橢圓性質(zhì)大全（92條含證明）

橢圓1.2.標準方程3.4．點P處的切線PT平分△PF1F2在點P處的外角5．PT平分△PF1F2在點P處的外角，則焦點在直線PT上的射影H點的軌跡是以長軸為直徑的圓，除去長軸的兩個端點6．以焦點弦PQ為直徑的圓必與對應(yīng)準線相離.7．以焦點半徑PF1為直徑的圓必與以長軸為直徑的圓內(nèi)切.8．設(shè)A1、A2為橢圓的左、右頂點，則△PF1F2在邊PF2（或PF1）上的旁切圓，必與A1A2所在的直線切于A2（或A19．橢圓（a＞b＞0）的兩個頂點為,，與y軸平行的直線交橢圓于P1、P2時A1P1與A2P2交點的軌跡方程是.10．若在橢圓上，則過的橢圓的切線方程是.11．若在橢圓外，則過Po作橢圓的兩條切線切點為P1、P2，則切點弦P1P2的直線方程是.12．AB是橢圓的不平行于對稱軸的弦，M為AB的中點，則.13．若在橢圓內(nèi)，則被Po所平分的中點弦的方程是.14．若在橢圓內(nèi)，則過Po的弦中點的軌跡方程是.15．若PQ是橢圓（a＞b＞0）上對中心張直角的弦，則.16．若橢圓（a＞b＞0）上中心張直角的弦L所在直線方程為,則(1);(2).17．給定橢圓：（a＞b＞0）,：,則(i)對上任意給定的點,它的任一直角弦必須經(jīng)過上一定點M.(ii)對上任一點在上存在唯一的點,使得的任一直角弦都經(jīng)過點.18．設(shè)為橢圓（或圓）C:(a＞0,.b＞0)上一點，P1P2為曲線C的動弦,且弦PP1,PP2斜率存在，記為k1,k2,則直線P1P2通過定點的充要條件是.19．過橢圓(a＞0,b＞0)上任一點任意作兩條傾斜角互補的直線交橢圓于B,C兩點，則直線BC有定向且（常數(shù)）.20．橢圓(a＞b＞0)的左右焦點分別為F1，F(xiàn)2，點P為橢圓上任意一點，則橢圓的焦點三角形的面積為，.21．若P為橢圓（a＞b＞0）上異于長軸端點的任一點,F1,F2是焦點,,，則.22．橢圓（a＞b＞0）的焦半徑公式：,(,，).23．若橢圓（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F1、F2，左準線為L，則當時，可在橢圓上求一點P，使得PF1是P到對應(yīng)準線距離d與PF2的比例中項.24．P為橢圓（a＞b＞0）上任一點,F1,F2為二焦點，A為橢圓內(nèi)一定點，則,當且僅當三點共線時，等號成立.25．橢圓（a＞b＞0）上存在兩點關(guān)于直線：對稱的充要條件是.26．過橢圓焦半徑的端點作橢圓的切線，與以長軸為直徑的圓相交，則相應(yīng)交點與相應(yīng)焦點的連線必與切線垂直.27．過橢圓焦半徑的端點作橢圓的切線交相應(yīng)準線于一點，則該點與焦點的連線必與焦半徑互相垂直.28．P是橢圓（a＞b＞0）上一點，則點P對橢圓兩焦點張直角的充要條件是.29．設(shè)A,B為橢圓上兩點，其直線AB與橢圓相交于,則.30．在橢圓中，定長為2m（o＜m≤a）的弦中點軌跡方程為,其中,當時,.31．設(shè)S為橢圓（a＞b＞0）的通徑，定長線段L的兩端點A,B在橢圓上移動，記|AB|=，是AB中點，則當時，有,);當時，有,.32．橢圓與直線有公共點的充要條件是.33．橢圓與直線有公共點的充要條件是.34．設(shè)橢圓（a＞b＞0）的兩個焦點為F1、F2,P（異于長軸端點）為橢圓上任意一點，在△PF1F2中，記,,，則有.35．經(jīng)過橢圓（a＞b＞0）的長軸的兩端點A1和A2的切線，與橢圓上任一點的切線相交于P1和P2，則.36．已知橢圓（a＞b＞0），O為坐標原點，P、Q為橢圓上兩動點，且.（1）;（2）|OP|2+|OQ|2的最小值為;（3）的最小值是.37．MN是經(jīng)過橢圓（a＞b＞0）焦點的任一弦，若AB是經(jīng)過橢圓中心O且平行于MN的弦，則.38．MN是經(jīng)過橢圓（a＞b＞0）焦點的任一弦，若過橢圓中心O的半弦，則.39．設(shè)橢圓（a＞b＞0）,M(m,o)或(o,m)為其對稱軸上除中心，頂點外的任一點，過M引一條直線與橢圓相交于P、Q兩點，則直線A1P、A2Q(A1,A2為對稱軸上的兩頂點)的交點N在直線：(或)上.40．設(shè)過橢圓焦點F作直線與橢圓相交P、Q兩點，A為橢圓長軸上一個頂點，連結(jié)AP和AQ分別交相應(yīng)于焦點F的橢圓準線于M、N兩點，則MF⊥NF.41．過橢圓一個焦點F的直線與橢圓交于兩點P、Q,A1、A2為橢圓長軸上的頂點，A1P和A2Q交于點M，A2P和A1Q交于點N，則MF⊥NF.42．設(shè)橢圓方程,則斜率為k(k≠0)的平行弦的中點必在直線：的共軛直線上,而且.43．設(shè)A、B、C、D為橢圓上四點,AB、CD所在直線的傾斜角分別為，直線AB與CD相交于P,且P不在橢圓上,則.44．已知橢圓（a＞b＞0）,點P為其上一點F1,F2為橢圓的焦點，的外（內(nèi)）角平分線為，作F1、F2分別垂直于R、S，當P跑遍整個橢圓時，R、S形成的軌跡方程是().45．設(shè)△ABC內(nèi)接于橢圓，且AB為的直徑，為AB的共軛直徑所在的直線，分別交直線AC、BC于E和F，又D為上一點，則CD與橢圓相切的充要條件是D為EF的中點.46．過橢圓（a＞b＞0）的右焦點F作直線交該橢圓右支于M,N兩點，弦MN的垂直平分線交x軸于P，則.47．設(shè)A（x1,y1）是橢圓（a＞b＞0）上任一點，過A作一條斜率為的直線L，又設(shè)d是原點到直線L的距離,分別是A到橢圓兩焦點的距離，則.48．已知橢圓（a＞b＞0）和（），一直線順次與它們相交于A、B、C、D四點，則│AB│=|CD│.49．已知橢圓（a＞b＞0） ,A、B、是橢圓上的兩點，線段AB的垂直平分線與x軸相交于點,則.50．設(shè)P點是橢圓（a＞b＞0）上異于長軸端點的任一點,F1、F2為其焦點記，則(1).(2).51．設(shè)過橢圓的長軸上一點B（m,o）作直線與橢圓相交于P、Q兩點，A為橢圓長軸的左頂點，連結(jié)AP和AQ分別交相應(yīng)于過H點的直線MN：于M，N兩點,則.52．L是經(jīng)過橢圓（a＞b＞0）長軸頂點A且與長軸垂直的直線，E、F是橢圓兩個焦點，e是離心率,點，若，則是銳角且或（當且僅當時取等號）.53．L是橢圓（a＞b＞0）的準線，A、B是橢圓的長軸兩頂點,點，e是離心率，，H是L與X軸的交點c是半焦距，則是銳角且或（當且僅當時取等號）.54．L是橢圓（a＞b＞0）的準線，E、F是兩個焦點，H是L與x軸的交點，點，,離心率為e，半焦距為c，則為銳角且或（當且僅當時取等號）.55．已知橢圓（a＞b＞0），直線L通過其右焦點F2,且與橢圓相交于A、B兩點，將A、B與橢圓左焦點F1連結(jié)起來，則（當且僅當AB⊥x軸時右邊不等式取等號，當且僅當A、F1、B三點共線時左邊不等式取等號）.56．設(shè)A、B是橢圓（a＞b＞0）的長軸兩端點，P是橢圓上的一點，,,，c、e分別是橢圓的半焦距離心率，則有(1).(2).(3).57．設(shè)A、B是橢圓（a＞b＞0）長軸上分別位于橢圓內(nèi)（異于原點）、外部的兩點，且、的橫坐標，（1）若過A點引直線與這橢圓相交于P、Q兩點，則；（2）若過B引直線與這橢圓相交于P、Q兩點，則.58．設(shè)A、B是橢圓（a＞b＞0）長軸上分別位于橢圓內(nèi)（異于原點），外部的兩點，（1）若過A點引直線與這橢圓相交于P、Q兩點，（若BP交橢圓于兩點，則P、Q不關(guān)于x軸對稱），且，則點A、B的橫坐標、滿足；（2）若過B點引直線與這橢圓相交于P、Q兩點，且,則點A、B的橫坐標滿足.59．設(shè)是橢圓的長軸的兩個端點，是與垂直的弦，則直線與的交點P的軌跡是雙曲線.60．過橢圓（a＞b＞0）的左焦點作互相垂直的兩條弦AB、CD則.61．到橢圓（a＞b＞0）兩焦點的距離之比等于（c為半焦距）的動點M的軌跡是姊妹圓.62．到橢圓（a＞b＞0）的長軸兩端點的距離之比等于（c為半焦距）的動點M的軌跡是姊妹圓.63．到橢圓（a＞b＞0）的兩準線和x軸的交點的距離之比為（c為半焦距）的動點的軌跡是姊妹圓（e為離心率）.64．已知P是橢圓（a＞b＞0）上一個動點，是它長軸的兩個端點,且,，則Q點的軌跡方程是.65．橢圓的一條直徑(過中心的弦)的長，為通過一個焦點且與此直徑平行的弦長和長軸之長的比例中項.66．設(shè)橢圓（a＞b＞0）長軸的端點為,是橢圓上的點過P作斜率為的直線，過分別作垂直于長軸的直線交于,則（1）.（2）四邊形面積的最小值是.67．已知橢圓（a＞b＞0）的右準線與x軸相交于點，過橢圓右焦點的直線與橢圓相交于A、B兩點,點在右準線上，且軸，則直線AC經(jīng)過線段EF的中點.68．OA、OB是橢圓（a＞0,b＞0）的兩條互相垂直的弦，O為坐標原點，則（1）直線AB必經(jīng)過一個定點.(2)以O(shè)A、OB為直徑的兩圓的另一個交點Q的軌跡方程是.69．是橢圓（a＞b＞0）上一個定點，PA、PB是互相垂直的弦，則（1）直線AB必經(jīng)過一個定點.（2）以PA、PB為直徑的兩圓的另一個交點Q的軌跡方程是(且).70．如果一個橢圓短半軸長為b，焦點F1、F2到直線的距離分別為d1、d2，那么（1），且F1、F2在

同側(cè)直線L和橢圓相切.（2），且F1、F2在L同側(cè)直線

和橢圓相離，（3），或F1、F2在L異側(cè)直線L和橢圓相交.71．AB是橢圓（a＞b＞0）的長軸，是橢圓上的動點，過的切線與過A、B的切線交于、兩點，則梯形ABDC的對角線的交點M的軌跡方程是.72．設(shè)點為橢圓（a＞b＞0）的內(nèi)部一定點，AB是橢圓過定點的任一弦，當弦AB平行（或重合）于橢圓長軸所在直線時.當弦AB垂直于長軸所在直線時,.73．橢圓焦三角形中,以焦半徑為直徑的圓必與以橢圓長軸為直徑的圓相內(nèi)切.74．橢圓焦三角形的旁切圓必切長軸于非焦頂點同側(cè)的長軸端點.75．橢圓兩焦點到橢圓焦三角形旁切圓的切線長為定值a+c與a-c.76．橢圓焦三角形的非焦頂點到其內(nèi)切圓的切線長為定值a-c.77．橢圓焦三角形中,內(nèi)點到一焦點的距離與以該焦點為端點的焦半徑之比為常數(shù)e(離心率).(注:在橢圓焦三角形中,非焦頂點的內(nèi)、外角平分線與長軸交點分別稱為內(nèi)、外點.)78．橢圓焦三角形中,內(nèi)心將內(nèi)點與非焦頂點連線段分成定比e.79．橢圓焦三角形中,半焦距必為內(nèi)、外點到橢圓中心的比例中項.80．橢圓焦三角形中,橢圓中心到內(nèi)點的距離、內(nèi)點到同側(cè)焦點的距離、半焦距及外點到同側(cè)焦點的距離成比例.81．橢圓焦三角形中,半焦距、外點與橢圓中心連線段、內(nèi)點與同側(cè)焦點連線段、外點與同側(cè)焦點連線段成比例.82．橢圓焦三角形中,過任一焦點向非焦頂點的外角平分線引垂線,則橢圓中心與垂足連線必與另一焦半徑所在直線平行.83．橢圓焦三角形中,過任一焦點向非焦頂點的外角平分線引垂線,則橢圓中心與垂足的距離為橢圓長半軸的長.84．橢圓焦三角形中,過任一焦點向非焦頂點的外角平分線引垂線,垂足就是垂足同側(cè)焦半徑為直徑的圓和橢圓長軸為直徑的圓的切點.85．橢圓焦三角形中,非焦頂點的外角平分線與焦半徑、長軸所在直線的夾角的余弦的比為定值e.86．橢圓焦三角形中,非焦頂點的法線即為該頂角的內(nèi)角平分線.87．橢圓焦三角形中,非焦頂點的切線即為該頂角的外角平分線.88．橢圓焦三角形中,過非焦頂點的切線與橢圓長軸兩端點處的切線相交,則以兩交點為直徑的圓必過兩焦點.89.已知橢圓(包括圓在內(nèi))上有一點,過點分別作直線及的平行線，與軸于，與軸交于.,為原點，則：（1）；（2）.90.過平面上的點作直線及的平行線，分別交軸于，交軸于.（1）若，則的軌跡方程是.(2)若，則的軌跡方程是.91.點為橢圓(包括圓在內(nèi))在第一象限的弧上任意一點，過引軸、軸的平行線，交軸、軸于，交直線于，記與的面積為，則：.92.點為第一象限內(nèi)一點，過引軸、軸的平行線，交軸、軸于，交直線于，記與的面積為，已知，則的軌跡方程是.橢圓性質(zhì)92條證明1.橢圓第一定義。2.由定義即可得橢圓標準方程。3.橢圓第二定義。4.如圖，設(shè)，切線PT（即）的斜率為k，所在直線斜率為，所在直線斜率為。4圖5圖由兩直線夾角公式得：同理可證其它情況。故切線PT平分點P處的外角。5.如圖，延長F1P至A，使PA=PF2，則是等腰三角形，AF2中點即為射影H2。則，同理可得，所以射影H1，H2的軌跡是以長軸為直徑的圓除去兩端點。6.設(shè)P，Q兩點到與焦點對應(yīng)的準線的距離分別為，以PQ中點到準線的距離為，以PQ為直徑的圓的半徑為r，則，故以PQ為直徑的圓與對應(yīng)準線相離。7圖8圖7.如圖，兩圓圓心距為，故兩圓內(nèi)切。8.如圖，由切線長定理：，而，與重合，故旁切圓與x軸切于右頂點，同理可證P在其他位置情況。9.10.在橢圓上，對求導(dǎo)得：切線方程為即11.設(shè)，由10得：，因為點在直線上，且同時滿足方程，所以12.作差得：13.由12可得：14..由12可得：15.設(shè)，則16.將直線AB代入橢圓方程中得：，設(shè)則，，17.設(shè)橢圓內(nèi)直角弦AB的方程為：即。當斜率k存在時，代入橢圓C1方程中得：設(shè)得，則即直線AB過定點，此點在C2上。當直線斜率不存在時，直線AB也過C2上的定點。由上可知C1和C2上點由此建立起一種一一對應(yīng)的關(guān)系，即證。18.必要性：設(shè)P1P2：。k存在時，代入橢圓方程中得：設(shè)得，k不存在時，P1P2：x=mx0則，必要性得證。充分性：設(shè)P1P2過定點，則P1P2：。代入橢圓方程得：設(shè)得，則注意到m≠1，解（1）（3）得，代入（2）式，成立。驗證k不存在的情況，也得到此結(jié)論。故過定點，充分性得證。19.設(shè)AB：即20.由余弦定理：21.由34：22.由第二定義得：23.24.25.設(shè)橢圓上的點關(guān)于對稱，。由12得：又在橢圓內(nèi)，若，則26.由5即可得證。27.設(shè)P，則切線，A27圖30圖28.29.設(shè)。聯(lián)立得：，由韋達定理：同理。則APBQ=而的符號一定相反，故==0。所以AP=BQ30.設(shè)，為AB中點。則而設(shè)，則解得，代入m2得：令得：所以定長為2m（0＜m≤a）的弦中點軌跡方程為。其中,當時,。31.設(shè)，為AB中點。則：二次函數(shù)y=e2x2-mx+a2與在內(nèi)的交點即為x0的值。由圖易知y=e2x2-mx+a2與的左交點為x0的值。當m增大時，x0減小。要使x0最大，則要使m最小。，此時等號成立時31圖35圖當此式成立時當時：當時：當時，。當時，當，即AB垂直于x軸時x0最大。考慮到對稱性對任意情況均成立。，32.33.當時，即為32：34.由正弦定理得，所以。35.設(shè)，則P點處的切線為，由此可得：36.（1）同15.（2）由15,36（3）：（3）設(shè)，37.設(shè)，橢圓37圖38圖則將AB的方程代入橢圓的標準方程中得：，由參數(shù)t的幾何意義可知：38.作半弦OQ⊥OP，由37得：，由15：39.設(shè)，將的方程代入橢圓得：由韋達定理得：，直線A1P的方程為，直線A2Q的方程為，聯(lián)立A1P和A2Q得交點N的橫坐標，代入化簡：所以交點一定在直線上。同理可證M在y軸上的情況。引理（張角定理）：A,C,B三點按順序排列在一條直線上。直線外一點P對AC的張角為α，對CB的張角為β。則：40圖41圖40.如圖，A為左頂點時，設(shè)，則。對F-APM由張角定理：即FM平分，同理FN平分。即MF⊥NF當A為右頂點時，由39可知左頂點A’與P、M；Q、N分別共線，于是回到上一種情況。41.如圖，設(shè)，則對F-QA2M和F-A1PM由張角定理：兩式相減并化簡得：即FM平分，同理FN平分。即MF⊥NF42.由12即可證得。43.設(shè)，AB：，CD：，將AB的方程代入橢圓得：由參數(shù)t的幾何意義可知：，同理44.對于外角平分線的情況由5即可證得，下僅證為內(nèi)角平分線的情況。設(shè)P，則則，。分別聯(lián)立、和、得：，則，對點：，代回式得：同理對點得。故點、點的軌跡方程為45.由伸縮變換將橢圓（左圖）變?yōu)閳A（右圖），橢圓中的共軛直徑變?yōu)閳A中相互垂直的直徑。所證命題變?yōu)樽CCD與圓O相切的充要條件是D為EF中點。充分性：若D為EF中點∵C在圓上，AB⊥OE∴FC⊥CE，OF⊥OB∴CD=DE=DF∴∠DCF=∠OFB=∠OAC=∠OCA∴∠OCD=∠OCA+∠ECD=∠ECD+∠DCF=∠ECF=90°∴OC⊥CD∴CD與圓相切。必要性：若CD與圓相切，則∠OCD=∠ACB=∠FOB=90°∴∠DCF=∠OCA=∠OAC=∠CFD∴DF=DC∵∠ECF=90°∴∠DEC=90°－∠CFD=90°－∠DCF=∠DCE∴CD=DE=DF即D為EF中點。46.設(shè)，由橢圓極坐標方程：，47.由10可知為切線由22:48.同29。49.50.同20。51.設(shè)，代入橢圓方程得：由韋達定理得：由A、P、M三點共線得，同理52,53,54為同一類題（最佳觀畫位置問題），現(xiàn)給出公式：若有兩定點A，B，點P在直線x=m上（m>k），則當時，∠APB最大，其正弦值為。52.k=c,m=a∴sinα≤e,當且僅當PH=b時取等號。53.k=a,m=∴sinα≤e,當且僅當PH=時取等號。54.k=c,m=∴sinα≤e2,當且僅當PH=時取等號。55.設(shè)∠AF2x=，∴當=0°時，；當=90°時，∴56.（1）設(shè)，代入橢圓方程得：∵AP=≠0∴AP=（2）設(shè)則（3）由（2）：57.由58可證。58.（1）易知PQ的斜率為0和斜率不存在時，對任意x軸上的點A都成立。設(shè)，A（m，0）代入橢圓方程得：，則若，則（2）作P關(guān)于x軸的對稱點，由（1）即證。59.同9。60.設(shè)橢圓，。則當時，有最小值；當或時，有最大值61,62,63為同一類問題，現(xiàn)給出公式：若點P到兩定點A，B的距離之比，則P點的軌跡為一個圓，圓心坐標為，圓的半徑為。下三個題的比值均為，代入上述公式得：圓心坐標為，圓的半徑為。61.m=c，圓心坐標為，圓的半徑為。軌跡方程是姊妹圓。62.m=a，圓心坐標為，圓的半徑為。軌跡方程是姊妹圓。63.m=，圓心坐標為，圓的半徑為。軌跡方程是姊妹圓。64.設(shè)，由得消去參數(shù)得Q點的軌跡方程：65.同37。66.（1）同35（2）由基本不等式，則梯形面積的最小值為。67.設(shè)AC交x軸于M，AD⊥于D。由橢圓第二定義：∴AC過EF的中點。68.（1）由17可知當橢圓方程為時，AB過定點。