高中數(shù)學(xué) 直線與平面垂直的判定 新人教A版必修

高中數(shù)學(xué)直線與平面垂直的判定課件新人教A版必修第一頁(yè)，共五十四頁(yè)，2022年，8月28日成才之路·數(shù)學(xué)路漫漫其修遠(yuǎn)兮吾將上下而求索人教版·必修2第二頁(yè)，共五十四頁(yè)，2022年，8月28日點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系第二章第三頁(yè)，共五十四頁(yè)，2022年，8月28日2.3

直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)第二章2.3.1直線與平面垂直的判定第四頁(yè)，共五十四頁(yè)，2022年，8月28日高效課堂2課后強(qiáng)化作業(yè)4優(yōu)效預(yù)習(xí)1當(dāng)堂檢測(cè)3第五頁(yè)，共五十四頁(yè)，2022年，8月28日優(yōu)效預(yù)習(xí)第六頁(yè)，共五十四頁(yè)，2022年，8月28日1．在初中平面幾何中能夠轉(zhuǎn)化為垂直關(guān)系的有：①等腰三角形底邊上的中線__________底邊；②菱形對(duì)角線互相__________；③正方形對(duì)角線互相__________；④圓的直徑所對(duì)圓角等于__________.2．在上一節(jié)，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了直線與平面平行的判定定理和平面與平面平行的判定定理及其應(yīng)用，線面平行、面面平行的判定最終歸結(jié)為線線平行的判定，并且研究了線面平行和面面平行的三種判定方法：(1)定義法；(2)判定定理；(3)反證法．●知識(shí)銜接垂直平分垂直平分垂直平分90°第七頁(yè)，共五十四頁(yè)，2022年，8月28日1．直線與平面垂直●自主預(yù)習(xí)定義如果直線l與平面α內(nèi)的__________直線都垂直，我們就說(shuō)直線l與平面α互相垂直記法l⊥α有關(guān)概念直線l叫做平面α的________，平面α叫做直線l的_______．它們唯一的公共點(diǎn)P叫做________．圖示畫(huà)法畫(huà)直線與平面垂直時(shí)，通常把直線畫(huà)成與表示平面的平行四邊形的一邊垂直任意一條垂線垂面垂足第八頁(yè)，共五十四頁(yè)，2022年，8月28日[破疑點(diǎn)]

(1)定義中的“任意一條直線”這一詞語(yǔ)與“所有直線”是同義語(yǔ)，與“無(wú)數(shù)條直線”不是同義語(yǔ)．(2)直線與平面垂直是直線與平面相交的一種特殊形式．(3)由直線與平面垂直的定義，得如果一條直線垂直于一個(gè)平面，那么這條直線垂直于該平面內(nèi)的任意一條直線．第九頁(yè)，共五十四頁(yè)，2022年，8月28日2．判定定理文字語(yǔ)言一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條________直線都垂直，則該直線與此平面垂直圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言l⊥a，l⊥b，a?α，b?α，__________?l⊥α作用判斷直線與平面__________相交a∩b＝P垂直第十頁(yè)，共五十四頁(yè)，2022年，8月28日[破疑點(diǎn)]直線與平面垂直的判定定理告訴我們：可以通過(guò)直線間的垂直來(lái)證明直線與平面垂直．通常我們將其記為“線線垂直，則線面垂直”．因此，處理線面垂直轉(zhuǎn)化為處理線線垂直來(lái)解決．也就是說(shuō)，以后證明一條直線和一個(gè)平面垂直，只要在這個(gè)平面內(nèi)找到兩條相交直線和已知直線垂直即可．第十一頁(yè)，共五十四頁(yè)，2022年，8月28日3．直線和平面所成的角(1)定義：一條直線和一個(gè)平面________，但不和這個(gè)平面________，這條直線叫做這個(gè)平面的斜線，斜線和平面的______叫做斜足．過(guò)斜線上斜足以外的一點(diǎn)向平面引______，過(guò)________和________的直線叫做斜線在這個(gè)平面上的射影．平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的________，叫做這條直線和這個(gè)平面所成的角．相交垂直交點(diǎn)垂線垂足斜足銳角第十二頁(yè)，共五十四頁(yè)，2022年，8月28日90°0°第十三頁(yè)，共五十四頁(yè)，2022年，8月28日1．直線l⊥平面α，直線m?α，則l與m不可能(

)A．平行 B．相交C．異面 D．垂直[答案]

A[解析]

∵直線l⊥平面α，∴l(xiāng)與α相交，又∵m?α，∴l(xiāng)與m相交或異面，由直線與平面垂直的定義，可知l⊥m.故l與m不可能平行．●預(yù)習(xí)自測(cè)第十四頁(yè)，共五十四頁(yè)，2022年，8月28日2．直線l與平面α內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線垂直，則直線l與平面α的關(guān)系是(

)A．l和平面α相互平行 B．l和平面α相互垂直C．l在平面α內(nèi) D．不能確定[答案]

D[解析]

如下圖所示，直線l和平面α相互平行，或直線l和平面α相互垂直或直線l在平面α內(nèi)都有可能．故選D．第十五頁(yè)，共五十四頁(yè)，2022年，8月28日3.如右圖所示，若斜線段AB是它在平面α上的射影BO的2倍，則AB與平面α所成的角是(

)A．60° B．45°C．30° D．120°[答案]

A[點(diǎn)評(píng)]

垂線段、斜線段及其射影構(gòu)成直角三角形．第十六頁(yè)，共五十四頁(yè)，2022年，8月28日4．如下圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，求證：AC⊥平面BDD1B1.[分析]

轉(zhuǎn)化為證明AC⊥BD，AC⊥BB1.第十七頁(yè)，共五十四頁(yè)，2022年，8月28日[證明]

∵BB1⊥AB，BB1⊥BC，∴BB1⊥平面AC，又AC?平面AC，∴BB1⊥AC．又四邊形ABCD是正方形，∴BD⊥AC．又BD?平面BDD1B1，BB1?平面BDD1B1，BB1∩BD＝B，∴AC⊥平面BDD1B1.第十八頁(yè)，共五十四頁(yè)，2022年，8月28日高效課堂第十九頁(yè)，共五十四頁(yè)，2022年，8月28日

如圖，P為△ABC所在平面外一點(diǎn)，PA⊥平面ABC，∠ABC＝90°，AE⊥PB于E，AF⊥PC于F.求證：(1)BC⊥平面PAB；(2)AE⊥平面PBC；(3)PC⊥平面AEF.線面垂直的判定●互動(dòng)探究第二十頁(yè)，共五十四頁(yè)，2022年，8月28日[探究]本題是證線面垂直問(wèn)題，要多觀察題目中的一些“垂直”關(guān)系，看是否可利用．如看到PA⊥平面ABC，可想到PA⊥AB、PA⊥BC、PA⊥AC，這些垂直關(guān)系我們需要哪個(gè)呢？我們需要的是PA⊥BC，聯(lián)系已知，問(wèn)題得證．[證明]

(1)∵PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，∴PA⊥BC．∵∠ABC＝90°，∴AB⊥BC．又AB∩PA＝A，∴BC⊥平面PAB．第二十一頁(yè)，共五十四頁(yè)，2022年，8月28日(2)∵BC⊥平面PAB，AE?平面PAB，∴BC⊥AE.∵PB⊥AE，BC∩PB＝B，∴AE⊥平面PBC．(3)∵AE⊥平面PBC，PC?平面PBC，∴AE⊥PC．∵AF⊥PC，AE∩AF＝A，∴PC⊥平面AEF.第二十二頁(yè)，共五十四頁(yè)，2022年，8月28日

規(guī)律總結(jié)：線面垂直的判定定理的應(yīng)用(1)利用直線與平面垂直的判定定理判定直線與平面垂直的步驟：①在這個(gè)平面內(nèi)找兩條直線，使它和這條直線垂直；②確定這個(gè)平面內(nèi)的兩條直線是相交的直線；③根據(jù)判定定理得出結(jié)論．第二十三頁(yè)，共五十四頁(yè)，2022年，8月28日(2)利用直線與平面垂直的判定定理判定直線與平面垂直的技巧：證明線面垂直時(shí)要注意分析幾何圖形，尋找隱含的和題目中推導(dǎo)出的線線垂直關(guān)系，進(jìn)而證明線面垂直．三角形全等、等腰三角形、梯形底邊的中線、高；菱形、正方形的對(duì)角線、三角形中的勾股定理等都是找線線垂直的方法．第二十四頁(yè)，共五十四頁(yè)，2022年，8月28日如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，D是AC的中點(diǎn)，S是△ABC所在平面外一點(diǎn)，且SA＝SB＝SC．(1)求證：SD⊥平面ABC；(2)若AB＝BC，求證：BD⊥平面SAC．[探究]

題設(shè)條件中的三棱錐的三條側(cè)棱相等，AB⊥BC，D是AC的中點(diǎn)，要證(1)需在平面ABC內(nèi)找兩條相交直線與SD垂直，故等腰三角形底邊的中線是可以利用的垂直關(guān)系，要證(2)，需設(shè)法在平面SAC內(nèi)找兩條相交直線與BD垂直，而(1)的結(jié)論可利用．第二十五頁(yè)，共五十四頁(yè)，2022年，8月28日[證明]

(1)因?yàn)镾A＝SC，D是AC的中點(diǎn)，所以SD⊥AC．在Rt△ABC中，AD＝BD，由已知SA＝SB，所以△ADS≌△BDS，所以SD⊥BD，又AC∩BD＝D，所以SD⊥平面ABC．(2)因?yàn)锳B＝BC，D為AC的中點(diǎn)，所以BD⊥AC，由(1)知SD⊥BD，又因?yàn)镾D∩AC＝D，所以BD⊥平面SAC．第二十六頁(yè)，共五十四頁(yè)，2022年，8月28日

規(guī)律總結(jié)：利用直線與平面垂直的判定定理證明直線與平面垂直的步驟：(1)在這個(gè)平面內(nèi)找兩條直線，使它和這條直線垂直；(2)確定這個(gè)平面內(nèi)的兩條直線是相交的直線；(3)根據(jù)判定定理得出結(jié)論．第二十七頁(yè)，共五十四頁(yè)，2022年，8月28日

在正方體ABCD－A1B1C1D1中，(1)求直線A1C與平面ABCD所成的角的正切值；(2)求直線A1B與平面BDD1B1所成的角．線面角第二十八頁(yè)，共五十四頁(yè)，2022年，8月28日[探究]

求線面角的關(guān)鍵是找出直線在平面內(nèi)的射影，為此須找出過(guò)直線上一點(diǎn)的平面的垂線．(2)中過(guò)A1作平面BDD1B1的垂線，該垂線必與B1D1、BB1垂直，由正方體的特性知，直線A1C1滿足要求．第二十九頁(yè)，共五十四頁(yè)，2022年，8月28日第三十頁(yè)，共五十四頁(yè)，2022年，8月28日

規(guī)律總結(jié)：求線面角的方法：(1)求直線和平面所成角的步驟：①尋找過(guò)斜線上一點(diǎn)與平面垂直的直線；②連接垂足和斜足間得到斜線在平面上的射影，斜線與其射影所成的銳角或直角即為所求的角；③把該角歸結(jié)在某個(gè)三角形中，通過(guò)解三角形，求出該角．(2)求線面角的技巧：在上述步驟中，其中作角是關(guān)鍵，而確定斜線在平面內(nèi)的射影是作角的關(guān)鍵，幾何圖形的特征是找射影的依據(jù)，射影一般都是一些特殊的點(diǎn)，比如中心、垂心、重心等．第三十一頁(yè)，共五十四頁(yè)，2022年，8月28日[答案]

D第三十二頁(yè)，共五十四頁(yè)，2022年，8月28日第三十三頁(yè)，共五十四頁(yè)，2022年，8月28日

如圖，四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為矩形，PD⊥底面ABCD，AD＝PD，E，F(xiàn)分別為CD，PB的中點(diǎn)．(1)求證：EF⊥平面PAB；線面垂直的綜合應(yīng)用●探索延拓第三十四頁(yè)，共五十四頁(yè)，2022年，8月28日[探究]

(1)要證線面垂直，需證平面內(nèi)有兩條相交直線與已知直線垂直，而根據(jù)條件易得EF⊥PB，EF⊥AF，所以本題得證；(2)要求線面角，得先找出或作出這個(gè)角．根據(jù)條件易得BP⊥平面EFA．故在△BEF中，只需過(guò)AC與BE的交點(diǎn)G作BF的平行線GH，則GH⊥平面EFA，∠GAH為所求角．第三十五頁(yè)，共五十四頁(yè)，2022年，8月28日[解析]

(1)證明：連結(jié)BE，EP.∵ED＝CE，PD＝AD＝BC，∴Rt△PDE≌Rt△BCE，∴PE＝BE.∵F為PB中點(diǎn)，∴EF⊥PB．∵PD⊥底面ABCD，DA⊥AB，∴PA⊥AB．在Rt△PAB中，∵PF＝BF，∴PF＝AF.又∵PE＝BE＝EA，∴△EFP≌△EFA，∴EF⊥FA．∵PB∩AF＝F，∴EF⊥平面PAB．第三十六頁(yè)，共五十四頁(yè)，2022年，8月28日第三十七頁(yè)，共五十四頁(yè)，2022年，8月28日第三十八頁(yè)，共五十四頁(yè)，2022年，8月28日

規(guī)律總結(jié)：(1)中還可取AB中點(diǎn)Q，連結(jié)EQ，F(xiàn)Q，證明AB⊥平面EFQ，則AB⊥EF，加上EF⊥PB，則EF⊥平面PAB．(2)中在求線面角時(shí)，首先得找出或作出這個(gè)角，再解三角形求角．第三十九頁(yè)，共五十四頁(yè)，2022年，8月28日如圖，AB為⊙O的直徑，PA垂直于⊙O所在的平面，M為圓周上任意一點(diǎn)，AN⊥PM，N為垂足．(1)求證：AN⊥平面PBM.(2)若AQ⊥PB，垂足為Q，求證：NQ⊥PB．[探究]

根據(jù)PA⊥平面ABM，證得BM⊥平面PAM，再利用線面垂直的判定定理證明AN⊥平面PBM.而證線線垂直，可先證線面垂直．第四十頁(yè)，共五十四頁(yè)，2022年，8月28日[證明]

(1)∵AB為⊙O的直徑，∴AM⊥BM.又PA⊥平面ABM，∴PA⊥BM.又∵PA∩AM＝A，∴BM⊥平面PAM.又AN?平面PAM，∴BM⊥AN.又AN⊥PM，且BM∩PM＝M，又AN⊥平面PBM.第四十一頁(yè)，共五十四頁(yè)，2022年，8月28日(2)由(1)知AN⊥平面PBM，PB?平面PBM，∴AN⊥PB．又∵AQ⊥PB，AN∩AQ＝A，∴PB⊥平面ANQ.又NQ?平面ANQ，∴PB⊥NQ.

規(guī)律總結(jié)：證明線面垂直時(shí)，在平面內(nèi)找兩條相交直線是關(guān)鍵，同時(shí)注意判定定理的條件．第四十二頁(yè)，共五十四頁(yè)，2022年，8月28日

已知四邊形ABCD中，四個(gè)角∠ABC，∠BCD，∠CDA，∠DAB都是直角，求證：四邊形ABCD是矩形．[錯(cuò)解]

∵四邊形ABCD中，四個(gè)角∠ABC，∠BCD，∠CDA，∠DAB都是直角，∴四邊形ABCD是矩形．[錯(cuò)因分析]

把ABCD當(dāng)作平面四邊形(未加共面證明)就得出結(jié)論．

易錯(cuò)點(diǎn)一在幾何題的證明中，只考慮平面情形，而忽略空間情形●誤區(qū)警示第四十三頁(yè)，共五十四頁(yè)，2022年，8月28日[思路分析]

四邊形ABCD有兩種存在形式：平面四邊形ABCD和空間四邊形ABCD，需分類(lèi)證明．[正解]

當(dāng)四邊形ABCD是平面圖形時(shí)，它顯然是矩形．若四邊形ABCD是空間四邊形時(shí)，可設(shè)點(diǎn)C在平面ABD之外．如圖，過(guò)點(diǎn)C作CC1⊥平面ABD，則AB⊥面BCC1，∴∠ABC1＝90°.同理，∠ADC1＝90°.第四十四頁(yè)，共五十四頁(yè)，2022年，8月28日第四十五頁(yè)，共五十四頁(yè)，2022年，8月28日如圖所示，a∥b，點(diǎn)P在a，b所確定的平面外，PA⊥a于點(diǎn)A，AB⊥b于點(diǎn)B．求證PB⊥b.[錯(cuò)解]

∵PA⊥a，a∥b，∴PA⊥b，∴PA⊥平面α，∴PB⊥b.[錯(cuò)因分析]

上述證法的錯(cuò)誤在于沒(méi)有正確使用線面垂直的判定定理，由PA⊥a，PA⊥b，得PA⊥α，忽略了a與b不相交．第四十六頁(yè)，共五十四頁(yè)，2022年，8月28日[正解]

∵PA⊥a，a∥b，∴PA⊥b.又∵AB⊥b，且PA∩AB＝A，∴b⊥平面PAB．又∵PB?平面PAB，∴PB⊥b.第四十七頁(yè)，共五十四頁(yè)，2022年，8月28日當(dāng)堂檢測(cè)第四十八頁(yè)，共五十四頁(yè)，2022年，8月28日1．若直線a與平面α內(nèi)的兩條直線垂直，則直線a與平面α的位置關(guān)系是(

)A．垂直 B．平行C．斜交或在平面內(nèi) D．以上均有可能[答案]

D[解析]

∵a與α內(nèi)的兩條直線垂直，而這兩條直線的位置關(guān)系不確定，∴a與α可能平行、垂直、斜交或a在α內(nèi)．第四十九頁(yè)，共五十四