第七章 第二節(jié) 二重積分的換元法

第七章第二節(jié)二重積分的換元法第一頁，共二十頁，2022年，8月28日對(duì)應(yīng)有一、利用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分在極坐標(biāo)系下,用同心圓r=常數(shù)則除包含邊界點(diǎn)的小區(qū)域外,小區(qū)域的面積在內(nèi)取點(diǎn)及射線

=常數(shù),分劃區(qū)域D為機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第二頁，共二十頁，2022年，8月28日即機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第三頁，共二十頁，2022年，8月28日設(shè)則特別,對(duì)機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第四頁，共二十頁，2022年，8月28日若f≡1則可求得D的面積思考:下列各圖中域D分別與x,y軸相切于原點(diǎn),試答:問的變化范圍是什么?(1)(2)機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第五頁，共二十頁，2022年，8月28日例1.計(jì)算其中解:在極坐標(biāo)系下原式的原函數(shù)不是初等函數(shù),故本題無法用直角由于故坐標(biāo)計(jì)算.機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第六頁，共二十頁，2022年，8月28日注:利用例6可得到一個(gè)在概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)及工程上非常有用的反常積分公式事實(shí)上,當(dāng)D為R2時(shí),利用例6的結(jié)果,得①故①式成立.機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第七頁，共二十頁，2022年，8月28日例2.求球體被圓柱面所截得的(含在柱面內(nèi)的)立體的體積.解:設(shè)由對(duì)稱性可知機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第八頁，共二十頁，2022年，8月28日定積分換元法二、二重積分換元法

滿足一階導(dǎo)數(shù)連續(xù);雅可比行列式(3)變換則定理:變換:是一一對(duì)應(yīng)的,機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第九頁，共二十頁，2022年，8月28日證:根據(jù)定理?xiàng)l件可知變換T可逆.

用平行于坐標(biāo)軸的直線分割區(qū)域任取其中一個(gè)小矩形,其頂點(diǎn)為通過變換T,在xoy面上得到一個(gè)四邊形,其對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)為則機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第十頁，共二十頁，2022年，8月28日同理得當(dāng)h,k充分小時(shí),曲邊四邊形M1M2M3M4近似于平行四邊形,故其面積近似為機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第十一頁，共二十頁，2022年，8月28日因此面積元素的關(guān)系為從而得二重積分的換元公式:例如,直角坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)時(shí),機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第十二頁，共二十頁，2022年，8月28日例3.計(jì)算其中D是x軸y軸和直線所圍成的閉域.解:令則機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第十三頁，共二十頁，2022年，8月28日例4.計(jì)算由所圍成的閉區(qū)域D的面積S.解:令則機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第十四頁，共二十頁，2022年，8月28日例5.

試計(jì)算橢球體解:由對(duì)稱性令則D的原象為的體積V.機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第十五頁，共二十頁，2022年，8月28日內(nèi)容小結(jié)(1)二重積分化為累次積分的方法直角坐標(biāo)系情形:

若積分區(qū)域?yàn)閯t

若積分區(qū)域?yàn)閯t機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第十六頁，共二十頁，2022年，8月28日則(2)一般換元公式且則極坐標(biāo)系情形:若積分區(qū)域?yàn)樵谧儞Q下機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第十七頁，共二十頁，2022年，8月28日(3)計(jì)算步驟及注意事項(xiàng)?畫出積分域?寫出積分限?計(jì)算要簡(jiǎn)便圖示法不等式(先積一條線,后掃積分域)充分利用對(duì)稱性應(yīng)用換元公式機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第十八頁，共二十頁，2022年，8月28日1.交換積分順序提示:積分域如圖機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束第十九頁，共二十頁