非參數(shù)回歸的介紹

非參數(shù)回歸的介紹第一頁，共六十一頁，2022年，8月28日參數(shù)回歸與非參數(shù)回歸的優(yōu)缺點比較：參數(shù)回歸：非參數(shù)回歸：優(yōu)點：(1).模型形式簡單明確，僅由一些參數(shù)表達(2).在經(jīng)濟中，模型的參數(shù)具有一般都具有明確的經(jīng)濟含義(3).當(dāng)模型參數(shù)假設(shè)成立，統(tǒng)計推斷的精度較高，能經(jīng)受實際檢驗(4).模型能夠進行外推運算(5).模型可以用于小樣本的統(tǒng)計推斷缺點：(1).回歸函數(shù)的形式預(yù)先假定(2).模型限制較多：一般要求樣本滿足某種分布要求，隨機誤差滿足

正態(tài)假設(shè)，解釋變量間獨立，解釋變量與隨機誤差不相關(guān)，等(3)需要對模型的參數(shù)進行嚴(yán)格的檢驗推斷，步驟較多(4).模型泛化能力弱，缺乏穩(wěn)健性，當(dāng)模型假設(shè)不成立，擬合效果

不好，需要修正或者甚至更換模型優(yōu)點；(1)回歸函數(shù)形式自由，受約束少，對數(shù)據(jù)的分布一般不做任何要求(2)適應(yīng)能力強，穩(wěn)健性高，回歸模型完全由數(shù)據(jù)驅(qū)動(3)模型的精度高;(4)對于非線性、非齊次問題，有非常好的效果缺點：(1)不能進行外推運算,(2)估計的收斂速度慢(3)一般只有在大樣本的情況下才能得到很好的效果，

而小樣本的效果較差(4)高維詛咒,光滑參數(shù)的選取一般較復(fù)雜2第二頁，共六十一頁，2022年，8月28日非參數(shù)回歸方法樣條光滑正交回歸核回歸：N-W估計、P-C估計、G-M估計局部多項式回歸：線性、多項式光滑樣條：光滑樣條、B樣條近鄰回歸：k-NN、k近鄰核、對稱近鄰正交級數(shù)光滑穩(wěn)健回歸：LOWESS、L光滑、R光滑、M光滑局部回歸Fourier級數(shù)光滑wavelet光滑處理高維的非參數(shù)方法：多元局部回歸、薄片樣條、

可加模型、投影尋蹤、

回歸樹、張量積，等3第三頁，共六十一頁，2022年，8月28日核函數(shù)K：函數(shù)K(.)滿足:常見的核函數(shù)：Boxcar核：Gaussian核：Epanechnikov核：tricube核：為示性函數(shù)4第四頁，共六十一頁，2022年，8月28日回歸模型：(1)模型為隨機設(shè)計模型,樣本觀測(Xi,Yi)~iid(2)模型為固定設(shè)計模型Xi為R中n個試驗點列,i=1,2,…,nYi為固定Xi的n次獨立觀測，i=1,2,…,nm(x)為為一未知函數(shù)，用一些方法來擬合定義：線性光滑器(linearsmoother)5第五頁，共六十一頁，2022年，8月28日光滑參數(shù)的選取風(fēng)險(均方誤差)

(meansquarederror,MSE)理想的情況是希望選擇合適的光滑參數(shù)h，使得通過樣本數(shù)據(jù)擬合的回歸曲線能夠最好的逼近真實的回歸曲線(即達到風(fēng)險最小)，這里真實回歸函數(shù)m(x)一般是未知的。

可能會想到用平均殘差平方和來估計風(fēng)險R(h)但是這并不是一個好的估計，會導(dǎo)致過擬合（欠光滑），原因在于兩次利用了數(shù)據(jù)，一次估計函數(shù)，一次估計風(fēng)險。我們選擇的函數(shù)估計就是使得殘差平方和達到最小，因此它傾向于低估了風(fēng)險。是

的估計，h是光滑參數(shù)，稱為帶寬或窗寬6第六頁，共六十一頁，2022年，8月28日光滑參數(shù)的選取缺一交叉驗證方法(leave-one-outcrossvalidation,CV)這里是略去第i個數(shù)據(jù)點后得到的函數(shù)估計交叉驗證的直觀意義：因此：7第七頁，共六十一頁，2022年，8月28日光滑參數(shù)的選取定理：若那么缺一交叉驗證得分

能夠?qū)懗桑哼@里是光滑矩陣L的第i個對角線元素廣義交叉驗證(generalizedcross-validation,GCV)其中：為有效自由度8第八頁，共六十一頁，2022年，8月28日光滑參數(shù)的選取其他標(biāo)準(zhǔn)(1)直接插入法(DirectPlug-In,DPI)相關(guān)文獻可以參考：

WolfgangH?rdle(1994)，AppliedNonparametricRegression，BerlinJeffreyD.Hart(1997),NonparametricSmoothingandLack-of-FitTests，SpringerSeriesinStatistics李竹渝、魯萬波、龔金國(2007)，經(jīng)濟、金融計量學(xué)中的非參數(shù)估計技術(shù)，科學(xué)出版社，北京

吳喜之譯(2008)，現(xiàn)代非參數(shù)統(tǒng)計，科學(xué)出版社，北京

(2)罰函數(shù)法(penalizingfunction)(3)單邊交叉驗證(OneSidedCrossValidation，OSCV)(4)拇指規(guī)則(RuleOfThumb)9第九頁，共六十一頁，2022年，8月28日1.核回歸（核光滑）N-W估計是一種簡單的加權(quán)平均估計，可以寫成線性光滑器：局部回歸由Nadaraya(1964)和Watson(1964)分別提出，（1）N-W估計形式：其中：,為核函數(shù)，為帶寬或窗寬10第十頁，共六十一頁，2022年，8月28日局部回歸（2）P-C-估計由Priestley

andChao(1972)提出，形式：寫成線性光滑器的形式：在隨機設(shè)計模型下，P-C估計可由x的密度估計：推導(dǎo)出來，相關(guān)文獻可參考h?rdle(1994)和李竹渝等(2007)11第十一頁，共六十一頁，2022年，8月28日局部回歸(3)G-M估計由GasserandMüller(1979)提出，形式如下:其中寫成線性光滑器的形式:G-M估計是卷積形式的估計，P-C估計可看成G-M估計的近似:當(dāng)K連續(xù)12第十二頁，共六十一頁，2022年，8月28日局部回歸核估計存在邊界效應(yīng)，邊界點的估計偏差較大,以N-W估計為例，如下圖13第十三頁，共六十一頁，2022年，8月28日局部回歸一般，核函數(shù)的選取并不是很重要，重要的是帶寬的選取14第十四頁，共六十一頁，2022年，8月28日局部回歸一般，核函數(shù)的選取并不是很重要，重要的是帶寬的選取15第十五頁，共六十一頁，2022年，8月28日局部回歸一般，核函數(shù)的選取并不是很重要，重要的是帶寬的選取可以看到：擬合曲線的光滑度受到光滑參數(shù)h變化的影響16第十六頁，共六十一頁，2022年，8月28日局部回歸核估計的漸近方差核漸近偏差核估計漸近偏差漸近方差N-W估計

G-M估計

其中，h為光滑參數(shù)，f為X的密度函數(shù)，且17第十七頁，共六十一頁，2022年，8月28日局部回歸

2.局部多項式光滑多項式的回歸模型其中可由最小二乘法估計,即局部多項式回歸：對m(x)在u處進行p階泰勒展開，略去p階高階無窮小量，得到m(x)在u處的一個p階多項式近似，即此時，x應(yīng)該靠近u，且18第十八頁，共六十一頁，2022年，8月28日局部回歸通過最小二乘來估計系數(shù)注意：是在x的一個鄰域內(nèi)進行多項式估計，因此，最小二乘應(yīng)該與x的鄰域有關(guān)局部加權(quán)平方和：使上述問題最小化，可以得到系數(shù)的局部多項式的最小二乘估計可以很容易得到，取p=0時為局部常數(shù)估計，即N-W核估計取p=1，為局部線性估計19第十九頁，共六十一頁，2022年，8月28日局部回歸寫成矩陣形式：使上式最小化，可以得到系數(shù)的估計其中20第二十頁，共六十一頁，2022年，8月28日局部回歸得到加權(quán)最小二乘估計當(dāng)p=1時（局部線性估計）的漸近偏差和漸近方差其中可以看到局部線性回歸的漸近方差和N-W估計相同，而漸近偏差卻比N-W回歸小，說明局部線性多項式可以減少邊界效應(yīng)，局部線性估計由于N-W估計21第二十一頁，共六十一頁，2022年，8月28日局部回歸局部多項式光滑可以很好的減少邊界效應(yīng)22第二十二頁，共六十一頁，2022年，8月28日局部回歸檢驗函數(shù)(Doppler函數(shù))23第二十三頁，共六十一頁，2022年，8月28日局部回歸使用GCV選取最優(yōu)帶寬h=0.017，權(quán)函數(shù)為tricube核函數(shù)24第二十四頁，共六十一頁，2022年，8月28日局部回歸使用GCV選取最優(yōu)帶寬h=0.017，權(quán)函數(shù)為tricube核函數(shù)25第二十五頁，共六十一頁，2022年，8月28日局部回歸3.近鄰光滑(1)k-NN回歸(k-nearestneighborregression)其中={i:xi是離x最近的k個觀測值之一}K-NN估計的漸近偏差和漸近方差：對于隨機設(shè)計模型，近鄰估計寫成線性光滑器的形式權(quán)函數(shù)：26第二十六頁，共六十一頁，2022年，8月28日局部回歸(1)k-NN回歸(k-nearestneighborregression)27第二十七頁，共六十一頁，2022年，8月28日局部回歸(1)k-NN回歸(k-nearestneighborregression)28第二十八頁，共六十一頁，2022年，8月28日局部回歸(2)k-近鄰核回歸K近鄰核估計的權(quán)重其中R為xi中離x最近的第k個距離，K為核函數(shù)漸近偏差和漸近方差：29第二十九頁，共六十一頁，2022年，8月28日局部回歸(2)k-近鄰核回歸30第三十頁，共六十一頁，2022年，8月28日局部回歸(2)k-近鄰核回歸31第三十一頁，共六十一頁，2022年，8月28日局部回歸(3)對稱化近鄰回歸(SymmetrizedNearestNeighborEstimate)Yang(1981)，Stute(1984)研究了這種估計其中權(quán)重寫成線性光滑器這里的k(h)相當(dāng)于nh,可以看出實質(zhì)上相當(dāng)于nh個Yi值加權(quán)平均32第三十二頁，共六十一頁，2022年，8月28日局部回歸4.穩(wěn)健光滑(1)局部加權(quán)描點光滑(LocallyWeightedScatterplotSmoothing,LOWESS)Step1:在x的鄰域內(nèi)，用一個多項式進行擬合，求出系數(shù){βj}其中Wki(x)為k-NN權(quán)Step2:根據(jù)殘差計算尺度估計，定義穩(wěn)健權(quán)重Step3:用新的權(quán)重

重復(fù)Step1、Step2，直到第N次結(jié)束33第三十三頁，共六十一頁，2022年，8月28日(1)局部加權(quán)描點光滑(LOWESS)局部回歸34第三十四頁，共六十一頁，2022年，8月28日(1)局部加權(quán)描點光滑(LOWESS)局部回歸35第三十五頁，共六十一頁，2022年，8月28日局部回歸(2)L-

光滑條件L函數(shù)其中

為條件分位數(shù)函數(shù)特別：a)當(dāng)

時b)當(dāng)

時，為中位數(shù)光滑其中={i:xi是離x最近的k個觀測值之一}36第三十六頁，共六十一頁，2022年，8月28日局部回歸(2)L-

光滑對于條件L函數(shù)其中用

來估計F(y|x)得到L-估計37第三十七頁，共六十一頁，2022年，8月28日局部回歸(3)M-

光滑(局部)最小二乘方法得到的光滑估計是通過考慮損失函數(shù)為二次函數(shù)得到的，現(xiàn)在考慮損失函數(shù)c較大時，為普通的二次損失函數(shù)，c較小(≈1倍或2倍觀測誤差的標(biāo)準(zhǔn)差)可以獲得更多的穩(wěn)健性38第三十八頁，共六十一頁，2022年，8月28日局部回歸M-樣條(Cox,1983)核M-光滑(kernelM-smoother)(Hubber,1979;Silverman,1985)39第三十九頁，共六十一頁，2022年，8月28日局部回歸(3)R-光滑定義得分函數(shù)其中J是定義在(0,1)上的非減函數(shù)，滿足J(1-s)=J(s)用來估計F(y|x)，則

應(yīng)該粗略地接近0對于

，則ChengandCheng(1986)提出的R-估計：40第四十頁，共六十一頁，2022年，8月28日樣條回歸設(shè)m(x)在[a,b]連續(xù)可微，且二階導(dǎo)數(shù)平方可積考查形式其中為粗糙懲罰1.光滑樣條41第四十一頁，共六十一頁，2022年，8月28日樣條回歸定義一組樣條基函數(shù)：注意，這里樣條基函數(shù)可以是其他樣條基

如:B樣條基(吳喜之譯(2008))樣條42第四十二頁，共六十一頁，2022年，8月28日樣條回歸將前面的優(yōu)化問題寫成矩陣形式：其中

上述問題的最優(yōu)解其中43第四十三頁，共六十一頁，2022年，8月28日樣條回歸下面的圖利用的是B樣條基函數(shù)，44第四十四頁，共六十一頁，2022年，8月28日樣條回歸下面的圖利用的是B樣條基函數(shù)，45第四十五頁，共六十一頁，2022年，8月28日樣條回歸下面的圖利用的是B樣條基函數(shù)，46第四十六頁，共六十一頁，2022年，8月28日正交光滑1.正交多項式回歸回歸函數(shù)其中是正交基函數(shù)，如Laguerre,Legendre正交多項式正交基滿足系數(shù)系數(shù)估計如47第四十七頁，共六十一頁，2022年，8月28日正交光滑回歸函數(shù)估計寫成線性光滑器：48第四十八頁，共六十一頁，2022年，8月28日Legendre正交多項式正交光滑49第四十九頁，共六十一頁，2022年，8月28日正交光滑2.Fourier級數(shù)光滑在實際中，將無窮用有限值r替換，r稱為截斷點，相當(dāng)于光滑參數(shù)是正交cosine基空間系數(shù)系數(shù)的估計其中50第五十頁，共六十一頁，2022年，8月28日正交光滑m(x)的估計將代入，得其中可以看到上面的估計與G-M估計有相同的表達形式，都為卷積形式，只是核函數(shù)不相同51第五十一頁，共六十一頁，2022年，8月28日正交光滑另外一種的Fourier估計一般要求：同樣可以寫