2022-2023學(xué)年上海理工大附中數(shù)學(xué)高一下期末聯(lián)考模擬試題含解析

2022-2023學(xué)年高一下數(shù)學(xué)期末模擬試卷注意事項(xiàng):1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無(wú)效；在草稿紙、試卷上答題無(wú)效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．對(duì)于數(shù)列，定義為數(shù)列的“好數(shù)”，已知某數(shù)列的“好數(shù)”，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，若對(duì)任意的恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．2．函數(shù)的部分圖像如圖所示，則當(dāng)時(shí)，的值域是（）A． B．C． D．3．圓x-12+y-3A．1 B．2 C．2 D．34．在中，角所對(duì)的邊分別為，若，則此三角形（）A．無(wú)解 B．有一解 C．有兩解 D．解的個(gè)數(shù)不確定5．一組數(shù)平均數(shù)是，方差是，則另一組數(shù)，的平均數(shù)和方差分別是（）A． B．C． D．6．已知點(diǎn)P為圓上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)P點(diǎn)作圓O的切線與圓相交于兩點(diǎn)A,B，則的最大值為（）A． B．5 C． D．7．設(shè)復(fù)數(shù)（是虛數(shù)單位），則在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A． B． C． D．8．圓與圓的位置關(guān)系是（）A．相離 B．相交 C．相切 D．內(nèi)含9．在平面直角坐標(biāo)系中，過(guò)點(diǎn)的直線與軸的正半軸，軸的正半軸分別交于兩點(diǎn)，則的面積的最小值為（）A．1 B．2 C．3 D．410．將數(shù)列中的所有項(xiàng)排成如下數(shù)陣:其中每一行項(xiàng)數(shù)是上一行項(xiàng)數(shù)的倍，且從第二行起每-行均構(gòu)成公比為的等比數(shù)列，記數(shù)陣中的第列數(shù)構(gòu)成的數(shù)列為，為數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則等于()A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知函數(shù)的最小正周期為，且的圖象過(guò)點(diǎn)，則方程所有解的和為________.12．已知向量，若，則________.13．如圖甲是第七屆國(guó)際數(shù)學(xué)教育大會(huì)（簡(jiǎn)稱）的會(huì)徽?qǐng)D案，會(huì)徽的主體圖案是由如圖乙的一連串直角三角形演化而成的，其中，如果把圖乙中的直角三角形繼續(xù)作下去，記的長(zhǎng)度構(gòu)成數(shù)列，則此數(shù)列的通項(xiàng)公式為_____．14．在中，，，，點(diǎn)在線段上，若，則的面積是_____．15．在中，為邊中點(diǎn)，且，，則______.16．若角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則______.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．在中，角所對(duì)的邊分別為，滿足（1）求的值；（2）若，求b的取值范圍.18．在中，內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊分別為，，，已知．（Ⅰ）求角B的大??；（Ⅱ）設(shè)，，求．19．已知一個(gè)幾何體是由一個(gè)直角三角形繞其斜邊旋轉(zhuǎn)一周所形成的．若該三角形的周長(zhǎng)為12米，三邊長(zhǎng)由小到大依次為a，b，c，且b恰好為a，c的算術(shù)平均數(shù)．（1）求a，b，c；（2）若在該幾何體的表面涂上一層油漆，且每平方米油漆的造價(jià)為5元，求所涂的油漆的價(jià)格．20．在數(shù)列中，，.（1）分別計(jì)算，，的值；（2）由（1）猜想出數(shù)列的通項(xiàng)公式，并用數(shù)學(xué)歸納法加以證明.21．已知向量，，且函數(shù).若函數(shù)的圖象上兩個(gè)相鄰的對(duì)稱軸距離為.（Ⅰ)求函數(shù)的解析式；（Ⅱ)若方程在時(shí)，有兩個(gè)不同實(shí)數(shù)根，，求實(shí)數(shù)的取值范圍，并求出的值；（Ⅲ)若函數(shù)在的最大值為2，求實(shí)數(shù)的值.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、B【解析】分析：由題意首先求得的通項(xiàng)公式，然后結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)得到關(guān)于k的不等式組，求解不等式組即可求得最終結(jié)果.詳解：由題意,，則，很明顯n?2時(shí),，兩式作差可得：，則an=2(n+1),對(duì)a1也成立，故an=2(n+1)，則an?kn=(2?k)n+2，則數(shù)列{an?kn}為等差數(shù)列，故Sn?S6對(duì)任意的恒成立可化為：a6?6k?0,a7?7k?0；即，解得：.實(shí)數(shù)的取值范圍為.本題選擇B選項(xiàng).點(diǎn)睛：“新定義”主要是指即時(shí)定義新概念、新公式、新定理、新法則、新運(yùn)算五種，然后根據(jù)此新定義去解決問(wèn)題，有時(shí)還需要用類比的方法去理解新的定義，這樣有助于對(duì)新定義的透徹理解.對(duì)于此題中的新概念，對(duì)閱讀理解能力有一定的要求.但是，透過(guò)現(xiàn)象看本質(zhì)，它們考查的還是基礎(chǔ)數(shù)學(xué)知識(shí)，所以說(shuō)“新題”不一定是“難題”，掌握好三基，以不變應(yīng)萬(wàn)變才是制勝法寶.2、D【解析】如圖，，得，則，又當(dāng)時(shí)，，得，又，得，所以，當(dāng)時(shí)，，所以值域?yàn)?，故選D．點(diǎn)睛：本題考查由三角函數(shù)的圖象求解析式．本題中，先利用周期求的值，然后利用特殊點(diǎn)（一般從五點(diǎn)內(nèi)?。┣蟮闹?，最后根據(jù)題中的特殊點(diǎn)求的值．值域的求解利用整體思想．3、C【解析】

先計(jì)算圓心到y(tǒng)軸的距離，再利用勾股定理得到弦長(zhǎng).【詳解】x-12+y-32=2圓心到y(tǒng)軸的距離d=1弦長(zhǎng)l=2r故答案選C【點(diǎn)睛】本題考查了圓的弦長(zhǎng)公式，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.4、C【解析】

利用正弦定理求，與比較的大小，判斷B能否取相應(yīng)的銳角或鈍角.【詳解】由及正弦定理，得，，B可取銳角；當(dāng)B為鈍角時(shí)，，由正弦函數(shù)在遞減，，可取.故選C.【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理，解三角形中何時(shí)無(wú)解、一解、兩解的條件判斷，屬于中檔題.5、B【解析】

直接利用公式：平均值方差為，則的平均值和方差為：得到答案.【詳解】平均數(shù)是，方差是，的平均數(shù)為：方差為：故答案選B【點(diǎn)睛】本題考查了平均數(shù)和方差的計(jì)算：平均數(shù)是，方差是，則的平均值和方差為：.6、A【解析】

作交于，連接設(shè)，得，，進(jìn)而，換元，得，通過(guò)求得的范圍即可求解【詳解】作交于，連接設(shè)，則，∴取，∴.顯然易知令，，當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍?hào)成立；此時(shí)∴故選A【點(diǎn)睛】本題考查圓的幾何性質(zhì)，切線的應(yīng)用，弦長(zhǎng)公式，考查函數(shù)最值得求解，考查換元思想，是難題7、A【解析】，所以復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，故選A.8、B【解析】

計(jì)算圓心距，判斷與半徑和差的關(guān)系得到位置關(guān)系.【詳解】圓心距相交故答案選B【點(diǎn)睛】本題考查了兩圓的位置關(guān)系，判斷圓心距與半徑和差的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.9、B【解析】

利用直線的方程過(guò)點(diǎn)分別與軸的正半軸，軸的正半軸分別交于兩點(diǎn)，可得：，，結(jié)合基本不等式的性質(zhì)即可得出.【詳解】在平面直角坐標(biāo)系中，過(guò)點(diǎn)的直線與軸的正半軸，軸的正半軸分別交于兩點(diǎn)，且構(gòu)成，所以，直線斜率一定存在，設(shè)，，：，，則有：，，解得，當(dāng)且僅當(dāng)：，即時(shí)，等號(hào)成立，的面積為：.故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了直線的截距式方程、基本不等式求最值，注意驗(yàn)證等號(hào)成立的條件，屬于基礎(chǔ)題.10、C【解析】

先確定為第11行第2個(gè)數(shù)，由可得，最后根據(jù)從第二行起每一行均構(gòu)成公比為的等比數(shù)列即可得出結(jié)論．【詳解】∵其中每一行項(xiàng)數(shù)是上一行項(xiàng)數(shù)的倍，第一行有一個(gè)數(shù)，前10行共計(jì)個(gè)數(shù)，即為第11行第2個(gè)數(shù)，又∵第列數(shù)構(gòu)成的數(shù)列為，，∴當(dāng)時(shí)，，∴第11行第1個(gè)數(shù)為108，∴，故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)列的性質(zhì)和應(yīng)用，本題解題的關(guān)鍵是為第11行第2個(gè)數(shù)，屬于中檔題．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

由周期求出，由圖象的所過(guò)點(diǎn)的坐標(biāo)求得，【詳解】由題意，又，且，∴，，由得或，又，，∴或，或，兩根之和為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查求三角函數(shù)的解析式，考查解三角方程．掌握正切函數(shù)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．12、【解析】

直接利用向量平行性質(zhì)得到答案.【詳解】，若故答案為【點(diǎn)睛】本題考查了向量平行的性質(zhì)，屬于簡(jiǎn)單題.13、【解析】

由圖可知，由勾股定理可得,利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求解即可.【詳解】根據(jù)圖形，因?yàn)槎际侵苯侨切危?是以1為首項(xiàng)，以1為公差的等差數(shù)列，，，故答案為.【點(diǎn)睛】本題主要考查歸納推理的應(yīng)用，等差數(shù)列的定義與通項(xiàng)公式，以及數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，意在考查綜合應(yīng)用所學(xué)知識(shí)解答問(wèn)題的能力，屬于與中檔題.14、【解析】

過(guò)作于，設(shè)，運(yùn)用勾股定理和三角形的面積公式，計(jì)算可得所求值．【詳解】過(guò)作于，設(shè)，，，，又，可得，即有，可得的面積為．故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查解三角形，考查勾股定理的運(yùn)用，以及三角形的面積公式，考查化簡(jiǎn)運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．15、0【解析】

根據(jù)向量，，取模平方相減得到答案.【詳解】?jī)蓚€(gè)等式平方相減得到：故答案為0【點(diǎn)睛】本題考查了向量的加減，模長(zhǎng)，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.16、【解析】

利用三角函數(shù)的定義可計(jì)算出，然后利用誘導(dǎo)公式可計(jì)算出結(jié)果.【詳解】由三角函數(shù)的定義可得，由誘導(dǎo)公式可得.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查利用三角函數(shù)的定義和誘導(dǎo)公式求值，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1)(2)【解析】

（1）代入條件化簡(jiǎn)得，再由同角三角函數(shù)基本關(guān)系求出；（2）利用余弦定理、，把表示成關(guān)于的二次函數(shù).【詳解】（1），，即，，，又，解得：.（2），可得，由余弦定理可得：，，所以b的取值范圍為.【點(diǎn)睛】對(duì)于運(yùn)動(dòng)變化問(wèn)題，常用函數(shù)與方程的思想進(jìn)行研究，所以自然而然想到構(gòu)造以是關(guān)于或的函數(shù).18、（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】

（Ⅰ）在△ABC中，利用正弦定理及其．可得，利用和差公式化簡(jiǎn)整理可得B．（Ⅱ）在△ABC中，利用余弦定理即可得出b．【詳解】（Ⅰ）在△ABC中，由正弦定理，又．可得，∴sinBcosBsinB，則．又∵B∈（0，π），可得．（Ⅱ）在△ABC中，由余弦定理及a＝2，c＝3，，∴b2＝a2+c2﹣2accosB＝4+9﹣2×2×3×cos7，解得．【點(diǎn)睛】本題考查了正弦定理、余弦定理、和差公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．19、（1）3，4，1；（2）元．【解析】

（1）由題意，根據(jù)周長(zhǎng)、三邊關(guān)系、勾股定理，a，b，c，建立方程組，解得即可.（2）根據(jù)題意，旋轉(zhuǎn)得到的幾何體為由底面半徑為米，母線長(zhǎng)分別為米3和4米的兩個(gè)圓錐所組成的幾何體，計(jì)算幾何體的表面積再乘單價(jià)即可求解.【詳解】（1）由題意得，，所以，又，且，二者聯(lián)立解得，，所以a，b，c的值分別為3，4，1．（2）繞其斜邊旋轉(zhuǎn)一周得到的幾何體為由底面半徑為米，母線長(zhǎng)分別為米3和4米的兩個(gè)圓錐所組成的幾何體，故其表面積為平方米．因?yàn)槊科椒矫子推岬脑靸r(jià)為1元，所以所涂的油漆的價(jià)格為元．所涂的油漆的價(jià)格為：元．【點(diǎn)睛】本題考查三角形三邊關(guān)系及旋轉(zhuǎn)體表面積的應(yīng)用，考查計(jì)算能力與空間想象能力，屬于基礎(chǔ)題.20、(1),；

(2),證明見解析【解析】

(1)分別令即可運(yùn)算得出，，的值；(2)由(1)可猜想出,當(dāng)時(shí)成立,再假設(shè)當(dāng)時(shí),成立,再利用推導(dǎo)出即可.【詳解】(1)令有；

令有；

令有所以，，(2)由(1)可得,,,,故可猜想.證明：當(dāng)時(shí),成立；假設(shè)當(dāng)時(shí),成立,且即當(dāng)時(shí),,即,化簡(jiǎn)得,,即也滿足,當(dāng)時(shí)成立,故對(duì)于任意的,有,證畢.所以.【點(diǎn)睛】本題主要考查了數(shù)學(xué)歸納法的運(yùn)用，其中步驟為：(1)證明當(dāng)取第一個(gè)值時(shí)命題成立.對(duì)于一般數(shù)列取值為0或1；(2)假設(shè)當(dāng)()且為自然數(shù)）時(shí)命題成立,證明當(dāng)時(shí)命題也成立.

綜合(1)(2),對(duì)一切自然數(shù),命題都成立.21、（Ⅰ)；（Ⅱ)，；（Ⅲ）或【解析】

（Ⅰ)根據(jù)三角恒等變換公式化簡(jiǎn)，根據(jù)周期計(jì)算，從而得出的解析式；（Ⅱ)求出在，上的單調(diào)性，計(jì)算最值和區(qū)間端點(diǎn)函數(shù)值，從而得出的范圍，根據(jù)對(duì)稱性得出的值；（Ⅲ）令，求出的范圍和關(guān)于的二次函數(shù)，討論二次函數(shù)單調(diào)性，根據(jù)最大值列方程求出的值．【詳解】（Ⅰ）∵，，∴若函數(shù)的圖象上兩個(gè)相鄰的對(duì)稱軸距