第二章幾何與代數(shù)法模型

第二章幾何與代數(shù)法模型第一頁，共二十三頁，2022年，8月28日

椅子在不平地面放穩(wěn)模型第二頁，共二十三頁，2022年，8月28日問題提出把椅子往不平的地面上一放，通常只有三只腳著地，放不穩(wěn)，然而只需稍挪動幾次，就可使四只腳同時著地，放穩(wěn)了。這個看來與數(shù)學無關的現(xiàn)象能用數(shù)學語言給以表述，即建立有關數(shù)學模型，并用數(shù)學方法來證明嗎?第三頁，共二十三頁，2022年，8月28日模型假設假設1.椅子四條腿等長，椅腳與地面接觸處可視為一點，四腳的連線呈正方形。假設2.地面高度是連續(xù)變化的，即地面可視為數(shù)學上的連續(xù)曲面，假設3.對于椅腳間的距離和椅腿的長度而言，地面是相對平坦的，使椅子在任何位置至少有三只腳同時著地。

第四頁，共二十三頁，2022年，8月28日假設說明假設1顯然是合理的。假設2相當于給出了椅子能放穩(wěn)的條件，因為如果地面高度不連續(xù)，譬如在有臺階的地方是無法使四只腳同時著地的。假設3是要排除這樣的情況:地面上與椅腳間距和椅腿長度的尺寸大小相當?shù)姆秶鷥?nèi)，出現(xiàn)深溝或凸峰(即使是連續(xù)變化的)，致使三只腳無法同時著地。第五頁，共二十三頁，2022年，8月28日模型構(gòu)成中心問題：把椅子四腳同時著地的條件和結(jié)論用數(shù)學語言表示。即用恰當?shù)淖兞勘硎疽巫拥奈恢?；并把椅腳著地用數(shù)學符號表示出來。

第六頁，共二十三頁，2022年，8月28日首先要用變量表示椅子位置注意到椅腳連線呈正方形，以中心為對稱點，正方形繞中心的旋轉(zhuǎn)正好代表了椅子位置的改變，于是可以用旋轉(zhuǎn)角度這一變量表示椅子的位置。第七頁，共二十三頁，2022年，8月28日y

B

B’

A’

C

Ax

O

C’

D’

D

圖1變量表示椅子的位置第八頁，共二十三頁，2022年，8月28日

其次用數(shù)學符號表示椅腳著地狀況如果用某個變量表示椅腳與地面的豎直距離，那么椅腳著地狀況就是該距離為零。該距離是椅子位置變量的函數(shù)。第九頁，共二十三頁，2022年，8月28日距離函數(shù)的設置雖然椅子有四只腳，因而有四個距離，但是由于正方形的中心對稱性，只要設兩個距離函數(shù)就行了。記A、C兩腳與地面距離之和為f()，B、D兩腳與地面距離之和為g()顯然，f()、g()0。第十頁，共二十三頁，2022年，8月28日距離函數(shù)的分析由假設2，f和g都是連續(xù)函數(shù)。由假設3，椅子在任何位置至少有三只腳著地，所以對于任意的,f()和g()中至少有一個為零。當=0時不妨設g(0)=0,f(0)>0.第十一頁，共二十三頁，2022年，8月28日椅子平穩(wěn)著地的數(shù)學模型

改變椅子位置使四腳同時著地，就歸結(jié)為證明如下的數(shù)學命題:已知f()和g()是的連續(xù)函數(shù)，對任意,f()g()=0，且g(0)=0，f(0)>0。則存在0，使f(0)=g(0)=0。這就是椅子平穩(wěn)著地的數(shù)學模型第十二頁，共二十三頁，2022年，8月28日

易知，引入了變量和函數(shù)f()、g()，就把模型的假設條件和椅腳同時著地的結(jié)論用簡單、精確的數(shù)學語言表述出來，從而構(gòu)成了這個實際問題的數(shù)學模型。第十三頁，共二十三頁，2022年，8月28日

模型證明

模型有多種證明方法，這里介紹其中的一種。首先將椅子旋轉(zhuǎn)90(/2)，對角線AC與BD互換。由g(0)=0和f(0)>0，可知g(/2)>0和f(/2)=0。令h()=f()-g()，則h(0)>0和h(/2)<0.由f和g的連續(xù)性知，h也是連續(xù)函數(shù),根據(jù)連續(xù)函數(shù)基本性質(zhì)，必存在0，(0<0</2),使h(0)=0，即f(0)=g(0)最后，因為f(0)·g(0)=0，所以f(0)=g(0)=0。第十四頁，共二十三頁，2022年，8月28日評注

這個模型的巧妙之處在于：用一元變量表示椅子的位置，用的兩個函數(shù)表示椅子四腳與地面的距離。利用正方形的中心對稱性及旋轉(zhuǎn)90o并不是本質(zhì)的。課后可以考慮四腳呈長方形情形由于這個實際問題非常直觀和簡單，模型解釋和驗證就略去了

第十五頁，共二十三頁，2022年，8月28日Fibonacci的生小兔問題模型第十六頁，共二十三頁，2022年，8月28日問題與背景13世紀初，意大利的一位綽號為斐波那契(Fibonacci）的數(shù)學家倫納德（1170~1250)在其《算盤書》的數(shù)學著作中提出一個有趣問題:假如養(yǎng)了初生的小兔一對，兔子出生以后兩個月就能生小兔，若每次不多不少恰好生一對(一雌一雄)，試問一年后共有多少對兔子(如果生下的小兔都不死的話)?第十七頁，共二十三頁，2022年，8月28日直接推算法我們來直接推算一下，第一個月:只有一對小兔。第二個月:小兔子未成熟不會生殖，仍只有一對。第三個月:這對兔子生了一對小兔，這里共有兩對。第四個月:老兔子又生了一對小兔，而上月出生的小兔還未成熟，這時共有三對;如此下去，我們不難得出下面的結(jié)果:第十八頁，共二十三頁，2022年，8月28日直接推算結(jié)果表從表中可知，一年后(第十三個月時)共有233對兔子，用這種辦法推算，似乎有些"笨"，而且越往后越使人覺得復雜，有無簡便方法呢?1123581321345589144233…兔子數(shù)(對)12345678910111213…月份數(shù)(n)第十九頁，共二十三頁，2022年，8月28日裴波那契數(shù)列我們將表中兔子的對數(shù)用{Fn}表示，下標n表示月份數(shù)(這樣兔子數(shù)可視為月份數(shù)的函數(shù))。則{Fn}稱為斐波那契數(shù)列，記{Fn}:1，1，2，3，5，8,13，21，34，…,且Fn稱為斐波那契數(shù)。第二十頁，共二十三頁，2022年，8月28日本問題的數(shù)學模型觀察{Fn}，不難發(fā)現(xiàn)，第n+l個月時的兔子可分為兩類:一類是第n個月時的兔子，另一類是當月新出生的小兔，而這些小兔數(shù)恰好是第n-1個月時兔子數(shù)(它們到第n十l個月時均可生殖)。因此{Fn}之間有如下遞推關系:Fn+1=Fn+Fn-1n=2，3,…F1=F2=1這就是本問題的數(shù)學模型,它是1634年(斐氏死后近四百年)數(shù)學家奇拉特發(fā)現(xiàn)的。第二十一頁，共二十三頁，2022年，8月28日數(shù)列的計算和性質(zhì)由于該數(shù)學模型的發(fā)現(xiàn)，利用計算機進行簡單的編程，就可計算出任意月份兔子的對數(shù)。由于人們繼續(xù)對這個數(shù)列探討，又發(fā)現(xiàn)了它的許多奇特的性質(zhì)（可用歸納法證明）(l)Fm+n=Fn-1Fm十FnFm+1，（m、n為自然數(shù)）(2)Fn+1Fn-1-Fn2=(-1)n(3)Fn-kFm+k-FnFm=(-1)nFm-n-kFk

(4)Fn=第二十二頁，共二十三頁，2022年，8月28日斐波那契(Fibonacci)數(shù)列的應用由于{Fn}的越來越多的性質(zhì)和應