泛函分析在力學(xué)和工程中的應(yīng)用

泛函分析在力學(xué)和工程中的應(yīng)用

陸章基（復(fù)旦大學(xué)應(yīng)用力學(xué)系）摘要本文簡單介紹泛函分析方法在力學(xué)和工程中的若干應(yīng)用，包括泛函觀點(diǎn)下的結(jié)構(gòu)數(shù)學(xué)理論、直交投影法、超圓方法、變分法、變分不等式與凸分析、算子的特征值與譜方法、與實驗技術(shù)有關(guān)的泛函方法等。并介紹當(dāng)前非線性分析中部分動態(tài)。$1泛函分析概述泛函分析是高度抽象的數(shù)學(xué)分支，研究各類泛函空間及算子理論。所謂泛函空間是帶有某類數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)（主要是拓?fù)浜痛鷶?shù)結(jié)構(gòu)）的抽象集。其元（或點(diǎn)）可以是數(shù)、向量、函數(shù)、張量場，甚至各種物理狀態(tài)等。根據(jù)不同拓?fù)浜痛鷶?shù)結(jié)構(gòu)，泛函空間劃分為各個類別。力學(xué)和工程中常見的有①：（i）度量（距離）空間。對任意兩抽象元引入距離，由此自然地引入開集等拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)。從而，度量空間是一特殊拓?fù)淇臻g，但尚未賦予代數(shù)結(jié)構(gòu)；（ii）線性拓?fù)淇臻g（拓?fù)湎蛄靠臻g。同時帶有拓?fù)浜痛鷶?shù)結(jié)構(gòu)。所謂拓?fù)錈o非是在抽象集中規(guī)定某些子集為開集），他們滿足開集的基本公理。有了拓?fù)浜?，即能引入極限、連續(xù)、緊致和收斂等初等分析的重要概念。這里所述的代數(shù)結(jié)構(gòu)指的是線性結(jié)構(gòu)（加法和數(shù)乘運(yùn)算）。由此可討論線性無關(guān)、基和維數(shù)等代數(shù)概念。泛函分析的空間（尤其各類函數(shù)空間）絕大部分是無限維的。線性空間（帶有線性結(jié)構(gòu)的度量空間）是線性拓?fù)淇臻g的一例。但最重要的線性拓?fù)淇臻g應(yīng)是下列線性賦范空間；（iii）線性賦范空間。每個元（常稱向量）配有番薯1x11（是普通向量長度的推廣）。線性空間配上范數(shù)后，能自然地誘導(dǎo)出度量和拓?fù)?。就這個意義而言，它是特殊的線性拓?fù)浜投攘靠臻g。于是，具有這兩個空間中所有概念。例如可以討論該空間（或其子集）是否完備。即任何柯西序列是否為收斂序列。（iv）Banach空間。它是完備的線性賦范空間。完備性使該空間具有十分良好的性質(zhì)。例如閉圖像定理、共鳴定理、逆算子定理和開映照原理等。（v）內(nèi)積空間。內(nèi)積的引入使該空間更直觀形象，內(nèi)容格外豐富。內(nèi)積把普通的幾何術(shù)語差不多全帶到抽象空間中。例如：長度、兩向量交角、直交性、直交投影、就范直交系、點(diǎn)（向量）和子空間的距離等。使抽象泛函空間涂上濃厚的幾何色彩。力學(xué)家和工程師對此尤感興趣。由于內(nèi)積可誘導(dǎo)番薯，內(nèi)積空間是特殊線性賦范空間，但反之不然。與普通歐式空間最相像的應(yīng)數(shù)下述Hilbert空間；（vi）Hilbert空間。它是完備的內(nèi)積空間，內(nèi)容最豐富。例如Fourier展開、Bessel不等式和Parseval等式等。由于本文討論泛函的力學(xué)應(yīng)用，必須提及的最后一類空間是Sobolev空間。（vii）Sobolev空間Wm,p（Q）（pN1，mN0）⑶。它是由匕（Q）空間中可以連續(xù)求m階分布導(dǎo)數(shù)的函數(shù)u組成的子空間，并配上Sobolev空間。它是特殊的線性賦范空間。其中，分布導(dǎo)數(shù)是普通導(dǎo)數(shù)的推廣，對于性質(zhì)極差的Diracdelta之類的廣義函數(shù)，也能求分布導(dǎo)數(shù)。因此，對函數(shù)的“光滑程度”提供更一般、更精確的含義。由于Sobolev嵌入定理，可以通過找弱解來討論偏微分方程的定解問題。p=2這類Sobolev空間特別重要，它是特殊的Hilbert空間，記之為Hm（Q），稱作Hilbert-Sobolev空間。泛函分析另一內(nèi)容是算子理論，可以講更為重要。它研究上述各類泛函空間上線性與非線性算子的各種特性。對于單個算子，可引入連續(xù)、有界、下有界、閉、緊致和全連續(xù)等性質(zhì)。對于算子集（線性連續(xù)算子集或線性連續(xù)泛函集等）又可引入新的線性結(jié)構(gòu)和范數(shù)等，構(gòu)成高層的算子空間。其中對偶（共軛）空間尤為重要。據(jù)此，可引入自共軛（自伴）算子、投影算子、酉算子、正常算子、自反空間、強(qiáng)和弱收斂等。在初等分析中卓見成效的微分運(yùn)算

也可推廣于泛函或算子。例如Gatean微分，F(xiàn)rechet微分和次微分等。為了剖析算子的結(jié)構(gòu)和特性，譜分析是重要的手段，全連續(xù)和正常算子的譜分析已成熟。除了上述各類泛函空間和算子理論外，目前仍在不斷深入發(fā)展，有關(guān)新的尤其適用于非線性問題的函數(shù)空間可參閱[4]。綜上所述，泛函分析是測度論、代數(shù)、幾何和分析（拓?fù)洌┑木C合性學(xué)科，它的高度抽象性使該學(xué)科更深刻、更廣泛地反應(yīng)各種復(fù)雜的力學(xué)、工程和其它實用學(xué)科的規(guī)律。然而，借助幾何工具，它們在Banach空間，尤其在Hilbert空間獲得直觀幾何解釋，使力學(xué)和工程人員較易接受。因此，該學(xué)科不僅為應(yīng)用數(shù)學(xué)家所欣賞，也為廣大力學(xué)人員所重視。后者的隊伍中不僅包括理論工作者，也包括實驗和設(shè)計人員。但由于泛函分析的難度，正如：5]所述，若把應(yīng)用數(shù)學(xué)家和實用科學(xué)工作者（力學(xué)家和工程師等）比擬為兩支隊伍，分別從山的兩端挖地道，他們應(yīng)該在精確解那個位置相遇。從目前狀況而言，后面這支隊伍人員嚴(yán)重不足?；谶@一情況，本文打算從力學(xué)和工程角度，對泛函方法的特點(diǎn)及實際應(yīng)用作不全面的介紹，以引起拋磚引玉的作用。$2泛函觀點(diǎn)下的近代結(jié)構(gòu)理論眾所周知，為研究固體平衡與變形，已提出多種模型（三維、二維、一維和離散模型等）。經(jīng)典固體理論（彈性、板殼和桿等）立足于上述諸模型求解平衡與變形的種種具體問題。Oliveira[6][以有限元和板殼理論為背景提出“結(jié)構(gòu)的數(shù)學(xué)理論（TheMatrematicalTheoryofStructures）"。該理論不涉及具體解法，而是用近代泛函工具建立一般的響應(yīng)模型，考察各具體模型的類同性，并研究由一個模型生成另一模型的可能性和合理性。固體響應(yīng)的一般模型舉例1.給定某彈性結(jié)構(gòu)，把滿足應(yīng)力-應(yīng)變方程的任一對應(yīng)力場和應(yīng)變場X=（e，a）稱為結(jié)構(gòu)場。若還滿足應(yīng)變-位移方程、初應(yīng)變條件、位移邊界條件（非協(xié)調(diào)系統(tǒng)）力-應(yīng)力方程，力邊界條件 （外力系統(tǒng)）稱之為協(xié)調(diào)場稱之為協(xié)調(diào)場平衡場既協(xié)調(diào)又平衡的場稱為精確場。記全體結(jié)構(gòu)場的集為X，按應(yīng)變和應(yīng)力分別引入線性運(yùn)算，然后配上如下范數(shù)X成為Banach空間。對于任給的等協(xié)調(diào)等平衡子集。X的全體等協(xié)調(diào)等平衡協(xié)調(diào)場

外力X成為Banach空間。對于任給的等協(xié)調(diào)等平衡子集。X的全體等協(xié)調(diào)等平衡協(xié)調(diào)場

外力系統(tǒng)，X中與之子集類記為IerEeN協(xié)調(diào)平衡的所有結(jié)構(gòu)場構(gòu)成X。通常，假定等協(xié)調(diào)和等平衡子集（I，E）。稱A為|外部作用響應(yīng)空間。由功原理得到的總勢能原理表明：精（I，E）。稱A為|外部作用響應(yīng)空間。由功原理得到的總勢能原理表明：精X ^余應(yīng)，X=x確解使總勢能T確解使總勢能T（X） 協(xié)調(diào)場集I一在一……余能T*（X） 平衡場集EI上表達(dá)到駐值。臨近兩個結(jié)構(gòu)場X和X+h的距離除了用范數(shù)定義外，更方便地另行定義為d（X+h，X）=1』5ed。，因為此時滿足2。[d(x+h,x)]2=T(x+h)一T(x)[d(x+h,x)]2=T*(x+h)-T*(x)2,把結(jié)構(gòu)場空間X2,把結(jié)構(gòu)場空間X中滿足協(xié)調(diào)方程、位移邊界條件平衡方程、力邊界條件的子集C稱為X的約束子集。在約束最小集，稱它們是等約束約束最小集，稱它們是等約束等最小的。通常，每個最小子集和約束子集之交僅一個元，就是精確解。X上有連續(xù)泛函類①=｛甲｝，其中泛函中在每個約束子集C上有極小點(diǎn)s。對給定的甲，各種約束子集C的這種s之全體構(gòu)成X的最小子集M。若兩個結(jié)構(gòu)場屬同一在彈性體各種可能狀態(tài)集中，若配上彈性能（f，f）作為范數(shù)，得到Banach空間。若配窟 窟上兩個狀態(tài)的“相互作用能”（f，f）（例如（（f，f）=』。1e2d。）作為內(nèi)積，。ljj得到Hilbert空間H，稱為狀態(tài)空間。有兩條途徑產(chǎn)生非零狀態(tài)：（i）外力系p在位移系u上做功，產(chǎn)生“載荷應(yīng)力狀態(tài)f'，即（f'，f'）=p?u。全體f'構(gòu)成“載荷應(yīng)力狀態(tài)空間”H'；（ii）因材料缺陷（例如位錯等）或熱應(yīng)力等使彈性系統(tǒng)不再與內(nèi)蘊(yùn)歐幾里德幾何或剛性支撐協(xié)調(diào)，即使無外力仍呈現(xiàn)非零狀態(tài)，稱為“自應(yīng)力狀態(tài)”f''。若門表示幾何非協(xié)調(diào)測度（例如非協(xié)調(diào)張量、Burgers向量或剛性支撐偏差），x表示相應(yīng)的應(yīng)力函數(shù)，則（f''，f''）=X頊。全體f''構(gòu)成“自應(yīng)力狀態(tài)空間”H''。于是，狀態(tài)空間H=H'十H''。其中十是直和，意味著載荷應(yīng)力和自應(yīng)力直交：（f'，f'）=0。這構(gòu)成Prager和Synge[8]超圓方法的基礎(chǔ)。利用一般響應(yīng)模型（例如以上第2種）可以描述結(jié)構(gòu)分析的模型生成理論（例如有限元中由連續(xù)模型生成離散模型，板殼中由三維模型生成二維模型）。過程如下：利用能方法，勢連續(xù)模型生成離散模型，板殼中由三維模型生成二維模型）。過程如下：利用能方法，余參照原模型定義新模型的應(yīng)變和位移應(yīng)力和接觸力并把應(yīng)力-位移參照原模型定義新模型的應(yīng)變和位移應(yīng)力和接觸力并把應(yīng)力-位移力-應(yīng)力方程和位移力邊界條件移植于新模型。據(jù)此在原結(jié)構(gòu)場與新結(jié)構(gòu)場之間建立對應(yīng)關(guān)系一一現(xiàn)行算子B]：y=B]X，xeX，yeY。從而在Y中（和從而在Y中（和X一樣）也可考慮平衡協(xié)調(diào)方程。作某種限制（例如板殼的Kirchboff假定，桿的Bernoulli假定，有限元的允許場）使Y的元和子集X'uX的元之間建立又一對應(yīng)關(guān)系——線性算子B2：x'=B2y，x'eX'，稱X'為允許場空間。稱算子B=B1B2：X->X'為內(nèi)插算子。X中等約束等最小元的為內(nèi)插算子。X中等約束等最小元的B象在X'中也等約束等最小。然而，一般講這些象元在X中不、等約束定等最小。特殊地，若內(nèi)插算子B、等約束定等最小。特殊地，若內(nèi)插算子B使X'中任二個等約束等最小元的B象在X中也等約束等最小稱B是共形算子。另引入算子X->X'，它把X的每個約束與最小子集之交x對應(yīng)于X'中相應(yīng)的約束與最小子集之交xa，稱算子A為近似算子。把上述xgX的A象元xa'gX'稱為x在X'中的近似元。有限元（和板殼）理論相當(dāng)于把求泛函甲在C上的最小值s這個變分問題，近似為求甲在C'上的最小值sa'。由于一般地C'⑦C，它和Ritz法不同。因此得尋求新的收斂定理，以鑒別由有限元生成的離散模型或由板殼理論生成的低維模型的合理性，即須作收斂分析。Oliveira［7］曾給出估計近似值的基本定理d2（s，sa’）V@甲|+Qa^l。在Ritz法中則為d（s，sa’）Vd（s，s’）。因此，收斂分析歸為兩步：（i）確定與精確解等約束的場sa，并用近似解內(nèi)插；（ii）對精確解和近似解的泛函變分?甲|和5a甲作量級估計。應(yīng)該講，上述“結(jié)構(gòu)數(shù)學(xué)理論”尚粗糙，且局限于彈性（可以非線性）系統(tǒng)。須進(jìn)一步精確和嚴(yán)密化，并擴(kuò)大適用范圍和提供新見解。$3力學(xué)和工程應(yīng)用中的幾種泛函方法直交投影法該方法把調(diào)和方程或泊松方程Dirichlet問題的解空間表達(dá)成兩個直交子空間之和：調(diào)和函數(shù)類和邊界上為零的函數(shù)類。Minhlin在討論方截面桿的Saint-Venant扭轉(zhuǎn)問題時，用本方法詳細(xì)給出方形域中泊松方程Dirichlet問題之解，并證明所算得的最大剪應(yīng)力之精度勝于Ritz法。此外還給出一般三維域中同一問題的解以及本方法對一般方程Au=0（其中A是下有界、正線性橢圓微分算子）的應(yīng)用。Maurin分析了微分方程［△+c（x）］u=0的Dirichlet問題。他指出直交投影法和Ritz-Trefftz法之間的密切關(guān)系。以后Rafalski把之用于瞬態(tài)熱傳導(dǎo)、瞬態(tài)熱彈性和線性粘彈性，證實了Maurin所發(fā)現(xiàn)的兩種方法的關(guān)系。Bessel不等式（f,g「2<（f,f）中的等號，對應(yīng)于f等于它在｛gJ生成空i=1間中的直交投影的情形。Klyot-Dashinsky曾把之應(yīng)用于平面有勢問題，以及更一般的各項異性板的變形方程。Nowinski和Cho給出由電流加熱的長桿熱彈問題的解。Cauchy-Schuwarz和Bessel不等式；超圓方法這兩個不等式因幾何意義明顯易于求解具體問題oDiaz及其同事較早地把這些不等式應(yīng)用于彈性力學(xué)，他們證明Rayleigh-Ritz和Trefftz方法可由Cauchy-Schuwarz不等式給出。Rayleigh-Ritz近似解相當(dāng)于直交三角形之斜邊，精確解為直角邊；而Trefftz近似解相當(dāng)于直交三角形的直角邊，精確解為斜邊。從而，這兩個近似解給出線性編制問題精確解的上下界限。最近，Nowinski利用Cauchy-Schuwarz不等式研究各向異性板彎曲的廣義雙調(diào)和邊值問題解的界限和各向異性桿的扭轉(zhuǎn)剛度。數(shù)值結(jié)果表明精確度良好。Stumpf利用直和分解H=H'?H"對各類彈性量尤其薄板理論中的彈性量建立點(diǎn)狀界限。這兩個不等式又能導(dǎo)出與實用問題有關(guān)的許多其它重要不等式和方法。值得一體的是Prager和Synge的超圓方法。在狀態(tài)空間H中選定就范直交系｛gg｝，任何狀態(tài)可作Fourier展開：f=^（f,%）%。用兩個近似向量逼近并界限精確解f。把滿足平衡方k程和應(yīng)力邊界的所有狀態(tài)視為約束子集C。把滿足協(xié)調(diào)方程和位移邊界條件的所有狀態(tài)視為最小子集M。精確解是這兩子集之交。通常難于找到C和M中全部向量。于是，只能分別在部分C和M中找最接近f的兩個向量f?和fw，稱為極點(diǎn)。f，f?和fw三向量的斷電位于同一個“超圓”上。圓心位于（f~+fw）/2，半徑為||f~-fw||/2，極點(diǎn)位于同一直徑的兩端，該方法的基本不等式為（f?，f?）＜（f，f）＜（fw，fw）。當(dāng)超圓退化為一點(diǎn)時，得到精確解。Synge在他的專著和一系列論文中已把超圓方法應(yīng)用于二維調(diào)和方程的Dirichlet問題；Neumann型扭轉(zhuǎn)問題；任意截面彎扭桿的Dirichlet問題；非確定度量的彈性和電磁振動問題。他還考慮n維黎曼空間的情形。Greenberg和Prager在彈性板問題中推廣了此方法，獲得可接受的精度。Nordgren確定板近似解的誤差限。Nowinski和Cho討論重力場中彈性柱的情形，其數(shù)值解與Galerkin法相比是一致的。可以把超圓方法推廣于任何具有正測度（例如能和功率）的線性系統(tǒng)。包括廣義彈性連續(xù)體、電磁組合、交換場和電子網(wǎng)絡(luò)等。還可推廣于點(diǎn)狀邊界條件。這里應(yīng)從更一般意義下理解“點(diǎn)狀”一一不僅指點(diǎn)力狀態(tài)，還包括偶極和多極狀態(tài)，以及相應(yīng)的自應(yīng)力狀態(tài)。變分法Mikhlin較早地用泛函分析為工具研究直接變分法。以后，Kato,Noble等的論文中在估算各類邊界條件下的彈性板振動頻率及其界限時，甚至在更一般背景下研究算子L*L（L*是L的伴隨）的理論。這類算子在許多數(shù)理方程中出現(xiàn)，例如調(diào)和方程，雙調(diào)和方程，Sturm-Liouville方程，線彈性方程以及某些Fredholm型積分方程。Oden和Raddy進(jìn)一步推廣補(bǔ)余變分原理；Sandhu和Pister給出廣義Mikhlin變分問題，對于連續(xù)統(tǒng)力學(xué)中出現(xiàn)的一類線性耦合場問題建立擴(kuò)充的變分問題。以上諸研究中，泛函變分為零蘊(yùn)涵Frechet導(dǎo)數(shù)為零。Tonti指出，與泛函變分問題相關(guān)的微分方程中的算子L不必對稱。若L非對稱，可以另取下述雙線性型卷積為內(nèi)積（Gurtin）思想。（u,v）=fTu（t-T）v（t）dt0Raddy利用此雙線性卷積及Gateau導(dǎo)數(shù)構(gòu)造粘彈性動態(tài)理論的變分原理。該方法可用于流體彈性、在電學(xué)、熱彈性和其它領(lǐng)域中的靜態(tài)和動態(tài)彈性問題。在初值問題方面，Reiss和Hang考察了極值原理，用抽象算子記號構(gòu)造了相當(dāng)一般的最小原理，把一大類線性初值和混合問題包括在內(nèi)。其應(yīng)用包括振動、波傳導(dǎo)、熱傳導(dǎo)，電磁體和粘彈體。Magri推廣了Tonti的工作。他證明：對每個線性算子，有無限多個使該算子對稱的雙線性型，從而有可能做出相應(yīng)的變分公式。他已就擴(kuò)散問題對此作了解釋。Collins曾對自共軛算子提出構(gòu)造補(bǔ)余極值原理的一般過程。Telega把這種思想推廣到塑性邊值問題。眾所周知，我國學(xué)者在變分學(xué)范圍內(nèi)有重要貢獻(xiàn)，可參閱[29][30][31]，此處從略。變分不等式和凸分析經(jīng)典彈性問題的變分法常歸結(jié)為變分等式。但在某些特性約束（剛支座或與另一彈性體接觸）下，變分不能超越某界限，而且接觸面的范圍又以來與問題的解，事先根本不知道。數(shù)學(xué)上用解空間某個約束凸子集描述。于是，相應(yīng)的變分公式呈現(xiàn)不等式形式。這類問題包括：單側(cè)接觸問題、有摩擦(例如Counomb摩擦等)的彈性理論和塑性理論等。變分不等式的近代工作有Fichera，Stamaccbia，Lions等開創(chuàng)。已在Banach空間的凸集上定義的非線性算子范圍內(nèi)給出其理論基礎(chǔ)，也討論有限元近似和各種數(shù)值方法。摩擦問題變分不等式中的泛函F(u)是非線性的，可用正則攝動法，即用凸可微泛函F*)(當(dāng)￡T0時，F(xiàn)(U)TF(U))替代，把問題轉(zhuǎn)化為可微泛函。對于接觸問題，它的解約束在凸集K中，是自用邊界問題。補(bǔ)償方法是處理這類問題甚有效的方法。在約束凸集K上引入補(bǔ)償泛函相當(dāng)于在接觸面上加一層彈性支座，產(chǎn)生附加變形能。用有限元法模擬補(bǔ)償項會有一定困難?？刹捎眉s化積分?？梢栽冢?4］中找到各種彈塑性和粘塑性理論(包括Heucky材料、剛理想塑性材料、彈粘塑性材料、帶應(yīng)變硬化的彈塑性材料)的變分公式。它們大多是不等式，這由本構(gòu)關(guān)系引起的。顯然，可以像彈性學(xué)一樣，導(dǎo)出諸如hellinger-Reissner和其它類型的廣義變分原理。有關(guān)變分不等式數(shù)值應(yīng)用的具體算法可參閱［35］。由于有應(yīng)力率，得進(jìn)行時間增量積分。對于Von-Karmann板理論，Ohtake研究單側(cè)條件，用補(bǔ)償泛函求解。Oden討論過彈性膜的障礙問題和把變分不等式用于由Darey規(guī)律表征的多孔介質(zhì)流動問題。單側(cè)或摩擦的彈性動力學(xué)問題也有相應(yīng)的變分不等式。其優(yōu)點(diǎn)是可通過Galerkin半離散化形式弱解。常用有限差分法離散時間算子，用有限元離散空間算子。處理動態(tài)和演變問題的典型方法是“緊致方法”：在緊致有限維子空間中構(gòu)造近似解，然后讓子空間維數(shù)趨于8，由此構(gòu)造問題的解。Moreau通過具有小縱向位移的彈塑性直桿準(zhǔn)靜態(tài)演變問題解剖了與線性賦范空間中的運(yùn)動凸集有關(guān)的“掃描過程”。該方法可應(yīng)用于彈塑性系統(tǒng)的演變過程，討論解的存在性、構(gòu)造算法和漸近性質(zhì)等。但由于某些假定的限制，目前掃描過程局限于有限自由度系統(tǒng)。因此，如何把之用于連續(xù)統(tǒng)系統(tǒng)(二維或三位)有待探索。此外，利用近似算法得到其存在性的僅是演變問題的弱解，如何確定光滑程度。算子的特征值問題與譜方法振動問題和彈性穩(wěn)定性問題是特征值問題的源泉。小振動和經(jīng)典彈性穩(wěn)定性理論導(dǎo)致線性算子的特征值問題，包括無約束和有約束兩種情況。可用Courat-Weierstrass方法處理。其中利用了正自共軛算子或緊致算子的譜分析。許多文獻(xiàn)建立了相應(yīng)的變分公式。這些變分公式為使用數(shù)值方法，包括有限元法，鋪平道路。但在有限彈性等問題中，線性化方法把非線性算子的許多重要特征丟棄了。因此必須探索非線性特征值問題。其中一條途徑是“初始后期屈曲行為理論”，要求載荷有勢。該方法從定性角度分析總勢能的性能，由此研究各類穩(wěn)定，可參閱［42］。至于彈性穩(wěn)定性中的“災(zāi)變理論”，除了一些具體術(shù)語夕卜，本質(zhì)上與上述方法無多大區(qū)別；另一途徑是局部線性化方法或用線性增量鏈代替非線性問題。從數(shù)學(xué)嚴(yán)格性和一般性看，這些方法皆有局限性。事實上，對于非線性算子方程，盡管可以限定解的范圍，并證明算子是到上的，但是限定區(qū)域內(nèi)仍有不同點(diǎn)產(chǎn)生同一象，即同一象元可以分叉出多個解。許多學(xué)者已作大量努力解釋非線性彈性問題解的存在狀況，最終也涉及穩(wěn)定性問題，可參見44］，但結(jié)論還不完善。最有希望但又甚困難的領(lǐng)域似乎是非線性特征值問題。近年來，變分法應(yīng)用于非線性特征值問題值得一提的是Lusternik-Schnirelman理論。此外，高階特征值問題涉及到拓?fù)涓拍?，尤其Category理論。非線性特征值問題A(u)-人B(u)=0，其中A，B是非線性算子，在它們有勢(分別為F和G)及其它假定下，上述特征值問題歸為泛函F和G的約束變分問題。而且，若許可解被約束在凸集K上，相應(yīng)的約束特征值問題由變分不等式描述，可用前面敘述的正則攝動或補(bǔ)償方法得到數(shù)值解。可在［34］中找到Von-Karmann板兩邊皆有約束面的屈曲問題的處理過程。實驗技術(shù)中的泛函方法為了預(yù)測船舶的機(jī)動特征，在近代船模實驗中用“緩慢運(yùn)動導(dǎo)數(shù)”描述偏離定常參考運(yùn)動的水動作用力和力矩。但在非定常試驗中發(fā)現(xiàn)這里有疑問的。盡管引入補(bǔ)充項或另行定義“非線性導(dǎo)數(shù)”等，但對一船模的不同實驗得到的數(shù)據(jù)作比較，仍有很大差異。Bishop等認(rèn)為原因在于沒有考慮記憶效應(yīng)，建議用Volterra型線性泛函表示擾動的水動力，并提出相應(yīng)的試驗處理技術(shù)。在傾斜曳引試驗和PMM振動試驗中，證明上述泛函方法與實驗一致。在圓形水渠試驗中，本方法盡管測點(diǎn)顯著減少，仍保證相當(dāng)好的可靠性，而且弗時少。顯示出泛函方法對船舶穩(wěn)定性討論是很有效的工具。也啟示我們?nèi)魧Ψ汉南拗谱鬟M(jìn)一步削弱的話，也許對急劇機(jī)動分析會奏效。另外，若與隨機(jī)過程理論結(jié)合，可望討論船舶在波中的阻抗變化、方向穩(wěn)定性與控制等問題。在確定熱應(yīng)力下材料性能的試驗中，通常讓材料樣本在給定溫度下記錄應(yīng)變。如何以最佳方式控制樣本的溫度剖面，這是分布參數(shù)化控制問題。為把有限維優(yōu)化的共軛梯度法推廣到無限維空間，用線性方程作為試驗過程的數(shù)學(xué)模型，用最小二乘法計算系統(tǒng)的Green函數(shù)，然后確定最佳作用函數(shù)，給出所需的溫度剖面。在Hilbert空間中，利用接續(xù)的無約束最小過程逼近該約束優(yōu)化。把計算結(jié)果與實驗比較，證實在一般情況下本方法是合理的。但在高溫時，約束條件須修改。泛函方法還可用于求解以最小時間使熱樣本達(dá)到預(yù)定溫度的問題。此外，代替積分方程，可改用偏微分方程表示系統(tǒng)。$4若干動態(tài)一九七五年九月，IUTAM和IMU在法國聯(lián)合召開“泛函分析在力學(xué)問題中的應(yīng)用”專題討論會，與會代表132名，有6篇一般報告和38篇專題報告。集中反映了當(dāng)代泛函分析方法在力學(xué)中應(yīng)用的概貌與動向。近年來，已有多本系統(tǒng)總結(jié)和概述泛函分析方法在力學(xué)（連續(xù)介質(zhì)和固體方面）與工程中應(yīng)用的專著。首先是Oden的一系列眾所周知的著作。除此之外，今年剛問世的［37］值得推薦。該書綜述力學(xué)中非線性邊值問題理論的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，重點(diǎn)是定性特征（存在性、唯一性和正則性等）內(nèi)容包括：優(yōu)化理論和變分法（凸與非凸優(yōu)化問題）；非線性算子理論（單調(diào)和擬單調(diào)算子，變分不等式）；局部分析（秩數(shù)論、分叉理論和非線性特征值問題）基本定理的論證大多是構(gòu)造性的，對力學(xué)中非線性問題的近似理論和計算方法極有價值。假如說閱讀該書須具備較高的力學(xué)和數(shù)學(xué)基礎(chǔ)從而使力學(xué)和工程人員望而生畏的話，那么Marson的著作也許能起階梯作用。該書專寫給欲了解固體力學(xué)近代發(fā)展并對數(shù)學(xué)有濃厚興趣的力學(xué)家和工程師的。除了泛函基本知識外，該書