非線性反演方法

非線性反演方法第一頁，共二十六頁，2022年，8月28日

主要內容9.1尺度尺度與分辨率多尺度反演過程9.2小波與尺度分析小波與二進制小波多尺度分析9.3多尺度反演法三個基本算子三種實現(xiàn)方法§9多尺度反演（MSI）第二頁，共二十六頁，2022年，8月28日9.1尺度尺度：當我們以離散方式描述某一空間或時間的函數(shù)時，均勻離散點之間的距離。分辨率：單位距離內離散點的個數(shù)。

尺度越大，分辨率越低；尺度越小，分辨率越高。

若分辨率為，則所對應的尺度為。第三頁，共二十六頁，2022年，8月28日優(yōu)點缺點大尺度（低波數(shù)）分得散，搜索極值點容易極值點少，“全局極小點”不一定是真正全局極小點小尺度（大波數(shù)）極值點多，全局極小點離真正全局極小點較近無上一尺度的搜索結果指導則直接搜索較困難第四頁，共二十六頁，2022年，8月28日多尺度反演：是把目標函數(shù)分解成不同尺度的分量，根據(jù)不同尺度上目標函數(shù)的特征逐步搜索全局極小。反演過程：根據(jù)上一級搜索到的背景“全局極小點”為起點，在其附近搜索下一級尺度的“全局極小點”；不斷迭代縮小尺度至原始尺度，提高分辨率，找到真正全局極小點。優(yōu)點：反演穩(wěn)定，反演結果不受初始模型的影響；反演不受局部極小困擾，收斂速度加快。第五頁，共二十六頁，2022年，8月28日多尺度反演過程示意圖：大尺度（總體背景）全局極小

中尺度（背景）全局極小

小尺度（背景）全局極小最小尺度（原始尺度）總體極小第六頁，共二十六頁，2022年，8月28日9.2小波與多尺度分析小波產生的背景：常規(guī)傅氏變換不能提取頻域的局部特征，窗口傅氏變換實現(xiàn)了時域局部化，但一旦函數(shù)選定，不能滿足高頻和低頻信號對窗口大小的不同要求。定義一：稱滿足條件

(5.100)的函數(shù)為小波函數(shù)或母小波。式中是的傅氏變換。第七頁，共二十六頁，2022年，8月28日連續(xù)小波是基于仿射群，通過母小

波變換而得。其表達式為：

(5.101)的含義如下ab尺度伸縮變量位置平移變量是歸一化因子物理空間的實際位置第八頁，共二十六頁，2022年，8月28日定義二：對于任一的函數(shù)，有

(5.102)為其小波變換。其逆變換為

(5.103)式中：為內積；與是共軛，且

(5.104)第九頁，共二十六頁，2022年，8月28日定義三：在實際應用中，常用其離散形式，若令則(5.101)式為二進制小波，可以表達為：

(5.105)二進制小波構成的一個正交基，利用可以將在無窮大處衰減得充分快的任意函數(shù)分解為：(5.106)第十頁，共二十六頁，2022年，8月28日若設：(5.107)則分解等式可以寫成：(5.108)

(5.108)第一項大尺度對應平滑部分，第二項小尺度對應細節(jié)部分。

基于(5.108)式的分析方法稱為尺度分析方法。第十一頁，共二十六頁，2022年，8月28日多尺度分解方法原理：數(shù)學顯微鏡，逐層求解符號表達：設光滑部分近似屬于空間，細節(jié)部分近似屬于空間，若在基于上，則兩空間正交互補。

(5.109)

示意圖：如右第十二頁，共二十六頁，2022年，8月28日9.3多尺度反演法反演基本算子操作過程：第一個算子：反演問題分解（從小到大）為各尺度上的反問題。第二個算子：求取各尺度上反問題的解。第三個算子：將稍大尺度上的解嵌入稍小尺度，并作為其反問題求解的起始點。第十三頁，共二十六頁，2022年，8月28日多尺度分解反演實現(xiàn)方法：設地球物理線性反演問題的數(shù)據(jù)方程為：第一種方法第二種方法第三種方法加密插值：大尺度上的解作用于小尺度模型時，解的樣點要進行加密，主要方法有樣點復制或線性插值法。第十四頁，共二十六頁，2022年，8月28日反演過程分析采樣點數(shù)，對應于尺度。當時，，為反演2個數(shù)據(jù)（此時可以用線性反演方法）的初始模型，為階。當時，反演4個數(shù)據(jù)的初始模型，為階。當時，反演8個數(shù)據(jù)的初始模型，為階。以此類推:直至最小的尺度，即最大采樣率是的反演問題，這是問題的解為最終解。這里為模型參數(shù)個數(shù)。第十五頁，共二十六頁，2022年，8月28日反演對比結果分析理論模型初始模型方法迭代次數(shù)理論模型1初始模型1MSIGI17213.8592.87理論模型2初始模型2MSIGI13157.5829.53初始模型3MSIGI22350.285500.00MSI和GI反演的比較第十六頁，共二十六頁，2022年，8月28日R.Parker法不僅適用于電磁感應資料反演，而且也適用于某些頻域地球物理資料反演，其非線性反演原理—以大地電磁為給以例說明。法第十七頁，共二十六頁，2022年，8月28日響應函數(shù)響應函數(shù)—阻抗定義為：或導出：為一半純型函數(shù)所以有部分分式結構：

寫其成連分式為：第十八頁，共二十六頁，2022年，8月28日半純函數(shù)半純函數(shù)是一種復變函數(shù)--即自變量和因變量都取值復數(shù)，也稱亞純函數(shù)。半純函數(shù)在定義域中的某些點上沒有定義，我們稱這些點為極點。函數(shù)在這些極點附近的冪級數(shù)展開可寫為(以單變量為例)羅朗展開式：f(z)=c_m/（z-a)^m+...+c_2/(z-a)^2+c_1/(z-a)+c_0+a_1(z-a)+a_2(z-a)^2+......,這里c_i和a_j都是常系數(shù)，z=a是極點。

全純函數(shù)是最簡單的半純函數(shù)，也稱解析函數(shù)，就是說它沒有任何極點。根據(jù)劉維爾定理，在緊致流形上，全純函數(shù)只能是常值函數(shù)。任何有理函數(shù)（即通過多項式加減乘除得到的函數(shù)）都是半純函數(shù)。第十九頁，共二十六頁，2022年，8月28日

留數(shù)(又稱殘數(shù)residue)，復變函數(shù)論中一個重要的概念。解析函數(shù)?(z)在孤立奇點z=α處的洛朗展開式(見洛朗級數(shù))中，(z－α)-1項的系數(shù)с-1稱為?(z)在z=α處的留數(shù),記作或Res?(α)。它等于，式中Г是以α為中心的充分小的圓周。

留數(shù)的概念最早由A.-L.柯西于1825年提出。由于對函數(shù)的洛朗展開式進行積分時只留下一項(z-α)-1,因此稱為留數(shù)。它在很多問題上都有重要應用，如定積分計算，函數(shù)零點與極點個數(shù)的計算，將亞純函數(shù)展開為部分分式,將整函數(shù)展開為無窮乘積，穩(wěn)定性理論,漸近估計等。

第二十頁，共二十六頁，2022年，8月28日

設函數(shù)?(z)以z=α為n級極點，則當n=1時，就有特別地，當式中φ(z)和ψ(z)都在z=α處解析，ψ(z)以z=α為一級零點，φ(α)≠0，則第二十一頁，共二十六頁，2022年，8月28日微層劃分反演問題的關鍵：將實測的展成上面所示的連分式形式。微層劃分原則：可以近似的把每層中的和看為隨深度變化的線性函數(shù)。則對K層有：由一維介質中電磁波滿足Helmholtz方程知：

帶入上式得到：第二十二頁，共二十六頁，2022年，8月28日連分式模型根據(jù)