第五節(jié)含參積分

第五節(jié)含參積分第一頁(yè)，共十七頁(yè)，2022年，8月28日一、被積函數(shù)含參變量的積分上的連續(xù)函數(shù),則積分確定了一個(gè)定義在[a,b]上的函數(shù),記作x

稱(chēng)為參變量,上式稱(chēng)為含參變量的積分.含參積分的性質(zhì)定理1.(連續(xù)性)

上連續(xù),則由①確定的含參積分在[a,b]上連續(xù).—連續(xù)性,可積性,可微性:①第二頁(yè)，共十七頁(yè)，2022年，8月28日證:在閉區(qū)域R上連續(xù),所以一致連續(xù),即只要就有就有這說(shuō)明第三頁(yè)，共十七頁(yè)，2022年，8月28日定理1表明,定義在閉矩形域上的連續(xù)函數(shù),其極限運(yùn)算與積分運(yùn)算的順序是可交換的.同理可證,續(xù),則含參變量的積分由連續(xù)性定理易得下述可積性定理:第四頁(yè)，共十七頁(yè)，2022年，8月28日定理2.(可積性)上連續(xù),同樣,推論:在定理2的條件下,累次積分可交換求積順序,即第五頁(yè)，共十七頁(yè)，2022年，8月28日定理3.(可微性)都在證:

令函數(shù),第六頁(yè)，共十七頁(yè)，2022年，8月28日因上式左邊的變上限積分可導(dǎo),因此右邊且有此定理說(shuō)明,被積函數(shù)及其偏導(dǎo)數(shù)在閉矩形域上連續(xù)時(shí),求導(dǎo)與求積運(yùn)算是可以交換順序的.第七頁(yè)，共十七頁(yè)，2022年，8月28日例1.解:由被積函數(shù)的特點(diǎn)想到積分:第八頁(yè)，共十七頁(yè)，2022年，8月28日例2.解:考慮含參變量t

的積分所確定的函數(shù)顯然,由于第九頁(yè)，共十七頁(yè)，2022年，8月28日故因此得第十頁(yè)，共十七頁(yè)，2022年，8月28日二、積分限含參變量的積分在實(shí)際問(wèn)題中,常遇到積分限含參變量的情形,例如,為定義在區(qū)域上的連續(xù)函數(shù),則也是參變量x

的函數(shù),其定義域?yàn)閇a,b].利用前面的定理可推出這種含參積分的性質(zhì).第十一頁(yè)，共十七頁(yè)，2022年，8月28日定理4.(連續(xù)性)上連續(xù),則函數(shù)證:令則由于被積函數(shù)在矩形域上連續(xù),由定理1知,上述積分確定的函數(shù)第十二頁(yè)，共十七頁(yè)，2022年，8月28日定理5.(可微性)都在中的可微函數(shù),則證:令第十三頁(yè)，共十七頁(yè)，2022年，8月28日利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則及變限積分求導(dǎo),得第十四頁(yè)，共十七頁(yè)，2022年，8月28日例3.解:第十五頁(yè)，共十七頁(yè)，2022年，8月28日例4.分小時(shí),函數(shù)的n

階導(dǎo)數(shù)存在,且證:令

在原點(diǎn)的某個(gè)閉矩形鄰域內(nèi)連續(xù),