知識點1-向量組及其線性相關(guān)性

知識點4向量的線性相關(guān)性1、向量組的線性相關(guān)性1）.向量組線性相關(guān)的概念定義：給定向量組A:a1,a2,,am,若存在不全為零的數(shù)k1,k2,,km,使k11k22kmm0則稱向量組A是線性相關(guān)的.否則稱它為線性無關(guān).注1向量組a1,,am線性無關(guān)1n0時,才有1122nn0.注2對于一個向量組,不是線性相關(guān),就是線性無關(guān).注3只含一個向量a的向量組,若a0,則它線性相關(guān);若a0,則它線性無關(guān).注4任一含有零向量的向量組線性相關(guān).注5兩個向量線性相關(guān)的充要條件是其對應(yīng)分量成比例.注6兩向量線性相關(guān)的幾何意義是兩個向量共線;三個向量線性相關(guān)的幾何意義是三個向量共面.2）.向量組線性相關(guān)的條件定理1向量組 1,2, , m線性相關(guān)的充分必要條件是它所構(gòu)成的矩陣A (1, 2, , m)的秩小于向量的個數(shù) m（R(A) m）；向量組 1,2, ,m線性無關(guān)的充分必要條件是它所構(gòu)成的矩陣 A (1, 2, , m)的秩等于向量的個數(shù) mR(A)m）.可以總結(jié)為：向量組A:a1,a2,,am線性相關(guān)有不全為零的數(shù)k1,k2,,km使k11k22kmm0.齊次線性方程組1x12x2mxm0有非零解.R(A)m,其中A(a1,a2,,am).向量組A:a1,a2,,am線性無關(guān)齊次線性方程組1x12x2mxm0只有零解.R(A)m,其中A(a1,a2,,am).推論1m個m維向量組a1,a2,,am線性相關(guān)A0,其中A(a1,a2,,am).100例1證明n維單位坐標向量組e1010線性無關(guān).,e2,,en0011k10證法一設(shè)k1e1k2e2knen0,則由k1e1k2e2k20knenkn0知,k1kn0,故n維單位向量組e1,e2,,en線性無關(guān).100證法二A(e1,e2,,en)010001R(A)nn維單位向量組e1,e2,,en線性無關(guān).102例2已知a11，a22，a34，及向量組a1,a2的線性相關(guān)討論向量組a1,a2,a3157性.102102解A(a1,a2,a3)124~022157000R(a1,a2)R(a1,a2,a3)2向量組向量組a1,a2,a3線性相關(guān),而向量組a1,a2的線性無關(guān).例3設(shè)向量組a1,a2,a3線性無關(guān),b1a1a2,b2a2a3,b3a3a1,討論向量組b1,b2,b3的線性相關(guān)性.解法一設(shè)存在x1,x2,x3使x1b1x2b2x3b30,即x（1）x(23)x(31)0,亦即1223（x1x3)1(x1x2)2(x2x3)30.1，2，3線性無關(guān)x1x30x1x20(1)x2x3010111020011方程組(1)只有零解 x1 x2 x3 0向量組b1,b2,b3線性無關(guān).1 0 1解法二 記A (a1,a2,a3),B (b1,b2,b3),K 1 1 00 1 121 0 1(b1,b2,b3) (a1,a2,a3)1 1 00 1 1B AKK 2 0R(A) R(B)向量組a1,a2,a3線性無關(guān)R(A) 3R(B) 3向量組b1,b2,b3線性無關(guān).向量組線性相關(guān)的性質(zhì)性質(zhì)1向量組A:a1,a2,,am(m1)線性相關(guān)A中至少有一個向量可由其余向量線性表示.證明設(shè)向量組A:a1,a2, ,am線性相關(guān),則有不全為零的數(shù) k1,k2, ,km使k11 k22 km m 0不妨設(shè)k10,則1k2k3km,即a1可由a2,,am線性表k123mk1k1示;反之,設(shè)向量組A中有一個向量可由其余m1個向量線性表示,不妨設(shè)為am,則存在實數(shù)1,2,,m1使am1122m1m1,故1122m1m11am0.因為1,2,,m1,1這m個數(shù)不全為零,所以向量組A線性相關(guān).性質(zhì)2若向量組A:a1,a2,,am線性相關(guān),則向量組B:a1,a2,,am,am1也線性相關(guān);反之,若向量組B:a1,a2,,am,am1也線性無關(guān),則向量組A:a1,a2,,am也線性無關(guān).注1性質(zhì)1的結(jié)論可以簡述為:部分相關(guān)則整體相關(guān),整體無關(guān)則部分無關(guān).證明記A(a1,a2,,am)B(a1,,am,am1),則R(B)R(A)1.由于若向量組A線性相關(guān),故R(A)m,于是R(B)R(A)1m1,從而向量組B線性相關(guān).a11a12a1m性質(zhì)3若n維向量組A:a1a21,a2a22,,ama2m線性無關(guān),則ns維向量組an1an2anm3a11a12a1ma21a22a2mB:b1an1,b2an2,,bmanm也線性無關(guān).b11b12b1mbs1bs2bsm注2性質(zhì)2可簡述為:無關(guān)組添加分量后仍無關(guān);反言之,相關(guān)組減少分量后仍相關(guān).A線性證明記A(a1,a2,,am),B1,2,m,則R(A)R(B)m.由于向量組(bb,b)無關(guān),故R(A)m,于是R(B)m,從而向量組B線性無關(guān).性質(zhì)4當mn時,m個n維向量線性相關(guān).注3性質(zhì)3可簡述為:向量個數(shù)大于維數(shù)時必線性相關(guān).證明記m個n維向量a1,a2,,am構(gòu)成矩陣Amn(a1,a2,,am),則R(A)nm,故向量組a1,a2,,am線性相關(guān).性質(zhì)5若向量組A:a1,a2,,am線性無關(guān),而向量組B:a1,a2,,am,b線性相關(guān),則向量b可由向量組A線性表示,且表示方式是惟一的.證明記A(a1,a2,,am)B(a1,,am,b).由于向量組A線性無關(guān),故R(A)m,又R(B)R(A)m;由向量組B線性相關(guān)知R(B)m1.于是mR(B)m1,所以R(A)R(B)m,方程組Axb有唯一解.這表明向量b可由向量組A線性表示,且表示方式是惟一的.例4設(shè)向量組a1,a2,a3線性相關(guān),而向量組a2,a3,a4線性無關(guān),證明a1能由a2,a3線性表示;a4不能由a1,a2,a