2022年海南九年級數(shù)學上學期期末【壓軸60題考點專練】（九上+九下全部內容）（原卷版）

九年級上學期期末【壓軸60題考點專練】

一、單選題

1.（2022?黑龍江牡丹江?九年級期末）如圖，在矩形A8C。中，對角線AC、8D相交于點0,E為的中

點，連接AE交3。于點尸，連接CF,ZAFD=90°,則下列結論：?ZAED=ZOBC；?AF=CF③

;@CD2=4AEEF,其中正確結論有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

2.（2022?江蘇?泰州中學附屬初中九年級期末）如圖，在正方形ABC。中，F(xiàn)是BC邊上一點，連接AF,以

AF為斜邊作等腰直角三角形AEF.有下列四個結論：①/CAF=/ZME；②FC=^DE;③當NAEC=135。

時，E為AAOC的內心；④若點尸在BC上以一定的速度，從B往C運動，則點E與點尸的運動速度相等.其

中正確的結論的個數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

3.（2022.重慶實驗外國語學校九年級期末）如圖，矩形ABC。中，CO=4&T,點E為3c邊的中點，點、F

在邊AD上，將四邊形反■。尸沿著E尸翻折得到四邊形EGRF,EG交A。于點“，若C“："E=1:3且RG

的延長線恰好經(jīng)過點A,則折痕耳■的長為（）

A.6V14B.9不C.12GD.976

二、填空題

4.（2022?福建泉州?九年級期末）如圖，在矩形A8C。中，AB=2,3c=4,F為BC中點,P是線段上

一點，設期=機（0＜相44）,連結”并將它繞點P順時針旋轉90。得到線段產￡,連結CE、EF,則在點P

從點8向點C的運動過程中，有下面四個結論：①當初二2時，ZEFP=135°；②點E到邊8c的距離為如

③直線EF一定經(jīng)過點。；④CE的最小值為④.其中結論正確的是.（填序號即可）

5.（2022?新疆?烏魯木齊市第二十九中學九年級期末）如圖，在平面直角坐標系中，8（0,4）,A（3,0）,0A

的半徑為2,P為。A上任意一點，C是的中點，則OC的最大值是.

6.（2022?河南?油田十中九年級期末）如圖所示，在扇形中，ZAOB=90°,半徑。4=4,點尸位于.

的g處且靠近點A的位置.點C、3分別在線段。4、OB上，CD=4,E為8的中點，連接EF、BE.在

8滑動過程中（8長度始終保持不變），當收取最小值時，陰影部分的周長為.

E

DB

7.(2022?上海市張江集團中學八年級期末)已知點A是直線y=^x上一動點，以點A為頂點的拋物線

尸(X-4+〃交》軸于點8,作點8關于x軸的對稱點C,連接A8、AC.若AABC是直角三角形，貝U點A

的坐標為一.

三、解答題

8.(2022?吉林?東北師大附中明珠學校九年級期末)菱形ABC。中，對角線NA=60。.點P從A

出發(fā)，沿A—O—B以2由/秒的速度勻速運動，到點B停止，過P作邊4B的垂線交AB于Q,以PQ為邊向

右作等邊△PQE.

⑴菱形ABCD的邊長為cm.

(2)當尸在邊AO上運動時，用含f的代數(shù)式表示PQ、BQ.

(3)連接BE,當是直角三角形時，求，的值.

(4)當菱形ABCD的對角線BD平分aPOE的邊時，r的取值范圍是

9.（2022?河北唐山?九年級期末）在平面直角坐標系中，四邊形Q4BC是矩形，點。（0,0）,點A（-6,0）,點

8（8）.以點。為中心，順時針旋轉矩形OA8C,得到矩形ODE凡點A,B,C的對應點分別為。，E,

F,記旋轉角為磯0°＜。＜90。）.

（1）如圖①，當a=30。時，求點。的坐標；

（2）如圖②，當點E落在OC的延長線上時，求點。的坐標；

（3）當點。落在線段AC上時，求點E的坐標（直接寫出結果即可）.

10.(2022.湖南株洲.九年級期末)

折痕為

MN,則AM與的數(shù)量關系為.

(2)［思維提高］如圖②，在三角形紙片A3C中,AC=BC=6，AB=10,將"WC折疊，使點B與點C重合,

折痕為求笑■的值;

(3)［拓展延伸］如圖③，在三角形紙片A8C中,AB=9,BC=6,ZACB=2ZA,將沿過頂點C的直

線折疊，使點8落在邊AC上的點￡處，折痕為CM.求線段AC的長;

11.（2022?江西吉安?九年級期末）如圖，矩形A8CO中，A8=4,點E、F、G、H,分別是BC、CD、AD,

AB上的動點（頂點除外），若N1=N2=N3=N4；

①判斷四邊形EFGH的形狀，并證明；

②若四邊形EFG”是正方形，求8c的長；

（2）在圖2中，已知BC=8,判斷四邊形E尸G”的周長是否會隨著點G的變化而變化，如不變化，求出其周

長，若會變化，說明理由；

12.（2022.河南信陽.九年級期末）如圖1,在RtAABC中，NACB=90。，ZBAC=30°,BC=4,點M,N

分別是邊AC,A3的中點，連接MN.

CM/吉士

(1)觀察猜想：圖1中，邊AC的長是'而的1vl值為

CM

(2)探究證明：把繞點A順時針旋轉到如圖2所示的位置,連接CM,BN,請求出血的值;

(3)拓展延伸：把AAMN繞點A在平面內自由旋轉，當以A,B,C,N為頂點的四邊形為平行四邊形時,

請直接寫出線段CM的長.

13.(2022?遼寧大連?九年級期末)在放ZiABC中，ZACB=90°,/8=30。，M為AB中點，點P為BC1延

長線一點，CP<BC,連接PM,AC=n,CP=m.

A

⑴如圖1,將射線MP繞點M逆時針旋轉60。交CA延長線于點。，且BC=AD+CP.

①在圖中找出與NMDC相等的角，即NMOC=；

②求%的值.

n

(2)如圖2,若將射線繞點M順時針旋轉60。交AC延長線于點“，求C”的長.(用含有用、〃的式子表

示)

14.(2022?河南周口?九年級期末)因式定理：對于多項式/*),若/(。)=0,則(x-a)是/*)的一個因式,

并且可以通過添減單項式從中分離出來.已知fM=V-5/+(&+4)x-k.

⑴填空:當x=l時，/(1)=0,所以(x-l)是Ax)的一個因式.于是

f(x)-xr-4X2+4x+kx-k=(x-l)xg(x).則g(x)=；

(2)已知關于X的方程/(力=0的三個根是一個等腰三角形的三邊長，求實數(shù)k的值.

15.(2022?遼寧大連?九年級期末)如圖1,在AABC中，點E在△A8C內部，連接線段E8和EC,使/EC3

=ZABC,ZEBC=ZABE+ZACE.

A

(2)點。是BC邊上一點，連接￡>￡,當BO=AC時，探究線段AB,CE,DE之間的數(shù)量關系并證明;

⑶如圖2,在(2)的條件下，若4=9。。，延長OE交回于點K,當AC*。時，直接寫出黑的值為

16.(2022?福建莆田?九年級期末)在aABC中，N4CB=90。，AC=3C,點F是AB的中點.點。為邊BC

上一點，連接4D在AO上取一點E,使得/OEB=45。，連接CE,EF.

圖1圖2

(1)如圖1,當點C,E,尸三點共線且Er=1時，求CE的長;

(2)如圖2,當點。在線段BC上運動時，探究CE與EF數(shù)量關系的變化情況.

17.(2022?湖南張家界?九年級期末)如圖，在矩形ABCQ中，AB=36,NC4B=30。，點尸從點A出發(fā),

每秒后個單位長度的速度沿AB方向運動，點。從點C出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿對角線C4方向

運動.已知兩點同時出發(fā)，當點。到達點A時，P，。兩點同時停止運動，連接尸2,設運動時間為r

秒.

(1)BC=,AC=.

(2)當t為何值時，△APQ的面積為G.

(3)在運動過程中，是否存在一個時刻f,使所得△APQ沿它的一邊翻折，翻折前后兩個三角形組成的四邊

形為菱形？若存在，求出，的值；若不存在，請說明理由.

(4)當點尸關于點Q的對稱點P'落在AACD的內部(不包括邊上)時，請求出f的取值范圍.(直接寫出答案)

18.(2022?重慶?九年級期末)如圖1,為等邊三角形，。為AC右側一點，且4J=AC,連接交AC

于點E,延長D4、CB交于點F.

⑴若NJMF=30。，AF=y/3,求AO；

(2)證明：CF=AF+AE；

(3)如圖2,若AB=2,G為8c中點，連接4G,M為4G上一動點，連接CM,將CM繞著M點逆時針旋

轉90。到MN,連接AN,CN,當AN最小時，直接寫出AAMN的面積.

19.(2022?四川成都?九年級期末)如圖1,直線y=-x+4&與x,y軸的交點分別為點A,B,與反比例函

數(shù))，=9(x>0)的圖象的兩交點分別為點C,。，點〃是反比例函數(shù)上一動點.

X

(1)求40。。的面積；

(2)是否存在點"，使得△ODMS^OAD?若存在，請求出點M的坐標；若不存在，請說明理由.

(3)過點M分別作x軸和y軸的垂線，垂足分別為E,F,是否存在點M,使得矩形。與△OCQ的重疊

23

部分的面積S等于h？若存在，請求出點M的坐標；若不存在，請說明理由.

6

20.(2022.福建泉州.九年級期末)如圖1,正方形ABC。邊長為4,點P是直線BC上的一動點，連接。P,

以OP為邊在直線OP右側作等邊三角形。PE.

(1)請直接寫出正方形ABCD的面積；

(2)當3P為何值時，點C落在△￡>/>￡：的邊上；

(3)如圖2,若點P在線段8C上從B向C運動，當8P為何值時，線段CE的長度最小？請求出CE的最小值,

并直接寫出點E所經(jīng)過的路徑的長度.

21.(2022?浙江衢州?九年級期末)已知四邊形ABCO與AEFG都是正方形.

(1)【觀察思考】如圖1,點C在線段AB上，求學的值.

C卜

⑵【深入學習】固定圖1中的正方形ABC。，把正方形AEFG繞著點A逆時針旋轉(0。＜。＜180。)，如圖2

所示，連結CRDG,更還等于【觀察思考】中的值嗎？說明理由.

Cr

(3)【類比探究】在正方形AEFG旋轉過程中，設CF,OG的中點分別是M,N,連結AM,MN,NA.

①猜想AAMN的形狀，并證明你的猜想.

MN

②當AC=4G,MN〃A。時，求——的值.

AD

22.(2022.山西?汾陽市海洪初級中學校九年級期末)如圖，在平行四邊形ABCD中，AD=8,AB=\2,ZA

=60。，點E,G分別在邊AB,AO上，g.AE=-AB,AG^-AD,作E4。、GH〃AB,EF與GH交于

44

點O,分別在OF、OH上截取OP=OG,OQ=OE,連結PH、。牙交于點/

(1)四邊形EBHO的面積四邊形GOFD的面積(填或“<”)；

(2)比較/OFQ與NOHP大小，并說明理由.

⑶求四邊形OQ/P的面積.

23.（2022?山東濟南?九年級期末）如圖1,在中，ZBAC=90°,ZACB=60°,AC=2,點A/,Bi為

邊AC,8C的中點，連接A/B/,將△4/B/C繞點C逆時針旋轉a（0。4區(qū)360。）.

%

圖1BI

圖2

（1）如圖1,當a=0。時，警=,BBi,44/所在直線相交所成的較小夾角的度數(shù)為；

（2）將△48/C繞點C逆時針旋轉至圖2所示位置時，（1）中結論是否仍然成立？若成立，請給出證明；若

不成立，請說明理由；

（3）當△4B/C繞點C逆時針旋轉過程中，

①請直接寫出△ABA/面積的最大值；

②當A/,B”B三點共線時，請直接寫出線段88/的長.

24.（2022.山東濟南.九年級期末）（1）如圖1,正方形ABCO與調研直角尸有公共頂點A,ZEAF=90°,

連接BE、DF,將△/!￡；/繞點A旋轉，在旋轉過程中，直線BE、OF相交所成的角為夕，則==________;

DF

B=--------；

(2)如圖2,矩形ABC。與RrZVlE/有公共頂點4,NE4尸=90。，S.AD=2AB,AF=2AE,連接BE、DF,

BF

將用ZVIEF繞點A旋轉，在旋轉過程中，直線BE、OF相交所成的角為“，請求出k的值及夕的度數(shù)，并

Dr

結合圖2進行說明；

(3)若平行四邊形A8C￡>與△AEF有公共項點A,且尸=a(0Ya<180。)，AD=kAB,AF=

kAE(k^O),將尸繞點A旋轉，在旋轉過程中，直線BE、。尸相交所成的銳角的度數(shù)為小貝U：

②請直接寫出a和4之間的關系式.

25.(2022?浙江舟山?九年級期末)如圖1,正方形OABC邊長是2,以OA為半徑作圓，P為弧AC上的一點

(不與4'C重合)，過點P作PMJ_AB交AB于點M,連結P。、PA,設PA=n.

(1)求證：ZP0A=2ZPAM；

(2)探求"?、w的數(shù)量關系，并求最大值；

(3)如圖2：連結尸8,設求0〃+2，”的最小值.

26.(2022?遼寧大連.九年級期末)在aABC中，。為AC上一點，且AC=)U。，E是BC上一點，8。于AE

相交于點。，若NAO8+N84C=180°.

圖2

（1）如圖1,若NA4c=120°,AB=AC.

①找出與/A8O相等的角，并證明；

②求黑的值.

AE

⑵如圖2,若BE,求益的值.

27.（2022?重慶渝北?九年級期末）如圖1,在平行四邊形ABCZ）中，E為邊C。上一動點，連接8E交對角

線AC于點尸，點M為線段85上一點，連接AM.

ADAD

A

B

圖1圖2圖3

(1)如圖1,若對角線ACL4B,點M是的中點，AM=AF=3,CF=2,求BC的長；

(2)如圖2,若4?=AC,N￡BC=30。，AC的垂直平分線交BE的延長線于點G,連接AG,CG,AM平分

NBAC交BE于點M,求證：AM+BM=GM；

(3)如圖3,當點E在運動過程中滿足ABCE為等邊三角形時，若BC=4；在A8CE內部是否存在一點P使

/>8+PC+P￡有最小值，若存在，直接寫出P8+FC+尸E的最小值，若不存在，請說明理由.

28.(2022?山西晉中?九年級期末)綜合與實踐

問題情境：

數(shù)學活動課上，同學們開展了以“矩形紙片折疊''為主題的探究活動(每個小組的矩形紙片規(guī)格相同)，已知

矩形紙片寬45=6.

動手實踐：

(1)如圖1,騰飛小組將矩形紙片ABC。折疊，點A落在OC邊上的點A處，折痕為連接HE,然后

將紙片展平，得到四邊形心'￡>.試判斷四邊形AE4'。的形狀，并加以證明.

(2)如圖2,永攀小組在矩形紙片ABC。的邊8c上取一點尸，連接。尸，使NC￡>F=30。，將沿線段

OF折疊，使點C正好落在A8邊上的點G處.連接。G,GF,將紙片展平，

①求的面積；

②連接CG,線段CG與線段。尸交于點貝l]CG=.

深度探究：

(3)如圖3,探究小組將圖1的四邊形AE4'￡>剪下，在邊A7)上取一點N,使ON:A'N=1:2,將△AMD沿

線段AN折疊得到△4VD',連接A。，探究并直接寫出A77的長度.

圖1圖2圖3

29.(2022?黑龍江齊齊哈爾?九年級期末)等腰直角三角形ABC中，ZACB=90°,AE為NBAC的角平分線,

交3c于點E,點。為AB的中點，連結CO交AE于點G,過點C作垂足為點尸，交A3于點

(1)如圖1,AG與C"的數(shù)量關系為：三；的值為

(2)如圖2,以點C為位似中心，將VC4E做位似變換，得到△C4'￡,使△C4'E'與VC4E的相似比為

%(0＜女＜1),A￡與C。、8的交點分別為G',F',隱去線段AE,試求；三的值;

A(J

(3)如圖3,將(2)中的等腰直角三角形改為等腰三角形，4=30。，且其他條件不變,

①方:的值為

AG

②若CF，=6直接寫出/WGC的面積.

30.(2022.遼寧沈陽.九年級期末)如圖1,在菱形48c3中，對角線AC與8。相交于點O,且AC=16,BD

=12.

（1）求菱形ABC。的面積及周長；

（2）點m是射線D4上一個動點，作射線交射線C4于點￡將射線繞點B逆時針旋轉后交射線

CA于點N,旋轉角為NMBN,且連接MN.

①如圖2,當點N與點。重合時，求△AMN的周長；

②當AE=BE時，請直接寫出A例的長為；

③BN=3石時，請直接寫出AM的長為

圖1圖2備用圖

31.（2022?浙江?舟山市定海區(qū)第五中學九年級期末）如圖，點F在四邊形4BC。的邊A8上，

（1）如圖①，當四邊形A8C。是正方形時，過點B作BE_LCR垂足為O,交AO于點￡求證：BE=CF；

(2)當四邊形ABC。是矩形，AD=6,AB=8時，

OC

①如圖②，點P是BC上的一點，過點P作PELCF,垂足為。，點。恰好落在對角線8。上，求力;的值;

OE

②如圖③，點尸是BC上的一點，過點P作PELCF,垂足為。，點。恰好落在對角線上，延長EP、

A8交于點G,當5G=2時，DE=

32.(2022?河南平頂山?九年級期末)如圖1,在正方形A8C3中，點E是邊BC上一點，且點E不與點3、C

重合，點尸是班的延長線上一點，且AF=CE.

圖1圖2

(1)求證：^DCE^DAF；

(2)如圖2,連接￡F,交A。于點K,過點。作￡>〃_LEF,垂足為“，延長交防于點G,連接”8,HC.

①求證：HD=HB；

②若DKHC=yfi.，求HE的長.

33.(2022.福建泉州.九年級期末)【推理】

如圖1,在正方形A8CC中，點E是C￡?上一動點，將正方形沿著8E折疊，點C落在點尸處，連結BE,

CF,延長CF交4。于點G.

(1)求證：ABCE/CDG.

【運用】

(2)如圖2,在【推理】條件下，延長BF交于點”.若挈=?,CE=9,求線段￡>E的長.

Hr5

【拓展】

AR

(3)將正方形改成矩形，同樣沿著8E折疊，連結CF,延長C凡8F交直線AD于G,兩點，若拓=?，

崟HD=：4,求D笑E的值(用含上的代數(shù)式表示).

HF5EC

34.(2022?山西臨汾?九年級期末)【證明體驗】

(1)如圖1,AO為"WC的角平分線，NADC=60。，點E在A8上，AE=AC.求證：DE平分NADB.

A

圖2

【思考探究】

(2)如圖2,在(1)的條件下，尸為A8上一點，連結小交AO于點G.若FB=FC,DG=2,CE>=3,

求3￡>的長.

【拓展延伸】

(3)如圖3,在四邊形ABCD中，對角線AC平分/BAD,乙BC4=2NZ)C4,點E在AC上，NEDC=ZABC.若

BC=5,CD=275,AD=2AE,求AC的長.

35.(2022.湖南.邵陽市第十六中學九年級期末)［感知］如圖①，在。ABCD中，點E為CD的中點，連接BE

并延長交A。的延長線于點F.求證：點E是BF的中點，點。是AF的中點；

［應用］如圖②，在四邊形ABC。中，AD//BC,ZBAD=90°,48=4,AD=3,點E是CO的中點，BELCD,

BE、AQ的延長線相交于點尸，則AF=.

BE1EF

［拓展］如圖③，在△ABC中，點。是AC的中點，點E是43上一點，,BD,CE相交于點F,則行

EA2FC

36.(2021?湖北?公安縣教學研究中心九年級期末)如圖，拋物線y=，+fer+3交x軸于A(-2,0)、8(3,0)

兩點，與y軸交于點C,連AC、BC.例為線段。8上的一個動點，過點加作?加，*軸，交拋物線于點P,

交BC于點。.(備用公式：點A(x〃%)與點B(X2,y2)的距離為小(%一%)+(%_%>)

(1)求拋物線的表達式：

(2)過點尸作PNJ_BC,垂足為點N.設M點的坐標為欣如0),請用含a的代數(shù)式表示線段PN的長，并

求出當機為何值時PN有最大值，最大值是多少？

(3)試探究點M在運動過程中，平面內是否存在點。，使得以A、C、Q、。為頂點的四邊形是菱形.若存在,

請求出點。的坐標；若不存在，請說明理由.

37.(2022.江蘇南通.八年級期末)平面直角坐標系中,有兩點6(占,乂)，g(孫力)，我們把k—%|+回一%|

叫做6,2兩點間的“轉角距離”，記作"(匕鳥).

(1)若A為(3,-2),。為坐標原點，則d(O,A)=：

(2)已知。為坐標原點，動點P(x,y)滿足d(0,P)=2,請寫出x與y之間滿足的關系式，并在所給的直角坐

標系中畫出所有符合條件的點戶所組成的圖形；

⑶若點N為拋物線y=/-l上一動點，求d(KN)的最小“轉角距離”.

38.(2022?新疆?烏魯木齊市第五十四中學九年級期末)如圖，拋物線y=〃x2+2x+c(?<0)與x軸交于點

A和點B(點A在原點的左側，點8在原點的右側)，與y軸交于點C,O8=OC=3.

(1)求該拋物線的函數(shù)解析式:

(2)如圖1,連接8C,點。是直線BC上方拋物線上的點，連接0。，CD,。。交8C于點居當久加

=1：3時，求點尸的坐標；

3

(3)如圖2,點E的坐標為(0,-：),在拋物線上是否存在點P,使N0BP=2/0BE?若存在，請求出點

P的坐標；若不存在，請說明理由.

39.(2022?重慶永川?八年級期末)如圖1,將三角板放在正方形ABCO上，使三角板的直角頂點P在對角線

4C上，一條直角邊經(jīng)過點8,另一條直角邊交邊。C于點E.

⑴求證：PB=PE；

（2）如圖2,移動三角板，使三角板的直角頂點P在對角線AC上，一條直角邊經(jīng)過點8,另一條直角邊交

DC的延長線于點E,P8=PE還成立嗎？若成立，請證明；若不成立，請說明理由.

（3）在圖1中，請直接寫出線段PC、PA.CE之間的一個等量關系（不必證明）.

40.（2022?湖南?長沙市一中雙語實驗中學八年級期末）如圖，拋物線力=#-2以+人經(jīng)過A（-1,0）,C（2,|

兩點，與x軸交于另一點8.

(1)求此拋物線的解析式;

(2)若拋物線的頂點為M,點尸為線段0B上一動點(不與點B重合)，點。在線段MB上移動，且

PM'=MQMB,設線段OP=x,MQ-y2,求y?與x的函數(shù)關系式，并直接寫出自變量x的取值范圍；

PMAP

并直接寫出三萬一右的值；

尸QBQ

(3)在同一平面直角坐標系中，兩條直線'=加，％="分別與拋物線交于點E,G,與(2)中的函數(shù)圖象交

于點尸，〃.問四邊形EFHG能否為平行四邊形？若能，求加，〃之間的數(shù)量關系；若不能，請說明理由.

41.(2021?貴州?興仁市真武山街道辦事處黔龍學校九年級期末)如圖，拋物線丫=底+以-4經(jīng)過點A(-2,

0)、B(4,0),與y軸交于點C,點P為線段4B匕一動點(不與點B重合)，連接PC、AC、BC,將△8PC

沿直線BC翻折得到.ABP'C,PC交拋物線的另一點為。，連接Q8.

(1)求拋物線的表達式：

(2)求四邊形QC08面積的最大值；

(3)當CQ：QP'=\：2時，點N為拋物線上一點，直線NQ交y軸于點M,

①若aNQ產的面積為△/℃面積的8倍，求出點N的坐標；

②在①的條件下，點。在直線NQ上，點E在x軸負半軸上，當時，求點E的橫坐標(直

接寫出答案).

42.(2022?湖南長沙?八年級期末)在RtAABC中，ZACB=90°,tanZB=n,CZ)J_A3于點Z).

3黑g求啜的值;

(2)如圖2,AFLCE于點G,交BC于點F,若

DE,3A（J

(3)如圖3,A為CM中點，MD交BC于羔N,若MC=3CN,貝回=

43.（2022?浙江?寧波市邦州區(qū)中河街道宋詔橋初級中學九年級期末）有一組鄰邊相等且對角互補的四邊形

叫做等鄰邊互補四邊形.

(1)如圖1,在等鄰邊互補四邊形ABCC中，AO=CZ),且AC〃8C,BC=2AD,求NB的度數(shù)；

(2)如圖2,四邊形4BCO內接于。。，連接。。交AC于點E(不與點。重合)，若￡是4(7的中點，求證：

四邊形ABCD是等鄰邊互補四邊形；

24

(3)在(2)的條件下，延長。。交BC于點F,交。。于點G,若3G=A8,tanZABC=3,AC=12,求FG

的長；

(4)如圖3,四邊形48CZ)內接于。O,AB^BC,80為。。的直徑，連接AO并延長交3c于點E,交。0

PP

于點R連接/。，設tanNBA/ux,——=y,求y與x之間的函數(shù)關系式.

AE

44.(2022.江蘇南京?八年級期末)我們知道，四邊形有兩組對邊，兩組對角，兩條對角線.已經(jīng)研究了,

如果四邊形滿足下列條件之一：①兩組對邊分別平行；②兩組對邊分別相等；③一組對邊平行且相等；④

對角線互相平分，那么這個四邊形是平行四邊形.由此，進一步探究

(1)如圖①，在四邊形A8C。中，ZA=ZC,NB=ND.求證：四邊形ABC。是平行四邊形.

(2)命題：如果四邊形滿足一組對邊平行且另一組對邊相等，那么這個四邊形是平行四邊形.如果這個命題

是真命題，請證明；否則，請畫出一個反例示意圖，并標明所滿足的條件.

(3)命題：如果四邊形滿足一組對邊相等且一條對角線平分另一條對角線，那么這個四邊形是平行四邊形.

①小明認為這是假命題，嘗試畫出反例.如圖②，他先畫出四邊形A8CD的一條邊AB,一條對角線3D請

你利用無刻度直尺和圓規(guī)在圖②中畫出反例.(保留作圖痕跡，不寫作法)

②小明進一步探索發(fā)現(xiàn)，在四邊形ABC。中，AB=CD,對角線AC、8。相交于點。，且08=00,BD=S,

ZAOB=60°,對于滿足條件的平行四邊形ABC。的個數(shù)隨著AB長度的變化而變化，直接寫出平行四邊形

ABCD的個數(shù)及對應的AB的長的取值范圍.

45.(2022?浙江寧波?九年級期末)如圖1,在正方形ABC。中，點E是AO邊上一點，點尸為BC邊上一點,

PE交AC于點、F,己知/PE4=NCE3,設/￡>CE=a,DE=m.

(1)請直接寫出NPEC=，2EPC=,PC=(用a或相相關的代數(shù)式表示);

(2)作尸GLCE分別交CE、于“、G(如圖2),求CG的長；

(3)連接若/W=l,求?！钡淖钚≈担?/p>

(4)在(3)的條件下，請直接寫出OH取最小值時，SA￡ra=.

46.(2022?江西贛州?九年級期末)如圖，已知點M(-2,0),a<0,〃為正整數(shù).拋物線。：yi=a(x-1)

2+6交x軸于點M與點4(bl,0),Q：y>2=a(x-gbi)2+依交工軸于點M與點A2(fe.0),Cj：y3=a

(x-yZ?2)2+公交X軸于點M與點A，Cb3,0),…按此規(guī)律，Cn：yn=a(x-；bn.i)2+kn.交x軸于點

M與點4〃(bn,0).

(1)填空：bi—,t>2=,bj—,An-/An=；

(2)用含a的代數(shù)式表示：拋物線”的頂點坐標為；拋物線yn的頂點坐標為

(3)設拋物線C”的頂點為

①若為等腰直角三角形，求“的值；

②直接寫出當a與n滿足什么數(shù)量關系時，是等腰直角三角形.

47.(2022?江西贛州?九年級期末)在正方形ABC。中，點尸在射線上(不與A、。重合)，連接CF,以

CF為對角線作正方形CEFG(C,E,F,G按逆時針排列)，連接BE,DG.

圖1備用圖1備用圖2

(1)如圖1,當點F在線段AO上時，求證：BE=DG-,

(2)由正方形的性質可知NC￡>F=NCG尸=90。，即。，G兩點均在以為直徑的同一個圓上.

①請直接回答：ZCDG=°；

②如備用圖，當點尸在線段A。上時，判斷CO、FD、BE三條線段之間的數(shù)量關系，并說明理由.

③當點F在線段AO延長線上時，請在備用圖2作出圖形，直接寫出CD、FD、8E三條線段之間的數(shù)量關

系.

48.(2022.湖南.長沙市華益中學九年級期末)在三角形中，等腰直角三角形是非常特殊且重要的幾何圖形,

它們不僅圖形優(yōu)美且性質眾多，基于理解，請認真閱讀并解決下列問題.

圖1圖2圖3

(1)如圖1,平面直角坐標系xoy中，點A(4.0),點P為反比例函數(shù)y=&(&>0)圖象上一點且在第一

X

象限，若WOB4為等腰直角三角形，求反比例函數(shù)的解析式；

(2)如圖2,直線y=(%<0,%為常數(shù))與坐標軸分別交于A,B兩點，COA8為等腰直角三角形，

C,。是線段48上兩動點(C在。的左邊)，且始終滿足400=45。，問：ACBO是否為定值，若是，求

出其值；若不是，請說明理由；

(3汝U圖3,拋物線凹=〃/+版+。(a為正整數(shù)，b、c為常數(shù))與x軸正半軸交與A、B兩點,與y軸正半

軸交于點C,頂點為點。，連接AC,AD,BC,BD.若拋物線滿足以下三個條件：①ZMBO是等腰直角三

角形；②N0CA=N0BC；③拋物線圖象始終在直線必=-&的上方.求拋物線的二次項系數(shù)

49.(2022?江西贛州?九年級期末)已知，如圖，將拋物線y=-(x—+1,y,=-(x-2)2+2,y=-(x—3『+3,

…，y?=-(x-n)2+n(〃為正整數(shù))稱為“系列拋物線”，其分別與x軸交于點。，A,B,C,E,F,….

(1)①拋物線H的頂點坐標為;

②該“系列拋物線”的頂點在_____上：

③笫=_(犬_”)2+”與》軸的兩交點之間的距離是.

(2)是否存在整數(shù)〃，使以y“=-(x-”)2+”的頂點及該拋物線與X軸兩交點為頂點的三角形是等邊三角形？

(3)以笫=-(x-〃y+”的頂點戶為一個頂點作該二次函數(shù)圖象的內接等邊△PMN(M,N兩點在該二次函數(shù)

的圖象上)，請問：APMN的面積是否會隨著〃的變化而變化？若不會，請求出這個等邊三角形的面積；若

會，請說明理由.

50.(2022?江蘇宿遷?九年級期末)如圖，已知于點8,且A8=10cm,將線段AB繞點8按逆時針

方向旋轉角a(0女二360。)得到線段BC,過點C作CDJ_MN于點。，。。是△BCO的內切圓，直線A。、

8c相交于點H.

(1)若a=60。，則CQ=cm.

(2)若AOIBC

①點，與。。的位置關系是

A.點〃在。。外

B.點H在。。上

C.點〃在。0內

②求線段A0的長度.

(3)線段AB繞點8按逆時針方向旋轉90°,求點。運動的路徑長.

51.(2022?福建泉州?九年級期末)已知點P(0,-4)為平面直角坐標系內一點，直線L繞原點O旋轉,

交經(jīng)過點(0,-2)的拋物線)于"、N兩點.

(1)請求出該拋物線的解析式;

(2)設NMPO=a。，試用含?的代數(shù)式表示NMPN的度數(shù)；

(3)在直線L繞原點。旋轉的過程中，請你研究一下(PM+M。)(PN-NO)是否定值？若是，請求出這個

定值，若不是請說明理由.

52.(2022?江蘇宿遷?九年級期末)如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=f+2x-3交y軸于點C,交x軸

于點A(a,0)和點8(6,0),P是第三象限拋物線上一點，直線y="+c經(jīng)過P、B兩點，交y軸于點D

(l)a=,b=.

(2)若直線y=fcv+c上存在一點Q,以Q為圓心，QA為半徑的圓恰好同時經(jīng)過8、C兩點，請直接寫出點Q

的坐標，并求鼠c的值.

(3)聰明的小穎發(fā)現(xiàn)，若設P點的橫坐標為孫則可直接得到方程/+2x-3=fcr+c的解為制=1,X2=〃?，再

(1+機=2—2__

根與系數(shù)關系可得：，。，從而可得到直線PB的解析式為y=(祖+3)(x-1).

①利用小穎發(fā)現(xiàn)的結論，當點P在拋物線的對稱軸上時，直線P3的函數(shù)表達式.

②若直線AP與y軸相交于點E,是否存在常數(shù)九使，?OC+OE為定值？如果存在，請求出這個定值，如果

不存在，說明理由.

53.(2022?遼寧大連?九年級期末)在平面直角坐標系xOy中，已知函數(shù)C“y=f+6x+c,C2：y=-；1+gx+c,

其中兒。為常數(shù)，G的圖象記為L,C2的圖象記為L；點A(1,1)在匕上，直線x=-8與x軸交于點

B,與"L分別交于點C和點￡>.

(l)c=(用含〃的代數(shù)式表示)；

(2)點M的坐標為Ch-1,0),以BC,為鄰邊作矩形BCNM,當圖象L在矩形BCNM內的部分從左到

右上升時，求6的取值范圍；

(3)連接OC,OD,當AOC。是等腰三角形時，求八的值.

54.(2022?浙江臺州?九年級期末)如圖，。。是△ABC的外接圓，AB為