彈性力學與有限元完整演示文稿

彈性力學與有限元完整版演示文稿現(xiàn)在是1頁\一共有161頁\編輯于星期五優(yōu)選彈性力學與有限元完整版現(xiàn)在是2頁\一共有161頁\編輯于星期五第一篇彈性力學第一章彈性力學基本方程1.1緒論1.2彈性力學的基本假定1.3幾個基本概念1.4彈性力學基本方程第二章彈性力學平面問題2.1平面應力問題2.2平面應變問題2.3平面問題的基本方程第三章彈性力學問題求解方法簡述

現(xiàn)在是3頁\一共有161頁\編輯于星期五第一章彈性力學基本方程1.1緒論1.2彈性力學的基本假定1.3幾個基本概念1.4彈性力學基本方程現(xiàn)在是4頁\一共有161頁\編輯于星期五應力應變位移彈性體外界作用彈性力學基本內容外力溫度變化現(xiàn)在是5頁\一共有161頁\編輯于星期五彈性力學，又稱彈性理論。是研究彈性體由于外力載荷或者溫度改變，物體內部所產(chǎn)生的位移、變形和應力分布等。為解決工程結構的強度，剛度和穩(wěn)定性問題作準備。彈性力學的研究對象：是完全彈性體，包括構件、板和三維彈性體，比材料力學和結構力學的研究范圍更為廣泛。研究的內容：外力作用下應力、應變、位移1.1彈性力學緒論現(xiàn)在是6頁\一共有161頁\編輯于星期五物體變形——彈性變形、塑性變形彈性變形：當外力撤去以后恢復到原始狀態(tài)，沒有變形殘留，材料的應力和應變之間具有一一對應的關系。與時間無關，也與變形歷史無關。塑性變形：當外力撤去以后尚殘留部分變形量，不能恢復到原始狀態(tài)，——即存在永久變形。應力和應變之間的關系不再一一對應，與時間、與加載歷程有關?，F(xiàn)在是7頁\一共有161頁\編輯于星期五彈性：假定“完全彈性”關系，是抽象出來的理想模型。完全彈性是指在一定溫度條件下，材料的應力和應變之間具有一一對應的關系。應力—應變關系稱為本構關系。材料模型包括：線性彈性體非線性彈性體現(xiàn)在是8頁\一共有161頁\編輯于星期五1.2彈性力學的基本假定連續(xù)性假設根據(jù)這一假設，物體的所有物理量，例如位移、應變和應力等均成為物體所占空間的連續(xù)函數(shù)。均勻性假設

假設彈性物體是由同一類型的均勻材料組成的，物體各個部分的物理性質都是相同的，不隨坐標位置的變化而改變。在處理問題時，可以取出物體的任意一個小部分討論?！，F(xiàn)在是9頁\一共有161頁\編輯于星期五

3.各向同性假設

假定物體在各個不同的方向上具有相同的物理性質，物體的彈性常數(shù)不隨坐標方向變化。

像木材、竹子以及纖維增強材料等，屬于各向異性材料，它們是復合材料力學研究的對象。

4.完全彈性假設

應力和應變之間存在一一對應關系，與時間及變形歷史無關。滿足胡克定理。5.小變形假設

在彈性體的平衡等問題討論時，不考慮因變形所引起的幾何尺寸變化，使用物體變形前的幾何尺寸來替代變形后的尺寸。采用這一假設，在基本方程中，略去位移、應變和應力分量的高階小量，使基本方程成為線性的偏微分方程組?，F(xiàn)在是10頁\一共有161頁\編輯于星期五1.3幾個基本概念外力一點的應力狀態(tài)一點的形變位移分量現(xiàn)在是11頁\一共有161頁\編輯于星期五作用于物體的外力可以分為3種類型：體力、面力、集中力。體力——就是分布在物體整個體積內部各個質點上的力，又稱為質量力。例如物體的重力，慣性力，電磁力等等。面力——是分布在物體表面上的力，例如風力，靜水壓力，物體之間的接觸力等。集中力——作用物體一點上的力。（在彈性力學中一般不用，而在有限元中經(jīng)常出現(xiàn)）1外力現(xiàn)在是12頁\一共有161頁\編輯于星期五①體力物體任意一點P所受體力的大小和方向，在P點區(qū)域取一微小體積元素△V，設△V的體力合力為△F，則△V的平均體力為當△V

趨近于0，則為P點的體力現(xiàn)在是13頁\一共有161頁\編輯于星期五

體力是矢量：一般情況下，物體每個點體力的大小和方向不同。體力分量：將體力沿三個坐標軸xyz分解，用X、Y、Z表示，稱為體力分量。符號規(guī)定：與坐標軸方向一致為正，反之為負。

應該注意的是：在彈性力學中，體力是指單位體積的力。體力的因次：[力]/[長度]^3表示：F={XYZ}現(xiàn)在是14頁\一共有161頁\編輯于星期五②面力與體力相似，在物體表面上任意一點P所受面力的大小和方向，在P點區(qū)域取微小面積元素△S

，當△S

趨近于0，則為P點的面力面力分量符號規(guī)定：與坐標軸方向一致為正，反之為負。面力的因次：[力]/[長度]^2現(xiàn)在是15頁\一共有161頁\編輯于星期五③集中力

體力與面力都是分布力，集中力則只是作用在一個點上，作用區(qū)域△V或△S很小，但數(shù)值很大，這種形式的力可以認為是集中力。集中力分量：集中力直接將其沿三個坐標軸分解，用X0、Y0、Z0表示，即集中力力分量。符號規(guī)定：與坐標軸方向一致為正，反之為負。

體力的因次：[力]現(xiàn)在是16頁\一共有161頁\編輯于星期五2一點的應力狀態(tài)現(xiàn)在是17頁\一共有161頁\編輯于星期五①應力表示方法材料力學中接觸過斜截面上的應力，斜截面上應力可以分成正應力、剪應力；復雜物體任意截面上的應力可分為

1個與平面垂直的正應力、2個平面內剪應力?，F(xiàn)在是18頁\一共有161頁\編輯于星期五X面Y面Z面正應力分量3個：剪應力分量6個：現(xiàn)在是19頁\一共有161頁\編輯于星期五正面負面X面Y面Z面②應力符號意義剪應力：正應力：由法線方向確定作用面

作用方向

符號規(guī)定：

正面上與坐標軸正向一致，為正；負面上與坐標軸負向一致，為正?，F(xiàn)在是20頁\一共有161頁\編輯于星期五③剪應力互等定理剪應力不再區(qū)分哪個是作用面或作用方向。應力分量：相等現(xiàn)在是21頁\一共有161頁\編輯于星期五3一點應變分量①微分單元體的變形：微分單元體棱邊的伸長和縮短；正應變棱邊之間夾角的變化；剪應變

正應變分量3個：剪應變分量3個：現(xiàn)在是22頁\一共有161頁\編輯于星期五②應變的定義（自學）設平行六面體單元，3個軸棱邊：變形前為MA，MB，MC；變形后變?yōu)镸'A'，M'B'，M'C'。現(xiàn)在是23頁\一共有161頁\編輯于星期五③正應變（小變形）（自學）符號規(guī)定：

正應變以伸長為正?，F(xiàn)在是24頁\一共有161頁\編輯于星期五④剪應變（自學）符號規(guī)定：

正應變以伸長為正；剪應變以角度變小為正?，F(xiàn)在是25頁\一共有161頁\編輯于星期五4位移分量位移：由于載荷作用或者溫度變化等外界因素等影響，物體內各點在空間的位置將發(fā)生變化，位置移動即產(chǎn)生位移。位移——剛體位移、變形剛體位移——物體內部各個點仍然保持初始狀態(tài)的相對位置不變，由于物體整體在空間做剛體運動引起的位置改變。變形——物體整體位置不變，彈性體在外力作用下發(fā)生形狀的變化，而改變了物體內部各個點的相對位置，引起位移。后者與彈性體的應力有著直接的關系——彈性力學研究的主要變形，通常叫位移?，F(xiàn)在是26頁\一共有161頁\編輯于星期五u=x'（x，y，z）-x=u（x，y，z）

v=y'（x，y，z）-y=v（x，y，z）

w=z'（x，y，z）-z=w（x，y，z）根據(jù)連續(xù)性假設，彈性體在變形前和變形后仍保持為連續(xù)體。彈性體中某點在變形過程中由M（x，y，z）移動至M’(x’，y’，z’)，這一過程也是連續(xù)的，為x、y、z的單值連續(xù)函數(shù)現(xiàn)在是27頁\一共有161頁\編輯于星期五形變和位移之間的關系：位移確定→

形變完全確定：

從物理概念看，各點的位置確定，則微分線段上的形變確定。

從數(shù)學推導看，位移函數(shù)確定，則其導數(shù)（形變）確定。形變確定，位移不完全確定：

從物理概念看，ε、γ確定，物體還可作剛體位移。

從數(shù)學推導看，ε、γ確定，求位移是積分運算，出現(xiàn)待定函數(shù)。現(xiàn)在是28頁\一共有161頁\編輯于星期五應力應變位移彈性力學各個量之間的關系平衡方程物理方程幾何方程外力現(xiàn)在是29頁\一共有161頁\編輯于星期五彈性力學分析過程中：通過靜力平衡、幾何變形和本構關系建立起外力、應力、應變、位移之間相互關聯(lián)。

再必須根據(jù)已知物理量，（一般外力、結構幾何形狀和約束條件等），推導和確定基本未知量（應力、應變、位移?，F(xiàn)在是30頁\一共有161頁\編輯于星期五1.4彈性力學基本方程平衡方程（應力——外力之間的關系）現(xiàn)在是31頁\一共有161頁\編輯于星期五2.物理方程（應變——應力之間的關系）現(xiàn)在是32頁\一共有161頁\編輯于星期五3.幾何方程（柯西方程）（應變——位移之間的關系）現(xiàn)在是33頁\一共有161頁\編輯于星期五4、變形協(xié)調方程現(xiàn)在是34頁\一共有161頁\編輯于星期五5、邊界條件如果物體表面的面力已知，則稱為應力邊界條件：

第一類邊界條件

如果物體表面的位移已知，則稱為位移邊界條件：

第二類邊界條件混合邊界條件=第一類+第二類現(xiàn)在是35頁\一共有161頁\編輯于星期五5、邊界條件應力邊界條件：位移邊界條件：外法線的方向余弦現(xiàn)在是36頁\一共有161頁\編輯于星期五方程數(shù)量：平衡方程——3個物理方程——6個幾何方程——6個合計15未知量：應力分量——6個應變分量——6個位移分量——3個

u、v、w

合計15空間問題現(xiàn)在是37頁\一共有161頁\編輯于星期五第二章彈性力學平面問題2.1平面應力問題2.2平面應變問題2.3平面問題的基本方程現(xiàn)在是38頁\一共有161頁\編輯于星期五2.1平面應力問題1、平面應力問題的概念

平面應力問題討論的彈性體為薄板。薄壁厚度遠小于結構另外兩個方向的尺度。薄板的中面為平面，其所受外力，包括體力均平行于中面O-xy面內，并沿厚度方向z不變。而且薄板的兩個表面不受外力作用?，F(xiàn)在是39頁\一共有161頁\編輯于星期五平面應力問題①幾何特征薄壁厚度為h遠小于結構另外兩個方向的尺寸等厚度中心層平直②受力特征外力平行于中心層外力沿厚度不變化現(xiàn)在是40頁\一共有161頁\編輯于星期五

根據(jù)薄板的表面面力邊界條件，即表面不受外力作用，則

由于板很薄，外力沿厚度均勻分布，因此應力分量也沿厚度均勻分布，應力分量不隨z改變。2、平面應力問題的應力現(xiàn)在是41頁\一共有161頁\編輯于星期五應力分量應變分量3、平面應力問題應力、應變現(xiàn)在是42頁\一共有161頁\編輯于星期五1平面應變問題的概念彈性體是具有很長的縱向軸的柱形物體，橫截面大小和形狀沿軸線長度不變；作用外力與縱向軸垂直，并且沿長度不變；柱體的兩端受固定約束。

可以認為柱體是無限長的。如果從中任取一個橫截面，則柱形物體的形狀和所受載荷將對此橫截面是對稱的。因此物體變形時，橫截面上的各點只能在其自身平面內移動。2.2平面應變問題現(xiàn)在是43頁\一共有161頁\編輯于星期五幾何特征一個尺寸遠大于結構另外兩個方向的尺寸中心軸平直沿中心軸截面不變化受力特征外力垂直于中心軸外力沿中心軸長度方向不變化平面應變問題現(xiàn)在是44頁\一共有161頁\編輯于星期五2、平面應變問題的位移沿縱向軸的位移恒等于零；由于無限長，所以任一個橫截面都是一樣的，與z軸無關。只要是x、y坐標函數(shù)現(xiàn)在是45頁\一共有161頁\編輯于星期五應力分量應變分量3、平面應變問題的應力、應變現(xiàn)在是46頁\一共有161頁\編輯于星期五2.3平面問題的基本方程平衡方程（應力——外力之間的關系）2.幾何方程（應變——位移之間的關系）現(xiàn)在是47頁\一共有161頁\編輯于星期五3.物理方程（應變——應力之間的關系）平面應力與平面應變問題的：平衡方程、幾何方程相同。

但物理方程不同。從空間問題推得?，F(xiàn)在是48頁\一共有161頁\編輯于星期五①平面應力的物理關系現(xiàn)在是49頁\一共有161頁\編輯于星期五①平面應力的物理關系現(xiàn)在是50頁\一共有161頁\編輯于星期五②平面應變的物理關系現(xiàn)在是51頁\一共有161頁\編輯于星期五②平面應變的物理關系現(xiàn)在是52頁\一共有161頁\編輯于星期五平面應變問題平面應力問題z向應力分量sz=n(sx+

sy)sz＝0z向位移分量w＝0w≠0正應變分量二者主要不同在于z向應變，位移和正應力的計算公式

③兩種平面問題的區(qū)別現(xiàn)在是53頁\一共有161頁\編輯于星期五④兩種平面問題的內在關系平面應力平面應變平面應力平面應變平面應變平面應力現(xiàn)在是54頁\一共有161頁\編輯于星期五④兩種平面問題的內在關系平面應力平面應變平面應力平面應變現(xiàn)在是55頁\一共有161頁\編輯于星期五4變形協(xié)調方程平面應力平面應變由6個簡化為1個

調和方程現(xiàn)在是56頁\一共有161頁\編輯于星期五方程數(shù)量：平衡方程——2個物理方程——3個幾何方程——3個合計8未知量：應力分量——3個應變分量——3個位移分量——2個

u、v

合計8平面問題現(xiàn)在是57頁\一共有161頁\編輯于星期五第三章

彈性力學問題求解方法簡述現(xiàn)在是58頁\一共有161頁\編輯于星期五應力應變位移彈性力學各個量之間的關系平衡方程物理方程幾何方程外力現(xiàn)在是59頁\一共有161頁\編輯于星期五3.1概述根據(jù)幾何方程和本構方程可見：位移、應力和應變分量之間不是相互獨立的。

假如已知位移分量，通過幾何方程可以得到應變分量，然后通過物理方程可以得到應力分量。如果已知應力分量，通過物理方程得到應變分量，再由幾何方程的積分求出位移分量，不過這時的應變分量必須滿足一組補充方程，即變形協(xié)調方程。應力應變位移現(xiàn)在是60頁\一共有161頁\編輯于星期五①

位移解法：若以位移函數(shù)作為基本未知量求解，根據(jù)物理方程和幾何方程，應力分量及平衡方程均由位移分量表達；

②應力解法：

若以應力函數(shù)作為基本未知量，稱為應力解法，對于應力解法，應力分量必須滿足平衡微分方程和變形協(xié)調方程；

③混合解法

：若以位移分量和應力分量作為基本未知量，通過物理方程中消去應變分量，表述基本方程，稱為混合解法。基本方程的求解方法現(xiàn)在是61頁\一共有161頁\編輯于星期五彈性力學是對整個研究對象建立平衡方程、幾何方程、物理方程，再根據(jù)外力作用下求整體的應力、應變、位移。解答的途徑有兩大類：精確解（解析解、理論解法）逆法、半逆法、復變函數(shù)法、級數(shù)法、特殊函數(shù)法等2.近似解法（數(shù)值解法）現(xiàn)在是62頁\一共有161頁\編輯于星期五1位移解法當位移分量作為基本未知函數(shù)求解時，變形協(xié)調方程是自然滿足的。根據(jù)物理方程和幾何方程，可以得到：以位移表示的平衡微分方程，稱為拉梅（Lamé）方程。拉普拉斯運算符號，

3.2解析解法現(xiàn)在是63頁\一共有161頁\編輯于星期五2應力法主要介紹應力函數(shù)法，稱為艾里（Airy）應力函數(shù)。設應力表示的變形協(xié)調方程

雙調和方程

現(xiàn)在是64頁\一共有161頁\編輯于星期五應力函數(shù)（1）．一次多項式一次多項式應力函數(shù)對應無應力的應力狀態(tài)。

這個結論說明在應力函數(shù)中增加或減少一個x，y

的線性函數(shù)，將不影響應力分量的值?，F(xiàn)在是65頁\一共有161頁\編輯于星期五（2)．二次多項式如僅a，b，c≠0，分別表示單向拉伸或者純剪切應力狀態(tài)?，F(xiàn)在是66頁\一共有161頁\編輯于星期五(3)．三次多項式如果僅考慮d不為零的情況，即a=b=c=0，其對應于矩形梁的純彎曲應力狀態(tài)。

現(xiàn)在是67頁\一共有161頁\編輯于星期五解析解的難點：彈性力學研究對象是彈性體，形體復雜，是偏微分方程的邊值問題。在數(shù)學上求解困難重重，除了少數(shù)特殊邊界問題，一般彈性體問題很難得到解答。要得到解析解：1、簡化形體，譬如材料力學的研究對象是桿件，常微分方程，可以求解；平面問題，忽略次要因素，簡化應力狀態(tài)。2、簡化邊界約束條件，放松某些限制等。結果：尋求求解偏微分方程在特定條件下的數(shù)學解法，而造成所得到的結果并非實際問題的真實狀態(tài)。結果誤差很大，甚至是錯誤的結論?，F(xiàn)在是68頁\一共有161頁\編輯于星期五近似解法（數(shù)值解法）差分法加權余量法變分法有限元法（FEM）邊界元法（BEM）3.3數(shù)值解法現(xiàn)在是69頁\一共有161頁\編輯于星期五有限元法與邊界元法的比較離散化，F(xiàn)EM在區(qū)域上，BEM在邊界上；維數(shù)，BEM降維，3D2D；2D1D；通用性，F(xiàn)EM格式統(tǒng)一，BEM特定問題；對使用者數(shù)學要求，F(xiàn)EM低，BEM高；目前應用狀況，F(xiàn)EM一統(tǒng)天下?，F(xiàn)在是70頁\一共有161頁\編輯于星期五1有限元基本思想2離散化（建立計算模型）3位移插值函數(shù)4單元分析5等效結點載荷6整體分析7有限元方程求解方法8應力結果9舉例第二篇有限元法基礎現(xiàn)在是71頁\一共有161頁\編輯于星期五應力應變位移彈性力學各個量之間的關系平衡方程物理方程幾何方程外力§1有限元基本思想現(xiàn)在是72頁\一共有161頁\編輯于星期五應力應變位移平衡方程放棄物理方程幾何方程外力有限元的基本思路能量原理只要位移場確定，就可得到應變、應力?，F(xiàn)在是73頁\一共有161頁\編輯于星期五有限元的基本思想：在彈性體內選取足夠多、有限個點，假定這些點的位移已知，再用這些假定的位移量描述其它位置點的位移，就得到了用特定點位移表示的彈性體的位移場。這些選定的有代表性的點——結點，（node）結點：代表性——尖點、拐角、截面改變處等集中載荷作用、位移約束位置等。位移場：某個點（非結點）位移不是由所有結點位移來表述的，而是劃分成小區(qū)域/小塊上的結點來表示的，這些小區(qū)域/小塊——單元。有限元處理問題的方法——連續(xù)體剖分小塊（單元），即離散體。現(xiàn)在是74頁\一共有161頁\編輯于星期五現(xiàn)在是75頁\一共有161頁\編輯于星期五有限元法特點：概念淺顯，容易掌握，可以在不同程度上理解與應用通用性強，應用廣泛，幾乎所有領域；計算格式統(tǒng)一，便于編程計算；大型通用程序成熟商業(yè)化，無需專門知識編程先進的前處理，網(wǎng)格自動劃分，

完善的后處理，可視或動態(tài)顯示，直觀形象。誤差難估計現(xiàn)在是76頁\一共有161頁\編輯于星期五§2離散化（計算模型）單元的形式是多樣的實體單元模型現(xiàn)在是77頁\一共有161頁\編輯于星期五單元類型維數(shù)

主要應用桿單元2-D承受軸向力作用，平面桁架結構3-D空間桁架、網(wǎng)架等梁單元2-D主要承受橫向載荷作用，即承受彎矩；也可橫向+軸向3-D固體2-D平面應力、平面應變問題：三角形、四邊形3-D一般三維（空間）問題：四面體、八面體板殼2-D主要承受橫向載荷作用三角形、四邊形3-D2.1單元類型與作用現(xiàn)在是78頁\一共有161頁\編輯于星期五桿單元梁單元現(xiàn)在是79頁\一共有161頁\編輯于星期五二維單元線性單元二次單元現(xiàn)在是80頁\一共有161頁\編輯于星期五三維單元線性單元二次單元現(xiàn)在是81頁\一共有161頁\編輯于星期五板殼單元現(xiàn)在是82頁\一共有161頁\編輯于星期五2.2離散化應注意的問題：首要的問題是根據(jù)結構的幾何特點、受力特征選擇合理的單元形式。對稱性的利用，在劃分單元之前，有必要先研究一下計算對象的對稱或反對稱的情況，以便確定是取整個物體，還是部分物體作為計算模型。取四分之一作為計算模型現(xiàn)在是83頁\一共有161頁\編輯于星期五（以平面三角形單元為例）共邊：覆蓋求解區(qū)域，單元間既不允許相互重疊，也不允許相互脫開；共點：任意三角形的頂點必須是相鄰單元的頂點，不能為相鄰單元的內點。邊長接近：單元的邊長盡可能接近，采用銳角三角形數(shù)目與精度兼顧：單元劃分細，計算精度越高，但結點數(shù)增加，計算時間加長。單元大小過渡，應力梯度大的區(qū)域單元尺寸小，應力變化小的區(qū)域，單元可以劃分大些?；蛟诔醪接嬎愕幕A上對于高應力區(qū)，在進一步細化網(wǎng)格，進行二次分析。適當簡化。不可以可以較差較好現(xiàn)在是84頁\一共有161頁\編輯于星期五節(jié)點編號順序

在進行節(jié)點編號時，應該注意要盡量使同一單元的相鄰節(jié)點的號碼差盡可能地小，以便最大限度地縮小剛度矩陣的帶寬，節(jié)省存儲、提高計算效率。平面問題的半帶寬為

B=2(d+1)現(xiàn)在是85頁\一共有161頁\編輯于星期五§3位移模式要求：i、j、m按逆時針排序單元的結點位移向量用來描述單元內各點位移變化規(guī)律的函數(shù)，稱為位移模式

現(xiàn)在是86頁\一共有161頁\編輯于星期五三角形單元的位移模式假定為位移模式：現(xiàn)在是87頁\一共有161頁\編輯于星期五位移模式矩陣表達：位移模式通式——單元內任一點的位移；——單元的結點位移向量；——單元的形函數(shù)矩陣?，F(xiàn)在是88頁\一共有161頁\編輯于星期五形函數(shù)的性質

面積坐標形函數(shù)與面積坐標的關系現(xiàn)在是89頁\一共有161頁\編輯于星期五三角形的面積位移模式反映了單元內任意一點的位移與結點位移之間的關系。是有限元計算精度的關鍵?，F(xiàn)在是90頁\一共有161頁\編輯于星期五§4單元分析4.1單元上任意一點的應變4.2單元上任意一點的應力4.3單元的能量4.4單元剛度矩陣的性質現(xiàn)在是91頁\一共有161頁\編輯于星期五4.1單元上任意一點的應變幾何方程現(xiàn)在是92頁\一共有161頁\編輯于星期五現(xiàn)在是93頁\一共有161頁\編輯于星期五或寫成通式[B]矩陣叫做單元幾何矩陣，反映了單元內任意一點的應變分量與結點位移之間的關系幾何矩陣[B]中的每個元素，均為常數(shù)，它們由結點坐標確定。單元內任意一點P的應變分量與坐標（x，y）無關，說明單元中應變是常量。現(xiàn)在是94頁\一共有161頁\編輯于星期五4.2單元上任意一點的應力物理方程[D]——彈性矩陣平面應力問題平面應變問題現(xiàn)在是95頁\一共有161頁\編輯于星期五[S]叫做應力矩陣現(xiàn)在是96頁\一共有161頁\編輯于星期五4.3單元的能量

1、單元的應變能一維問題應變能密度為平面問題應變能密度為

現(xiàn)在是97頁\一共有161頁\編輯于星期五

稱為單元剛度矩陣，簡稱單剛，它反映了單元應變能與單元結點向量之間的關系。

現(xiàn)在是98頁\一共有161頁\編輯于星期五2、外力勢能

(1)、體力勢能(2)、面力勢能(3)、集中力勢能現(xiàn)在是99頁\一共有161頁\編輯于星期五3、單元的總勢能現(xiàn)在是100頁\一共有161頁\編輯于星期五4.4單元剛度矩陣的性質某單元的剛度矩陣，仔細看看，會發(fā)現(xiàn)該矩陣有哪些特點？現(xiàn)在是101頁\一共有161頁\編輯于星期五4.4單元剛度矩陣的性質1、對稱性

單元剛度矩陣是對稱方陣，其元素都對稱于主對角線。2、奇異性

單元剛度矩陣中任意一行或列元素之和為零。其物理意義是在沒有給單元施加任何約束時，單元可有剛體運動，位移不能唯一的確定。3、主對角線元素恒為正值主對角線元素是正值說明結點位移方向與施加結點荷載的方向是一致的。

4、單元剛度矩陣與單元位置無關

單元剛度矩陣與單元位置無關，也就是單元在平移時，[K]e不變；單元結點排列順序不同時，[K]e中元素大小不變，而排列順序相應改變。

現(xiàn)在是102頁\一共有161頁\編輯于星期五§5等效節(jié)點載荷彈性體所受外力包括體積力、表面力、集中力。分別作用在彈性體內部、物體表面上、物體的一個點上。載荷列陣{R}，是由彈性體的全部單元的等效節(jié)點力集合而成，是將全部載荷轉移到單元的節(jié)點上，它們的作用位置發(fā)生了變化——載荷移置。它們的作用效果是等效的，故稱等效節(jié)點力向量{R}e

。各種載荷分別移置到節(jié)點上，再逐點加以合成求得單元的等效結點載荷?，F(xiàn)在是103頁\一共有161頁\編輯于星期五

1、體力等效結點載荷自重情況下：現(xiàn)在是104頁\一共有161頁\編輯于星期五y0xijmy0xijm2、面力等效結點載荷現(xiàn)在是105頁\一共有161頁\編輯于星期五6.1結構的結點位移向量假設彈性體被劃分為N個單元和n個節(jié)點，整個彈性體的節(jié)點位移向量{}2n×1整個彈性體的載荷列陣{R}2n×1§6整體分析現(xiàn)在是106頁\一共有161頁\編輯于星期五矢量——有方向性，外力、應力，不能直接相加標量——沒有方向，只有大小，可以相加。彈性體的能量是標量，可以直接相加。6.2結構的總勢能

現(xiàn)在是107頁\一共有161頁\編輯于星期五單剛的擴充為了實現(xiàn)上述運算擴展現(xiàn)在是108頁\一共有161頁\編輯于星期五——結構的總剛度矩陣——結構總的體力列陣

——結構總的面力列陣

——結構總的集中力列陣

結構的總勢能

現(xiàn)在是109頁\一共有161頁\編輯于星期五6.3整體剛度矩陣形成方法123421q圖5組裝總剛[k]的一般規(guī)則：1.

當[krs]中r=s時，該點被哪幾個單元所共有，則總剛子矩陣[krs]就是這幾個單元的剛度矩陣子矩陣[krs]e的相加。2.當[krs]中rs時，若rs邊是組合體的內邊，則總體剛度矩陣[krs]就是共用該邊的兩相鄰單元單剛子矩陣[krs]e的相加。3.

當[krs]中r和s不同屬于任何單元時，則總體剛度矩陣[krs]=[0]。下面，我們考查一個組裝總剛的實例：1.整體剛度矩陣及載荷列陣的組集根據(jù)疊加原理，整體結構的各個剛度矩陣的元素顯然是由有關單元的單元剛度矩陣的元素組集而成的，為了便于理解，現(xiàn)結合圖5說明組集過程。現(xiàn)在是110頁\一共有161頁\編輯于星期五圖中有兩種編碼：一是節(jié)點總碼：1、2、3、4；二是節(jié)點局部碼，是每個單元的三個節(jié)點按逆時針方向的順序各自編碼為1，2，3。圖中兩個單元的局部碼與總碼的對應關系為：單元1：1，2，3 1，2，3

單元2：1，2，33，4，1或：單元1：1，2，3 1，2，3

單元2：1，2，31，3，4單元e的剛度矩陣分塊形式為：現(xiàn)在是111頁\一共有161頁\編輯于星期五整體剛度矩陣分塊形式為：其中每個子塊是按照節(jié)點總碼排列的。通常，采用剛度集成法或直接剛度法來組集整體結構剛度矩陣。剛度集成法分兩步進行。第一步，把單元剛度矩陣擴大成單元的貢獻矩陣，使單元剛度矩陣的四個子塊按總體編號排列，空白處作零子塊填充。第二步，以單元2

為例，局部碼1，2，3

對應于總碼3，4，1，按照這個對應關系擴充后，可得出單元2的貢獻矩陣。現(xiàn)在是112頁\一共有161頁\編輯于星期五總碼1234

2 3 431

2

局部碼用同樣的方法可得單元1的貢獻矩陣。第三步，把各單元的貢獻矩陣對應行和列的子塊相疊加，即可得出整體結構的剛度矩陣，如（42）式。在這里應該指出，整體剛度矩陣中每個子塊為階矩陣，所以若整體結構分為n個節(jié)點，則整體剛度矩陣的階數(shù)是?，F(xiàn)在是113頁\一共有161頁\編輯于星期五

總碼1234

123（42）

123局部碼

至于整體結構的節(jié)點載荷列陣的組集，只需將各單元的等效節(jié)點力列陣擴大成2n行的列陣，然后按各單元的節(jié)點位移分量的編號，對應相疊加即可現(xiàn)在是114頁\一共有161頁\編輯于星期五6.4整體剛度矩陣的性質

⒈剛度矩陣[K]中每一列元素的物理意義為：欲使彈性體的某一節(jié)點在坐標軸方向發(fā)生單位位移，而其它節(jié)點都保持為零的變形狀態(tài)，在各節(jié)點上所需要施加的節(jié)點力。⒉正定性，剛度矩陣[K]中主對角元素總是正的。⒊剛度矩陣[K]是一個對稱矩陣，即[Krs]=[Ksr]T。⒋剛度矩陣[K]是一個稀疏矩陣。如果遵守一定的節(jié)點編號規(guī)則，就可使矩陣的非零元素都集中在主對角線附近呈帶狀。5.奇異性。剛度矩陣[K]是一個奇異矩陣，在排除剛體位移后，它是正定陣?，F(xiàn)在是115頁\一共有161頁\編輯于星期五半帶存儲

半帶寬B=（相鄰節(jié)點號的最大差值D+1）*2現(xiàn)在是116頁\一共有161頁\編輯于星期五§7有限元方程及求解方法7.1有限元方程結構的總勢能最小勢能原理，對于線彈性體，某一變形可能位移狀態(tài)為真實位移狀態(tài)的必要和充分條件是，此位移狀態(tài)的變形體勢能取最小值?，F(xiàn)在是117頁\一共有161頁\編輯于星期五結構總勢能泛函對結點位移的變分為0.

結構有限元方程它是一個2n階的線性代數(shù)方程組。因為該方程中[K]是結構的總剛度矩陣，{F}是外荷載列陣，都通過計算求得，因此可以根據(jù)有限元方程可以確定結點位移?，F(xiàn)在是118頁\一共有161頁\編輯于星期五7.2位移邊界條件的處理由于總體剛度矩陣是奇異的，物理意義是結構中存在剛體位移，不能直接求解。必須引入限制結構剛體位移的位移邊界條件，即位移約束條件，消除總體剛度矩陣的奇異性，才能求解結構有限方程。位移邊界條件是指結構的某些區(qū)域位移已知，對于離散體來說，位移約束條件是某些結點的位移分量受到限制，包括位置限制和方向限制兩個方面。具體哪些結點受到限制，受限制結點哪個方向位移分量受到限制，要根據(jù)結構受力后變形特征來確定。

處理的方法，主要有三種：

降階法（緊縮法）置大數(shù)法改1法

現(xiàn)在是119頁\一共有161頁\編輯于星期五1.降階法降階法也稱緊縮法或直接代入法，該法是將結構有限元方程中已知結點位移的自由度全部消去，得到一組降階的修正方程，用以求解其它未知的結點位移。如果給定的位移均為零位移，則

只需將總剛[K]、荷載列陣{F}中與該位移所對應的行和列全部劃去即可。如果給定的位移不為零位移，

也只保留了待定的結點位移作為未知量，但需對右端荷載列陣進行相應的修正。

現(xiàn)在是120頁\一共有161頁\編輯于星期五2.置大數(shù)法將結構總剛度矩陣中與被約束的位移分量相對應的主對角線元素賦予一個大數(shù)A，如取A=10e30或更大。再將右端荷載列陣對應的荷載值換成已知的位移值與該大數(shù)的乘積。設結點位移分量r為已知，則有限元方程變?yōu)椋含F(xiàn)在是121頁\一共有161頁\編輯于星期五經(jīng)過修改后第r個方程的為方程兩邊同時除以A，除第r項外，其余各項均為微小量可略去?，F(xiàn)在是122頁\一共有161頁\編輯于星期五3.對角元素改1法當給定的位移值為零時，將總剛中與之相對應主對角線元素改為1，相對應的行和列中其余所有元素改為0，荷載列陣對應的元素也改為0即可。

現(xiàn)在是123頁\一共有161頁\編輯于星期五應力應變位移物理方程幾何方程外力有限元方程計算模型中：位移場已經(jīng)確定，就可得到應變、應力?！?應力結果網(wǎng)格化——模型現(xiàn)在是124頁\一共有161頁\編輯于星期五8.1單元應力計算步驟

有限元方程求解之后，得到了所有結點的位移，

單元應力計算對每個單元循環(huán)；對于任一單元①根據(jù)結點i、j、m的實際編號，從結構結點位移向量中選出單元結點位移向量②計算單元的應變分量，③計算單元的應力分量：現(xiàn)在是125頁\一共有161頁\編輯于星期五8.2應力分析

以上分析得到了所有單元的應力分量，

為了強度分析，進一步計算主應力或等效應力。主應力取“＋”號為最大應力，取“－”號為最小應力最大應力與x軸的夾角現(xiàn)在是126頁\一共有161頁\編輯于星期五MISES應力由應力分量表示的三維MISES應力由主應力表示的三維MISES應力由應力分量表示的二維MISES應力現(xiàn)在是127頁\一共有161頁\編輯于星期五8.3應力顯示x應力mises應力現(xiàn)在是128頁\一共有161頁\編輯于星期五確定根據(jù)工程實際情況確定問題的力學模型，并按一定比例繪制結構圖、注明尺寸、載荷和約束情況等。將計算對象進行離散化，即彈性體劃分為許多三角形單元，并對節(jié)點進行編號。確定全部節(jié)點的坐標值，對單元進行編號，并列出各單元三個節(jié)點的節(jié)點號。④計算載荷的等效節(jié)點力。

③單元分析，由各單元的相關參數(shù)，計算單元的幾何矩陣、剛度矩陣。組集整體剛度矩陣，即形成總剛的非零子矩陣。組裝各單元的等效結點載荷，形成總的外載荷向量。有限元分析的實施步驟現(xiàn)在是129頁\一共有161頁\編輯于星期五處理約束，消除剛體位移，求解線性方程組，得到節(jié)點位移。計算應力矩陣，求得單元應力，并根據(jù)需要計算主應力和主方向。整理計算結果（后處理部分）?，F(xiàn)在是130頁\一共有161頁\編輯于星期五圖1所示為一厚度t=1cm的均質正方形薄板，上下受均勻拉力q=106N/m，材料彈性模量為E，泊松比，不記自重，試用有限元法求其應力分量。123421x圖2y2myxq=106N/m圖1例1§9計算實例現(xiàn)在是131頁\一共有161頁\編輯于星期五解：１.力學模型的確定２.結構離散由于此結構長、寬遠大于厚度，而載荷作用于板平面內，且沿板厚均勻分布，故可按平面應力問題處理?？紤]到結構和載荷的對稱性，可取結構的1/4來研究。該1/4結構被離散為兩個三角形單元，節(jié)點編號，單元劃分及取坐標如圖2所示，其各節(jié)點的坐標值見表1。節(jié)點坐標１２３４xy００１０１１０１表1現(xiàn)在是132頁\一共有161頁\編輯于星期五３.求單元的剛度矩陣計算單元的節(jié)點坐標差及單元面積單元１（i、j、m

1，2，3）單元面積現(xiàn)在是133頁\一共有161頁\編輯于星期五2）組裝單元的幾何矩陣現(xiàn)在是134頁\一共有161頁\編輯于星期五3）計算單元的應力矩陣彈性矩陣應力矩陣現(xiàn)在是135頁\一共有161頁\編輯于星期五應力矩陣也可應用公式計算先計算用到的常數(shù)現(xiàn)在是136頁\一共有161頁\編輯于星期五單元的剛度矩陣中各個子矩陣現(xiàn)在是137頁\一共有161頁\編輯于星期五單元1的剛度矩陣為:123123（i、j、m=1，2，3）現(xiàn)在是138頁\一共有161頁\編輯于星期五單元2：若按i、j、m=3、4、1順序，對應單元1的123排碼時,則這兩個單元剛度矩陣內容完全一樣，故有:341341現(xiàn)在是139頁\一共有161頁\編輯于星期五組集整體剛度矩陣

由于[Krs]=[Ksr]T，又單元1和單元2的節(jié)點號按123對應341，則可得：按剛度集成法可得整體剛度矩陣為：現(xiàn)在是140頁\一共有161頁\編輯于星期五現(xiàn)在是141頁\一共有161頁\編輯