橋梁設計理論第六講二

第六講薄壁桿件的約束扭轉第一節(jié)基本假定薄壁桿件的自由扭轉是指桿件受扭時，截面的縱向翹曲位移不受約束，因而縱向翹曲應變和相應的正應力都不存在。當截面的縱向翹曲位移受到約束時，便產(chǎn)生約束正應力和相應的附加剪應力，這便是約束扭轉。約束扭轉的分析，可以從確定截面上縱向翹曲位移著手，進而利用彈性理論的幾何方程確定縱向翹曲應變；利用物理方程確定翹曲正應力；最后利用微單元的平衡方程確定相應的翹曲剪應力。薄壁桿件的約束扭轉分析中，除沿用前兩章的若干基本假定（包括平面假定、線性假定、小變形假定和周邊投影不變形假定）外，補充的基本假定有：1、約束扭轉產(chǎn)生的正應力和剪應力沿壁厚均勻分布（參見圖5-7），并且桿件縱向纖維不存在正應力。據(jù)此假定，由圖3-2所示薄壁單元體在軸方向的平衡條件，可得到截面正應力和剪應力間的微分關系，即式（3-19）（6-1）（3-19）2、在約束扭轉分析中，桿件縱向翹曲位移采用自由扭轉時的表達式。根據(jù)彈性理論，參照圖6-1，薄壁單元體的剪切應變?yōu)椋海?-2）圖6-1圖6-1由周邊投影不變形假定有：。這里，為扭轉角，為扭轉中心到點切線的垂直距離（見圖3-4），于是式（6-2）可寫為：那么，縱向翹曲位移的一般表達式便可由此積分求得，即（6-3）式中為=0處的翹曲位移值。參照第三講剪力中心推導中關于扇性坐標的定義有：（6-4）（3-30-1）式中為自積分起點至扇性零點（=0，到點所包圍的扇性面積的2倍。于是，縱向翹曲位移的一般表達式（6-3）可寫為：（6-5）對于開口薄壁桿件，其在中面上的自由扭轉剪應變，代入上式便得截面的縱向翹曲位移表達式（6-6）對于閉口薄壁桿件，其在中面上的自由扭轉剪應變，根據(jù)虎克定律，分別按單室或多室閉口截面確定剪應力剪應變。對于單室截面，剪應力由式（5-38）給出，于是，剪應變可寫成：（6-7）式中自由扭轉矩（6-8）將式（6-7），式（6-8）代入式（6-3），化簡后便可得：（6-9-1）或（6-9-2）其中：（6-10）稱為廣義扇性坐標，它表示產(chǎn)生單位扭轉角（時的縱向翹曲位移，因此，常稱為單位翹曲。顯然，其中第二項則為計及中面自由扭轉變形影響的修正項，此即與開口截面（）的差別所在。對于多室截面，在剪切變形表達式中，引入相應的剪力流，即將以下各式：代入中得到多室截面自由扭轉變形剪應變：＝對于截面周界壁和交界壁則分別為：截面周界壁上：（6-11-1）截面交界壁上：（6-11-2）將式（6-11）代入式（6-3）后積分，得到多室截面翹曲位移表達式如下：周界壁：交界壁：或統(tǒng)一寫成：（6-12）式中：周邊（6-13-2）交界（6-13-2）上式展開并引入扇性坐標后，改寫為：周界壁（6-14）交界壁稱為閉口截面的廣義扇性坐標，當以扭轉中心為極點，以主扇性零點（）為積分起點（=0）時，則稱為主廣義扇性坐標。上述推導中均引用了自由扭轉的剪切特性。為計及約束扭轉引起的翹曲剪應力的影響，蘇聯(lián)學者YMANCKИЙ建議以一待定函數(shù)來代替扭轉角，即將式（6-12）寫成：（6-15）這便是閉口截面約束扭轉翹曲位移的表達式，它具有與開口截面翹曲位移式（6-6）相似的形式。由于式（6-5）為縱向翹曲位移的一般表達式，其中剪應變沿用了自由扭轉的有關公式，對于開口截面，式（6-6）中顯然忽略了沿壁厚均勻分布的約束扭轉剪應力產(chǎn)生的剪應變；對于閉口截面，式（6-15）也只是近似地計及了約束扭轉剪應力的影響。故本書將縱向翹曲位移表達式（6-6），式（6-15）視為約束扭轉分析的一種基本假定。第二節(jié)開口薄壁桿件的約束扭轉本節(jié)將按上節(jié)指明的約束扭轉分析步驟討論開口薄壁桿件的約束扭轉問題。一、縱向翹曲位移如上節(jié)所述，開口薄壁截面的縱向翹曲位移這里，為以扭轉中心為極點，任選曲線坐標起算點的扇性坐標，其中為待定的積分函數(shù)，它表示起算點處的縱向翹曲位移。二、約束扭轉的正應力引用彈性理論的幾何方程，可直接寫出縱向翹曲應變?yōu)椋焊鶕?jù)物理方程——虎克定律及桿件縱向纖維間不存在正應力的基本假定，可得出約束扭轉正應力為：＝（6-16）式中待定函數(shù)可由靜力學方程來確定，注意到截面內(nèi)力中除外，其余內(nèi)力，因此，約束扭轉正應力在截面上是自相平衡的，即其合力為零。（6-17）注意到,將式（6-16）代入式（6-17）后得到待定積分函數(shù)（6-18）將式（6-18）代回式（6-16）有：（6-19）適當?shù)剡x擇曲線坐標起算點（=0），使積分式（6-19）中，。相應的起算點稱為主扇性零點，當滿足條件式（6-19）有幾個點時，則以距扭轉中心最近的扇性零點為主扇性零點。基于主扇性零點的坐標稱為主扇性坐標，利用這一特點，當主扇性零點易于判斷確定時，將簡化主扇性坐標地計算，詳見第五節(jié)算例。對于主扇性坐標，由式（6-18）得到：或=常數(shù)其物理意義為：主扇性零點處的縱向翹曲位移為沿桿軸向為常數(shù)。即主扇性零點處無翹曲應變，翹曲正應力為零。于是，用主扇性坐標表達翹曲位移時，時（6-19）可簡化為：（6-20）即翹曲正應力按主扇性坐標（）的規(guī)律分布。三、約束扭轉剪應力利用式（6-1）表示扭轉正應力與剪力流的關系式（6-21）將式（6-20）表示的約束正應力代入上式移項后積分，可得開口薄壁截面約束扭轉剪力流：或（6-22）其中：（6-23）稱為扇性靜矩。顯然，式（6-22）中積分常數(shù)為積分零點處的剪力流。對于開口薄壁截面，當積分零點選在開口處的自由邊緣時，則約束扭轉剪力流的最后表達式（6-22）可簡化為：（6-24）而約束扭轉剪應力為：（6-25）觀察上述各式可知，開口薄壁桿件約束扭轉正應力和剪應力的計算涉及到扭轉變形和，因此，需先求出桿件的約束扭轉變形（在下一講討論），再根據(jù)截面的扭轉中心和主扇性零點，計算主扇性坐標和扇性近矩，最后利用式（6-20）及式（6-25）求算開口薄壁截面約束扭轉的正應力和剪應力。四、約束扭轉雙力矩和約束扭轉力矩在前二章關于彎曲和自由扭轉分析中，彎曲正應力，彎曲剪應力，自由扭轉剪應力等都采用截面內(nèi)力以及截面幾何特性來表示，而本章約束扭轉正應力和剪應力則沒有以相應的截面內(nèi)力表示。為取得更為直觀的物理概念，將約束扭轉正應力和剪應力與截面內(nèi)力和幾何特性相聯(lián)系，因此式（6-20）和式（6-25）表示的約束扭轉正應力和剪應力合成為截面內(nèi)力。令（6-26）則：（6-27）注：式中由于為主扇性坐標，因此，。其中：（6-28）稱為截面的主扇性慣矩。為約束扭轉剪應力合成的力矩。故稱為約束扭轉力矩。則稱為約束扭轉雙力矩，它是正應力以扇性坐標為“力臂”合成的廣義力矩。在如圖6-2a所示的工字型截面中，表現(xiàn)為大小相等方向相反，分別作用在兩翼緣板內(nèi)的一對力偶，故形象的稱之為雙力矩。從圖6-2b）也可看到對應于這樣的雙力矩，截面變形呈“翹曲”狀態(tài)，故這種約束扭轉正應力和剪應力又稱為翹曲正應力和翹曲剪應力。a)a)圖b)翹曲變形圖6-2顯然，由式（6-26）、（6-27）可見，約束扭轉雙力矩和約束扭轉力矩之間有下列微分關系：（6-29）將式（6-26）表示的及式（6-27）表示的代回式（6-20）及式（6-25），可得到用截面內(nèi)力和幾何特性表示的約束扭轉正應力及剪應力計算公式如下：（6-30）五、約束扭轉與梁平面彎曲的比較分析式（6-26）、（6-27）、（6-29）及式（6-30）可見，約束扭轉的基本方程與梁的平面彎曲基本方程具有相似的數(shù)學表達式。為便于記憶?，F(xiàn)將二者綜合比較列于表6-1。梁的平面彎曲與開口截面約束扭轉比較表6-1內(nèi)容平面彎曲（平面面）約束扭轉位移撓度轉角扭轉角單位扭轉角截面幾何特性靜矩慣矩扇性靜矩扇性慣矩內(nèi)力彎矩剪力分布荷載扭轉雙力矩扭轉力矩分布扭矩應力正應力剪應力正應力剪應力微分方程第三節(jié)閉口薄壁桿件的約束扭轉一、縱向翹曲位移閉口截面約束扭轉的縱向翹曲位移采用式（6-15），它具有與開口截面相似的形式，以代替，以待定函數(shù)代替扭轉角，即有：（6-31）（6-15）二、單室閉口截面的的約束扭轉轉正應力由于閉口截面的的縱向翹曲曲位移具有有與開口截截面完全相相似的形式式，故其約約束扭轉正正應力可對對比開口截截面直接寫寫出，不再再推導。（6-32）（6-20）而（6-33）（6-19）如果用約束扭轉轉雙力矩表表示，則有有：（6-34）（6-26）（6-35）（6-30）（6-36）（6-28）其中可用與圖圖圖乘計算得得出。三、單室閉口截面的的約束扭轉轉剪應力約束扭轉剪應力力同樣可對對比開口截截面的扭轉轉剪應力公公式（6-22）及式（66-23）直接寫寫出。（6-37）其中：（6-38）閉口截面沒有自自由邊緣，值不能直接定出，參照第三講第五節(jié)閉口截面彎曲剪應力的做法，將閉口截面“切開”使其成為開口截面，在切口處加上贅余力，若曲線坐標積分起點取在切口處，則式（6-37）中即為切口處的贅余力，而即為相應的開口截面剪力流。仍根據(jù)切口處的的變形連續(xù)續(xù)條件求解解，即（6-39）將式（6-377）代入，移移項得：（6-40）將式（6-400）代回式式（6-37）得：（6-41）其中：＝－（6-42）稱為廣義扇性近近矩。于是是，得到閉閉口截面的的約束扭轉轉剪力流（6-43）和開口截面類似似，引入約約束扭轉力力矩，則有有：（6-44）（6-27）（6-45）（6-28）（6-46）（6-30）四、多室閉口截截面的約束束扭轉剪應應力對于多室截面，仿仿照第三講講第五節(jié)將各室“切開”，確定各各室贅余剪剪力流，與與各室安開開口截面解解得的約束束扭轉剪力力流疊加，即即參照式（2-41）不難求求出多室閉閉口截面約約束扭轉的的總剪力流流。即（周邊邊）（6-47-11）（交界）（6-47-22）其中仍由各室切切口處的變變形連續(xù)條條件給出的的線形方程程組求解。即即由式（6-477），并根根據(jù)虎克定定律及剪力力流的定式式（2-3），便有有：代入前式，并注注意到在截截面上=常數(shù)（與與的坐標無無關），得得到線性方方程（6-48）式中開口截面約約束扭轉剪剪力流可仿仿照（6-30）寫成（6-49）代入式（6-448）并移項項后得到：：（6-50）用式（6-500）除以，并并令：；（6-51）于是，式（6--50）轉化為為：（6--52）（3-41）對于室閉口截面面，此式提提供了求解解的線形方方程組，而而未知數(shù)則則表示當時時，各室的的約束扭贅贅余剪力流流。顯然，當當基本體系系（開口截截面）對于于主扇性坐坐標的靜矩矩為已知時時，即可根根據(jù)（6-52）求求解。將式（6-511）及式（66-49）代入（66-47）便有：：（6-53）其中：（周邊邊）（6-54-11）（交界）（6-54-22）稱為多室截面的的廣義扇性性靜矩，它它表示截面面約束扭轉轉翹曲剪力力流的分布布規(guī)律，故故又稱為約約束扭轉翹翹曲剪力流流的分布函函數(shù)。至于多室截面的的主扇性慣慣矩，則由由單室截面面的定義式式（6-45）不難寫寫出（6-55）可應用圖進行圖圖乘計算，式式中表示截截面的壁段段。第四節(jié)薄壁截截面的扇性性特性上兩節(jié)分析表明明，無論開開口或閉口口截面，約約束扭轉的的分析都歸歸結為與彎彎曲分析相相類似的的的形式，但但具體求解解則繁復的的多。首先先是相應于于撓度的扭扭轉角系約約束扭轉和和自由扭轉轉的綜合效效應，因而而還不能按按表6-1給出的扭扭轉角微分分方程單獨獨求解。此此外。截面面扇性幾何何特性的計計算也遠較較彎曲分析析中幾何特特性的計算算復雜得多多，為此，將將開口和單單室閉口截截面的扇性性幾何特性性的一般公公式歸納于于表6-2。項目開口截面單室閉口截面多室閉口截面扇性坐標主扇性坐標(1)以扭轉中心心S為極點(2)(1)以扭轉中心心S為極點(2)條件同左.扇性靜矩零點取在開口邊邊緣扇性零點取在切切口處扇性零點取在切切口處扇性慣矩第五節(jié)算例[例6-1]如圖22-6a）、b）所示單箱箱雙室截面面和工字型型截面，試試分別計算算其主扇性性坐標，，主扇性性靜矩，主主扇性慣矩矩。截面尺尺寸如圖所所示。【解】首先將開開口截面和和閉口截面面約束的計計算公式對對比如下，以以便確定計計算步驟。項目開口截面閉口截面雙力矩其中：其中：約束扭轉力矩約束扭轉正應力力其中：其中：約束扭轉剪應力力其中：其中：由上述各式可知知，薄壁桿桿件約束扭扭轉計算的步驟驟是：1、計算截面形心及及形心主軸軸；2、以形心為極點，任任選扇性零零點；3、計算截面對形心心主軸的慣慣矩；4、計算截面扭轉中中心的坐標標（）及主主扇性零點點；5、計算截面主扇性性坐標或；6、求主扇性慣矩及及極慣矩（下一講討討論）；7、求扭轉微分方程程，求扭轉轉變形；8、求及（或及）；9、計算翹曲應力及及（或及）；一、確定截面坐坐標由扭轉中心的計計算公式（3-28）、（3-31）、（3-45）及式（3-51）不難得知，無論開口和閉口截面，截面的對稱中心即為剪力中心（扭轉中心）。又由式（6-119）可以推推知，對稱稱軸與截面面中線的交交點均為扇扇性零點，而而扭轉中心心最近的扇扇性零點為為主扇性零零點。應用這些結論可可以省去許許多繁冗的的計算。本例因中腹板通通過對稱中中心，故扇扇性零點均均與對稱中中心重合。二、工字型截面面1、主扇性坐標由式（6-4）及及式（6-19）式中系扭轉中心心為極點，主主扇性零點點（）為積積分起點（=0），曲線坐標以繞扭轉中心逆時針為正，對于工字型截面（見圖6-3），據(jù)上述分析，應以為起始矢徑進行計算，故由圖（6-3a）有：(0)-1.51.51.5(0)-1.51.51.5-1.5-0.075-0.075a)構造圖a)圖a)圖兩層鋼筋網(wǎng)兩層鋼筋網(wǎng)1.51.51.01.0圖6-3段：；段：=1.5×1..0=1..5（m2）段：=1.5×（--1.0）=-1.5（m2）利用截面的對稱稱性（呈反反對稱），做做圖如圖（66-3b）所示。2、主扇性靜矩以開口截面自由由邊（圖66-3中的或）為積分分起點（滿滿足=0），曲線線坐標以繞繞扭轉中心心逆時針轉轉為正。由圖（6-3bb）可知，為為的線形函函數(shù)，即=-1.5（1.00－）（a）務必指出，在求求圖時采用用的積分起起點（=0）和這里里求可以不不一致，但但當將式（a）代入（66-23）具體計計算時，就就應將已有有的與取相同的的積分起點點建立方程程，如上式式所示。已知翼緣壁厚==0.1m，于是是將（a）代入（6-23）得：即（b）則各特征點的為為：點：點：（c）點：利用對稱性，作作出圖如圖圖（6-3c）所示。主扇性慣矩對圖圖（見圖66-3b）應用圖圖乘法得到到：三、單箱雙室截截面單箱雙室截面的的扭轉中心心、主扇性性零點均位位于對稱中中心。1、主廣義扇性坐標標由式（6-144）知廣義義扇性坐標標為：（d）其中相應的開口口截面扇性性坐標如式式（6-4）（e）由于上二式計算算均取主扇扇性零點為為積分起點點，故式（d）、式（e）即為相相應的主扇扇性坐標及及?，F(xiàn)已知道=0..1m，由由第三章例例[3-11]已求得，故故對于截面面周邊由式式（6-13）有：（f）即對于交界腹板，因因其通過扭扭轉中心，且且，故（g）于是，根據(jù)式（e），取點為為切點，并并以該點為為各點曲線線坐標的起起算點（見見圖6-4b），計算算如下：（注意到之為零）按式（f）計算算，如圖（66-4c）所所示。左點－－1.2=00（）點－－1.2=－1.20（m2）點－－1.2=－4.80（m2）點－－1.2=－7.20（m2）點－－1.2=－10.880（m2）右點－1..2=－12.000（m2）將圖（6-4bb）疊加，即即得到主廣廣義扇性坐坐標圖，容容易看出，沿周邊s呈線形分布，其各特征點的坐標（如圖6-4d）所示為：2、廣義扇性慣矩根據(jù)式（6-33b）及圖，不不難計算廣廣義扇性慣慣矩（h）于是根據(jù)圖（圖圖6-5d）應用圖圖乘法有：：3、相應的開口截面面靜矩將截面在某一位位置（圖66-4e）切開，使使其成為開開口（靜定定）截面，其其相應的靜靜矩（k）現(xiàn)=0。10m，由于圖圖為的線形形函數(shù)，故故知為的二次函函數(shù)。取切切口處為積積分起點==0，計算的特特征點值如如下：點點點點點由圖不難推知，應應呈正對稱稱，應用二二者的微分分關系，便便可確定圖圖的凹凸性性，得出圖圖如圖（66-4e）所示4、廣義扇性靜矩根據(jù)式（6-554）廣義扇扇性靜矩其中需求解線性性方程組（6-52）確定，即（）1.01.01.0縱向預應力筋縱向預應力筋1.5縱向預應力筋縱向預應力筋1.5縱向預應力筋縱向預應力筋-7.2縱向預應力筋縱向預應力筋-4.8縱向預應力筋縱向預應力筋-1.2縱向預應力筋縱向預應力筋-10.8縱向預應力筋縱向預應力筋-12.0縱向預應力筋縱向預應力筋10.5縱向預應力筋縱向預應力筋12.0縱向預應力筋縱向預應力筋兩層鋼筋網(wǎng)兩層鋼筋網(wǎng)7.5縱向預應力筋縱向預應力筋4.5縱向預應力筋縱向預應力筋1.5縱向預應力筋縱向預應力筋-0.3縱向預應力筋縱向預應力筋0.3縱向預應力筋縱向預應力筋-0.3縱向預應力筋縱向預應力筋0.3縱向預應力筋縱向預應力筋0.015縱向預應力筋縱向預應力筋0.015縱向預應力筋縱向預應力筋0.015縱向預應力筋縱向預應力筋0.015縱向預應力筋縱向預應力筋0.0375縱向預應力筋縱向預應力筋0.0375縱向預應力筋縱向預應力筋0.02縱向預應力筋縱向預應力筋0.02縱向預應力筋縱向預應力筋0.02縱向預應力筋縱向預應力筋0.02縱向預應力筋縱向預應力筋-0.02縱向預應力筋縱向預應力筋-0.005縱向預應力筋縱向預應力筋0.005縱向預應力筋縱向預應力筋-0.005縱向