數(shù)列求和之裂項(xiàng)相消（典型例題+跟蹤訓(xùn)練）【解答題搶分專題】備戰(zhàn)高考數(shù)學(xué)（新高考通用）原卷版

【解答題搶分專題】備戰(zhàn)高考數(shù)學(xué)解答題典型例題+跟蹤訓(xùn)練（新高考通用）專題數(shù)列求和之裂項(xiàng)相消目錄一覽一、梳理必備知識二、典型例題講解三、基礎(chǔ)知識過關(guān)四、解題技巧實(shí)戰(zhàn)五、跟蹤訓(xùn)練達(dá)標(biāo)六、高考真題銜接一、梳理必備知識一、梳理必備知識1.裂項(xiàng)相消常見類型=1\*GB3①例：②例：③例：④例：其他示例：2.數(shù)列中與之間的關(guān)系：注意通項(xiàng)能否合并。3.等差數(shù)列（1）定義：如果一個數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個常數(shù)，即－=d，（n≥2，n∈N），那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列。（2）等差中項(xiàng)：若三數(shù)成等差數(shù)列（3）通項(xiàng)公式：或（4）前項(xiàng)和公式：（5）常用性質(zhì)①若，則；②下標(biāo)為等差數(shù)列的項(xiàng)，仍組成等差數(shù)列；③數(shù)列（為常數(shù)）仍為等差數(shù)列；④若、是等差數(shù)列，則、(、是非零常數(shù))、、，…也成等差數(shù)列。⑤若等差數(shù)列的前項(xiàng)和，則、、…是等差數(shù)列。4.等比數(shù)列（1）定義：如果一個數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等比數(shù)列。（2）等比中項(xiàng)：若三數(shù)成等比數(shù)列（同號），反之不一定成立。（3）通項(xiàng)公式：（4）前項(xiàng)和公式：（5）常用性質(zhì)①若，則；②為等比數(shù)列，公比為（下標(biāo)成等差數(shù)列,則對應(yīng)的項(xiàng)成等比數(shù)列）③數(shù)列（為不等于零的常數(shù)）仍是公比為的等比數(shù)列；④若等比數(shù)列的前項(xiàng)和，則、、…是等比數(shù)列.二、典型例題講解二、典型例題講解【典例1】已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【典例2】若數(shù)列的通項(xiàng)公式為，求的前n項(xiàng)和．【典例3】已知數(shù)列滿足，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)，是數(shù)列的前項(xiàng)和，求．【典例4】已知正項(xiàng)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，證明：.【典例詳解】【典例1】【分析】（1）利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式和求和公式可構(gòu)造方程組求得，進(jìn)而得到；（2）由（1）可得，采用裂項(xiàng)相消法可求得.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，解得：，.（2）由（1）得：（注意提取系數(shù)）.（注意遺留項(xiàng)是第一個和倒數(shù)第一個）【典例2】【詳解】解：∵（注意提取系數(shù)）∴，（注意遺留項(xiàng)是第一個、第二個和倒數(shù)第一個、倒數(shù)第二個）【典例3】【分析】（1）由數(shù)列的遞推關(guān)系式可得數(shù)列是等差數(shù)列，由此求得數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）利用（1）的結(jié)論，進(jìn)一步利用裂項(xiàng)相消法求出．【詳解】（1）由，有，可知數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，所以，所以；（2）（含根式的裂項(xiàng)相消）（注意遺留項(xiàng)是第一個和倒數(shù)第一個）【典例4】【分析】（1）利用計(jì)算整理，可得，再利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式得答案；（2）將變形得，利用裂項(xiàng)相消法可得，進(jìn)一步觀察可得證明結(jié)論.【詳解】（1）①，當(dāng)時，②，①-②得，整理得，，，又當(dāng)時，，解得，數(shù)列是以2為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，；（2）由（1）得（指數(shù)式的裂項(xiàng)相消）（注意遺留項(xiàng)是第一個和倒數(shù)第一個），即.解題技巧：解題技巧：裂項(xiàng)的本質(zhì)是為了讓前n項(xiàng)和Sn的中間項(xiàng)能夠消去，所以不管是什么類型都要注意裂項(xiàng)后遺留下來的式子（對稱的保留，前面剩下兩個式子，后面會對稱的剩下兩個式子。例如剩第一個式子就會剩倒數(shù)第一個式子，以此類推），化簡an三、基礎(chǔ)知識過關(guān)三、基礎(chǔ)知識過關(guān)一、單選題1．我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中，有已知長方形面積求一邊的算法，其方法的前兩步為：第一步：構(gòu)造數(shù)列1，．第二步：將數(shù)列的各項(xiàng)乘以n，得數(shù)列(記為)a1，a2，a3，…，an．則a1a2＋a2a3＋…＋an－1an等于（

）A．n2 B．(n－1)2 C．n(n－1) D．n(n＋1)2．已知正項(xiàng)數(shù)列滿足，若，則數(shù)列的前項(xiàng)的和為（

）A． B． C． D．3．若數(shù)列的前項(xiàng)和，則等于（

）A． B． C． D．4．?dāng)?shù)列滿足，對任意的都有，則（

）A． B． C． D．5．已知數(shù)列的通項(xiàng)為，則其前8項(xiàng)和為（

）A． B． C． D．6．?dāng)?shù)列的前n項(xiàng)和為，對一切正整數(shù)n，點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，（且），則數(shù)列的前n項(xiàng)和為（

）A． B． C． D．二、填空題7．已知數(shù)列中，，則此數(shù)列的前8項(xiàng)和為__________．8．?dāng)?shù)列的前10項(xiàng)和為__________.9．?dāng)?shù)列的通項(xiàng)公式，若，則_______．10．=___________11．設(shè)，為的前項(xiàng)和，則使得成立的的最小值是______.12．?dāng)?shù)列的通項(xiàng)公式為，該數(shù)列的前8項(xiàng)和為__________．四、解題技巧實(shí)戰(zhàn)四、解題技巧實(shí)戰(zhàn)【技巧實(shí)戰(zhàn)1】1．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，．(1)證明：數(shù)列是等比數(shù)列；(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【技巧實(shí)戰(zhàn)2】2．已知為等差數(shù)列，.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)若為的前項(xiàng)和，求.【技巧實(shí)戰(zhàn)3】3．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，公差為，若，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若（），求數(shù)列的前項(xiàng)和.【技巧實(shí)戰(zhàn)4】4．已知數(shù)列，，，，，為數(shù)列的前n項(xiàng)和，為數(shù)列的前n項(xiàng)和．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前n項(xiàng)和；五、跟蹤訓(xùn)練達(dá)標(biāo)五、跟蹤訓(xùn)練達(dá)標(biāo)1．（內(nèi)蒙古赤峰市八校2023屆高三第三次統(tǒng)一模擬考試聯(lián)考文科數(shù)學(xué)試題）等差數(shù)列中，，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，是數(shù)列的前項(xiàng)和，求證：.2．（吉林省東北師范大學(xué)附屬中學(xué)2022-2023學(xué)年高三下學(xué)期第二次模擬考試數(shù)學(xué)試題）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)記，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求的值．3．（吉林省通化市梅河口市第五中學(xué)2023屆高三下學(xué)期二模考試數(shù)學(xué)試題）已知數(shù)列滿足，．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)記為數(shù)列的前n項(xiàng)和，證明：．4．（2022-2023學(xué)年高三新高考數(shù)學(xué)押題卷（一））已知為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，滿足，___________.給出三個條件：①，②，③.試從上面三個條件中選擇一個，補(bǔ)充在上面橫線中，并給出下面兩問的解答.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，求正整數(shù)n的值.注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計(jì)分.5．（湖南省部分市2023屆高三下學(xué)期3月大聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）已知數(shù)列滿足.(1)求的通項(xiàng)公式；(2)已知數(shù)列的前20項(xiàng)和.6．（山東省泰安市2023屆高三下學(xué)期一輪檢測數(shù)學(xué)試題）已知等差數(shù)列是遞增數(shù)列，為數(shù)列的前n項(xiàng)和，，，，成等比數(shù)列.(1)求；(2)求.7．（福建省漳州市2023屆高三畢業(yè)班第三次質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題）已知為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，，，.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.8．（廣東省湛江市2023屆高三一模數(shù)學(xué)試題）已知，為數(shù)列的前n項(xiàng)和，．(1)證明：數(shù)列為等比數(shù)列；(2)設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，證明：．9．（湖南省邵陽市2023屆高三上學(xué)期一模數(shù)學(xué)試題）已知數(shù)列滿足，，，且.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.10．（安徽省六安市省示范高中2022-2023學(xué)年高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）已知是數(shù)列的前n項(xiàng)和，且．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若，是的前項(xiàng)和，證明：．11．（河南省濮陽市2022-2023學(xué)年高三下學(xué)期第一次摸底考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試題）在數(shù)列中，，．(1)設(shè)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，且數(shù)列的前項(xiàng)和為．若，求正整數(shù)的值．12．（2023年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)預(yù)測卷）已知數(shù)列滿足，，，當(dāng)時，，為數(shù)列前n項(xiàng)的和.(1)證明：；(2)若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.13．（湖南省衡陽市2022屆高三下學(xué)期二模數(shù)學(xué)試題）已知數(shù)列是遞增的等差數(shù)列，，且是與的等比中項(xiàng).(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)①；②；③.從上面三個條件中任選一個，求數(shù)列的前項(xiàng)和.14．（湖北省高中名校聯(lián)盟2023屆高三上學(xué)期第一次聯(lián)合測評數(shù)學(xué)試題）