)的取法無關(guān)。因此，在實(shí)際計(jì)算中，為了方便，常根據(jù)具體情況采用特殊的分割和選點(diǎn)方法。下面對(duì)直角坐標(biāo)系和極坐標(biāo)的情況分別進(jìn)行討論。

1、直角坐標(biāo)系27三月202312

在直角坐標(biāo)系下常采用兩組平行于x軸和y軸的直線劃分積分區(qū)域。為方便起見，我們首先在x-型區(qū)域上討論二重積分的計(jì)算方法。

定義

區(qū)域D={(x,y)|a≤x≤b,φ1(x)≤y≤φ2(x)}稱為x-型區(qū)域。27三月202313

引理

設(shè)一空間立體位于垂直于x軸的兩平面x=a與x=b之間，若用垂直于x軸的平面截該立體所得的截面面積可寫成x的函數(shù)A(x)(a≤x≤b)，則該立體的體積為由此可知，要計(jì)算某立體的體積，先設(shè)定一個(gè)數(shù)軸(記為x軸)；把此立體投影到x軸上，得區(qū)間[a,b]；任取x∈[a,b]，固定x，過x作與x軸垂直的的平面，和立體相交得一截面；計(jì)算這個(gè)截面的面積(用A(x)表示)，最后立體的體積的計(jì)算就是一元定積分的計(jì)算。利用這種方法計(jì)算體積的詳細(xì)過程在§5.8里進(jìn)行討論。27三月20231427三月202315下面計(jì)算x

–型區(qū)域D={(x,y)|a≤x≤b,φ1(x)≤y≤φ2(x)}上f(x,y)的積分。它表示以D為底、曲面z=f(x,y)為頂?shù)那斨w的體積。最后可得曲頂柱體的體積即所求積分為此曲頂柱體在x軸上的投影為[a,b]，任取x∈[a,b]，過x作與x軸垂直的的平面，它截曲頂柱體而的截面為(這里暫把x當(dāng)作常數(shù))由z=f(x,y)、y軸、y=φ1(x)和y=φ2(x)圍成的曲邊梯形。其面積為27三月20231627三月202316

定理函數(shù)z=f(x,y)在D={(x,y)|a≤x≤b,φ1(x)≤y≤φ2(x)}連續(xù)，則一般地，記稱之為累次積分或二次積分。一般在直角坐標(biāo)系下記dσ=dxdy，稱為面積元素。利用累次積分計(jì)算二重積分，關(guān)鍵是上、下限的確定，一般要畫出區(qū)域D的圖形，用“投影穿線法”確定積分限。27三月202317所謂“投影穿線法”，即投影確定外積分限：將積分區(qū)域向x軸投影得區(qū)間[a,b]，則外層上、下限分別為b、a；穿線確定內(nèi)積分限，過[a,b]內(nèi)任意一點(diǎn)作x軸的垂線與積分區(qū)域的邊界相交，由上至下交點(diǎn)分別為φ2(x)、φ1(x)，它們就是內(nèi)層上、下限。27三月202318與x-型區(qū)域相對(duì)應(yīng)的還有y-型區(qū)域：

定義

區(qū)域{(x,y)|c≤y≤d,ψ1(y)≤x≤ψ2(y)}稱為y-型區(qū)域。

對(duì)積分區(qū)域?yàn)閥-型區(qū)域的二重積分的計(jì)算與x-型區(qū)域?qū)?yīng)的方法類似：

定理函數(shù)z=f(x,y)在D={(x,y)|c≤y≤d,ψ1(y)≤x≤ψ2(y)}連續(xù)，則確定積分限同樣用“投影穿線法”。注意外層積分限是數(shù)值，而內(nèi)層積分限為y的函數(shù)。計(jì)算時(shí)，注意在當(dāng)前計(jì)算過程中哪一個(gè)為變量，哪一個(gè)需要看作常數(shù)。27三月202319例區(qū)域D由y=0.5x、x=y2+1和y=0所圍成，計(jì)算解積分區(qū)域如右圖：27三月20232027三月202321計(jì)算二重積分時(shí)，首先根據(jù)積分區(qū)域的形狀確定是x-型區(qū)域還是y-型區(qū)域(若不是標(biāo)準(zhǔn)區(qū)域，則把積分區(qū)域分割成幾個(gè)標(biāo)準(zhǔn)區(qū)域)。有時(shí)積分區(qū)域即可以看作x-型區(qū)域也可以看作y-型區(qū)域，但用兩種區(qū)域計(jì)算的計(jì)算量是不一樣的，甚至用一種區(qū)域無法計(jì)算而只能用另外一種區(qū)域計(jì)算，這時(shí)需選擇合適的區(qū)域類型進(jìn)行計(jì)算。

例區(qū)域D由y=x、x=0和y=1所圍成，計(jì)算27三月202322解：積分區(qū)域D由y=x、x=0和y=1所圍成。它即是x-型區(qū)域又是y-型區(qū)域。若按x-型區(qū)域計(jì)算：這個(gè)內(nèi)層的積分無法積出，即按x-型區(qū)域無法計(jì)算。下面選擇按y-型區(qū)域計(jì)算：27三月202323解例5計(jì)算累次積分有時(shí)在計(jì)算累次積分，用給定類型的區(qū)域無法計(jì)算，這時(shí)需要轉(zhuǎn)化為另一種類型的區(qū)域進(jìn)行計(jì)算(這個(gè)過程稱為交換積分順序)。27三月20232427三月202325練習(xí)

計(jì)算下列二重積分：答案27三月202326答案作業(yè)：27三月2023272、極坐標(biāo)系18世紀(jì)后葉，Lagrange在關(guān)于旋轉(zhuǎn)橢球的引力的著作中用三重積分表示引力，并開始了多重積分變換的研究。人們通過不斷的探索，得到多重積分變換公式。二重積分換元公式如下：

定理函數(shù)f(x,y)在有界閉區(qū)域D連續(xù)，x=x(u,v)，y=y(u,v)在D上有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，記D'={(u,v)|(x(u,v),y(u,v))∈D}，則稱為Jacobi行列式。27三月202328在坐標(biāo)變換下，區(qū)域的形狀不變。r注：當(dāng)積分區(qū)域或被積函數(shù)中含有x2+y2時(shí)，一般考慮用極坐標(biāo)計(jì)算。1].極坐標(biāo)系2].極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)系下的點(diǎn)之間的關(guān)系（同一點(diǎn)）27三月202329例1區(qū)域D={(x,y)|x2+y2≤a2}，計(jì)算

解

27三月202330例2區(qū)域D={(x,y)|1≤x2+y2≤2x,y≥0}，計(jì)算解題過程解畫出積分區(qū)域D={(x,y)|1≤x2+y2≤2x,y≥0}，27三月20233127三月202332例3區(qū)域D={(x,y)|x2+y2≤x+y}，計(jì)算解題過程解畫出積分區(qū)域D={(x,y)|x2+y2≤x+y}，27三月202333練習(xí)：27三月20233427三月20233527三月20233627三月20233727三月202337作業(yè)：

計(jì)算下列二重積分：答案27三月202338yxo27三月202339可以證明，若f(x,y)在D上連續(xù)，只要按某種特殊的擴(kuò)展方式極限存在，則廣義積分收斂。因此，在計(jì)算廣義二重積分時(shí)，一般選擇有利于計(jì)算的特殊區(qū)域(如圓、矩形等)擴(kuò)展方式，討論相應(yīng)極限的存在性。

例對(duì)廣義積分取圓Da：x2+y2≤a2，則顯然a→+∞時(shí)Da→R2，因此有27三月202340取Dl：|x|≤l,|y|≤l，則顯然當(dāng)l→+∞時(shí)有Dl→R2，因此有由此得到稱之為Poisson積分。與x無關(guān)，可提到對(duì)x積分的積分號(hào)外面去與y無關(guān)，可提到對(duì)y積分的積分號(hào)外面去27三月202341§5.8

經(jīng)濟(jì)運(yùn)用模型一、平面圖形的面積由定積分的定義可知，當(dāng)f(x)>0時(shí)，由曲線y=f(x)、直線x=a、x=b(a<b)與x軸所圍圖形D的面積為積分(尤其是定積分)在幾何、物理、經(jīng)濟(jì)等很多方面有廣泛的的應(yīng)用。下面分幾何和經(jīng)濟(jì)兩方面作簡(jiǎn)要介紹。當(dāng)f(x)<0時(shí)，由-f(x)>0，這時(shí)圖形D的面積為對(duì)一般的函數(shù)，有以下結(jié)果。27三月202342對(duì)一般的圖形，常先分割成幾個(gè)標(biāo)準(zhǔn)區(qū)域(x-型區(qū)域或y-型區(qū)域)，再分別計(jì)算。1、x-型區(qū)域利用上面引理的結(jié)果或二重積分很容易得到公式：

定理

由曲線y=f(x)、y=g(x)及直線x=a、x=b所圍成的圖形的面積為2、y-型區(qū)域

定理由曲線x=φ(y)、x=ψ(y)及直線y=c、y=d所圍成的圖形的面積為27三月202343求面積的步驟：（1）作出草圖；

作出圖形是求面積的先決條件。必要時(shí)先求交點(diǎn)。（2）選擇積分變量；可找出封閉圖形邊界上橫坐標(biāo)最小、最大的點(diǎn)，若上下兩段邊界的方程統(tǒng)一，則可選x作積分變量，否則，選x作積分變量必須將圖形分塊，這時(shí)可找出邊界上縱坐標(biāo)最小、最大的點(diǎn)，若左右兩段邊界的方程統(tǒng)一，則可選y作積分變量。（3）列積分式、計(jì)算。一定要注意被積函數(shù)是上邊曲線的方程減去下邊曲線的方程（x為積分變量）或右邊曲線的方程減去左邊曲線的方程（y為積分變量）。27三月202344

另：由曲線y=f(x),y=g(x)(0≤f(x)≤g(x)),直線x=a,x=b(a<b)及x軸所圍成的曲邊帶形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積為

類似地，若x=g(y)在[c,d]上連續(xù)，由曲線x=g(y)

、直線y=c、y=d、x=0(y軸)所圍成的圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)而得到的旋轉(zhuǎn)體的體積為27三月202345

另:由連續(xù)曲線x=,直線y=c,y=d所圍成的平面圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所得立體的

注：在兩條曲線圍成的平面圖形旋轉(zhuǎn)的體積公式中，若不滿足條件0≤f(x)≤g(x)或0ay=f(x)bxyy=g(x)(c<d)及y軸體積為則兩個(gè)公式一般不能用。如下圖中,曲邊帶形繞x軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積為27三月202346解繞x軸旋轉(zhuǎn)繞y軸旋轉(zhuǎn)27三月202347

例

求由圓(x-R)2+y2=r2(r<R)繞y軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積。解題過程27三月2023

解由已知圓繞y軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體為圓環(huán)，它可以看作由右半圓繞y軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體V1”挖出”由左半圓繞y軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體V2形成的。27三月2023作業(yè)：答案：27三月20235027三月2023得交點(diǎn)為(0,0),(3,3)y432101234xy=x27三月2023xoy11227三月202353解兩條切線分別為：32101234xy-1-2-3-27三月202354三、簡(jiǎn)單經(jīng)濟(jì)問題的分析1、已知邊際函數(shù)求原經(jīng)濟(jì)函數(shù)已知某經(jīng)濟(jì)函數(shù)的變化率(邊際函數(shù))F/(x)=f(x)，則此經(jīng)濟(jì)函數(shù)為當(dāng)自變量由a變?yōu)閎時(shí)，經(jīng)濟(jì)函數(shù)F(x)的增量為27三月2023552.已知邊際函數(shù)，求總量函數(shù)。27三月202356求：(1)C(x)，R(x)(2)產(chǎn)量從8增加到12時(shí)，利潤(rùn)改變多少？例：27三月202357

練習(xí)

某產(chǎn)品的邊際成本為C′(x)=1，固定成本為0，邊際收益R′(x)=5-x。求：①產(chǎn)量為多大時(shí)利潤(rùn)最大？②從利潤(rùn)最大的產(chǎn)量又生產(chǎn)了1單位，總利潤(rùn)減少了多少？答案

①4②0.527三月2023582、投資問題以A0元存入銀行，年復(fù)利率為r，t年后變?yōu)锳0(1+r)t元，稱At=A0(1+r)t為本金A0的終值；反之，若要t年后有At元，現(xiàn)在只需存入銀行A0=At

(1+r)-t元，即t年后的At元只相當(dāng)于現(xiàn)在的A0=At(1+r)-t元，稱A0=At(1+r)-t為t年后資金At的現(xiàn)值，此時(shí)r也稱為貼現(xiàn)率。

若計(jì)算連續(xù)復(fù)利，則本金A0在t年后的終值為A0ert；t年后資金A的現(xiàn)值為Ae-rt。在投資分析中常把企業(yè)資金的收入與支出近似地視為是連續(xù)變化的，設(shè)從t=0開始，企業(yè)開始獲得收入，t年時(shí)的收入為f(t)，稱f(t)為收入流，它是收入流量(或貨幣流量，是直到t年時(shí)的總收入，不計(jì)息)的變化率，即單位時(shí)間的收入。27三月202359設(shè)f(t)在[0,T]上連續(xù)，年利率為r，以連續(xù)復(fù)利計(jì)算，現(xiàn)在計(jì)算現(xiàn)值及T年后總收入的終值。

用分劃0=t0、t1、…、tn=T把區(qū)間[0,T]分為n個(gè)小區(qū)間，在時(shí)間段[ti,ti+1]內(nèi)取ξi，記Δti=ti+1-ti，則在[ti,ti+1]內(nèi)收入的近似值為f(ξi)Δtier(T-ξi)，i=1、2、…、n

。因此近似為T年后總收入。

T年后總收入為這時(shí)，對(duì)應(yīng)的現(xiàn)值為