《選擇性必修三》隨機(jī)變量及其分布 離散型隨機(jī)變量及其分布列第2課時(shí)

2022年安徽省高中優(yōu)質(zhì)課團(tuán)體賽（馬鞍山市）7.3離散型隨機(jī)變量的數(shù)字特征安徽省含山中學(xué)

韓培杰7.3.1離散型隨機(jī)變量的均值1.情境引入

賭本分配問(wèn)題：甲乙兩人通過(guò)擲硬幣進(jìn)行賭博，每局正面朝上甲勝，反面朝上乙勝.雙方各出50個(gè)金幣，約定的規(guī)則是先勝三局者獲得全部100枚金幣，當(dāng)賭博進(jìn)行到第三局的時(shí)候，甲勝了兩局，乙勝了一局，這時(shí)由于某種原因終止了賭博，那么該如何分配這100枚金幣才比較公平？

【問(wèn)題1】甲乙兩名射箭運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行射擊比賽，各射擊4次，成績(jī)?nèi)缦拢▎挝唬涵h(huán)）：甲78910乙68910甲乙兩人誰(shuí)的射箭水平更高呢？2.問(wèn)題探究

【問(wèn)題2】甲乙兩名射箭運(yùn)動(dòng)員各進(jìn)行了100次射擊，成績(jī)?nèi)缦拢▎挝唬涵h(huán)）：環(huán)數(shù)78910甲射中的頻數(shù)10203040乙射中的頻數(shù)15254020如何比較甲乙兩人誰(shuí)的射箭水平更高呢？

【問(wèn)題3】甲乙兩名射箭運(yùn)動(dòng)員根據(jù)以往的射擊比賽成績(jī)，得到分布列如下表所示：環(huán)數(shù)78910甲射中的概率0.10.20.30.4乙射中的概率0.150.250.40.2如何比較甲乙兩人誰(shuí)的射箭水平更高呢？定義：一般地，若離散型隨機(jī)變量

的分布列如下表所示，則稱

為隨機(jī)變量

的均值或數(shù)學(xué)期望，數(shù)學(xué)期望簡(jiǎn)稱期望.

均值是隨機(jī)變量可能取值關(guān)于取值概率的加權(quán)平均數(shù),它綜合了隨機(jī)變量的取值和取值的概率,反映了隨機(jī)變量取值的平均水平.3.抽象概念

【例1】在籃球比賽中，罰球命中1次得1分，不中得0分.如果某運(yùn)動(dòng)員罰球命中的概率為0.8，那么他罰球1次的得分的均值是多少？

【練習(xí)】拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，設(shè)出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為,求的均值.4.概念理解

【觀察】擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，擲出的點(diǎn)數(shù)

的均值為3.5.隨機(jī)模擬這個(gè)試驗(yàn)，重復(fù)60次和重復(fù)300次各做6次，觀測(cè)出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)并計(jì)算平均數(shù).演示

【探究】如果

是一個(gè)離散型隨機(jī)變量，

加上一個(gè)常數(shù)或乘以一個(gè)常數(shù)后，其均值會(huì)怎樣變化？即

和

（其中

為常數(shù)）分別與

有怎樣的關(guān)系？5.性質(zhì)探究

【試一試】一般地，若

，請(qǐng)根據(jù)和的分布列，推導(dǎo)出與

的關(guān)系【例2】猜歌名游戲是根據(jù)歌曲的主旋律制成的鈴聲來(lái)猜歌名.某嘉賓參加猜歌名節(jié)目，猜對(duì)每首歌曲的歌名相互獨(dú)立，猜對(duì)三首歌

歌名的概率及猜對(duì)時(shí)獲得相應(yīng)的公益基金如表所示:歌曲猜對(duì)的概率0.80.60.4獲得的公益基金額/元100020003000規(guī)則如下:按照

的順序猜，只有猜對(duì)當(dāng)前歌曲的歌名才有資格猜下一首，求嘉賓獲得的公益基金總額

的分布列及均值.6.典例分析

【思考】如果改變猜歌的順序，獲得公益基金的均值是否相同？如果不同，你認(rèn)為哪個(gè)順序獲得的公益基金均值最大呢？

可以發(fā)現(xiàn)，按由易到難的順序猜歌，獲得的公益基金的期望值最大.猜歌順序21442256211219041872【例3】根據(jù)氣象預(yù)報(bào)，某地區(qū)近期有小洪水的概率為0.25，有大洪水的概率為0.01，該地區(qū)某工地上有一臺(tái)大型設(shè)備，遇到大洪水時(shí)要損失60000元，遇到小洪水時(shí)要損失10000元.為保護(hù)設(shè)備，有以下三種方案：方案1

運(yùn)走設(shè)備，搬運(yùn)費(fèi)為3800元；方案2

建保護(hù)圍墻，建設(shè)費(fèi)為2000元，但圍墻只能擋住小洪水；方案3

不采取措施，希望不發(fā)生洪水.工地的領(lǐng)導(dǎo)該如何決策呢？分析：決策目標(biāo)為總損失（投入費(fèi)用與設(shè)備損失之和）越小越好.天氣狀況大洪水小洪水沒(méi)有洪水概率0.010.250.74總損失/元方案1380038003800方案26200020002000方案360000100000方案2和方案3的總損失都是隨機(jī)變量，可以采用期望總損失最小的方案.根據(jù)題意，各種方案在不同狀態(tài)下的總損失如下表所示：請(qǐng)同學(xué)們回顧本節(jié)課的學(xué)習(xí)內(nèi)容和學(xué)習(xí)過(guò)程，并回答下列問(wèn)題：思考：你能運(yùn)用數(shù)學(xué)期望的知識(shí)解決前面的“賭本分配”問(wèn)題嗎？7.總結(jié)提升（1）離散型隨機(jī)變量的均值定義是什么？（2）離散型隨機(jī)變量的均值與樣本的平均值有什么區(qū)別和聯(lián)系？（3）利用期望值原則進(jìn)行決策時(shí)需要注意什么問(wèn)題？它的作用是什么？我們是如何得到離散型隨機(jī)變量的均值定義的？【必做題】

1.課本第67頁(yè)練習(xí)第3題；

2.課本第71頁(yè)習(xí)題7.3第2,3,