《數(shù)學(xué)物理方法》第11講

§3.

Bessel

函數(shù)在定解問題中的應(yīng)用求解定解問題例

1.精選ppt這里u與

f無關(guān)，解：稱為軸對稱問題。令代入方程并整理可得及方程(*)的通解是1.分離變量２．解本征值問題精選ppt即由此得因此本征值對應(yīng)的本征函數(shù)為由邊界條件進(jìn)而得精選ppt將本征值代入方程(**)解得３．求解另一常微，得級數(shù)解因此方程的一般解為常數(shù)已合并到相應(yīng)常數(shù)中。精選ppt即再由得利用不同特征函數(shù)間的加權(quán)正交性有由得４．由初始條件定解精選ppt可求得從而得因此問題的解為精選ppt求解定解問題例

2.解：這也是軸對稱問題。令及代入方程得其中是分離常數(shù)。1.分離變量精選ppt時(shí)可得修正的Bessel函數(shù)（下節(jié)討論）。若方程(*)的解為由邊界條件得因此時(shí)無非零解。２．解本征值問題精選ppt并可得本征值和對應(yīng)的本征函數(shù)本征值代入方程再由得解得３．求解另一常微，得級數(shù)解精選ppt所以問題的一般解為４．由另一組邊界條件定解由邊界條件得精選ppt之后可利用Fourier-Bessel級數(shù)的系數(shù)公式求得這樣得到問題的解為精選ppt10.

Legendre函數(shù)的性質(zhì)2009.4.23精選ppt一.

Legendre方程的引出球形域上三維靜電場問題中,外電勢滿足Laplace例：方程。分析：即求其分離變量解。求解時(shí)常將其寫成球坐標(biāo)形式：設(shè)解為得代入上方程并乘以后兩項(xiàng)與

r

無關(guān),于是有精選ppt為方便,常把l寫成

l

(l+1).于是(1)化為歐拉方程：其通解為上式可化為(3)并自然周期條件可得(2)式乘以得方程(4)整理為精選ppt稱之為Legendre方程。其中該方程添加自然邊界條件令并將改寫為則(5)變?yōu)榇朔匠谭Q為關(guān)聯(lián)Legendre方程。若定解問題與無關(guān),則F亦然,

m

=

0。此時(shí)(6)成為構(gòu)成本征值問題,為其本征值和本征函數(shù)精選ppt這樣在軸對稱假設(shè)下得到問題的級數(shù)解進(jìn)一步的求解須知Legendre多項(xiàng)式的性質(zhì)。后面的討論中，我們只考慮軸對稱問題。精選ppt二.

Legendre多項(xiàng)式的性質(zhì)1.

Legendre多項(xiàng)式的為微分表示首先證明滿足

Legendre方程令則因此上式兩端同求

n

+

1階導(dǎo)數(shù),得即因此精選ppt即滿足

Legendre方程因此也是解。由二項(xiàng)式定理可證明這里的就是n階Legendre多項(xiàng)式精選ppt2.

Legendre多項(xiàng)式的為積分表示據(jù)復(fù)變函數(shù)中高階導(dǎo)數(shù)公式可得L是圍繞z=

x的任一正向閉曲線。特別地,取半徑為的圓周為L,則由此得其中精選ppt化簡得此式稱為Legendre多項(xiàng)式的

Laplace

積分。令得由積分表達(dá)式可得精選ppt精選ppt3.

Legendre多項(xiàng)式的母函數(shù)若一個(gè)函數(shù)按某一自變量作冪級數(shù)展開時(shí),其系數(shù)是例如若Legendre多項(xiàng)式,則稱該函數(shù)為Legendre多項(xiàng)式的母函數(shù)。就稱f

(x,t)

為Legendre多項(xiàng)式的母函數(shù)。考慮復(fù)變函數(shù)當(dāng)時(shí)，將其展開為則有L是區(qū)域|t|<1內(nèi)任一正向閉曲線。精選ppt作變換L1

是L在上述變換下的象,是含點(diǎn)u=

x的閉曲線。則根據(jù)高階導(dǎo)數(shù)公式得因此母函數(shù)。即w

(x,t)

為Legendre多項(xiàng)式的精選pptLegendre多項(xiàng)式滿足如下遞推公式：4.

Legendre多項(xiàng)式的遞推公式1.2.3.4.精選ppt由兩邊對

t求偏導(dǎo)數(shù)得首先證明1.兩邊同乘得比較的系數(shù)得整理即得1.精選ppt下面證明2.由分別對

x,t