基于主元分析的故障診斷詳解演示文稿

基于主元分析的故障診斷詳解演示文稿現(xiàn)在是1頁\一共有25頁\編輯于星期五（優(yōu)選）基于主元分析的故障診斷現(xiàn)在是2頁\一共有25頁\編輯于星期五多元統(tǒng)計分析多元統(tǒng)計分析是從經(jīng)典統(tǒng)計學中發(fā)展起來的一個分支，是一種綜合分析方法，它能夠在多個對象和多個指標互相關聯(lián)的情況下分析它們的統(tǒng)計規(guī)律。主要內(nèi)容包括多元正態(tài)分布及其抽樣分布、多元正態(tài)總體的均值向量和協(xié)方差陣的假設檢驗、多元方差分析、直線回歸與相關、多元線性回歸、主成分分析與因子分析、判別分析與聚類分析、Shannon信息量及其應用。如果每個個體有多個觀測數(shù)據(jù)，或者從數(shù)學上說，如果個體的觀測數(shù)據(jù)能表為P維歐幾里得空間的點，那么這樣的數(shù)據(jù)叫做多元數(shù)據(jù)，而分析多元數(shù)據(jù)的統(tǒng)計方法就叫做多元統(tǒng)計分析?，F(xiàn)在是3頁\一共有25頁\編輯于星期五基于多元統(tǒng)計分析的故障診斷方法基于多元統(tǒng)計分析的故障診斷方法是利用過程多個變量之間的相關性對過程進行故障診斷。這類方法根據(jù)過程變量的歷史數(shù)據(jù)，利用多元投影的方法將多變量樣本空間分解成由主元空間張成的較低維的投影子空間和一個相應的殘差子空間，并分別在這兩個子空間進行投影，并計算相應的統(tǒng)計量指標用于過程監(jiān)控，從而達到故障檢測和診斷的目的。

常用的多元統(tǒng)計分析的方法有兩種：主元分析（PCA）和偏最小二乘（PLS）?，F(xiàn)在是4頁\一共有25頁\編輯于星期五主元分析（PCA）的思想

PCA是Principalcomponentanalysis的縮寫，是一種對數(shù)據(jù)進行分析的技術，最重要的應用是對原有的數(shù)據(jù)進行簡化。主元分析法可以有效地找出數(shù)據(jù)中最“主要”的元素和結(jié)構(gòu)，取出噪音和冗余，將原有的復雜數(shù)據(jù)降維，揭示隱藏在復雜數(shù)據(jù)背后的簡單結(jié)構(gòu)。

先從一個簡單的物理實驗的例子開始說明這種思想。現(xiàn)在是5頁\一共有25頁\編輯于星期五主元分析（PCA）的目的

對于一個有先驗知識的實驗者來說，這個實驗很容易。球的運動之在x軸方向上發(fā)生，y軸和z軸冗余的，只需要記錄一下x軸上的運動序列并加以分析即可。

可是，在真實世界中，對于第一次做實驗的人來說（或者在實驗科學中遇到的一種新情況），是不會剛開始就舍棄y和z軸的信息的。一般來說，實驗者會記錄球的三維位置，得到球在空間中的運動序列然后進行分析。

在沒有先驗知識的情況下，利用測到的數(shù)據(jù)將實驗數(shù)據(jù)中的冗余變量剔除并化歸到x軸上，這就是簡單的主元分析達到得的效果（顯然x軸方向是上述問題的主元）?，F(xiàn)在是6頁\一共有25頁\編輯于星期五主元分析（PCA）的思想

主元分析一項十分著名的工作是美國的統(tǒng)計學家斯通在1947年關于國民經(jīng)濟的研究。他曾用美國在1929—1938年各年的數(shù)據(jù)，得到了17個反映國民收入與支出的變量要素，例如雇主補貼、消費資料和生產(chǎn)資料、純公共指出、凈增庫存、股息、利息和外貿(mào)平衡等等。

在進行主成分分析后，他竟以97.4%的精度，用三個新變量就取代了原來17個變量。根據(jù)經(jīng)濟學知識，斯通給這三個新變量分別命名為總收入F1、總收入變化率F2和經(jīng)濟發(fā)展或衰退的趨勢F3（這三個變量其實是可以通過直接測量得到的）。

在現(xiàn)在的研究中，為了全面系統(tǒng)地分析和研究問題，必須考慮許多指標，這些指標能從不同的側(cè)面反映我們所研究的對象的特征，但在某種程度上存在信息的重疊，也就是這些信息之間具有一定的相關性。

主成分分析試圖保證數(shù)據(jù)信息丟失最少的原則下，對多面輛的數(shù)據(jù)表進行最佳綜合簡化，也就是說，對高維變量空間進行降維處理。顯然辨識系統(tǒng)在一個低維空間要比在一個高維空間容易很多?，F(xiàn)在是7頁\一共有25頁\編輯于星期五主元分析（PCA）的幾何解釋

現(xiàn)在是8頁\一共有25頁\編輯于星期五

設有n個樣品，每個樣品有兩個觀測變量x1和x2，在由變量x1和x2所定的二維平面中，n個樣本點所散布的情況如橢圓狀。

如圖可以看出這n個樣本點無論是沿著x1軸的方向還是x2軸方向都具有較大的離散型，其離散的程度可以分別用觀測變量x1的方差和x2的方差定量地表示。顯然，如果只考慮x1和x2中的任何一個，那么包含在原始數(shù)據(jù)中的信息將會有較大的損失。主元分析（PCA）的幾何解釋現(xiàn)在是9頁\一共有25頁\編輯于星期五

主元分析（PCA）的幾何解釋現(xiàn)在是10頁\一共有25頁\編輯于星期五

主元分析（PCA）的幾何解釋如果我們將x1軸和x2軸先平移，再同時按逆時針方向旋轉(zhuǎn)角度，得到新坐標軸F1和F2。F1和F2是兩個新變量。旋轉(zhuǎn)變換的目的是為了使n個樣品點在F1軸方向上的離散程度最大，即F1的方差最大。變量F1代表了原始數(shù)據(jù)的絕大部分信息，在研究某些問題時，即使不考慮變量F2也無損大局。經(jīng)過上述變換，原始數(shù)據(jù)的大部分信息集中到F1軸上，對數(shù)據(jù)中包含的信息起到了濃縮作用?，F(xiàn)在是11頁\一共有25頁\編輯于星期五

主元分析（PCA）的幾何解釋

為旋轉(zhuǎn)變換矩陣，它是正交矩陣，則有F1，F(xiàn)2除了可以對包含在X1，X2中的信息起著濃縮作用之外，還具有不相關的性質(zhì)，這就使得在研究復雜問題時避免了信息重疊所帶來的虛假性。二維平面上的n個點的方差大部分都歸結(jié)在F1軸上，而F2軸上的方差很小。F1和F2成為原始變量x1和x2的綜合變量。F簡化了系統(tǒng)結(jié)構(gòu)，抓主了主要矛盾?，F(xiàn)在是12頁\一共有25頁\編輯于星期五

主元分析（PCA）的一般化模型一般化，假設我們所討論的實際問題中，有p個指標，我們把這p個指標看作p個隨機變量，記為X1,X2,…XP,主要成分分析就是要把這p個指標的問題，轉(zhuǎn)變?yōu)橛懻損個指標的線性組合的問題，而這些新的指標F1,F2,…，F(xiàn)k（k<=p），按照保留主要信息量的原則充分反映原指標的信息，并且相互獨立。建立新指標的過程也就是實現(xiàn)降維的過程。主成分分析通常的做法是，尋求原指標的線性組合Fi：

現(xiàn)在是13頁\一共有25頁\編輯于星期五

主元分析（PCA）的一般化模型模型滿足如下條件：每個主成分的系數(shù)平方和為1，即主成分之間相互獨立，即無重疊的信息：主成分的方差依次遞減，重要性依次遞減：現(xiàn)在是14頁\一共有25頁\編輯于星期五

主元分析（PCA）的步驟（含例子）

接下來，用一個實例來陳述主元分析的具體步驟：第一步：獲得數(shù)據(jù)

在簡單的例子中，使用自己制作的2維數(shù)據(jù)：x=[2.5,0.5,2.2,1.9,3.1,2.3,2.0,1.0,1.5,1.1]T

y=[2.4,0.7,2.9,2.2,3.0,2.7,1.6,1.1,1.6,0.9]T第二步：減去均值

要使PCA正常工作，必須減去數(shù)據(jù)的均值。減去的均值為每一維的平均，所有的x值都要減去，同樣所有的y值都要減去，這樣處理后的數(shù)據(jù)都具有0均值。x=[0.69,-1.31,0.39,0.09,1.29,0.49,0.19,-0.81,-0.31,-0.71]Ty=[0.49,-1.21,0.99,0.29,1.09,0.79,-0.31,-0.81,-0.31,-1.01]T;現(xiàn)在是15頁\一共有25頁\編輯于星期五

主元分析（PCA）的步驟（含例子）

第三步：計算協(xié)方差矩陣

因為數(shù)據(jù)是2維的，它的協(xié)方差矩陣就是2X2維的,這里直接給出結(jié)果：因為非對角元素是正的，我們可以期望和變量一起增大。第四步：計算協(xié)方差矩陣的特征矢量和特征值（確定主元以及變換矩陣）

因為協(xié)方差矩陣為方陣，我們可以計算它的特征矢量和特征值，它可以告訴我們數(shù)據(jù)的有用信息。我們數(shù)據(jù)的特征值和特征矢量分別為:現(xiàn)在是16頁\一共有25頁\編輯于星期五

主元分析（PCA）的步驟（含例子）

第五步：選擇成分組成模式矢量現(xiàn)在可以進行數(shù)據(jù)壓縮降低維數(shù)了。事實上，可以證明對應最大特征值的特征矢量就是數(shù)據(jù)的主成分。在我們的例子中，對應大特征值的特征矢量就是那條穿過數(shù)據(jù)中間的矢量，它是數(shù)據(jù)維數(shù)之間最大的關聯(lián)。一般地，從協(xié)方差矩陣找到特征矢量以后，下一步就是按照特征值由大到小進行排列，這將給出成分的重要性級別。如果條件允許，可以忽略那些重要性很小的成分，當然這會丟失一些信息，但是如果對應的特征值很小，不會丟失很多信息。如果你已經(jīng)忽略了一些成分，那么最后的數(shù)據(jù)集將有更少的維數(shù)，精確地說，如果原始數(shù)據(jù)是n維的，選擇了前p個主要成分，那么現(xiàn)在的數(shù)據(jù)將僅有p維。接下來需要組成一個模式矢量，它由所有特征矢量構(gòu)成，每一個特征矢量是這個矩陣的一列。用兩個特征矢量組成模式矢量：

現(xiàn)在是17頁\一共有25頁\編輯于星期五

主元分析（PCA）的步驟（含例子）

忽略其中較小特征值的一個特征矢量，剩下特征值大的特征向量：

第六步：獲得新數(shù)據(jù)PCA最后一步，簡單地對其進行轉(zhuǎn)置，并將其左乘原始數(shù)據(jù)的轉(zhuǎn)置：

得到的結(jié)果為：x=[-0.828,1.778,-0.992,-2.742,-1.676,-0.913,0.099,1.145,0.438,1.224]T其中rowFeatureVector是由特征矢量作為列組成的矩陣的轉(zhuǎn)置，因此它的行就是原來的特征矢量，而且對應最大特征值的特征矢量在該矩陣的最上一行。rowdataAdjust是減去均值后的數(shù)據(jù)，即數(shù)據(jù)項目在每一列中，每一行就是一維。FinalData是最后得到的數(shù)據(jù)。原始數(shù)據(jù)有兩個軸（x和y），原始數(shù)據(jù)按這兩個軸分布。PCA將數(shù)據(jù)從原來的x、y軸表達變換為現(xiàn)在的單個特征矢量表達?，F(xiàn)在是18頁\一共有25頁\編輯于星期五

主元分析（PCA）的步驟（含例子）

如果想恢復原來的數(shù)據(jù)，可以進行逆運算：

現(xiàn)在是19頁\一共有25頁\編輯于星期五

基于主元分析（PCA）的測量數(shù)據(jù)模型

現(xiàn)在是20頁\一共有25頁\編輯于星期五

基于主元分析（