第三講層次分析法建模

第三講層次分析法建模第一頁，共五十九頁，2022年，8月28日一、層次分析法概述問題的提出:日常生活中有許多決策問題。決策是指在面臨多種方案時,需要依據(jù)一定的標準選擇某一種方案。例1購物

買鋼筆，一般要依據(jù)質(zhì)量、顏色、實用性、價格、外形等方面的因素選擇某一支鋼筆。買飯，則要依據(jù)色、香、味、價格等方面的因素選擇某種飯菜。例2旅游假期旅游，是去風光秀麗的蘇州，還是去迷人的北戴河，或者是去山水甲天下的桂林，一般會依據(jù)景色、費用、食宿條件、旅途等因素選擇去哪個地方。例3擇業(yè)面臨畢業(yè)，可能有高校、科研單位、企業(yè)等單位可以去選擇，一般依據(jù)工作環(huán)境、工資待遇、發(fā)展前途、住房條件等因素擇業(yè)。

面臨各種各樣的方案，要進行比較、判斷、評價、最后作出決策。這個過程主觀因素占有相當?shù)谋戎兀o用數(shù)學方法解決問題帶來不便。第二頁，共五十九頁，2022年，8月28日一、層次分析法概述等人20世紀在七十年代提出了一種能有效處理上述這類問題的實用方法——層次分析法（AnalyticHierarchyProcess,簡稱AHP)層次分析法是一種定性和定量相結(jié)合的、系統(tǒng)化的、層次化的分析方法。過去研究自然和社會現(xiàn)象主要有機理分析法和統(tǒng)計分析法兩種方法，前者用經(jīng)典的數(shù)學工具分析現(xiàn)象的因果關(guān)系，后者以隨機數(shù)學為工具，通過大量的觀察數(shù)據(jù)尋求統(tǒng)計規(guī)律。近年發(fā)展的系統(tǒng)分析是又一種方法，而層次分析法是系統(tǒng)分析的數(shù)學工具之一。1.什么是層次分析法？2.層次分析法適用范圍3.層次分析法的優(yōu)點第三頁，共五十九頁，2022年，8月28日層次分析法的基本思路：與人們對某一復雜決策問題的思維、判斷過程大體一致。選擇鋼筆質(zhì)量、顏色、價格、外形、實用鋼筆1、鋼筆2、鋼筆3、鋼筆4質(zhì)量、顏色、價格、外形、實用進行排序?qū)⒏鱾€鋼筆的質(zhì)量、顏色、價格、外形、實用進行排序經(jīng)綜合分析決定買哪支鋼筆二、層次分析法建模的基本步驟第四頁，共五十九頁，2022年，8月28日二、層次分析法建模的基本步驟運用層次分析建模，大體上可按下面四個步驟進行：1.建立層次結(jié)構(gòu)模型分析系統(tǒng)中各因素間的關(guān)系，建立系統(tǒng)的遞階層次結(jié)構(gòu)；2.構(gòu)造判斷矩陣對同一層次的各元素關(guān)于上一層次中某一準則的重要性進行兩兩比較，構(gòu)造兩兩比較的判斷矩陣；3.層次單排序與一致性檢驗由判斷矩陣計算被比較元素對于該準則的相對權(quán)重，并進行判斷矩陣的一致性檢驗；4.層次總排序及其一致性檢驗計算各元素對于系統(tǒng)目標的總排序權(quán)重，并進行排序。第五頁，共五十九頁，2022年，8月28日三、層次分析法各步驟的實現(xiàn)過程（一）層次結(jié)構(gòu)圖（層次結(jié)構(gòu)模型）概念由目標層、準則層（指標層）、方案層等組成的多層次樹狀或網(wǎng)狀圖，稱為層次結(jié)構(gòu)圖。不論多指標決策是復雜或簡單，都可以畫出層次結(jié)構(gòu)圖。分類根據(jù)自上而下的支配關(guān)系的不同，層次結(jié)構(gòu)圖又分為樹狀圖和網(wǎng)狀圖。

示例如圖說明1.對于一般的決策層次分析模型可分為三層：最高層（目標層）、中間層（準則層）、最底層（方案層），各層可以根據(jù)問題的需要細分為若干子層。最高層只有一個元素，用于分析預定目標或結(jié)果，中間層可由若干準則、子準則層組成。最底層則由為實現(xiàn)目標而提供選擇的各種措施與決策方案組成，也稱方案層。2.每一層次中各元素所支配的元素一般不超過9個。第六頁，共五十九頁，2022年，8月28日續(xù)—層次結(jié)構(gòu)圖特點

1.元素按從上到下的順序進行支配，同一層次元素之間不存在支配關(guān)系；2.目標層只有一個元素，每個元素所支配的元素不超過9個，否則需要進一步分組。（圖例說明）實例1.擇校問題2.合理使用企業(yè)利潤問題第七頁，共五十九頁，2022年，8月28日（二）判斷矩陣判斷矩陣的概念判斷矩陣是指層次結(jié)構(gòu)圖上某一層面各個元素之間關(guān)于上一層次中某一準則的相互重要性給以量化判斷所構(gòu)成的方陣。構(gòu)造判斷矩陣是進行層次分析的關(guān)鍵。判斷矩陣的框架結(jié)構(gòu)(我們用圖1所示的層次結(jié)構(gòu)圖分析說明)包括面向緊上層面的目標（準則），與之相關(guān)聯(lián)元素組成的方陣，即A=（bij)n×n。如圖1，第二層面有三個元素，即B1、B2、B3，針對上一層面A目標的Bj之間重要性判斷矩陣的框架結(jié)構(gòu)如表一。第三層面有六個元素，針對第二層面Bj目標，可以寫出Cj之間的重要性判斷矩陣有三個，見表2～4。依此類推，可以寫出第四面Sj之間的重要性判斷矩陣六個。第八頁，共五十九頁，2022年，8月28日續(xù)—判斷矩陣判斷矩陣元素量化標度根據(jù)心理學家的研究認為，人們區(qū)分信息等級的極限能力為7±2的大致幅度。因此Saaty提出判斷矩陣標度應取1～9之間的數(shù)值，詳見表五。顯然判斷矩陣A=（bij)n×n是正互反陣，因為bii=1,bij=1/bji另外，n×n階判斷矩陣只需給出n(n-1)/2個判斷數(shù)。第九頁，共五十九頁，2022年，8月28日續(xù)—判斷矩陣產(chǎn)生判斷矩陣的判斷數(shù)（bij)的方法判斷矩陣的判斷數(shù)不應該由個別人主觀估計，而應該請有責任感且是內(nèi)行的多位專家參與估計。一般來講，方案（措施）層的判斷矩陣估計關(guān)系到?jīng)Q策質(zhì)量，因此人員結(jié)構(gòu)與專家數(shù)目應特別慎重。專家估計判斷矩陣元素的方法有靜態(tài)法和動態(tài)法兩種。所謂動態(tài)法，就是給定一個n×n階方陣，按表五要求，估計出n(n-1)/2個判斷數(shù)。此法簡單扼要，應用較廣。但要讓專家直接在判斷矩陣上標出1～9數(shù)值一般不太容易，所以常用一種稱為靜態(tài)法的方法，即不去比較同一層面各元素之間誰輕誰重，孰優(yōu)孰劣，而是進行單個元素與上個層面的目標（準則）對比。示例見表六。顯然專家填列此表不會感到困難。第十頁，共五十九頁，2022年，8月28日續(xù)—判斷矩陣靜態(tài)判斷值轉(zhuǎn)化為動態(tài)判斷值的方法

如何將專家靜態(tài)法產(chǎn)生的判斷數(shù)，轉(zhuǎn)化為n×n階判斷矩陣元素bij，是靜態(tài)法是否有使用價值的關(guān)鍵——1.靜態(tài)法與動態(tài)法數(shù)值轉(zhuǎn)化對應表（見表七）2.應用舉例試將表六中靜態(tài)判斷值轉(zhuǎn)化為動態(tài)判斷值（見表八～十）第十一頁，共五十九頁，2022年，8月28日（三）層次單排序與一致性檢驗層次單排序、判斷矩陣一致性的概念層次單排序：確定下層各因素對上層某因素影響程度的過程。用權(quán)值表示影響程度，先從一個簡單的例子看如何確定權(quán)值。例如一塊石頭重量記為1，打碎分成n個小塊，各塊的重量分別記為：則可得成對比較矩陣可以看出即在正互反矩陣A中，若,則稱A為一致陣。第十二頁，共五十九頁，2022年，8月28日（三）層次單排序與一致性檢驗層次單排序

☆在構(gòu)造判斷矩陣之后，解出判斷矩陣的最大特征值，再利用它對應的特征方程，解出對應的特征向量W，W經(jīng)過標準化后，即為同一層次中相應元素對于上一層次中的某個因素相對重要性的排序權(quán)值，這一過程即求層次單排序。（相關(guān)理解見注解）最大特征值和特征向量的計算由于判斷矩陣中的元素的給出是比較粗糙的，當n很大時，計算和W很麻煩，因此，在計算判斷矩陣的最大特征值和特征向量時可以采取近似計算。常用的方法有：方根法、和法、特征根法。由于MATLAB軟件的廣泛使用，因此現(xiàn)在一般用特征根法來解決此類問題。詳見應用舉例。第十三頁，共五十九頁，2022年，8月28日續(xù)—層次單排序與一致性檢驗為什么要進行一致性檢驗？在判斷矩陣的構(gòu)造中，由于客觀事物的復雜性與人的認識的多樣性，因此并不要求一致性定義中的等式aijajk=aik成立，但要求判斷有大體上的一致是應該的，出現(xiàn)甲比乙極端重要，乙比丙極端重要而丙又比甲極端重要的判斷，一般是違反常識的，一個混亂的經(jīng)不起推敲的判斷矩陣有可能導致決策失誤，而且上述各種計算排序權(quán)重的方法當判斷矩陣過于偏離一致性時，其可靠性也就值得懷疑。因此，需要對判斷矩陣的一致性進行檢驗。檢驗一致性的指標檢驗判斷矩陣是否有一致性，用兩種指標進行檢驗：CI與CR（Saaty首先提出），步驟為：第十四頁，共五十九頁，2022年，8月28日續(xù)—層次單排序與一致性檢驗（1）CI稱為判斷矩陣偏離一致性指標：當時，CI=0，表示判斷矩陣具有完全的一致性。CI>0時，需要用CR檢驗后才有結(jié)論。（2）CR稱為判斷矩陣隨機一致性指標：式中RI為平均隨機一致性指標，見下表表十一平均隨機一致性指標RI(1～9階正互反陣取樣1000得到的平均值）

矩陣階數(shù)123456789RI000.580.961.121.241.321.411.45使用條件只準用標度為1～9打分制第十五頁，共五十九頁，2022年，8月28日續(xù)—層次單排序與一致性檢驗

當CR=0時，判斷矩陣有完全隨機一致性；當CR<0.10時，認為判斷矩陣的一致性是可以接受的（滿意），否則應對判斷矩陣作適當調(diào)整。應用舉例應用MATLAB計算判斷矩陣排序權(quán)重向量、最大特征值，并進行一致性檢驗。

此例前面我們已算得最大特征值，于是有：可見此判斷矩陣具有較好的一致性。

第十六頁，共五十九頁，2022年，8月28日（四）層次總排序與一致性檢驗層次總排序的概念層次單排序后，還需要進行層次總排序，即計算同一層次所有元素對于最高層（總目標）相對重要性的排序權(quán)值，稱為層次總排序。這一過程是由最高層到最底層逐層進行的。層次總排序的計算設(shè)準則層C包含m個元素C1、C2、…、Cm，它的層次總排序權(quán)值為a1、a2、…、am;方案層P包含n個元素P1、P2、…、Pn，它們對于Cj的層次單排序權(quán)值分別記為b1j、b2j、…、bnj(j=1,2,…,m)，則P層次總排序權(quán)值如表十二所示。層次總排序的一致性檢驗檢驗是從最高層到最底層逐層進行的。設(shè)P層中的元素對Cj的單排序的一致性指標為（CI）j，隨機一致性指標是(RI)j，則P層總排序隨機一致性指標為：

當CR<0.1時，認為層次總排序具有滿意的一致性。第十七頁，共五十九頁，2022年，8月28日（五）決策過程構(gòu)造AHP模型，主要是產(chǎn)生各項指標（準則）的總排序權(quán)值。有了總排序后，再輸入方案（措施）層的有關(guān)信息，便可以進行決策了。AHP決策有兩種方法：

第一種決策方法是對方案層構(gòu)造判斷矩陣，最終產(chǎn)生方案層的總排序，選擇權(quán)值最大的為最佳方案。（詳見示例）第二種決策方法：請有關(guān)人員進行多人或全體人員的公投方式，產(chǎn)生方案Sk與指標（措施）Ci的評判數(shù)值（仍然用1～9打分制），再進行加權(quán)求平均值。（詳見示例）第十八頁，共五十九頁，2022年，8月28日四、殘缺判斷處理什么是殘缺判斷？應用AHP進行決策時，人們對于每個準則都要填寫一個判斷矩陣，每個判斷矩陣需進行n(n-1)/2次兩兩比較。當層次很多，因素復雜時，總的判斷量很大，很可能出現(xiàn)某個參與決策的專家對某些判斷缺少把握、不感興趣或不想發(fā)表意見的情形，這種情形應當允許，否則勉為其難反而可能掩蓋事物本質(zhì)，這時得到的是帶有空缺的判斷矩陣，稱為殘缺判斷殘缺判斷的處理

★顯然，判斷矩陣殘缺程度越高，對排序的正確性影響越大，因此有必要研究什么樣的殘缺矩陣是“可接受的”。

★

殘缺判斷可接受的條件定義1一個殘缺判斷矩陣稱為是可接受的，如果它的任一殘缺元素都可通過已給出的元素間接獲得，否則就是不可接受的。（注：殘缺元素的間接獲得，如元素aij可以通過aikakj獲得，也可以通過aikakmamg…axj獲得。如果這種間接渠道較多，那么就有可能對殘缺元素作出比較正確的估計。）第十九頁，共五十九頁，2022年，8月28日續(xù)殘缺判斷處理定理1一個殘缺判斷矩陣A可接受的必要條件是除對角元素外，每行每列至少有一個給定元素。為討論殘缺矩陣的可接受性，我們用“θ”表示殘缺元素，若把θ看成0元素時，就有：定理2一個殘缺判斷矩陣A可接受的充分必要條件是A是不可約矩陣。（注：方陣A若能用行列同時調(diào)換化為形式，則A稱為可約矩陣，否則A稱為不可約矩陣。這里A1、A4都是方陣。如是可約矩陣。）下面討論可接受殘缺矩陣排序向量的計算方法。第二十頁，共五十九頁，2022年，8月28日續(xù)殘缺判斷處理殘缺矩陣排序向量的計算方法

對殘缺矩陣A構(gòu)造輔助矩陣C，使得：

而求C的特征值問題等價于矩陣的特征值問題。這里的元素為可以驗證C與具有相同特征值。稱為A的等價矩陣。直接求的主特征值和相應的特征向量即可求得殘缺判斷矩陣的排序向量。例如：設(shè)只需求的主特征根及主特征向量w.當i=j,i=1,...,n,其中mi為A的第i行中殘缺元素個數(shù)。第二十一頁，共五十九頁，2022年，8月28日續(xù)殘缺判斷處理一致性檢驗

的一致性可用下面公式計算：同樣地當時認為有滿意的一致性。顯然，當A殘缺時，只有當其它非殘缺元素有較協(xié)調(diào)的判斷時，才能滿足總體一致性要求。

第二十二頁，共五十九頁，2022年，8月28日五、層次分析法的數(shù)學模型、使用步驟及主要內(nèi)容小結(jié)層次分析法的數(shù)學模型

AHP模型包括：①多指標（準則）與多方案的層次結(jié)構(gòu)圖；②各層次的判斷矩陣生成；③各層次的單排序、總排序的算法與檢驗。層次分析法使用的步驟與主要內(nèi)容表需要進一步了解的內(nèi)容介紹

①群組決策②AHP中的逆序現(xiàn)象、保序性問題③評分標度第二十三頁，共五十九頁，2022年，8月28日六、建模實例層次分析法在環(huán)境保護中的應用（見附件）練習題（見運籌學P455）本講結(jié)束第二十四頁，共五十九頁，2022年，8月28日層次分析法概念

所謂層次分析法，是指將一個復雜的多目標決策問題作為一個系統(tǒng)，將目標分解為多個分目標或準則，進而分解為多指標（或準則、約束）的若干層次，由此得到按支配關(guān)系形成的多層次結(jié)構(gòu)，對同一層的各元素進行兩兩比較，通過定性指標模糊量化方法算出層次單排序（權(quán)數(shù)，即各層元素對上一層支配元素的相對重要性）和總排序（各元素對總目標的重要性），以此作為多目標（多指標）、多方案優(yōu)化決策的系統(tǒng)方法。該法將專家知識用于定性指標的量化，使復雜的多目標決策更加生動和實用。返回第二十五頁，共五十九頁，2022年，8月28日層次分析法適用范圍

人們在進行社會的、經(jīng)濟的以及科學管理領(lǐng)域的系統(tǒng)分析中，面臨的常常是一個由相互關(guān)聯(lián)、相互制約的眾多因素構(gòu)成的復雜而往往缺少定量數(shù)據(jù)的系統(tǒng)。層次分析法特別適合于這種具有復雜層次結(jié)構(gòu)、定性的與定量的指標眾多的系統(tǒng)評價與決策問題。第二十六頁，共五十九頁，2022年，8月28日

應用領(lǐng)域：經(jīng)濟計劃和管理，能源政策和分配，人才選拔和評價，生產(chǎn)決策，交通運輸，科研選題，產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)，教育，醫(yī)療，環(huán)境，軍事等。處理問題類型：決策、評價、分析、預測等。第二十七頁，共五十九頁，2022年，8月28日國家綜合實力國民收入軍事力量科技水平社會穩(wěn)定對外貿(mào)易美、俄、中、日、德等大國工作選擇貢獻收入發(fā)展聲譽關(guān)系位置供選擇的崗位例1國家實力分析例2工作選擇第二十八頁，共五十九頁，2022年，8月28日過河的效益A經(jīng)濟效益B1社會效益B2環(huán)境效益B3節(jié)省時間C1收入C2岸間商業(yè)C3當?shù)厣虡I(yè)C4建筑就業(yè)C5安全可靠C6交往溝通C7自豪感C8舒適C9進出方便C10美化C11橋梁D1隧道D2渡船D3（1）過河效益層次結(jié)構(gòu)例3橫渡江河、海峽方案的抉擇第二十九頁，共五十九頁，2022年，8月28日過河的代價A經(jīng)濟代價B1環(huán)境代價B3社會代價B2投入資金C1操作維護C2沖擊渡船業(yè)C3沖擊生活方式C4交通擁擠C5居民搬遷C6汽車排放物C7對水的污染C8對生態(tài)的破壞C9橋梁D1隧道D2渡船D2（2）過河代價層次結(jié)構(gòu)例3橫渡江河、海峽方案的抉擇第三十頁，共五十九頁，2022年，8月28日待評價的科技成果直接經(jīng)濟效益C11間接經(jīng)濟效益C12社會效益C13學識水平C21學術(shù)創(chuàng)新C22技術(shù)水平C23技術(shù)創(chuàng)新C24效益C1水平C2規(guī)模C3科技成果評價例4科技成果的綜合評價返回第三十一頁，共五十九頁，2022年，8月28日層次分析法的優(yōu)點1.能使千頭萬緒的復雜的大系統(tǒng)問題，通過繪出層次結(jié)構(gòu)圖，使問題結(jié)構(gòu)化、條理清晰、形象直觀，便于討論與修改（或擴充）；2.使多目標、多指標決策問題在考慮問題時盡可能地全面周到、統(tǒng)籌兼顧；3.能將定性的問題通過專家咨詢等模糊量化，使科學決策的空間更廣闊；4.將使計算機在多目標決策中充分發(fā)揮作用。返回第三十二頁，共五十九頁，2022年，8月28日AHP層次結(jié)構(gòu)圖示例第一層目標層（A）第二層分目標（B）（準則）第三層指標（C）（準則）方案層（措施）（S）AB1B2B3C1C2C3C4C5C6S1S2S3圖2：AHP網(wǎng)狀層次結(jié)構(gòu)圖第一層目標層（A）第二層分目標（B）（準則）第三層指標（C）（準則）方案層（措施）（S）AB1B2B3C1C2C3C4C5C6S1S2S3圖1：AHP樹狀層次結(jié)構(gòu)圖返回第三十三頁，共五十九頁，2022年，8月28日為什么每一層次中各元素所支配的元素一般不超過9個？這是因為人對7±2個因素的成對比較是人們的心理承受極限，通常人們用5種判斷級就能很好地表示同一事物之間的差異，如使用相同、稍強、強、很強、絕對強（或同等重要、稍重要、明顯重要、重要得多、絕對重要）表示事物的差別程度。這5個差別程度之間分別再插入一個差異級別便成為9個級別，也是人的能力可承受的。再多就困難了，并將影響建立模型的質(zhì)量。返回第三十四頁，共五十九頁，2022年，8月28日實例之一：擇校問題問題：有A、B、C三所中學，某人欲從中選出一所就讀，考慮因素為：學習條件、朋友、生活環(huán)境、職業(yè)培訓、文體訓練等。該問題的遞階層次結(jié)構(gòu)模型為：擇校文體訓練生活環(huán)境職業(yè)培訓朋友學習條件學校A學校B學校C方案準則目標圖3：擇校問題AHP層次結(jié)構(gòu)圖返回第三十五頁，共五十九頁，2022年，8月28日實例之二：合理使用企業(yè)利潤問題問題：某工廠有一筆企業(yè)留存利潤，要由廠領(lǐng)導和職代會決定如何使用，可供選擇的方案有：作為獎金發(fā)給職工；擴建集體福利設(shè)施；引進新技術(shù)、新設(shè)備等。為進一步促進企業(yè)發(fā)展，如何合理使用這筆利潤。該問題所述各項方案其目的都是為了更好地調(diào)動職工生產(chǎn)積極性，提高企業(yè)技術(shù)水平和改善職工物質(zhì)生活，最終目的都是為了促進企業(yè)更大發(fā)展，因此該問題的遞階層次結(jié)構(gòu)模型如下圖：合理利用企業(yè)利潤調(diào)動職工積極性C1改善職工生活條件C3提高企業(yè)技術(shù)水平C2引進新技術(shù)P3擴建福利事業(yè)P2發(fā)獎金P1圖4：合理使用企業(yè)利潤的層次結(jié)構(gòu)目標層G準則層C方案層P返回第三十六頁，共五十九頁，2022年，8月28日判斷矩陣框架結(jié)構(gòu)第一層目標層（A）第二層分目標（B）（準則）第三層指標（C）（準則）方案層（措施）（S）AB1B2B3C1C2C3C4C5C6S1S2S3圖1：AHP樹狀層次結(jié)構(gòu)圖bijB1B2B3B1b11b12b13B2b21b22b23B3b31b32b33表一：判斷矩陣A—Bj表二：判斷矩陣B1—Cj表三：判斷矩陣B2—Cj表四：判斷矩陣B3—CjCijC1C2C1C11C12C2C21C22CijC3C4C3C11C12C4C21C22CijC5C6C5C11C12C6C21C22返回第三十七頁，共五十九頁，2022年，8月28日表五判斷矩陣標度準則表行與列權(quán)衡標度行與列權(quán)衡標度Bi與BJ同等重要bij=1中值取2Bi比BJ稍重要bij=3Bi比BJ稍差些bij=中值取4Bi比BJ明顯重要bij=5Bi比BJ明顯差bij=中值取6Bi比BJ重要得多bij=7Bi比BJ差得多bij=中值取8Bi比BJ絕對重要bij=9Bi比BJ絕對差bij=返回第三十八頁，共五十九頁，2022年，8月28日表六圖1中Cj對Bj靜態(tài)判斷數(shù)值表重要性不重要稍重要明顯重要重要得多絕對重要靜態(tài)判斷值13579對比項目C1對B1√C2對B1√C3對B2√C4對B2√C5對B3√C6對B3√表七靜態(tài)法與動態(tài)法數(shù)值對應表

BjbijBi13579111/31/51/71/93311/31/51/755311/31/5775311/3997531表八：判斷矩陣B1—Cj表九：判斷矩陣B2—Cj表十：判斷矩陣B3—CjCijC1C2C111/5C251CijC3C4C311/7C471CijC5C6C515C61/51返回第三十九頁，共五十九頁，2022年，8月28日為什么最大特征值對應的特征向量經(jīng)標準化后即為排序權(quán)值？由線性代數(shù)的知識，我們有：引理正互反矩陣的最大特征值是單根且是正實數(shù)，對應著正的特征向量.定理n階正互反矩陣A=（aij)n×n是一致陣當且僅當.在上述定理充分性的證明過程中，我們有：若設(shè)最大特征值，相應的特征向量為W=（w1,w2,...,wn)T，則可推得：aij=，因此，將W規(guī)范化，即令wi:

此時，規(guī)范化后的向量仍記為W，稱之為權(quán)向量，它表示同一層上元素對上一層影響的權(quán)重。注：以上是在A一致的情況下討論的，當A不一致時，必須控制在一定范圍內(nèi)，否則W各分量反映的權(quán)重與實際權(quán)重的偏差可能會很大。返回第四十頁，共五十九頁，2022年，8月28日用MATLAB計算判斷矩陣的最大特征值與特征向量應用MATLAB計算判斷矩陣排序權(quán)重向量、最大特征值，并進行一致性檢驗.算法如下:第一步：在Medit窗口中編寫以下內(nèi)容，并存為M文件：AHPNO1.m%AHP........A=input('judementmatrix=')[v,d]=eig(A);a=v(:,1);n=length(a);s=0;fori=1:ns=s+a(i);endfori=1:nw(i)=a(i)/s;endr=d(1,1)w第四十一頁，共五十九頁，2022年，8月28日續(xù)用MATLAB計算判斷矩陣的最大特征值與特征向量第二步：在MATLAB命令窗口中輸入AHPNO1，運行結(jié)果如下>>ahpno1judementmatrix=[125;1/217;1/51/71]A=1.00002.00005.00000.50001.00007.00000.20000.14291.0000r=3.1190w=0.54150.38160.0768于是有：最大特征根為

排序權(quán)重向量為：W=（0.5415，0.3816，0.0768)TMATLAB6返回第2次返回第四十二頁，共五十九頁，2022年，8月28日續(xù)用MATLAB計算判斷矩陣的最大特征值與特征向量注：對任意給定方陣A，可通過[v,d]=eig(A)算出特征值矩陣d與特征向量矩陣v。對判斷矩陣，其中d的第一行第一列元素即為最大特征值，v的第一列為與之對應的特征向量。如：輸入：A=[1375；1/3153；1/71/513；1/51/31/31]；[v,d]=eig(A)回車結(jié)果為v=0.88270.88490.80030.80030.4270-0.45770.2247+0.4835i0.2247-0.4835i0.16180.0750-0.2318+0.0355i-0.2318-0.0355i0.1109-0.04140.0161-0.1410i0.0161+0.1410id=4.36260000-0.19240000-0.0851+1.2417i0000-0.0851-1.2417iMATLAB6返回第四十三頁，共五十九頁，2022年，8月28日續(xù)用MATLAB計算判斷矩陣的最大特征值與特征向量再看一例：設(shè)A=[11/51/3;513;31/31]輸入：>>ahpno1運行結(jié)果為judementmatrix=[11/51/3;513;31/31]A=1.00000.20000.33335.00001.00003.00003.00000.33331.0000r=3.0385w=0.10470.63700.2583一致性檢驗結(jié)果為可見此判斷矩陣具有滿意的一致性MATLAB6返回第四十四頁，共五十九頁，2022年，8月28日續(xù)用MATLAB計算判斷矩陣的最大特征值與特征向量再看一例：輸入：>>ahpno1運行結(jié)果為judementmatrix=[11/61/61/41/31/9;613531/7;61/31641/6;41/51/6131/9;31/31/41/311/9;976991]A=1.00000.16670.16670.25000.33330.11116.00001.00003.00005.00003.00000.14296.00000.33331.00006.00004.00000.16674.00000.20000.16671.00003.00000.11113.00000.33330.25000.33331.00000.11119.00007.00006.00009.00009.00001.0000r=6.8786w=0.02450.18170.14010.05900.04250.5522MATLAB6返回第四十五頁，共五十九頁，2022年，8月28日表十二P層次的總排序權(quán)值層次P層次CP層次的總排序權(quán)值C1、C2、…、Cma1、a2、…、amP1b11、b12、…、b1mP2b21、b22、…、b2m………Pnbn1、bn2、…、bnm返回第四十六頁，共五十九頁，2022年，8月28日表十三層次分析法使用的步驟與主要內(nèi)容表序號1234567步驟明確問題分層結(jié)構(gòu)圖判斷矩陣層次單排序?qū)哟慰偱判蚍桨竷?yōu)選輸出結(jié)果內(nèi)容總目標目標層判斷表特征向量權(quán)重計算特征向量方案排序分目標分目標層判斷規(guī)則最大特征值CI檢驗層次總排序滿意方案多指標準則層標度方法CI檢驗RI計算最佳方案評價準則指標層請專家打分CR檢驗CR計算有關(guān)說明約束條件方案層表格匯總信息反饋信息反饋措施層返回第四十七頁，共五十九頁，2022年，8月28日AHP決策方法一示例給定方案S1、S2、S3針對C1、C2、C3、C4、C5、C6的重要性判斷矩陣（見表14.1-6），試用方案層總排序法進行決策。0.104711/51/3S30.6370513S20.258331/31S1S1kS3S2S1表14.1C1—SK矩陣0.222511/53S30.6507513S20.12681/31/31S1S2kS3S2S1表14.2C2—S2k矩陣0.6370153S30.10471/511/3S20.25831/331S1S3kS3S2S1表14.3C3—S3k矩陣0.2583131/3S30.10471/311/5S20.6370351S1S4kS3S2S1表14.4C4—S4k矩陣0.211/31S30.6313S20.211/31S1S5kS3S2S1表14.5C5—S5k矩陣0.4286131S30.14281/311/3S20.4286131S1S6kS3S2S1表14.6C6—S6k矩陣第四十八頁，共五十九頁，2022年，8月28日AHP決策方法一示例（續(xù)）解：1.計算方案層的層次單排序Pik（見上表14.1-6）2.計算方案層的層次總排序(見表14.7，假定CJ層總排序已知）指標代號CiC1C2C3C4C5C6合計方案層總排序?qū)哟慰偱判颛鎖0.01550.07740.07060.49450.2850.0571.0000μk=∑Pik·фi方案層單排序PikS10.25830.12680.25830.63700.20.42860.4285S20.63700.65070.10470.10470.60.14280.2985S30.10470.22250.63700.25830.20.42860.273∑1.00001.00001.00001.00001.00001.00001.0000表14.7層次總排序μk與決策表3.決策。決策的原則是從方案總排序μk（k=1,2,3）中取最大值，于是得：最優(yōu)方案為S1，其層次總排序數(shù)為μ1=0.4285;較次的方案為S2，μ2=0.2985;

最次的是S3，

μ3=0.273.返回第四十九頁，共五十九頁，2022年，8月28日AHP決策方法二示例表15方案SK量化與期望值計算表指標代號CiC1C2C3C4C5C6合計期望值層次總排序фi0.01550.07740.07060.49450.2850.0571.0000=∑Pik·фi方案Sk量化值PikS15357355.264S27533533.787S33575555.11