2022-2023學年江蘇省揚州市邗江區(qū)九年級（上）期中數(shù)學試卷（含解析）

2022-2023學年江蘇省揚州市邗江區(qū)九年級第一學期期中數(shù)學試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題3分，共24分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．下列關于x的方程是一元二次方程的是（）A．a(chǎn)x2+bx+c＝0 B．x2＝0 C．x2+2x＝ D．x2+y2＝02．把一元二次方程x2﹣2x﹣4＝0配方后，下列變形正確的是（）A．（x﹣2）2＝5 B．（x﹣2）2＝3 C．（x﹣1）2＝5 D．（x﹣1）2＝33．下列關于x的一元二次方程中，有兩個不相等的實數(shù)根的方程是（）A．x2+4＝0 B．4x2﹣4x+1＝0 C．x2+x+3＝0 D．x2+2x﹣1＝04．已知x＝1是方程x2+ax+2＝0的一個根，則方程的另一個根為（）A．2 B．﹣2 C．﹣3 D．35．已知⊙O的半徑為3，平面內(nèi)有一點到圓心O的距離為5，則此點可能是（）A．P點 B．Q點 C．M點 D．N點6．下列命題中，正確的是（）A．三點確定一個圓 B．正五邊形是中心對稱圖形 C．等弧所對的圓心角相等 D．三角形的內(nèi)心到三角形三個頂點的距離相等7．如圖，已知AB是⊙O的直徑，CD是弦，若∠BCD＝36°，則∠ABD等于（）A．54° B．56° C．64° D．66°8．如圖，在銳角三角形△ABC中，分別以三邊AB，BC，CA為直徑作圓．記三角形外的陰影面積為S1，三角形內(nèi)的陰影面積為S2，在以下四個選項的條件中，不一定能求出S1﹣S2的是（）A．已知△ABC的三條中位線的長度 B．已知△ABC的面積 C．已知AB，AC的長度及∠ACB＝30° D．已知BC的長度，以及AB，AC的長度和二、填空題（本大題共有10小題，每小題3分，共30分．不需要寫解答過程，請把答案直接寫在答題卡相應位置上）9．若關于x的一元二次方程mx2+nx﹣1＝0（m≠0）的一個根是x＝1，則m+n的值是．10．若關于x的一元二次方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2＝0的常數(shù)項為0，則m的值等于．11．如圖，正六邊形ABCDEF的邊長為2，它的外接圓半徑的長為．12．如圖，O是△ABC的外心，∠ABC＝40°，∠ACB＝70°，則∠BOC＝．13．如圖，PA與⊙O相切于點A，PO與⊙O相交于點B，點C在上，且與點A、B不重合．若∠P＝26°，則∠C的度數(shù)為°．14．一個直角三角形的兩條直角邊長是方程x2﹣7x+12＝0的兩個根，則此直角三角形的內(nèi)切圓的半徑為．15．已知m為方程x2﹣3x﹣2022＝0的根，那么2m2﹣6m﹣2021的值為．16．如圖，有一個半徑為2的圓形時鐘，其中每個刻度間的弧長均相等，過9點和11點的位置作一條線段，則鐘面中陰影部分的面積為．17．如圖所示，矩形紙片ABCD中，AD＝8cm，把它分割成正方形紙片ABFE和矩形紙片EFCD后，分別裁出扇形ABF和半徑最大的圓，恰好能作為一個圓錐的側(cè)面和底面，則AB的長為．18．如圖，在等腰△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，點O是BC邊中點，⊙O的半徑為1，點P是AC邊上一動點，則由點P到⊙O的切線長PQ的最小值為．三、解答題（本大題共有10小題，共96分．解答時應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）19．用適當?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋海?）x2﹣2x﹣5＝0；（2）x（x﹣1）＝2（x﹣1）．20．如圖，半圓O的直徑AB＝8，半徑OC⊥AB，D為弧AC上一點，DE⊥OC，DF⊥OA，垂足分別為E、F，求EF的長．21．已知關于x的一元二次方程x2﹣6x+a﹣2＝0．（1）如果該方程有實數(shù)根，求實數(shù)a的取值范圍；（2）如果該方程有兩個相等的實數(shù)根，求出這兩個根．22．如圖，已知四邊形ABCD內(nèi)接于圓O，∠A＝105°，BD＝CD．（1）求∠DBC的度數(shù)；（2）若⊙O的半徑為3，求的長．23．如圖，在平面直角坐標系xOy中，點A的坐標為（0，7），點B的坐標為（0，3），點C的坐標為（3，0）．（1）在圖中利用直尺畫出△ABC的外接圓的圓心點D，圓心D的坐標為；（2）求△ABC外接圓的面積；（3）若點E的坐標（6，0），點E在△ABC外接圓．（填“圓內(nèi)”“圓上”或“圓外”）24．2019年12月以來，湖北省武漢市發(fā)現(xiàn)一種新型冠狀病毒感染引起的急性呼吸道傳染病．（1）在“新冠”初期，有1人感染了“新冠”，經(jīng)過兩輪傳染后共有144人感染了“新冠”（這兩輪感染因為人們不了解病毒而均未被發(fā)現(xiàn)未被隔離），則每輪傳染中平均一個人傳染了幾個人？（2）后來舉國上下眾志成城，全都隔離在家．小玲的爺爺因為種的水果香梨遇到銷滯難題而發(fā)愁，于是小玲想到了在微信朋友圈里幫爺爺銷售香梨．香梨每斤成本為4元/斤，她發(fā)現(xiàn)當售價為6元/斤時，每天可以賣80斤．在銷售過程中，她還發(fā)現(xiàn)一斤香梨每降價0.5元時，則每天可以多賣出10斤．為了最大幅度地增加銷售量，而且每天要達到100元的利潤，問小玲應該將售價定為多少元？25．如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，BD為⊙O的直徑，AC平分∠BAD，CD＝2，點E在BC的延長線上，連接DE．（1）求直徑BD的長；（2）若BE＝5，計算圖中陰影部分的面積．26．先閱讀理解下面的例題，再按要求解答下列問題：例題：求代數(shù)式y(tǒng)2+4y+8的最小值．解：y2+4y+8＝y(tǒng)2+4y+4+4＝（y+2）2+4∵（y+2）2≥0∴（y+2）2+4≥4∴代數(shù)式y(tǒng)2+4y+8的最小值為4．（1）求代數(shù)式x2﹣6x+11的最小值；（2）某農(nóng)場計劃建造一個矩形養(yǎng)殖場，為充分利用現(xiàn)有資源，該矩形養(yǎng)殖場一面靠墻（墻的長度為10m），另外三面用柵欄圍成，中間再用柵欄把它分成兩個面積為1：2的矩形，已知柵欄的總長度為24m，設較小矩形的寬為xm（如圖）．當x為多少時，矩形養(yǎng)殖場的總面積最大？最大值為多少？27．已知關于x的一元二次方程kx2+（k+5）x+5＝0（k≠0）．（1）求證：方程一定有兩個實數(shù)根；（2）若方程的兩根為x1、x2，且x1、x2都為整數(shù)，x1＜1＜x2，求整數(shù)k的值；（3）在（2）的條件下，如圖，平面直角坐標系中，A（x1，0），B（x2，0），以AB為直徑作⊙M，與y軸交于C、D．點P（a，1）在平面內(nèi)運動．①若點P在⊙M上，求a的值；②若△PAB為銳角三角形，直接寫出a的取值范圍．28．【了解概念】我們知道，折線段是由兩條不在同一直線上且有公共端點的線段組成的圖形．如圖1，線段MQ、QN組成折線段MQ．N若點P在折線段MQN上，MP＝PQ+QN，則稱點P是折線段MQN的中點．【理解應用】（1）如圖2，⊙O的半徑為2，PA是⊙O的切線，A為切點，點B是折線段POA的中點．若∠APO＝30°，則PB＝；（2）如圖3，⊙O中，，D是上一點，AH⊥BD，垂足為H．求證：點H是折線段BDC的中點；【拓展提升】（3）如圖4，A，P，B，C是⊙O上的四個點，AB＝AC＝2，求PB?PC的值．

參考答案一、選擇題：本題共8小題，每小題3分，共24分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．下列關于x的方程是一元二次方程的是（）A．a(chǎn)x2+bx+c＝0 B．x2＝0 C．x2+2x＝ D．x2+y2＝0【分析】只含有一個未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫做一元二次方程．一元二次方程有三個特點：（1）只含有一個未知數(shù)；（2）未知數(shù)的最高次數(shù)是2；（3）是整式方程．解：A、該選項a可能等于0，所以可能不是一元二次方程，故該選項不符合題意；B、該選項有一個未知數(shù)且最高次數(shù)為2，所以是一元二次方程，故該選項符合題意；C、該選項為分式方程，故該選項不符合題意；D、該選項有兩個未知數(shù)，所以不是一元二次方程，故該選項不符合題意．故選：B．【點評】此題主要考查了一元二次方程的定義，要判斷一個方程是否為一元二次方程，先看它是否為整式方程，若是，再對它進行整理．如果能整理為ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式，則這個方程就為一元二次方程．2．把一元二次方程x2﹣2x﹣4＝0配方后，下列變形正確的是（）A．（x﹣2）2＝5 B．（x﹣2）2＝3 C．（x﹣1）2＝5 D．（x﹣1）2＝3【分析】利用解一元二次方程﹣配方法，進行計算即可解答．解：x2﹣2x﹣4＝0，x2﹣2x＝4，x2﹣2x+1＝4+1，（x﹣1）2＝5，故選：C．【點評】本題考查了解一元二次方程﹣配方法，熟練掌握解一元二次方程﹣配方法是解題的關鍵．3．下列關于x的一元二次方程中，有兩個不相等的實數(shù)根的方程是（）A．x2+4＝0 B．4x2﹣4x+1＝0 C．x2+x+3＝0 D．x2+2x﹣1＝0【分析】根據(jù)一元二次方程根的判別式，分別計算△的值，根據(jù)Δ＞0，方程有兩個不相等的實數(shù)根；Δ＝0，方程有兩個相等的實數(shù)根；Δ＜0，方程沒有實數(shù)根，進行判斷．解：A、Δ＝﹣16＜0，方程沒有實數(shù)根；B、Δ＝0，方程有兩個相等的實數(shù)根；C、Δ＝1﹣12＝﹣11＜0，方程沒有實數(shù)根；D、Δ＝4+4＝8＞0，方程有兩個不相等的實數(shù)根．故選：D．【點評】此題考查了用一元二次方程的根的判別式判定方程的根的情況的方法．4．已知x＝1是方程x2+ax+2＝0的一個根，則方程的另一個根為（）A．2 B．﹣2 C．﹣3 D．3【分析】根據(jù)x＝1是方程x2+ax+2＝0的一個根和兩根之積等于常數(shù)項與二次項系數(shù)的比值，可以求得方程的另一個根．解：設方程x2+ax+2＝0的另一個根為b，∵x＝1是方程x2+ax+2＝0的一個根，∴1×b＝2，解得b＝2，故選：A．【點評】本題考查根與系數(shù)的關系、一元二次方程的解，解答本題的關鍵是明確兩根之積等于常數(shù)項與二次項系數(shù)的比值．5．已知⊙O的半徑為3，平面內(nèi)有一點到圓心O的距離為5，則此點可能是（）A．P點 B．Q點 C．M點 D．N點【分析】根據(jù)點到圓心O的距離大于半徑，可判定出點在圓外，即可得到答案．解：∵平面內(nèi)有一點到圓心O的距離為5，5＞3．∴該點在圓外，∴點N符合要求．故選：D．【點評】本題考查了點與圓的位置關系，根據(jù)點到圓心距離與半徑的大小關系可作出判斷．6．下列命題中，正確的是（）A．三點確定一個圓 B．正五邊形是中心對稱圖形 C．等弧所對的圓心角相等 D．三角形的內(nèi)心到三角形三個頂點的距離相等【分析】分析是否為真命題，需要分別分析各題設是否能推出結(jié)論，從而利用排除法得出答案．解：A、不在一條直線上的三點確定一個圓，故本選項錯誤；B、正五邊形是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故本選項錯誤；C、等弧所對的圓心角相等，故本選項正確；D、三角形的內(nèi)心到三角形三邊的距離，故本選項錯誤；故選：C．【點評】主要考查命題的真假判斷，正確的命題叫真命題，錯誤的命題叫做假命題．判斷命題的真假關鍵是要熟悉課本中的性質(zhì)定理．7．如圖，已知AB是⊙O的直徑，CD是弦，若∠BCD＝36°，則∠ABD等于（）A．54° B．56° C．64° D．66°【分析】根據(jù)AB是⊙O的直徑，可得∠ADB＝90°，根據(jù)同弧所對圓周角相等可得∠DAB＝∠BCD＝36°，進而可得∠ABD的度數(shù)．解：∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB＝90°，∵∠DAB＝∠BCD＝36°，∴∠ABD＝∠ADB﹣∠DAB，即∠ABD＝90°﹣∠DAB＝90°﹣36°＝54°．故選：A．【點評】本題考查了圓周角定理，解決本題的關鍵是掌握圓周角定理．在同圓或等圓中，圓周角是所對圓心角的一半．8．如圖，在銳角三角形△ABC中，分別以三邊AB，BC，CA為直徑作圓．記三角形外的陰影面積為S1，三角形內(nèi)的陰影面積為S2，在以下四個選項的條件中，不一定能求出S1﹣S2的是（）A．已知△ABC的三條中位線的長度 B．已知△ABC的面積 C．已知AB，AC的長度及∠ACB＝30° D．已知BC的長度，以及AB，AC的長度和【分析】由題意S1＝S3個半外圓﹣S6個弓形＝S3個外半圓﹣（S3個內(nèi)半圓﹣2S△ABC﹣S2）推出S1＝2S△ABC+S2，推出S1﹣S2＝2S△ABC．再一一判斷即可．解：∵S1＝S3個半外圓﹣S6個弓形＝S3個外半圓﹣（S3個內(nèi)半圓﹣2S△ABC﹣S2），∴S1＝2S△ABC+S2，∴S1﹣S2＝2S△ABC．A：若已知△ABC的三條中位線的長度，即可得到△ABC三邊的長度，再根據(jù)海倫公式S＝（a，b，c是三角形的三邊，p＝（a+b+c）），據(jù)此求得三角形的面積，即可得到S1﹣S2的值，故A選項不符合題意；B：已知△ABC的面積，代入S1﹣S2＝2S△ABC即可求得，故B選項不符合題意；C：如解圖，過點A作AD⊥BC于點D．∵AD＝AC?sin∠ACB＝AC，在△ADC和△ADB中，∴CD＝AC，BD＝＝，∴S△ABC＝?AD?（BD+CD），據(jù)此即可求得S1﹣S2的值，故C選項不符合題意；D：∵已知AB，AC兩邊長度和，∴AB，AC的長度不確定，∴△ABC的面積也不確定，∴不一定能求出S1﹣S2的值，故D選項符合題意；故選：D．【點評】本題三角形綜合題，考查了三角形的面積，圓等知識，解題的關鍵是學會用割補法求陰影部分的面積，本題的突破點是證明S1﹣S2＝2S△ABC．二、填空題（本大題共有10小題，每小題3分，共30分．不需要寫解答過程，請把答案直接寫在答題卡相應位置上）9．若關于x的一元二次方程mx2+nx﹣1＝0（m≠0）的一個根是x＝1，則m+n的值是1．【分析】把x＝1代入方程mx2+nx﹣1＝0得到m+n﹣1＝0，然后求得m+n的值即可．解：把x＝1代入方程mx2+nx﹣1＝0得m+n﹣1＝0，解得m+n＝1．故答案為：1．【點評】本題考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解．10．若關于x的一元二次方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2＝0的常數(shù)項為0，則m的值等于2．【分析】根據(jù)一元二次方程成立的條件及常數(shù)項為0列出方程組，求出m的值即可．解：∵方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2＝0是一元二次方程且常數(shù)項為0，∴，解得：m＝2．故答案為：2【點評】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常數(shù)且a≠0），特別要注意a≠0的條件．這是在做題過程中容易忽視的知識點．在一般形式中ax2叫二次項，bx叫一次項，c是常數(shù)項．其中a，b，c分別叫二次項系數(shù)，一次項系數(shù)，常數(shù)項．11．如圖，正六邊形ABCDEF的邊長為2，它的外接圓半徑的長為2．【分析】根據(jù)正多邊形的中心角的計算公式、等邊三角形的性質(zhì)解答．解：設正六邊形的中心為O，連接OE、OD，∵六邊形是正六邊形，∴∠EOD＝＝60°，∴△EOD是等邊三角形，∴OE＝ED＝2，即它的外接圓半徑的長為2，故答案為：2．【點評】本題考查的是正多邊形與圓，掌握正多邊形的相關概念是解題的關鍵．12．如圖，O是△ABC的外心，∠ABC＝40°，∠ACB＝70°，則∠BOC＝140°．【分析】求出∠BAC＝70°，由圓周角定理可得出答案．解：∵∠ABC＝40°，∠ACB＝70°，∴∠BAC＝180°﹣40°﹣70°＝70°，∵O是△ABC的外心，∴以O為圓心，OB為半徑的圓是△ABC的外接圓，∴∠BOC＝2∠BAC＝140°．故答案為：140°．【點評】本題考查了三角形的外接圓與外心：三角形外接圓的圓心是三角形三條邊垂直平分線的交點，叫做三角形的外心．也考查了圓周角定理．13．如圖，PA與⊙O相切于點A，PO與⊙O相交于點B，點C在上，且與點A、B不重合．若∠P＝26°，則∠C的度數(shù)為32°．【分析】連接AO并延長交⊙O于點D，連接DB，由切線的性質(zhì)得出∠OAP＝90°，由∠P＝26°，求出∠AOP＝64°，由圓周角定理即可求出∠C＝∠D＝32°．解：如圖，連接AO并延長交⊙O于點D，連接DB，∵PA與⊙O相切于點A，∴∠OAP＝90°，∵∠P＝26°，∴∠AOP＝90°﹣∠P＝90°﹣26°＝64°，∴∠D＝∠AOP＝×64°＝32°，∵點C在上，且與點A、B不重合，∴∠C＝∠D＝32°，故答案為：32．【點評】本題考查了切線的性質(zhì)，圓周角定理，掌握切線的性質(zhì)，圓周角定理是解決問題的關鍵．14．一個直角三角形的兩條直角邊長是方程x2﹣7x+12＝0的兩個根，則此直角三角形的內(nèi)切圓的半徑為1．【分析】先解一元二次方程，根據(jù)勾股定理解得三角形的斜邊，利用直角三角形內(nèi)切圓的半徑等于兩直角邊之和與斜邊之差的一半，可得結(jié)果．解：解方程x2﹣7x+12＝0得，x1＝3，x2＝4，由勾股定理得，斜邊為5，∴此直角三角形的內(nèi)切圓的半徑為＝＝1，故答案為：1．【點評】本題主要考查了因式分解法解一元二次方程，熟記直角三角形內(nèi)切圓的半徑等于兩直角邊之和與斜邊之差的一半是解答此題的關鍵．15．已知m為方程x2﹣3x﹣2022＝0的根，那么2m2﹣6m﹣2021的值為2023．【分析】先把m代入方程x2﹣3x﹣2022＝0，得到m2﹣3m＝2022，再代入代數(shù)式2m2﹣6m﹣2021，即可求出答案．解：把m代入方程x2﹣3x﹣2022＝0，得到m2﹣3m﹣2022＝0，所以m2﹣3m＝2022，所以代數(shù)式2m2﹣6m﹣2021＝2×2022﹣2021＝2023；故答案為：2023．【點評】本題考查的是一元二次方程的解的定義，一元二次方程的解，就是能夠使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值，是一個基礎題．16．如圖，有一個半徑為2的圓形時鐘，其中每個刻度間的弧長均相等，過9點和11點的位置作一條線段，則鐘面中陰影部分的面積為π﹣．【分析】連接OA、OB，過點O作OC⊥AB，根據(jù)等邊三角形的判定得出△AOB為等邊三角形，再根據(jù)扇形面積公式求出S扇形AOB＝π，再根據(jù)三角形面積公式求出S△AOB＝，進而求出陰影部分的面積．解：連接OA、OB，過點O作OC⊥AB于點C，由題意可知：∠AOB＝60°，∵OA＝OB，∴△AOB為等邊三角形，∴AB＝AO＝BO＝2，∴S扇形AOB＝＝π，∵OC⊥AB，∴∠OCA＝90°，AC＝1，∴OC＝，∴S△AOB＝＝，∴陰影部分的面積為：π﹣；故答案為：π﹣；【點評】本題考查有關扇形面積、弧長的計算，熟練應用面積公式，其中作出輔助線是解題關鍵．17．如圖所示，矩形紙片ABCD中，AD＝8cm，把它分割成正方形紙片ABFE和矩形紙片EFCD后，分別裁出扇形ABF和半徑最大的圓，恰好能作為一個圓錐的側(cè)面和底面，則AB的長為cm．【分析】設圓錐的底面的半徑為rcm，則DE＝2rcm，AE＝AB＝（8﹣2r）cm，利用圓錐的側(cè)面展開圖為一扇形，這個扇形的弧長等于圓錐底面的周長得到＝2πr，解方程求出r，然后計算8﹣2r即可．解：設圓錐的底面的半徑為rcm，則DE＝2rcm，AE＝AB＝（8﹣2r）cm，根據(jù)題意得＝2πr，解得r＝，所以AB＝8﹣2r＝8﹣2×＝（cm）．故答案為：cm．【點評】本題考查了圓錐的計算：圓錐的側(cè)面展開圖為一扇形，這個扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長．18．如圖，在等腰△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，點O是BC邊中點，⊙O的半徑為1，點P是AC邊上一動點，則由點P到⊙O的切線長PQ的最小值為．【分析】當PO⊥AC時，線段PQ最短；連接CP、CQ，根據(jù)勾股定理知PQ2＝CP2﹣CQ2，先求出CP的長，然后由勾股定理即可求得答案．解：如圖，連接OP，OQ，AO，∵PQ與⊙O相切于點Q，∴OQ⊥PQ，∵OQ＝1，∴當OP最短時，PQ最小，∴當PO⊥AC時，線段PQ最小，∵AB＝AC＝5，BC＝6，點O是BC邊中點，∴AO⊥BC，OC＝BC＝3，∴AO＝＝＝4，∴S△AOC＝S△ABC＝×6×4＝6，∴5×OP＝6，∴OP＝，∴PQ＝＝，∴點P到⊙O的切線長PQ的最小值為．故答案為：．【點評】本題考查了切線的性質(zhì)以及勾股定理的運用；注意掌握輔助線的作法，注意當PO⊥AC時，線段PQ最短是關鍵．三、解答題（本大題共有10小題，共96分．解答時應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）19．用適當?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋海?）x2﹣2x﹣5＝0；（2）x（x﹣1）＝2（x﹣1）．【分析】（1）將常數(shù)項移到方程的右邊，兩邊都加上一次項系數(shù)一半的平方配成完全平方式后，再開方即可得；（2）先移項，再利用提公因式法將方程的左邊因式分解，繼而得出兩個關于x的一元一次方程，再進一步求解即可．解：（1）∵x2﹣2x﹣5＝0，∴x2﹣2x＝5，則x2﹣2x+1＝5+1，即（x﹣1）2＝6，∴x﹣1＝±，∴x1＝1+，x2＝1﹣；（2）∵x（x﹣1）＝2（x﹣1），∴x（x﹣1）﹣2（x﹣1）＝0，則（x﹣1）（x﹣2）＝0，∴x﹣1＝0或x﹣2＝0，解得x1＝1，x2＝2．【點評】本題主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接開平方法、因式分解法、公式法及配方法，解題的關鍵是根據(jù)方程的特點選擇簡便的方法．20．如圖，半圓O的直徑AB＝8，半徑OC⊥AB，D為弧AC上一點，DE⊥OC，DF⊥OA，垂足分別為E、F，求EF的長．【分析】連接OD，利用三個角是直角的四邊形是矩形判定四邊形DEOF是矩形，利用矩形的對角線相等即可得到所求結(jié)論．解：連接OD．∵OC⊥ABDE⊥OC，DF⊥OA，∴∠AOC＝∠DEO＝∠DFO＝90°，∴四邊形DEOF是矩形，∴EF＝OD．∵OD＝OA∴EF＝OA＝4．【點評】本題考查了圓的認識及矩形的判定與性質(zhì)，解題的關鍵是利用矩形的判定方法判定四邊形DFOE為矩形．21．已知關于x的一元二次方程x2﹣6x+a﹣2＝0．（1）如果該方程有實數(shù)根，求實數(shù)a的取值范圍；（2）如果該方程有兩個相等的實數(shù)根，求出這兩個根．【分析】（1）由方程根的情況，根據(jù)根的判別式可得到關于a的不等式，可求得a的取值范圍；（2）由方程有兩個相等的實數(shù)根，可求得其判別式等于0，可求得a的值，代入方程，求方程的兩根即可．解：（1）當方程有實數(shù)根時，則可有△≥0，∴（﹣6）2﹣4（a﹣2）≥0，解得a≤11，即當a≤11時，該方程有實數(shù)根；（2）當方程有兩個相等的實數(shù)根時，則Δ＝0，∴（﹣6）2﹣4（a﹣2）＝0，解得a＝11，∴方程為x2﹣6x+9＝0，解得x1＝x2＝3．【點評】本題主要考查根的判別式，掌握方程根的情況與根的判別式的關系是解題的關鍵．22．如圖，已知四邊形ABCD內(nèi)接于圓O，∠A＝105°，BD＝CD．（1）求∠DBC的度數(shù)；（2）若⊙O的半徑為3，求的長．【分析】（1）根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可得∠C的度數(shù)，然后根據(jù)等邊對等角可得答案；（2）首先計算出∠BDC的度數(shù)，再根據(jù)圓周角定理可得∠BOC的度數(shù)，進而可得的長．解：（1）∵四邊形ABCD內(nèi)接于圓O，∴∠DCB+∠BAD＝180°，∵∠A＝105°，∴∠C＝180°﹣105°＝75°，∵BD＝CD，∴∠DBC＝∠C＝75°；（2）連接BO、CO，∵∠C＝∠DBC＝75°，∴∠BDC＝30°，∴∠BOC＝60°，故的長l＝＝π．【點評】此題主要考查了圓周角定理，以及圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，關鍵是掌握圓內(nèi)接四邊形對角互補．23．如圖，在平面直角坐標系xOy中，點A的坐標為（0，7），點B的坐標為（0，3），點C的坐標為（3，0）．（1）在圖中利用直尺畫出△ABC的外接圓的圓心點D，圓心D的坐標為（5，5）；（2）求△ABC外接圓的面積；（3）若點E的坐標（6，0），點E在△ABC外接圓圓內(nèi)．（填“圓內(nèi)”“圓上”或“圓外”）【分析】（1）線段BC，AB的垂直平分線的交點D，即為△ABC的外接圓的圓心．（2）求出AD的長，可得結(jié)論．（3）求出DE的長與AD比較，可得結(jié)論．解：（1）如圖，點D即為所求，D（5，5），故答案為：（5，5）．（2）∵AD＝＝，∴△ABC外接圓的面積＝π?（）2＝29π．（3）∵DE＝＝，AD＝，又∵DE＞DA，∴點E在⊙D內(nèi)部．故答案為：圓內(nèi)．【點評】本題考查作圖﹣復雜作圖，坐標與圖形性質(zhì)，三角形的外接圓與外心等知識，解題的關鍵是連接三角形的外心是各邊垂直平分線的交點．24．2019年12月以來，湖北省武漢市發(fā)現(xiàn)一種新型冠狀病毒感染引起的急性呼吸道傳染?。?）在“新冠”初期，有1人感染了“新冠”，經(jīng)過兩輪傳染后共有144人感染了“新冠”（這兩輪感染因為人們不了解病毒而均未被發(fā)現(xiàn)未被隔離），則每輪傳染中平均一個人傳染了幾個人？（2）后來舉國上下眾志成城，全都隔離在家．小玲的爺爺因為種的水果香梨遇到銷滯難題而發(fā)愁，于是小玲想到了在微信朋友圈里幫爺爺銷售香梨．香梨每斤成本為4元/斤，她發(fā)現(xiàn)當售價為6元/斤時，每天可以賣80斤．在銷售過程中，她還發(fā)現(xiàn)一斤香梨每降價0.5元時，則每天可以多賣出10斤．為了最大幅度地增加銷售量，而且每天要達到100元的利潤，問小玲應該將售價定為多少元？【分析】（1）設每輪傳染中平均一個人傳染了x人，根據(jù)1人感染“新冠”經(jīng)過兩輪傳染后共有144人感染“新冠”，列出一元二次方程，解之取其正值即可得出結(jié)論；（2）設小玲應該將售價定為y元，則每天可以賣出（80+10×）斤，根據(jù)總利潤＝每斤的利潤×銷售數(shù)量，列出一元二次方程，解之取其較小值即可得出結(jié)論．解：（1）設每輪傳染中平均一個人傳染了x人，依題意，得：1+x+x（1+x）＝144，解得：x1＝11，x2＝﹣13（不合題意，舍去）．答：每輪傳染中平均一個人傳染了11人．（2）設小玲應該將售價定為y元，則每天可以賣出（80+10×）斤，依題意，得：（y﹣4）（80+10×）＝100，整理，得：y2﹣14y+45＝0，解得：y1＝5，y2＝9（不合題意，舍去）．答：小玲應該將售價定為5元．【點評】此題考查了一元二次方程的應用，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵．25．如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，BD為⊙O的直徑，AC平分∠BAD，CD＝2，點E在BC的延長線上，連接DE．（1）求直徑BD的長；（2）若BE＝5，計算圖中陰影部分的面積．【分析】（1）由BD為⊙O的直徑，得到∠BCD＝90°，AC平分∠BAD，得到∠BAC＝∠DAC，所以BC＝DC，△BDC是等腰直角三角形，即可求出BD的長；（2）因為BC＝DC，所以陰影的面積等于三角形CDE的面積．解：（1）∵BD為⊙O的直徑，∴∠BCD＝∠DCE＝90°，∵AC平分∠BAD，∴∠BAC＝∠DAC，∴BC＝DC＝2，∴BD＝2×＝4；（2）∵BE＝5，∴CE＝3，∵BC＝DC，∴S陰影＝S△CDE＝×2×＝6．【點評】本題考查了圓的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，三角形的面積的計算，熟練掌握圓周角定理是解題的關鍵．26．先閱讀理解下面的例題，再按要求解答下列問題：例題：求代數(shù)式y(tǒng)2+4y+8的最小值．解：y2+4y+8＝y(tǒng)2+4y+4+4＝（y+2）2+4∵（y+2）2≥0∴（y+2）2+4≥4∴代數(shù)式y(tǒng)2+4y+8的最小值為4．（1）求代數(shù)式x2﹣6x+11的最小值；（2）某農(nóng)場計劃建造一個矩形養(yǎng)殖場，為充分利用現(xiàn)有資源，該矩形養(yǎng)殖場一面靠墻（墻的長度為10m），另外三面用柵欄圍成，中間再用柵欄把它分成兩個面積為1：2的矩形，已知柵欄的總長度為24m，設較小矩形的寬為xm（如圖）．當x為多少時，矩形養(yǎng)殖場的總面積最大？最大值為多少？【分析】（1）根據(jù)閱讀材料將所求的式子配方為（x﹣3）2+2，再根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)得出最小值；（2）矩形養(yǎng)殖場的總面積是ym2，根據(jù)題意列出函數(shù)解析式以及x的取值范圍，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)求最值．解：（1）x2﹣6x+11＝x2﹣6x+9+2＝（x﹣3）2+2，∵（x﹣3）2≥0，∴（x﹣3）2+2≥2，∴代數(shù)式x2﹣6x+11的最小值為2；（2）矩形養(yǎng)殖場的總面積是ym2，根據(jù)題意知：較大矩形的寬為2xm，長為＝（8﹣x）m，∵墻的長度為10m，∴0＜x≤，根據(jù)題意得：y＝（x+2x）×（8﹣x）＝﹣3x2+24x＝﹣3（x﹣4）2+48，∵﹣3＜0，∴當x＝時，y取最大值，最大值為﹣3×（﹣4）2+48＝（m2），答：當x＝時，矩形養(yǎng)殖場的總面積最大，最大值為m2．【點評】本題考查二次函數(shù)的應用，解題的關鍵是讀懂題意，列出函數(shù)關系式．27．已知關于x的一元二次方程kx2+（k+5）x+5＝0（k≠0）．（1）求證：方程一定有兩個實數(shù)根；（2）若方程的兩根為x1、x2，且x1、x2都為整數(shù)，x1＜1＜x2，求整數(shù)k的值；（3）在（2）的條件下，如圖，平面直角坐標系中，A（x1，0），B（x2，0），以AB為直徑作⊙M，與y軸交于C、D．點P（a，1）在平面內(nèi)運動．①若點P在⊙M上，求a的值；②若△PAB為銳角三角形，直接寫出a的取值范圍．【分析】（1）利用根的判別式即可得出結(jié)論；（2）先求出x1，x2值，由x1、x2都為整數(shù)，x1＜1＜x2，即可求解；（3）①先求出⊙M的半徑，由點P在⊙M上可得PM＝AM＝3，即可求解；②求出特殊位置時，a的值，結(jié)合圖形可求解．【解答】（1）證明：由題意可得：Δ＝（k+5）2﹣4×5k＝