2022年海南九年級(jí)數(shù)學(xué)上學(xué)期期末【壓軸60題考點(diǎn)專(zhuān)練】（九上+九下全部?jī)?nèi)容）（原卷版）

九年級(jí)上學(xué)期期末【壓軸60題考點(diǎn)專(zhuān)練】

一、單選題

1.（2022?黑龍江牡丹江?九年級(jí)期末）如圖，在矩形A8C。中，對(duì)角線AC、8D相交于點(diǎn)0,E為的中

點(diǎn)，連接AE交3。于點(diǎn)尸，連接CF,ZAFD=90°,則下列結(jié)論：?ZAED=ZOBC；?AF=CF③

;@CD2=4AEEF,其中正確結(jié)論有（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

2.（2022?江蘇?泰州中學(xué)附屬初中九年級(jí)期末）如圖，在正方形ABC。中，F(xiàn)是BC邊上一點(diǎn)，連接AF,以

AF為斜邊作等腰直角三角形AEF.有下列四個(gè)結(jié)論：①/CAF=/ZME；②FC=^DE;③當(dāng)NAEC=135。

時(shí)，E為AAOC的內(nèi)心；④若點(diǎn)尸在BC上以一定的速度，從B往C運(yùn)動(dòng)，則點(diǎn)E與點(diǎn)尸的運(yùn)動(dòng)速度相等.其

中正確的結(jié)論的個(gè)數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

3.（2022.重慶實(shí)驗(yàn)外國(guó)語(yǔ)學(xué)校九年級(jí)期末）如圖，矩形ABC。中，CO=4&T,點(diǎn)E為3c邊的中點(diǎn)，點(diǎn)、F

在邊AD上，將四邊形反■。尸沿著E尸翻折得到四邊形EGRF,EG交A。于點(diǎn)“，若C“："E=1:3且RG

的延長(zhǎng)線恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)A,則折痕耳■的長(zhǎng)為（）

A.6V14B.9不C.12GD.976

二、填空題

4.（2022?福建泉州?九年級(jí)期末）如圖，在矩形A8C。中，AB=2,3c=4,F為BC中點(diǎn),P是線段上

一點(diǎn)，設(shè)期=機(jī)（0＜相44）,連結(jié)”并將它繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到線段產(chǎn)￡,連結(jié)CE、EF,則在點(diǎn)P

從點(diǎn)8向點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，有下面四個(gè)結(jié)論：①當(dāng)初二2時(shí)，ZEFP=135°；②點(diǎn)E到邊8c的距離為如

③直線EF一定經(jīng)過(guò)點(diǎn)。；④CE的最小值為④.其中結(jié)論正確的是.（填序號(hào)即可）

5.（2022?新疆?烏魯木齊市第二十九中學(xué)九年級(jí)期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，8（0,4）,A（3,0）,0A

的半徑為2,P為。A上任意一點(diǎn)，C是的中點(diǎn)，則OC的最大值是.

6.（2022?河南?油田十中九年級(jí)期末）如圖所示，在扇形中，ZAOB=90°,半徑。4=4,點(diǎn)尸位于.

的g處且靠近點(diǎn)A的位置.點(diǎn)C、3分別在線段。4、OB上，CD=4,E為8的中點(diǎn)，連接EF、BE.在

8滑動(dòng)過(guò)程中（8長(zhǎng)度始終保持不變），當(dāng)收取最小值時(shí)，陰影部分的周長(zhǎng)為.

E

DB

7.(2022?上海市張江集團(tuán)中學(xué)八年級(jí)期末)已知點(diǎn)A是直線y=^x上一動(dòng)點(diǎn)，以點(diǎn)A為頂點(diǎn)的拋物線

尸(X-4+〃交》軸于點(diǎn)8,作點(diǎn)8關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)C,連接A8、AC.若AABC是直角三角形，貝U點(diǎn)A

的坐標(biāo)為一.

三、解答題

8.(2022?吉林?東北師大附中明珠學(xué)校九年級(jí)期末)菱形ABC。中，對(duì)角線NA=60。.點(diǎn)P從A

出發(fā)，沿A—O—B以2由/秒的速度勻速運(yùn)動(dòng)，到點(diǎn)B停止，過(guò)P作邊4B的垂線交AB于Q,以PQ為邊向

右作等邊△PQE.

⑴菱形ABCD的邊長(zhǎng)為cm.

(2)當(dāng)尸在邊AO上運(yùn)動(dòng)時(shí)，用含f的代數(shù)式表示PQ、BQ.

(3)連接BE,當(dāng)是直角三角形時(shí)，求，的值.

(4)當(dāng)菱形ABCD的對(duì)角線BD平分aPOE的邊時(shí)，r的取值范圍是

9.（2022?河北唐山?九年級(jí)期末）在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形Q4BC是矩形，點(diǎn)。（0,0）,點(diǎn)A（-6,0）,點(diǎn)

8（8）.以點(diǎn)。為中心，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)矩形OA8C,得到矩形ODE凡點(diǎn)A,B,C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為。，E,

F,記旋轉(zhuǎn)角為磯0°＜。＜90。）.

（1）如圖①，當(dāng)a=30。時(shí)，求點(diǎn)。的坐標(biāo)；

（2）如圖②，當(dāng)點(diǎn)E落在OC的延長(zhǎng)線上時(shí)，求點(diǎn)。的坐標(biāo)；

（3）當(dāng)點(diǎn)。落在線段AC上時(shí)，求點(diǎn)E的坐標(biāo)（直接寫(xiě)出結(jié)果即可）.

10.(2022.湖南株洲.九年級(jí)期末)

折痕為

MN,則AM與的數(shù)量關(guān)系為.

(2)［思維提高］如圖②，在三角形紙片A3C中,AC=BC=6，AB=10,將"WC折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)C重合,

折痕為求笑■的值;

(3)［拓展延伸］如圖③，在三角形紙片A8C中,AB=9,BC=6,ZACB=2ZA,將沿過(guò)頂點(diǎn)C的直

線折疊，使點(diǎn)8落在邊AC上的點(diǎn)￡處，折痕為CM.求線段AC的長(zhǎng);

11.（2022?江西吉安?九年級(jí)期末）如圖，矩形A8CO中，A8=4,點(diǎn)E、F、G、H,分別是BC、CD、AD,

AB上的動(dòng)點(diǎn)（頂點(diǎn)除外），若N1=N2=N3=N4；

①判斷四邊形EFGH的形狀，并證明；

②若四邊形EFG”是正方形，求8c的長(zhǎng)；

（2）在圖2中，已知BC=8,判斷四邊形E尸G”的周長(zhǎng)是否會(huì)隨著點(diǎn)G的變化而變化，如不變化，求出其周

長(zhǎng)，若會(huì)變化，說(shuō)明理由；

12.（2022.河南信陽(yáng).九年級(jí)期末）如圖1,在RtAABC中，NACB=90。，ZBAC=30°,BC=4,點(diǎn)M,N

分別是邊AC,A3的中點(diǎn)，連接MN.

CM/吉士

(1)觀察猜想：圖1中，邊AC的長(zhǎng)是'而的1vl值為

CM

(2)探究證明：把繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到如圖2所示的位置,連接CM,BN,請(qǐng)求出血的值;

(3)拓展延伸：把AAMN繞點(diǎn)A在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，當(dāng)以A,B,C,N為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形時(shí),

請(qǐng)直接寫(xiě)出線段CM的長(zhǎng).

13.(2022?遼寧大連?九年級(jí)期末)在放ZiABC中，ZACB=90°,/8=30。，M為AB中點(diǎn)，點(diǎn)P為BC1延

長(zhǎng)線一點(diǎn)，CP<BC,連接PM,AC=n,CP=m.

A

⑴如圖1,將射線MP繞點(diǎn)M逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。交CA延長(zhǎng)線于點(diǎn)。，且BC=AD+CP.

①在圖中找出與NMDC相等的角，即NMOC=；

②求%的值.

n

(2)如圖2,若將射線繞點(diǎn)M順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。交AC延長(zhǎng)線于點(diǎn)“，求C”的長(zhǎng).(用含有用、〃的式子表

示)

14.(2022?河南周口?九年級(jí)期末)因式定理：對(duì)于多項(xiàng)式/*),若/(。)=0,則(x-a)是/*)的一個(gè)因式,

并且可以通過(guò)添減單項(xiàng)式從中分離出來(lái).已知fM=V-5/+(&+4)x-k.

⑴填空:當(dāng)x=l時(shí)，/(1)=0,所以(x-l)是Ax)的一個(gè)因式.于是

f(x)-xr-4X2+4x+kx-k=(x-l)xg(x).則g(x)=；

(2)已知關(guān)于X的方程/(力=0的三個(gè)根是一個(gè)等腰三角形的三邊長(zhǎng)，求實(shí)數(shù)k的值.

15.(2022?遼寧大連?九年級(jí)期末)如圖1,在AABC中，點(diǎn)E在△A8C內(nèi)部，連接線段E8和EC,使/EC3

=ZABC,ZEBC=ZABE+ZACE.

A

(2)點(diǎn)。是BC邊上一點(diǎn)，連接￡>￡,當(dāng)BO=AC時(shí)，探究線段AB,CE,DE之間的數(shù)量關(guān)系并證明;

⑶如圖2,在(2)的條件下，若4=9。。，延長(zhǎng)OE交回于點(diǎn)K,當(dāng)AC*。時(shí)，直接寫(xiě)出黑的值為

16.(2022?福建莆田?九年級(jí)期末)在aABC中，N4CB=90。，AC=3C,點(diǎn)F是AB的中點(diǎn).點(diǎn)。為邊BC

上一點(diǎn)，連接4D在AO上取一點(diǎn)E,使得/OEB=45。，連接CE,EF.

圖1圖2

(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)C,E,尸三點(diǎn)共線且Er=1時(shí)，求CE的長(zhǎng);

(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)。在線段BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，探究CE與EF數(shù)量關(guān)系的變化情況.

17.(2022?湖南張家界?九年級(jí)期末)如圖，在矩形ABCQ中，AB=36,NC4B=30。，點(diǎn)尸從點(diǎn)A出發(fā),

每秒后個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿AB方向運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)。從點(diǎn)C出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿對(duì)角線C4方向

運(yùn)動(dòng).已知兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)。到達(dá)點(diǎn)A時(shí)，P，。兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，連接尸2,設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為r

秒.

(1)BC=,AC=.

(2)當(dāng)t為何值時(shí)，△APQ的面積為G.

(3)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在一個(gè)時(shí)刻f,使所得△APQ沿它的一邊翻折，翻折前后兩個(gè)三角形組成的四邊

形為菱形？若存在，求出，的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

(4)當(dāng)點(diǎn)尸關(guān)于點(diǎn)Q的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P'落在AACD的內(nèi)部(不包括邊上)時(shí)，請(qǐng)求出f的取值范圍.(直接寫(xiě)出答案)

18.(2022?重慶?九年級(jí)期末)如圖1,為等邊三角形，。為AC右側(cè)一點(diǎn)，且4J=AC,連接交AC

于點(diǎn)E,延長(zhǎng)D4、CB交于點(diǎn)F.

⑴若NJMF=30。，AF=y/3,求AO；

(2)證明：CF=AF+AE；

(3)如圖2,若AB=2,G為8c中點(diǎn)，連接4G,M為4G上一動(dòng)點(diǎn)，連接CM,將CM繞著M點(diǎn)逆時(shí)針旋

轉(zhuǎn)90。到MN,連接AN,CN,當(dāng)AN最小時(shí)，直接寫(xiě)出AAMN的面積.

19.(2022?四川成都?九年級(jí)期末)如圖1,直線y=-x+4&與x,y軸的交點(diǎn)分別為點(diǎn)A,B,與反比例函

數(shù))，=9(x>0)的圖象的兩交點(diǎn)分別為點(diǎn)C,。，點(diǎn)〃是反比例函數(shù)上一動(dòng)點(diǎn).

X

(1)求40。。的面積；

(2)是否存在點(diǎn)"，使得△ODMS^OAD?若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

(3)過(guò)點(diǎn)M分別作x軸和y軸的垂線，垂足分別為E,F,是否存在點(diǎn)M,使得矩形。與△OCQ的重疊

23

部分的面積S等于h？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

6

20.(2022.福建泉州.九年級(jí)期末)如圖1,正方形ABC。邊長(zhǎng)為4,點(diǎn)P是直線BC上的一動(dòng)點(diǎn)，連接。P,

以O(shè)P為邊在直線OP右側(cè)作等邊三角形。PE.

(1)請(qǐng)直接寫(xiě)出正方形ABCD的面積；

(2)當(dāng)3P為何值時(shí)，點(diǎn)C落在△￡>/>￡：的邊上；

(3)如圖2,若點(diǎn)P在線段8C上從B向C運(yùn)動(dòng)，當(dāng)8P為何值時(shí)，線段CE的長(zhǎng)度最小？請(qǐng)求出CE的最小值,

并直接寫(xiě)出點(diǎn)E所經(jīng)過(guò)的路徑的長(zhǎng)度.

21.(2022?浙江衢州?九年級(jí)期末)已知四邊形ABCO與AEFG都是正方形.

(1)【觀察思考】如圖1,點(diǎn)C在線段AB上，求學(xué)的值.

C卜

⑵【深入學(xué)習(xí)】固定圖1中的正方形ABC。，把正方形AEFG繞著點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)(0。＜。＜180。)，如圖2

所示，連結(jié)CRDG,更還等于【觀察思考】中的值嗎？說(shuō)明理由.

Cr

(3)【類(lèi)比探究】在正方形AEFG旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，設(shè)CF,OG的中點(diǎn)分別是M,N,連結(jié)AM,MN,NA.

①猜想AAMN的形狀，并證明你的猜想.

MN

②當(dāng)AC=4G,MN〃A。時(shí)，求——的值.

AD

22.(2022.山西?汾陽(yáng)市海洪初級(jí)中學(xué)校九年級(jí)期末)如圖，在平行四邊形ABCD中，AD=8,AB=\2,ZA

=60。，點(diǎn)E,G分別在邊AB,AO上，g.AE=-AB,AG^-AD,作E4。、GH〃AB,EF與GH交于

44

點(diǎn)O,分別在OF、OH上截取OP=OG,OQ=OE,連結(jié)PH、。牙交于點(diǎn)/

(1)四邊形EBHO的面積四邊形GOFD的面積(填或“<”)；

(2)比較/OFQ與NOHP大小，并說(shuō)明理由.

⑶求四邊形OQ/P的面積.

23.（2022?山東濟(jì)南?九年級(jí)期末）如圖1,在中，ZBAC=90°,ZACB=60°,AC=2,點(diǎn)A/,Bi為

邊AC,8C的中點(diǎn)，連接A/B/,將△4/B/C繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)a（0。4區(qū)360。）.

%

圖1BI

圖2

（1）如圖1,當(dāng)a=0。時(shí)，警=,BBi,44/所在直線相交所成的較小夾角的度數(shù)為；

（2）將△48/C繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至圖2所示位置時(shí)，（1）中結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)給出證明；若

不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；

（3）當(dāng)△4B/C繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，

①請(qǐng)直接寫(xiě)出△ABA/面積的最大值；

②當(dāng)A/,B”B三點(diǎn)共線時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出線段88/的長(zhǎng).

24.（2022.山東濟(jì)南.九年級(jí)期末）（1）如圖1,正方形ABCO與調(diào)研直角尸有公共頂點(diǎn)A,ZEAF=90°,

連接BE、DF,將△/!￡；/繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，直線BE、OF相交所成的角為夕，則==________;

DF

B=--------；

(2)如圖2,矩形ABC。與RrZVlE/有公共頂點(diǎn)4,NE4尸=90。，S.AD=2AB,AF=2AE,連接BE、DF,

BF

將用ZVIEF繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，直線BE、OF相交所成的角為“，請(qǐng)求出k的值及夕的度數(shù)，并

Dr

結(jié)合圖2進(jìn)行說(shuō)明；

(3)若平行四邊形A8C￡>與△AEF有公共項(xiàng)點(diǎn)A,且尸=a(0Ya<180。)，AD=kAB,AF=

kAE(k^O),將尸繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，直線BE、。尸相交所成的銳角的度數(shù)為小貝U：

②請(qǐng)直接寫(xiě)出a和4之間的關(guān)系式.

25.(2022?浙江舟山?九年級(jí)期末)如圖1,正方形OABC邊長(zhǎng)是2,以O(shè)A為半徑作圓，P為弧AC上的一點(diǎn)

(不與4'C重合)，過(guò)點(diǎn)P作PMJ_AB交AB于點(diǎn)M,連結(jié)P。、PA,設(shè)PA=n.

(1)求證：ZP0A=2ZPAM；

(2)探求"?、w的數(shù)量關(guān)系，并求最大值；

(3)如圖2：連結(jié)尸8,設(shè)求0〃+2，”的最小值.

26.(2022?遼寧大連.九年級(jí)期末)在aABC中，。為AC上一點(diǎn)，且AC=)U。，E是BC上一點(diǎn)，8。于AE

相交于點(diǎn)。，若NAO8+N84C=180°.

圖2

（1）如圖1,若NA4c=120°,AB=AC.

①找出與/A8O相等的角，并證明；

②求黑的值.

AE

⑵如圖2,若BE,求益的值.

27.（2022?重慶渝北?九年級(jí)期末）如圖1,在平行四邊形ABCZ）中，E為邊C。上一動(dòng)點(diǎn)，連接8E交對(duì)角

線AC于點(diǎn)尸，點(diǎn)M為線段85上一點(diǎn)，連接AM.

ADAD

A

B

圖1圖2圖3

(1)如圖1,若對(duì)角線ACL4B,點(diǎn)M是的中點(diǎn)，AM=AF=3,CF=2,求BC的長(zhǎng)；

(2)如圖2,若4?=AC,N￡BC=30。，AC的垂直平分線交BE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,連接AG,CG,AM平分

NBAC交BE于點(diǎn)M,求證：AM+BM=GM；

(3)如圖3,當(dāng)點(diǎn)E在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中滿足ABCE為等邊三角形時(shí)，若BC=4；在A8CE內(nèi)部是否存在一點(diǎn)P使

/>8+PC+P￡有最小值，若存在，直接寫(xiě)出P8+FC+尸E的最小值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

28.(2022?山西晉中?九年級(jí)期末)綜合與實(shí)踐

問(wèn)題情境：

數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，同學(xué)們開(kāi)展了以“矩形紙片折疊''為主題的探究活動(dòng)(每個(gè)小組的矩形紙片規(guī)格相同)，已知

矩形紙片寬45=6.

動(dòng)手實(shí)踐：

(1)如圖1,騰飛小組將矩形紙片ABC。折疊，點(diǎn)A落在OC邊上的點(diǎn)A處，折痕為連接HE,然后

將紙片展平，得到四邊形心'￡>.試判斷四邊形AE4'。的形狀，并加以證明.

(2)如圖2,永攀小組在矩形紙片ABC。的邊8c上取一點(diǎn)尸，連接。尸，使NC￡>F=30。，將沿線段

OF折疊，使點(diǎn)C正好落在A8邊上的點(diǎn)G處.連接。G,GF,將紙片展平，

①求的面積；

②連接CG,線段CG與線段。尸交于點(diǎn)貝l]CG=.

深度探究：

(3)如圖3,探究小組將圖1的四邊形AE4'￡>剪下，在邊A7)上取一點(diǎn)N,使ON:A'N=1:2,將△AMD沿

線段AN折疊得到△4VD',連接A。，探究并直接寫(xiě)出A77的長(zhǎng)度.

圖1圖2圖3

29.(2022?黑龍江齊齊哈爾?九年級(jí)期末)等腰直角三角形ABC中，ZACB=90°,AE為NBAC的角平分線,

交3c于點(diǎn)E,點(diǎn)。為AB的中點(diǎn)，連結(jié)CO交AE于點(diǎn)G,過(guò)點(diǎn)C作垂足為點(diǎn)尸，交A3于點(diǎn)

(1)如圖1,AG與C"的數(shù)量關(guān)系為：三；的值為

(2)如圖2,以點(diǎn)C為位似中心，將VC4E做位似變換，得到△C4'￡,使△C4'E'與VC4E的相似比為

%(0＜女＜1),A￡與C。、8的交點(diǎn)分別為G',F',隱去線段AE,試求；三的值;

A(J

(3)如圖3,將(2)中的等腰直角三角形改為等腰三角形，4=30。，且其他條件不變,

①方:的值為

AG

②若CF，=6直接寫(xiě)出/WGC的面積.

30.(2022.遼寧沈陽(yáng).九年級(jí)期末)如圖1,在菱形48c3中，對(duì)角線AC與8。相交于點(diǎn)O,且AC=16,BD

=12.

（1）求菱形ABC。的面積及周長(zhǎng)；

（2）點(diǎn)m是射線D4上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，作射線交射線C4于點(diǎn)￡將射線繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后交射線

CA于點(diǎn)N,旋轉(zhuǎn)角為NMBN,且連接MN.

①如圖2,當(dāng)點(diǎn)N與點(diǎn)。重合時(shí)，求△AMN的周長(zhǎng)；

②當(dāng)AE=BE時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出A例的長(zhǎng)為；

③BN=3石時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出AM的長(zhǎng)為

圖1圖2備用圖

31.（2022?浙江?舟山市定海區(qū)第五中學(xué)九年級(jí)期末）如圖，點(diǎn)F在四邊形4BC。的邊A8上，

（1）如圖①，當(dāng)四邊形A8C。是正方形時(shí)，過(guò)點(diǎn)B作BE_LCR垂足為O,交AO于點(diǎn)￡求證：BE=CF；

(2)當(dāng)四邊形ABC。是矩形，AD=6,AB=8時(shí)，

OC

①如圖②，點(diǎn)P是BC上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PELCF,垂足為。，點(diǎn)。恰好落在對(duì)角線8。上，求力;的值;

OE

②如圖③，點(diǎn)尸是BC上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PELCF,垂足為。，點(diǎn)。恰好落在對(duì)角線上，延長(zhǎng)EP、

A8交于點(diǎn)G,當(dāng)5G=2時(shí)，DE=

32.(2022?河南平頂山?九年級(jí)期末)如圖1,在正方形A8C3中，點(diǎn)E是邊BC上一點(diǎn)，且點(diǎn)E不與點(diǎn)3、C

重合，點(diǎn)尸是班的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且AF=CE.

圖1圖2

(1)求證：^DCE^DAF；

(2)如圖2,連接￡F,交A。于點(diǎn)K,過(guò)點(diǎn)。作￡>〃_LEF,垂足為“，延長(zhǎng)交防于點(diǎn)G,連接”8,HC.

①求證：HD=HB；

②若DKHC=yfi.，求HE的長(zhǎng).

33.(2022.福建泉州.九年級(jí)期末)【推理】

如圖1,在正方形A8CC中，點(diǎn)E是C￡?上一動(dòng)點(diǎn)，將正方形沿著8E折疊，點(diǎn)C落在點(diǎn)尸處，連結(jié)BE,

CF,延長(zhǎng)CF交4。于點(diǎn)G.

(1)求證：ABCE/CDG.

【運(yùn)用】

(2)如圖2,在【推理】條件下，延長(zhǎng)BF交于點(diǎn)”.若挈=?,CE=9,求線段￡>E的長(zhǎng).

Hr5

【拓展】

AR

(3)將正方形改成矩形，同樣沿著8E折疊，連結(jié)CF,延長(zhǎng)C凡8F交直線AD于G,兩點(diǎn)，若拓=?，

崟HD=：4,求D笑E的值(用含上的代數(shù)式表示).

HF5EC

34.(2022?山西臨汾?九年級(jí)期末)【證明體驗(yàn)】

(1)如圖1,AO為"WC的角平分線，NADC=60。，點(diǎn)E在A8上，AE=AC.求證：DE平分NADB.

A

圖2

【思考探究】

(2)如圖2,在(1)的條件下，尸為A8上一點(diǎn)，連結(jié)小交AO于點(diǎn)G.若FB=FC,DG=2,CE>=3,

求3￡>的長(zhǎng).

【拓展延伸】

(3)如圖3,在四邊形ABCD中，對(duì)角線AC平分/BAD,乙BC4=2NZ)C4,點(diǎn)E在AC上，NEDC=ZABC.若

BC=5,CD=275,AD=2AE,求AC的長(zhǎng).

35.(2022.湖南.邵陽(yáng)市第十六中學(xué)九年級(jí)期末)［感知］如圖①，在。ABCD中，點(diǎn)E為CD的中點(diǎn)，連接BE

并延長(zhǎng)交A。的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.求證：點(diǎn)E是BF的中點(diǎn)，點(diǎn)。是AF的中點(diǎn)；

［應(yīng)用］如圖②，在四邊形ABC。中，AD//BC,ZBAD=90°,48=4,AD=3,點(diǎn)E是CO的中點(diǎn)，BELCD,

BE、AQ的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)尸，則AF=.

BE1EF

［拓展］如圖③，在△ABC中，點(diǎn)。是AC的中點(diǎn)，點(diǎn)E是43上一點(diǎn)，,BD,CE相交于點(diǎn)F,則行

EA2FC

36.(2021?湖北?公安縣教學(xué)研究中心九年級(jí)期末)如圖，拋物線y=，+fer+3交x軸于A(-2,0)、8(3,0)

兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C,連AC、BC.例為線段。8上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)加作?加，*軸，交拋物線于點(diǎn)P,

交BC于點(diǎn)。.(備用公式：點(diǎn)A(x〃%)與點(diǎn)B(X2,y2)的距離為小(%一%)+(%_%>)

(1)求拋物線的表達(dá)式：

(2)過(guò)點(diǎn)尸作PNJ_BC,垂足為點(diǎn)N.設(shè)M點(diǎn)的坐標(biāo)為欣如0),請(qǐng)用含a的代數(shù)式表示線段PN的長(zhǎng)，并

求出當(dāng)機(jī)為何值時(shí)PN有最大值，最大值是多少？

(3)試探究點(diǎn)M在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，平面內(nèi)是否存在點(diǎn)。，使得以A、C、Q、。為頂點(diǎn)的四邊形是菱形.若存在,

請(qǐng)求出點(diǎn)。的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

37.(2022.江蘇南通.八年級(jí)期末)平面直角坐標(biāo)系中,有兩點(diǎn)6(占,乂)，g(孫力)，我們把k—%|+回一%|

叫做6,2兩點(diǎn)間的“轉(zhuǎn)角距離”，記作"(匕鳥(niǎo)).

(1)若A為(3,-2),。為坐標(biāo)原點(diǎn)，則d(O,A)=：

(2)已知。為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P(x,y)滿足d(0,P)=2,請(qǐng)寫(xiě)出x與y之間滿足的關(guān)系式，并在所給的直角坐

標(biāo)系中畫(huà)出所有符合條件的點(diǎn)戶所組成的圖形；

⑶若點(diǎn)N為拋物線y=/-l上一動(dòng)點(diǎn)，求d(KN)的最小“轉(zhuǎn)角距離”.

38.(2022?新疆?烏魯木齊市第五十四中學(xué)九年級(jí)期末)如圖，拋物線y=〃x2+2x+c(?<0)與x軸交于點(diǎn)

A和點(diǎn)B(點(diǎn)A在原點(diǎn)的左側(cè)，點(diǎn)8在原點(diǎn)的右側(cè))，與y軸交于點(diǎn)C,O8=OC=3.

(1)求該拋物線的函數(shù)解析式:

(2)如圖1,連接8C,點(diǎn)。是直線BC上方拋物線上的點(diǎn)，連接0。，CD,。。交8C于點(diǎn)居當(dāng)久加

=1：3時(shí)，求點(diǎn)尸的坐標(biāo)；

3

(3)如圖2,點(diǎn)E的坐標(biāo)為(0,-：),在拋物線上是否存在點(diǎn)P,使N0BP=2/0BE?若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)

P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

39.(2022?重慶永川?八年級(jí)期末)如圖1,將三角板放在正方形ABCO上，使三角板的直角頂點(diǎn)P在對(duì)角線

4C上，一條直角邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)8,另一條直角邊交邊。C于點(diǎn)E.

⑴求證：PB=PE；

（2）如圖2,移動(dòng)三角板，使三角板的直角頂點(diǎn)P在對(duì)角線AC上，一條直角邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)8,另一條直角邊交

DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,P8=PE還成立嗎？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由.

（3）在圖1中，請(qǐng)直接寫(xiě)出線段PC、PA.CE之間的一個(gè)等量關(guān)系（不必證明）.

40.（2022?湖南?長(zhǎng)沙市一中雙語(yǔ)實(shí)驗(yàn)中學(xué)八年級(jí)期末）如圖，拋物線力=#-2以+人經(jīng)過(guò)A（-1,0）,C（2,|

兩點(diǎn)，與x軸交于另一點(diǎn)8.

(1)求此拋物線的解析式;

(2)若拋物線的頂點(diǎn)為M,點(diǎn)尸為線段0B上一動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)B重合)，點(diǎn)。在線段MB上移動(dòng)，且

PM'=MQMB,設(shè)線段OP=x,MQ-y2,求y?與x的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫(xiě)出自變量x的取值范圍；

PMAP

并直接寫(xiě)出三萬(wàn)一右的值；

尸QBQ

(3)在同一平面直角坐標(biāo)系中，兩條直線'=加，％="分別與拋物線交于點(diǎn)E,G,與(2)中的函數(shù)圖象交

于點(diǎn)尸，〃.問(wèn)四邊形EFHG能否為平行四邊形？若能，求加，〃之間的數(shù)量關(guān)系；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由.

41.(2021?貴州?興仁市真武山街道辦事處黔龍學(xué)校九年級(jí)期末)如圖，拋物線丫=底+以-4經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(-2,

0)、B(4,0),與y軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)P為線段4B匕一動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)B重合)，連接PC、AC、BC,將△8PC

沿直線BC翻折得到.ABP'C,PC交拋物線的另一點(diǎn)為。，連接Q8.

(1)求拋物線的表達(dá)式：

(2)求四邊形QC08面積的最大值；

(3)當(dāng)CQ：QP'=\：2時(shí)，點(diǎn)N為拋物線上一點(diǎn)，直線NQ交y軸于點(diǎn)M,

①若aNQ產(chǎn)的面積為△/℃面積的8倍，求出點(diǎn)N的坐標(biāo)；

②在①的條件下，點(diǎn)。在直線NQ上，點(diǎn)E在x軸負(fù)半軸上，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)E的橫坐標(biāo)(直

接寫(xiě)出答案).

42.(2022?湖南長(zhǎng)沙?八年級(jí)期末)在RtAABC中，ZACB=90°,tanZB=n,CZ)J_A3于點(diǎn)Z).

3黑g求啜的值;

(2)如圖2,AFLCE于點(diǎn)G,交BC于點(diǎn)F,若

DE,3A（J

(3)如圖3,A為CM中點(diǎn)，MD交BC于羔N,若MC=3CN,貝回=

43.（2022?浙江?寧波市邦州區(qū)中河街道宋詔橋初級(jí)中學(xué)九年級(jí)期末）有一組鄰邊相等且對(duì)角互補(bǔ)的四邊形

叫做等鄰邊互補(bǔ)四邊形.

(1)如圖1,在等鄰邊互補(bǔ)四邊形ABCC中，AO=CZ),且AC〃8C,BC=2AD,求NB的度數(shù)；

(2)如圖2,四邊形4BCO內(nèi)接于。。，連接。。交AC于點(diǎn)E(不與點(diǎn)。重合)，若￡是4(7的中點(diǎn)，求證：

四邊形ABCD是等鄰邊互補(bǔ)四邊形；

24

(3)在(2)的條件下，延長(zhǎng)。。交BC于點(diǎn)F,交。。于點(diǎn)G,若3G=A8,tanZABC=3,AC=12,求FG

的長(zhǎng)；

(4)如圖3,四邊形48CZ)內(nèi)接于。O,AB^BC,80為。。的直徑，連接AO并延長(zhǎng)交3c于點(diǎn)E,交。0

PP

于點(diǎn)R連接/。，設(shè)tanNBA/ux,——=y,求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式.

AE

44.(2022.江蘇南京?八年級(jí)期末)我們知道，四邊形有兩組對(duì)邊，兩組對(duì)角，兩條對(duì)角線.已經(jīng)研究了,

如果四邊形滿足下列條件之一：①兩組對(duì)邊分別平行；②兩組對(duì)邊分別相等；③一組對(duì)邊平行且相等；④

對(duì)角線互相平分，那么這個(gè)四邊形是平行四邊形.由此，進(jìn)一步探究

(1)如圖①，在四邊形A8C。中，ZA=ZC,NB=ND.求證：四邊形ABC。是平行四邊形.

(2)命題：如果四邊形滿足一組對(duì)邊平行且另一組對(duì)邊相等，那么這個(gè)四邊形是平行四邊形.如果這個(gè)命題

是真命題，請(qǐng)證明；否則，請(qǐng)畫(huà)出一個(gè)反例示意圖，并標(biāo)明所滿足的條件.

(3)命題：如果四邊形滿足一組對(duì)邊相等且一條對(duì)角線平分另一條對(duì)角線，那么這個(gè)四邊形是平行四邊形.

①小明認(rèn)為這是假命題，嘗試畫(huà)出反例.如圖②，他先畫(huà)出四邊形A8CD的一條邊AB,一條對(duì)角線3D請(qǐng)

你利用無(wú)刻度直尺和圓規(guī)在圖②中畫(huà)出反例.(保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法)

②小明進(jìn)一步探索發(fā)現(xiàn)，在四邊形ABC。中，AB=CD,對(duì)角線AC、8。相交于點(diǎn)。，且08=00,BD=S,

ZAOB=60°,對(duì)于滿足條件的平行四邊形ABC。的個(gè)數(shù)隨著AB長(zhǎng)度的變化而變化，直接寫(xiě)出平行四邊形

ABCD的個(gè)數(shù)及對(duì)應(yīng)的AB的長(zhǎng)的取值范圍.

45.(2022?浙江寧波?九年級(jí)期末)如圖1,在正方形ABC。中，點(diǎn)E是AO邊上一點(diǎn)，點(diǎn)尸為BC邊上一點(diǎn),

PE交AC于點(diǎn)、F,己知/PE4=NCE3,設(shè)/￡>CE=a,DE=m.

(1)請(qǐng)直接寫(xiě)出NPEC=，2EPC=,PC=(用a或相相關(guān)的代數(shù)式表示);

(2)作尸GLCE分別交CE、于“、G(如圖2),求CG的長(zhǎng)；

(3)連接若/W=l,求?！钡淖钚≈担?/p>

(4)在(3)的條件下，請(qǐng)直接寫(xiě)出OH取最小值時(shí)，SA￡ra=.

46.(2022?江西贛州?九年級(jí)期末)如圖，已知點(diǎn)M(-2,0),a<0,〃為正整數(shù).拋物線。：yi=a(x-1)

2+6交x軸于點(diǎn)M與點(diǎn)4(bl,0),Q：y>2=a(x-gbi)2+依交工軸于點(diǎn)M與點(diǎn)A2(fe.0),Cj：y3=a

(x-yZ?2)2+公交X軸于點(diǎn)M與點(diǎn)A，Cb3,0),…按此規(guī)律，Cn：yn=a(x-；bn.i)2+kn.交x軸于點(diǎn)

M與點(diǎn)4〃(bn,0).

(1)填空：bi—,t>2=,bj—,An-/An=；

(2)用含a的代數(shù)式表示：拋物線”的頂點(diǎn)坐標(biāo)為；拋物線yn的頂點(diǎn)坐標(biāo)為

(3)設(shè)拋物線C”的頂點(diǎn)為

①若為等腰直角三角形，求“的值；

②直接寫(xiě)出當(dāng)a與n滿足什么數(shù)量關(guān)系時(shí)，是等腰直角三角形.

47.(2022?江西贛州?九年級(jí)期末)在正方形ABC。中，點(diǎn)尸在射線上(不與A、。重合)，連接CF,以

CF為對(duì)角線作正方形CEFG(C,E,F,G按逆時(shí)針排列)，連接BE,DG.

圖1備用圖1備用圖2

(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)F在線段AO上時(shí)，求證：BE=DG-,

(2)由正方形的性質(zhì)可知NC￡>F=NCG尸=90。，即。，G兩點(diǎn)均在以為直徑的同一個(gè)圓上.

①請(qǐng)直接回答：ZCDG=°；

②如備用圖，當(dāng)點(diǎn)尸在線段A。上時(shí)，判斷CO、FD、BE三條線段之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由.

③當(dāng)點(diǎn)F在線段AO延長(zhǎng)線上時(shí)，請(qǐng)?jiān)趥溆脠D2作出圖形，直接寫(xiě)出CD、FD、8E三條線段之間的數(shù)量關(guān)

系.

48.(2022.湖南.長(zhǎng)沙市華益中學(xué)九年級(jí)期末)在三角形中，等腰直角三角形是非常特殊且重要的幾何圖形,

它們不僅圖形優(yōu)美且性質(zhì)眾多，基于理解，請(qǐng)認(rèn)真閱讀并解決下列問(wèn)題.

圖1圖2圖3

(1)如圖1,平面直角坐標(biāo)系xoy中，點(diǎn)A(4.0),點(diǎn)P為反比例函數(shù)y=&(&>0)圖象上一點(diǎn)且在第一

X

象限，若WOB4為等腰直角三角形，求反比例函數(shù)的解析式；

(2)如圖2,直線y=(%<0,%為常數(shù))與坐標(biāo)軸分別交于A,B兩點(diǎn)，COA8為等腰直角三角形，

C,。是線段48上兩動(dòng)點(diǎn)(C在。的左邊)，且始終滿足400=45。，問(wèn)：ACBO是否為定值，若是，求

出其值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由；

(3汝U圖3,拋物線凹=〃/+版+。(a為正整數(shù)，b、c為常數(shù))與x軸正半軸交與A、B兩點(diǎn),與y軸正半

軸交于點(diǎn)C,頂點(diǎn)為點(diǎn)。，連接AC,AD,BC,BD.若拋物線滿足以下三個(gè)條件：①ZMBO是等腰直角三

角形；②N0CA=N0BC；③拋物線圖象始終在直線必=-&的上方.求拋物線的二次項(xiàng)系數(shù)

49.(2022?江西贛州?九年級(jí)期末)已知，如圖，將拋物線y=-(x—+1,y,=-(x-2)2+2,y=-(x—3『+3,

…，y?=-(x-n)2+n(〃為正整數(shù))稱(chēng)為“系列拋物線”，其分別與x軸交于點(diǎn)。，A,B,C,E,F,….

(1)①拋物線H的頂點(diǎn)坐標(biāo)為;

②該“系列拋物線”的頂點(diǎn)在_____上：

③笫=_(犬_”)2+”與》軸的兩交點(diǎn)之間的距離是.

(2)是否存在整數(shù)〃，使以y“=-(x-”)2+”的頂點(diǎn)及該拋物線與X軸兩交點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等邊三角形？

(3)以笫=-(x-〃y+”的頂點(diǎn)戶為一個(gè)頂點(diǎn)作該二次函數(shù)圖象的內(nèi)接等邊△PMN(M,N兩點(diǎn)在該二次函數(shù)

的圖象上)，請(qǐng)問(wèn)：APMN的面積是否會(huì)隨著〃的變化而變化？若不會(huì)，請(qǐng)求出這個(gè)等邊三角形的面積；若

會(huì)，請(qǐng)說(shuō)明理由.

50.(2022?江蘇宿遷?九年級(jí)期末)如圖，已知于點(diǎn)8,且A8=10cm,將線段AB繞點(diǎn)8按逆時(shí)針

方向旋轉(zhuǎn)角a(0女二360。)得到線段BC,過(guò)點(diǎn)C作CDJ_MN于點(diǎn)。，。。是△BCO的內(nèi)切圓，直線A。、

8c相交于點(diǎn)H.

(1)若a=60。，則CQ=cm.

(2)若AOIBC

①點(diǎn)，與。。的位置關(guān)系是

A.點(diǎn)〃在。。外

B.點(diǎn)H在。。上

C.點(diǎn)〃在。0內(nèi)

②求線段A0的長(zhǎng)度.

(3)線段AB繞點(diǎn)8按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°,求點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng).

51.(2022?福建泉州?九年級(jí)期末)已知點(diǎn)P(0,-4)為平面直角坐標(biāo)系內(nèi)一點(diǎn)，直線L繞原點(diǎn)O旋轉(zhuǎn),

交經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0,-2)的拋物線)于"、N兩點(diǎn).

(1)請(qǐng)求出該拋物線的解析式;

(2)設(shè)NMPO=a。，試用含?的代數(shù)式表示NMPN的度數(shù)；

(3)在直線L繞原點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，請(qǐng)你研究一下(PM+M。)(PN-NO)是否定值？若是，請(qǐng)求出這個(gè)

定值，若不是請(qǐng)說(shuō)明理由.

52.(2022?江蘇宿遷?九年級(jí)期末)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=f+2x-3交y軸于點(diǎn)C,交x軸

于點(diǎn)A(a,0)和點(diǎn)8(6,0),P是第三象限拋物線上一點(diǎn)，直線y="+c經(jīng)過(guò)P、B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)D

(l)a=,b=.

(2)若直線y=fcv+c上存在一點(diǎn)Q,以Q為圓心，QA為半徑的圓恰好同時(shí)經(jīng)過(guò)8、C兩點(diǎn)，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)Q

的坐標(biāo)，并求鼠c的值.

(3)聰明的小穎發(fā)現(xiàn)，若設(shè)P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為孫則可直接得到方程/+2x-3=fcr+c的解為制=1,X2=〃?，再

(1+機(jī)=2—2__

根與系數(shù)關(guān)系可得：，。，從而可得到直線PB的解析式為y=(祖+3)(x-1).

①利用小穎發(fā)現(xiàn)的結(jié)論，當(dāng)點(diǎn)P在拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上時(shí)，直線P3的函數(shù)表達(dá)式.

②若直線AP與y軸相交于點(diǎn)E,是否存在常數(shù)九使，?OC+OE為定值？如果存在，請(qǐng)求出這個(gè)定值，如果

不存在，說(shuō)明理由.

53.(2022?遼寧大連?九年級(jí)期末)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知函數(shù)C“y=f+6x+c,C2：y=-；1+gx+c,

其中兒。為常數(shù)，G的圖象記為L(zhǎng),C2的圖象記為L(zhǎng)；點(diǎn)A(1,1)在匕上，直線x=-8與x軸交于點(diǎn)

B,與"L分別交于點(diǎn)C和點(diǎn)￡>.

(l)c=(用含〃的代數(shù)式表示)；

(2)點(diǎn)M的坐標(biāo)為Ch-1,0),以BC,為鄰邊作矩形BCNM,當(dāng)圖象L在矩形BCNM內(nèi)的部分從左到

右上升時(shí)，求6的取值范圍；

(3)連接OC,OD,當(dāng)AOC。是等腰三角形時(shí)，求八的值.

54.(2022?浙江臺(tái)州?九年級(jí)期末)如圖，。。是△ABC的外接圓，AB為