中考數(shù)學(xué)-二次函數(shù)知識點總結(jié)及相關(guān)題型-北師大版

二次函數(shù)知識點總結(jié)1.定義：一般地，如果是常數(shù)，，那么叫做的二次函數(shù).2.二次函數(shù)的性質(zhì):（1）拋物線的頂點是坐標(biāo)原點，對稱軸是軸.（2）函數(shù)的圖像與的符號關(guān)系.①當(dāng)時拋物線開口向上頂點為其最低點；②當(dāng)時拋物線開口向下頂點為其最高點.（3）頂點是坐標(biāo)原點，對稱軸是軸的拋物線的解析式形式為.3.二次函數(shù)的圖像是對稱軸平行于（包括重合）軸的拋物線.4.二次函數(shù)用配方法可化成：的形式，其中.5.二次函數(shù)由特殊到一般，可分為以下幾種形式：①；②；③；④；⑤.6.拋物線的三要素：開口方向、對稱軸、頂點.①的符號決定拋物線的開口方向：當(dāng)時，開口向上；當(dāng)時，開口向下；相等，拋物線的開口大小、形狀相同.②平行于軸（或重合）的直線記作.特別地，軸記作直線.7.頂點決定拋物線的位置.幾個不同的二次函數(shù)，如果二次項系數(shù)相同，那么拋物線的開口方向、開口大小完全相同，只是頂點的位置不同.8.求拋物線的頂點、對稱軸的方法（1）公式法：，∴頂點是，對稱軸是直線.（2）配方法：運(yùn)用配方的方法，將拋物線的解析式化為的形式，得到頂點為(,)，對稱軸是直線.（3）運(yùn)用拋物線的對稱性：由于拋物線是以對稱軸為軸的軸對稱圖形，所以對稱軸的連線的垂直平分線是拋物線的對稱軸，對稱軸與拋物線的交點是頂點.9.拋物線中，的作用（1）決定開口方向及開口大小，這與中的完全一樣.（2）和共同決定拋物線對稱軸的位置.由于拋物線的對稱軸是直線，故：①時，對稱軸為軸；②（即、同號）時，對稱軸在軸左側(cè)；③（即、異號）時，對稱軸在軸右側(cè).（3）的大小決定拋物線與軸交點的位置.當(dāng)時，，∴拋物線與軸有且只有一個交點（0，）：①，拋物線經(jīng)過原點;②,與軸交于正半軸；③,與軸交于負(fù)半軸.以上三點中，當(dāng)結(jié)論和條件互換時，仍成立.如拋物線的對稱軸在軸右側(cè)，則.10.幾種特殊的二次函數(shù)的圖像特征如下：函數(shù)解析式開口方向?qū)ΨQ軸頂點坐標(biāo)當(dāng)時開口向上當(dāng)時開口向下（軸）（0,0）（軸）(0,)(,0)(,)()11.用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式（1）一般式：.已知圖像上三點或三對、的值，通常選擇一般式.（2）頂點式：.已知圖像的頂點或?qū)ΨQ軸，通常選擇頂點式.（3）交點式：已知圖像與軸的交點坐標(biāo)、，通常選用交點式：.12.直線與拋物線的交點（1）軸與拋物線得交點為(0,).（2）與軸平行的直線與拋物線有且只有一個交點(,).（3）拋物線與軸的交點:二次函數(shù)的圖像與軸的兩個交點的橫坐標(biāo)、，是對應(yīng)一元二次方程的兩個實數(shù)根.拋物線與軸的交點情況可以由對應(yīng)的一元二次方程的根的判別式判定：①有兩個交點拋物線與軸相交；②有一個交點（頂點在軸上）拋物線與軸相切；③沒有交點拋物線與軸相離.（4）平行于軸的直線與拋物線的交點同（3）一樣可能有0個交點、1個交點、2個交點.當(dāng)有2個交點時，兩交點的縱坐標(biāo)相等，設(shè)縱坐標(biāo)為，則橫坐標(biāo)是的兩個實數(shù)根.（5）一次函數(shù)的圖像與二次函數(shù)的圖像的交點，由方程組的解的數(shù)目來確定：①方程組有兩組不同的解時與有兩個交點;②方程組只有一組解時與只有一個交點；③方程組無解時與沒有交點.（6）拋物線與軸兩交點之間的距離：若拋物線與軸兩交點為，由于、是方程的兩個根，故第二部分典型習(xí)題１.拋物線y＝x2＋2x－2的頂點坐標(biāo)是（D）A.（2，－2）B.（1，－2）C.（1，－3）D.（－1，－3）２.已知二次函數(shù)的圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（C）Ａ．a(chǎn)b＞0，c＞0Ｂ．a(chǎn)b＞0，c＜0Ｃ．a(chǎn)b＜0，c＞0Ｄ．a(chǎn)b＜0，c＜0第２,３題圖第4題圖３.二次函數(shù)的圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（Ｄ）A．a(chǎn)＞0，b＜0，c＞0B．a(chǎn)＜0，b＜0，c＞0C．a(chǎn)＜0，b＞0，c＜0D．a(chǎn)＜0，b＞0，c＞0４.如圖，已知中，BC=8，BC上的高，D為BC上一點，，交AB于點E，交AC于點F（EF不過A、B），設(shè)E到BC的距離為，則的面積關(guān)于的函數(shù)的圖象大致為（Ｄ）５.拋物線與x軸分別交于A、B兩點，則AB的長為4．6.已知二次函數(shù)與x軸交點的橫坐標(biāo)為、（），則對于下列結(jié)論：①當(dāng)x＝－2時，y＝1；②當(dāng)時，y＞0；③方程有兩個不相等的實數(shù)根、；④，；⑤，其中所有正確的結(jié)論是①③④（只需填寫序號）．7.已知直線與x軸交于點A，與y軸交于點B；一拋物線的解析式為.（1）若該拋物線過點B，且它的頂點P在直線上，試確定這條拋物線的解析式；（2）過點B作直線BC⊥AB交x軸交于點C，若拋物線的對稱軸恰好過C點，試確定直線的解析式.解：（1）或?qū)⒋?，?頂點坐標(biāo)為，由題意得，解得.（2）8.有一個運(yùn)算裝置，當(dāng)輸入值為x時，其輸出值為，且是x的二次函數(shù)，已知輸入值為,0,時,相應(yīng)的輸出值分別為5,,．（1）求此二次函數(shù)的解析式；（2）在所給的坐標(biāo)系中畫出這個二次函數(shù)的圖象,并根據(jù)圖象寫出當(dāng)輸出值為正數(shù)時輸入值的取值范圍.解：（1）設(shè)所求二次函數(shù)的解析式為,yOx則,即,解得yOx故所求的解析式為:.（2)函數(shù)圖象如圖所示.由圖象可得，當(dāng)輸出值為正數(shù)時，輸入值的取值范圍是或．第9題9.某生物興趣小組在四天的實驗研究中發(fā)現(xiàn)：駱駝的體溫會隨外部環(huán)境溫度的變化而變化，而且在這四天中每晝夜的體溫變化情況相同．他們將一頭駱駝前兩晝夜的體溫變化情況繪制成下圖．請根據(jù)圖象回答：第9題⑴第一天中，在什么時間范圍內(nèi)這頭駱駝的體溫是上升的?它的體溫從最低上升到最高需要多少時間?⑵第三天12時這頭駱駝的體溫是多少?⑶興趣小組又在研究中發(fā)現(xiàn)，圖中10時到22時的曲線是拋物線，求該拋物線的解析式．解：⑴第一天中，從4時到16時這頭駱駝的體溫是上升的它的體溫從最低上升到最高需要12小時⑵第三天12時這頭駱駝的體溫是39℃⑶10.已知拋物線與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C．是否存在實數(shù)a，使得△ABC為直角三角形．若存在，請求出a的值；若不存在，請說明理由．解：依題意，得點C的坐標(biāo)為（0，4）．設(shè)點A、B的坐標(biāo)分別為（，0），（，0），由，解得，．∴點A、B的坐標(biāo)分別為（-3，0），（，0）．∴，，．∴，，．〈ⅰ〉當(dāng)時，∠ACB＝90°．由，得．解得．∴當(dāng)時，點B的坐標(biāo)為（，0），，，．于是．∴當(dāng)時，△ABC為直角三角形．〈ⅱ〉當(dāng)時，∠ABC＝90°．由，得．解得．當(dāng)時，，點B（-3，0）與點A重合，不合題意．〈?！诞?dāng)時，∠BAC＝90°．由，得．解得．不合題意．綜合〈ⅰ〉、〈ⅱ〉、〈?！?，當(dāng)時，△ABC為直角三角形．11.已知拋物線y＝－x2＋mx－m＋2.（1）若拋物線與x軸的兩個交點A、B分別在原點的兩側(cè)，并且AB＝，試求m的值；（2）設(shè)C為拋物線與y軸的交點，若拋物線上存在關(guān)于原點對稱的兩點M、N，并且△MNC的面積等于27，試求m的值.解:(1)Ａ（x1，0）,B(x2，0).則x1，x2是方程x2－mx＋m－2＝0的兩根.∵x1＋x2＝m,x1·x2=m－2＜0即m＜2;又AB＝∣x1—x2∣＝,∴m2－4m＋3=0.NMCxyO解得：m=1或NMCxyO（2）M(a，b)，則N(－a，－b).∵M(jìn)、N是拋物線上的兩點,∴①＋②得：－2a2－2m＋4＝0.∴a2＝－m＋2.∴當(dāng)m＜2時，才存在滿足條件中的兩點M、N.∴.這時M、N到y(tǒng)軸的距離均為,又點C坐標(biāo)為（0，2－m）,而S△MNC=27,∴2××（2－m）×=27.∴解得m=－7.12.已知：拋物線與x軸的一個交點為A（－1，0）．（1）求拋物線與x軸的另一個交點B的坐標(biāo)；（2）D是拋物線與y軸的交點，C是拋物線上的一點，且以AB為一底的梯形ABCD的面積為9，求此拋物線的解析式；（3）E是第二象限內(nèi)到x軸、y軸的距離的比為5∶2的點，如果點E在（2）中的拋物線上，且它與點A在此拋物線對稱軸的同側(cè)，問：在拋物線的對稱軸上是否存在點P，使△APE的周長最小?若存在，求出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．解法一：（1）依題意，拋物線的對稱軸為x＝－2．∵拋物線與x軸的一個交點為A（－1，0），∴由拋物線的對稱性，可得拋物線與x軸的另一個交點B的坐標(biāo)為（－3，0）．（2）∵拋物線與x軸的一個交點為A（－1，0），∴．∴t＝3a．∴．∴D（0，3a）．∴梯形ABCD中，AB∥CD，且點C在拋物線上，∵C（－4，3a）．∴AB＝2，CD＝4．∵梯形ABCD的面積為9，∴．∴．∴a±1．∴所求拋物線的解析式為或．（3）設(shè)點E坐標(biāo)為（，）.依題意，，，且．∴．①設(shè)點E在拋物線上，∴．解方程組得∵點E與點A在對稱軸x＝－2的同側(cè)，∴點E坐標(biāo)為（，）．設(shè)在拋物線的對稱軸x＝－2上存在一點P，使△APE的周長最?。逜E長為定值，∴要使△APE的周長最小，只須PA＋PE最?。帱cA關(guān)于對稱軸x＝－2的對稱點是B（－3，0），∴由幾何知識可知，P是直線BE與對稱軸x＝－2的交點．設(shè)過點E、B的直線的解析式為，∴解得∴直線BE的解析式為．∴把x＝－2代入上式，得．∴點P坐標(biāo)為（－2，）．②設(shè)點E在拋物線上，∴．解方程組消去，得．∴△＜0.∴此方程無實數(shù)根．綜上，在拋物線的對稱軸上存在點P（－2，），使△APE的周長最?。夥ǘ海?）∵拋物線與x軸的一個交點為A（－1，0），∴．∴t＝3a．∴．令y＝0，即．解得，．∴拋物線與x軸的另一個交點B的坐標(biāo)為（－3，0）．（2）由，得D（0，3a）．∵梯形ABCD中，AB∥CD，且點C在拋物線上，∴C（－4，3a）．∴AB＝2，CD＝4．∵梯形ABCD的面積為9，∴．解得OD＝3．∴．∴a±1．∴所求拋物線的解析式為或．（3）同解法一得，P是直線BE與對稱軸x＝－2的交點．∴如圖，過點E作EQ⊥x軸于點Q．設(shè)對稱軸與x軸的交點為F．由PF∥EQ，可得．∴．∴．∴點P坐標(biāo)為（－2，）．以下同解法一．13.已知二次函數(shù)的圖象如圖所示．（1）求二次函數(shù)的解析式及拋物線頂點M的坐標(biāo)．（2）若點N為線段BM上的一點，過點N作x軸的垂線，垂足為點Q．當(dāng)點N在線段BM上運(yùn)動時（點N不與點B，點M重合），設(shè)NQ的長為l，四邊形NQAC的面積為S，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式及自變量t的取值范圍；（3）在對稱軸右側(cè)的拋物線上是否存在點P，使△PAC為直角三角形?若存在，求出所有符合條件的點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；（4）將△OAC補(bǔ)成矩形，使△OAC的兩個頂點成為矩形一邊的兩個頂點，第三個頂點落在矩形這一邊的對邊上，試直接寫出矩形的未知的頂點坐標(biāo)（不需要計算過程）．解：（1）設(shè)拋物線的解析式，∴．∴．∴．其頂點M的坐標(biāo)是．（2）設(shè)線段BM所在的直線的解析式為，點N的坐標(biāo)為N（t，h），∴．解得，．∴線段BM所在的直線的解析式為．∴，其中．∴．∴s與t間的函數(shù)關(guān)系式是，自變量t的取值范圍是．（3）存在符合條件的點P，且坐標(biāo)是，．設(shè)點P的坐標(biāo)為P，則．，．分以下幾種情況討論：i）若∠PAC＝90°，則．∴解得：，（舍去）．∴點．ii）若∠PCA＝90°，則．∴解得：（舍去）．∴點．iii）由圖象觀察得，當(dāng)點P在對稱軸右側(cè)時，，所以邊AC的對角∠APC不可能是直角．（4）以點O，點A（或點O，點C）為矩形的兩個頂點，第三個頂點落在矩形這邊OA（或邊OC）的對邊上，如圖a，此時未知頂點坐標(biāo)是點D（－1，－2），以點A，點C為矩形的兩個頂點，第三個頂點落在矩形這一邊AC的對邊上，如圖b，此時未知頂點坐標(biāo)是E，F(xiàn)．圖a圖b14.已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點（1，－1）．求這個二次函數(shù)的解析式，并判斷該函數(shù)圖象與x軸的交點的個數(shù)．解：根據(jù)題意，得a－2＝－1.∴a＝1．∴這個二次函數(shù)解析式是．因為這個二次函數(shù)圖象的開口向上，頂點坐標(biāo)是（0，－2），所以該函數(shù)圖象與x軸有兩個交點．15.盧浦大橋拱形可以近似看作拋物線的一部分．在大橋截面1∶11000的比例圖上，跨度AB＝5cm，拱高OC＝0.9cm，線段DE表示大橋拱內(nèi)橋長，DE∥AB，如圖（1）．在比例圖上，以直線AB為x軸，拋物線的對稱軸為y軸，以1cm作為數(shù)軸的單位長度，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖（2）．（1）求出圖（2）上以這一部分拋物線為圖象的函數(shù)解析式，寫出函數(shù)定義域；（2）如果DE與AB的距離OM＝0.45cm，求盧浦大橋拱內(nèi)實際橋長（備用數(shù)據(jù)：，計算結(jié)果精確到1米）．解：（1）由于頂點C在y軸上，所以設(shè)以這部分拋物線為圖象的函數(shù)解析式為．因為點A（，0）（或B（，0））在拋物線上，所以，得．因此所求函數(shù)解析式為．（2）因為點D、E的縱坐標(biāo)為，所以，得．所以點D的坐標(biāo)為（，），點E的坐標(biāo)為（，）．所以．因此盧浦大橋拱內(nèi)實際橋長為（米）．16.已知在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，O為坐標(biāo)原點，A、B是x軸正半軸上的兩點，點A在點B的左側(cè)，如圖．二次函數(shù)（a≠0）的圖象經(jīng)過點A、B，與y軸相交于點C．（1）a、c的符號之間有何關(guān)系?（2）如果線段OC的長度是線段OA、OB長度的比例中項，試證a、c互為倒數(shù)；（3）在（2）的條件下，如果b＝－4，，求a、c的值．解:（1）a、c同號．或當(dāng)a＞0時，c＞0；當(dāng)a＜0時，c＜0．（2）證明：設(shè)點A的坐標(biāo)為（，0），點B的坐標(biāo)為（，0），則．∴，