第三節(jié)常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法

第三節(jié)常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法第一頁，共十九頁，2022年，8月28日定理7（萊布尼茲定理）如果交錯(cuò)級(jí)數(shù)滿足條件：則交錯(cuò)級(jí)數(shù)收斂，其和余項(xiàng)滿足說明：1.萊布尼茲定理的條件（1）不是必要條件（條件（2）是必要的）。2.定理同時(shí)給出了級(jí)數(shù)的和與余項(xiàng)的估計(jì)式。3.定理應(yīng)用的關(guān)鍵是條件1的驗(yàn)證。第二頁，共十九頁，2022年，8月28日定理7（萊布尼茲定理）如果交錯(cuò)級(jí)數(shù)滿足條件：則交錯(cuò)級(jí)數(shù)收斂，其和余項(xiàng)滿足4.檢驗(yàn)條件（1）常用的方法（1）比值法：考察是否成立？（2）差值法：考察是否成立？（3）導(dǎo)數(shù)法：找一函數(shù)f(x),使且當(dāng)x充分大時(shí)，是否成立？第三頁，共十九頁，2022年，8月28日例1：解所以級(jí)數(shù)收斂，其和小于1，第四頁，共十九頁，2022年，8月28日例2：判別下列交錯(cuò)級(jí)數(shù)的收斂性解由萊布尼茨判別法，所給交錯(cuò)級(jí)數(shù)收斂。第五頁，共十九頁，2022年，8月28日例2：判別下列交錯(cuò)級(jí)數(shù)的收斂性解

f(x)單調(diào)下降所以當(dāng)n

3時(shí)，必有由萊布尼茨判別法，所給交錯(cuò)級(jí)數(shù)收斂。第六頁，共十九頁，2022年，8月28日例2：判別下列交錯(cuò)級(jí)數(shù)的收斂性解這是交錯(cuò)級(jí)數(shù)，但不滿足萊布尼茨條件。將原級(jí)數(shù)相鄰兩項(xiàng)加括號(hào)發(fā)散，性質(zhì)4：若級(jí)數(shù)收斂，則任意加括號(hào)后所得新級(jí)數(shù)也收斂所以原級(jí)數(shù)發(fā)散.第七頁，共十九頁，2022年，8月28日（二）絕對(duì)收斂與條件收斂考慮任意項(xiàng)級(jí)數(shù)一般項(xiàng)取絕對(duì)值后所得級(jí)數(shù)記為（1）若收斂，則稱原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂（2）若發(fā)散，而收斂，則稱原級(jí)數(shù)條件收斂。問題：級(jí)數(shù)的絕對(duì)收斂與收斂之間是什么關(guān)系？第八頁，共十九頁，2022年，8月28日定理8:若級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂，則原級(jí)數(shù)即收斂，必定收斂。（1）該結(jié)論的逆命題不成立。（2）定理提供了檢驗(yàn)一般級(jí)數(shù)是否收斂的一種有效方法。（3）若發(fā)散，不能斷定也發(fā)散，但若是用比值或根值判別法判斷發(fā)散，則可斷定原級(jí)數(shù)一定發(fā)散。第九頁，共十九頁，2022年，8月28日任意項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂性判斷的一般步驟：（1）檢驗(yàn)（3）用正項(xiàng)級(jí)數(shù)審斂法檢驗(yàn)是否收斂？則原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂，從而收斂，（4）若發(fā)散，但是用比值或根值法判斷的則原級(jí)數(shù)也發(fā)散。是否成立？若否，則原級(jí)數(shù)發(fā)散若是或難求，則進(jìn)行下一步；若是，否則，進(jìn)行下一步；（2）若原級(jí)數(shù)為正項(xiàng)級(jí)數(shù)或交錯(cuò)級(jí)數(shù)，則可用正項(xiàng)級(jí)數(shù)或萊布尼茨判別法檢驗(yàn)其收斂性，否則進(jìn)行下一步（5）用性質(zhì)或其它方法。第十頁，共十九頁，2022年，8月28日例1：判別級(jí)數(shù)的收斂性。解：記而級(jí)數(shù)因此原級(jí)數(shù)所以由比較判別法知，級(jí)數(shù)是p=2的p級(jí)數(shù)，收斂，收斂。絕對(duì)收斂，從而收斂。則第十一頁，共十九頁，2022年，8月28日例2：判定級(jí)數(shù)的斂散性。解：這里x可正可負(fù)，故它是一個(gè)任意項(xiàng)級(jí)數(shù)所以，原級(jí)數(shù)對(duì)一切都絕對(duì)收斂考察正項(xiàng)級(jí)數(shù)第十二頁，共十九頁，2022年，8月28日例3：判定級(jí)數(shù)的斂散性。解：當(dāng)|x|<1時(shí)，原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂，|x|>1時(shí)，從而收斂，考察正項(xiàng)級(jí)數(shù)發(fā)散，且是用比值法判別的，所以原級(jí)數(shù)發(fā)散。第十三頁，共十九頁，2022年，8月28日例3：判定級(jí)數(shù)的斂散性。解：考察正項(xiàng)級(jí)數(shù)當(dāng)x=1時(shí)，級(jí)數(shù)為調(diào)和級(jí)數(shù)，發(fā)散當(dāng)x=1時(shí)，級(jí)數(shù)為交錯(cuò)級(jí)數(shù)，且滿足萊布尼茲定理?xiàng)l件，故級(jí)數(shù)收斂，且為條件收斂。第十四頁，共十九頁，2022年，8月28日例3：判定級(jí)數(shù)的斂散性。解：考察正項(xiàng)級(jí)數(shù)當(dāng)|x|<1時(shí)，原級(jí)數(shù)收斂，且為絕對(duì)收斂。當(dāng)|x|>1，或x=1時(shí)，原級(jí)數(shù)發(fā)散。當(dāng)x=1時(shí)，原級(jí)數(shù)為交錯(cuò)級(jí)數(shù)，且滿足萊布尼茲定理?xiàng)l件，故級(jí)數(shù)收斂，且為條件收斂。結(jié)論：第十五頁，共十九頁，2022年，8月28日解：這是交錯(cuò)級(jí)數(shù)，但其對(duì)應(yīng)的絕對(duì)值級(jí)數(shù)為所以故原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂。收斂，例4：判定下列級(jí)數(shù)是否收斂，如果是收斂，是絕對(duì)收斂還是條件收斂。第十六頁，共十九頁，2022年，8月28日解：這是交錯(cuò)級(jí)數(shù)，但其對(duì)應(yīng)的絕對(duì)值級(jí)數(shù)為所以故原級(jí)數(shù)發(fā)散。發(fā)散，且是用根值判別法判別的，第十七頁，共十九頁，2022年，8月28日解：這是交錯(cuò)級(jí)數(shù)，且滿足由萊布尼茲定理知，原級(jí)數(shù)是收斂的發(fā)散，故原級(jí)數(shù)是條件收斂