北師版八年級數(shù)學上冊第1章勾股定理PPT教學課件

第一章

勾股定理1.1探索勾股定理第1課時

認識勾股定理北師大版八年級數(shù)學上冊1課堂講解勾股定理勾股定理與圖形的面積2課時流程逐點導講練課堂小結(jié)作業(yè)提升相傳2500年前，一次畢達哥拉斯去朋友家作客，發(fā)現(xiàn)朋友家用磚鋪成的地面反映直角三角形三邊的某種數(shù)量關(guān)系，同學們，我們也來觀察下面的圖案，看看你能發(fā)現(xiàn)什么？A、B、C的面積有什么關(guān)系？直角三角形三邊有什么關(guān)系？ABC讓我們一起探索這個古老的定理吧！1知識點勾股定理知1－導我國古代把直角三角形中較短的直角邊稱為勾，較長的直角邊稱為股，斜邊稱為弦.圖1稱為“弦圖”，最早是由三國時期的數(shù)學家趙爽在為《周髀算經(jīng)》作法時給出的.

弦股勾圖1知1－導ABCABC(圖中每個小方格代表一個單位面積)圖2-1圖2-2(1)觀察圖2-1

正方形A中含有

個

小方格，即A的面積

是

個單位面積.正方形B的面積是

個單位面積.正方形C的面積是

個單位面積.99918知1－導ABCABC(圖中每個小方格代表一個單位面積)圖2-1圖2-2分“割”成若干個直角邊為整數(shù)的三角形=18(單位面積)S正方形c知1－導ABCABC(圖中每個小方格代表一個單位面積)圖2-1圖2-2(2)在圖2-2中，正方形A，B，

C中各含有多少個小方格？

它們的面積各是多少？(3)你能發(fā)現(xiàn)圖2-1中三個正方

形A，B，C的面積之間有

什么關(guān)系嗎？SA+SB=SC

即：兩條直角邊上的正方形面積之和等于斜邊上的正方形的面積.知1－導ABCacbSA+SB=SC觀察所得到的各組數(shù)據(jù)，你有什么發(fā)現(xiàn)？猜想:兩直角邊a、b與斜邊c

之間的關(guān)系？a2+b2=c2知1－講┏a2+b2=c2acb

直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.勾股弦

勾股定理(畢達哥拉斯定理)知1－講定義：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方．如果用a，b和c分別表示直角三角形的兩直角邊和斜邊，那么a2＋b2＝c2.數(shù)學表達式：

在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝c，AC＝b，BC＝a，則a2＋b2＝c2.知1－講例1

在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，BC＝8cm，求AC的長．解：由題意易知，AC2＋BC2＝AB2，

所以AC2＝AB2－BC2＝102－82＝36.

所以AC＝6cm.總

結(jié)知1－講利用勾股定理求直角三角形邊長的方法：一般都要經(jīng)過“一分二代三化簡”這“三步曲”：即一分：分清哪條邊是斜邊、哪些邊是直角邊；二代：代入a2＋b2＝c2；三化簡．知1－練1

若一個直角三角形的兩直角邊的長分別為a，b，

斜邊長為c，則下列關(guān)于a，b，c的關(guān)系式中不正確的是(

)A．b2＝c2－a2B．a(chǎn)2＝c2－b2C．b2＝a2－c2

D．c2＝a2＋b2C知1－練2(中考·淮安)如圖，在邊長為1個單位長度的小正

方形組成的網(wǎng)格中，點A，B都是格點，則線段AB的長度為(

)A．5B．6C．7D．25A2知識點勾股定理與圖形的面積知2－講

例2

〈新疆〉如圖，分別以直角三角形的三邊為直徑

作半圓，其中兩個半圓的面積S1＝π，S2＝2π，則S3＝________．知2－講導引：如圖，由圓的面積公式得

所以c2＝25，a2＝16.根據(jù)勾股定理，得b2＝c2－a2＝9.

所以總

結(jié)知2－講與直角三角形三邊相連的正方形、半圓及正多邊形、圓都具有相同的結(jié)論：兩直角邊上圖形面積的和等于斜邊上圖形的面積．本例考查了勾股定理及半圓面積的求法，解答此類題目的關(guān)鍵是仔細觀察所給圖形，面積與邊長、直徑有平方關(guān)系，就很容易聯(lián)想到勾股定理．知2－練1如圖，字母B所代表的正方形的面積是(

)A．12B．13C．144D．194C知2－練如圖，直線l上有三個正方形a，b，c，若a，c的

面積分別為3和4，則b的面積為(

)A．16B．12C．9D．7D1.勾股定理的適用條件：直角三角形；它反映了直角

三角形三邊關(guān)系．2．由勾股定理的基本關(guān)系式：a2＋b2＝c2可得到一些

變形關(guān)系式：c2＝a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝(a－b)2

＋2ab；a2＝c2－b2＝(c＋b)(c－b)等．1.1探索勾股定理第1課時認識勾股定理第一章勾股定理1234567891011121314151．直角三角形____________________等于_____________．如果用a，b和c分別表示直角三角形的兩直角邊和斜邊，那么________________．兩直角邊的平方和斜邊的平方a2＋b2＝c2返回1知識點勾股定理2．在Rt△ABC中，斜邊長BC＝3，則AB2＋AC2＋BC2的值為(

)A．18B．9C．6D．無法計算A返回3．(中考?荊門)如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分線．已知AB＝5，AD＝3，則BC的長為(

)A．5B．6C．8D．10C返回4．若在△ABC中，AB＝13，AC＝15，高AD＝12，則BC的長是(

)A．14B．4C．14或4D．無法確定C返回5．(中考?漳州)如圖，在△ABC中，已知AB＝AC＝5，BC＝8，D是線段BC上的動點(不含端點B，C)，若線段AD長為正整數(shù)，則點D的個數(shù)共有(

)A．5個

B．4個

C．3個

D．2個C返回6．(中考?麗水)我國三國時期數(shù)學家趙爽為了驗證勾股定理，創(chuàng)造了一幅“弦圖”，后人稱其為“趙爽弦圖”，如圖①所示．在圖②中，若正方形ABCD的邊長為14，正方形IJKL的邊長為2，且IJ∥AB，則正方形EFGH的邊長為________．10返回7．勾股定理通常是用________法來驗證的，因此很多涉及直角三角形的圖形面積問題，通常用___________來解決．面積勾股定理2知識點勾股定理與圖形的面積返回8．如圖，點E在正方形ABCD內(nèi)，滿足∠AEB＝90°，AE＝6，BE＝8，則陰影部分的面積是(

)A．48B．60C．76D．80C返回9．如圖，在Rt△ABC中，AB＝4，分別以AC，BC為直徑作半圓，面積分別記為S1，S2，則S1＋S2的值等于(

)A．2πB．4πC．8πD．16πA返回10．如圖是一株美麗的勾股樹，其中所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A，B，C，D的邊長分別是3，5，2，3，則最大正方形E的面積是(

)A．13B．26C．47D．94C返回11．如圖，將一塊邊長為a的正方形(最中間的小正方形)與四塊邊長為b的正方形(其中b＞a)拼接在一起，則四邊形ABCD的面積為(

)A．b2＋(b－a)2B．b2＋a2C．(b＋a)2D．a(chǎn)2＋2ab

A返回12．如圖，在△ABC中，CD⊥AB于D，AC＝4，BC＝3，DB＝95.求：(1)DC的長；(2)AB的長．1題型勾股定理在求線段長中的應用返回13．如圖，在四邊形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，AB＝20m，BC＝15m，CD＝7m，求四邊形ABCD的面積．2題型勾股定理在求面積中的應用解：如圖，連接AC∵∠B＝∠D＝90°，∴△ABC與△ACD都是直角三角形．在Rt△ABC中，根據(jù)勾股定理，得AC2＝AB2＋BC2＝202＋152＝625，則AC＝25.在Rt△ACD中，根據(jù)勾股定理，得AD2＝AC2－CD2＝252－72＝576，則AD＝24.故S四邊形ABCD＝S△ABC＋S△ACD＝AB?BC＋AD?CD＝×20×15＋×24×7＝234(m2)返回勾股定理在折疊問題中的應用14．如圖，將長方形紙片ABCD的一邊AD向下折疊，點D落在BC邊的點F處．已知AB＝CD＝8cm，BC＝AD＝10cm，求EC的長．2題型解：根據(jù)題意，得△AFE≌△ADE，∴AF＝AD＝10cm，EF＝ED.∴EF＋EC＝DC＝8cm.在Rt△ABF中，根據(jù)勾股定理得BF2＝AF2－AB2＝102－82＝36，∴BF＝6cm.∴FC＝BC－BF＝10－6＝4(cm)．設EC＝x

cm，則EF＝DC－EC＝(8－x)cm.

在Rt△EFC中，根據(jù)勾股定理得EC2＋FC2＝EF2，即x2＋42＝(8－x)2.解這個方程，得x＝3，即EC的長為3cm.返回15．(中考?柳州)如圖，在△ABC中，D為AC邊的中點，且DB⊥BC，BC＝4，CD＝5.(1)求DB的長；(2)在△ABC中，求BC邊上高的長．【思路點撥】倍長中線BD，說明2BD等于△ABC中BC邊上的高．倍長中線法(2)如圖，延長BD至E，使DE＝DB，連接AE.∵D是AC邊的中點，∴AD＝CD.解：(1)∵DB⊥BC，BC＝4，CD＝5，∴在Rt△BCD中，根據(jù)勾股定理得DB＝3.在△EDA和△BDC中，AD＝CD，∠ADE＝∠CDB，DE＝DB，∴△EDA≌△BDC(SAS)．∴∠DAE＝∠DCB.

AE∥BC.∵DB⊥BC，∴△ABC中BC邊上的高的長等于BE的長．易知BE＝2BD＝6，∴BC邊上的高的長為6.返回第一章

勾股定理1.1探索勾股定理第2課時勾股定理的驗證與應用1課堂講解勾股定理的驗證勾股定理的應用2課時流程逐點導講練課堂小結(jié)作業(yè)提升上一節(jié)課，我們通過測量和數(shù)格子的方法發(fā)現(xiàn)了勾股定理.在下圖中，分別以直角三角形的三條邊為邊長向外作正方形，你能利用這個圖說明勾股定理的正確性嗎？你是如何做的？與同伴進行交流.1知識點勾股定理的驗證知1－導做一做為了計算圖1中大正方形的面積，小明對這個大正方形適當割補后得到圖2、圖3.圖1圖2圖3知1－導（1）將所有三角形和正方形的面積用a,b,c的關(guān)系式

表示出來；（2）圖2、圖3中正方形ABCD的面積分別是多少？

你們有哪些表示方式？與同伴進行交流.（3）你能分別利用圖2、圖3驗證勾股定理嗎？知1－講常用方法：通過拼圖法利用求面積來驗證．這種

方法是以數(shù)形轉(zhuǎn)換為指導思想，圖形拼補為手段，

以各部分面積之間的關(guān)系為依據(jù)而達到目的的．

知1－講2．用拼圖法驗證勾股定理的思路：(1)圖形經(jīng)過割補、拼接后，只要沒有重疊，沒有空

隙，面積不會改變；(2)根據(jù)同一種圖形的面積的不同表示方法列出等式；(3)利用等式性質(zhì)驗證結(jié)論成立，即拼出圖形→寫出

圖形面積的表達式→找出等量關(guān)系→恒等變形→

推導結(jié)論．知1－講

議一議觀察下圖，判斷圖中三角形的三邊長是否滿足a2+b2=c2.知1－講

例1如圖是用硬紙板做成的四個兩直角邊長分別是a，

b，斜邊長為c的全等的直角三角形和一個邊長為c的正方形，請你將它們拼成一個能說明勾股定

理正確性的圖形．

(1)畫出拼成的這個圖形的示意圖；(2)說明勾股定理的正確性．

知1－講導引：可以以邊長為c的正方形為基礎，一在形外補拼(不

重疊)成新的正方形；二在形內(nèi)疊合成新的正方形．解：方法一(補拼法)：(1)如圖.(2)因為大正方形的面積可以表示為(a＋b)2，

也可以表示為c2＋4×ab，所以(a＋b)2＝c2＋4×ab，a2＋b2＋2ab＝c2＋2ab.知1－講所以a2＋b2＝c2，

即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方．方法二(疊合法)：(1)如圖.(2)因為大正方形的面積可以表示為c2，

也可以表示為ab×4＋(b－a)2，

所以c2＝ab×4＋(b－a)2，c2＝2ab＋b2－2ab＋a2.所以a2＋b2＝c2，

即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方．總

結(jié)知1－講勾股定理的驗證主要是通過拼圖法利用面積的關(guān)系完成的，拼圖又常以補拼法和疊合法兩種方式拼圖，補拼是要無重疊，疊合是要無空隙；而用面積法驗證的關(guān)鍵是要找到一些特殊圖形(如直角三角形、正方形、梯形)的面積之和等于整個圖形的面積，從而達到驗證的目的．知1－練用四個邊長均為a，b，c的直角三角板，拼成如

圖所示的圖形，則下列結(jié)論中正確的是(

)A．c2＝a2＋b2B．c2＝a2＋2ab＋b2C．c2＝a2－2ab＋b2D．c2＝(a＋b)2A2知識點勾股定理的應用知2－導

例2我方偵察員小王在距離東西向公路400m處偵察，發(fā)現(xiàn)一

輛敵方汽車在公路上疾馳.他趕緊拿出紅外測距儀，測得

汽車與他相距400m，10s后，汽車與他相距500m,你能

幫小王計算敵方汽車的速度嗎？分析：根據(jù)題意，可以畫出右圖，

其中點A表示小王所在位置，

點C、點B表示兩個時刻敵方

汽車的位置.知2－導由于小王距離公路400m，因此∠C是直角，這樣就可以由勾股定理來解決這個問題了.解：由勾股定理，可以得到AB2=BC2+AC2，

也就是5002=BC2+4002,

所以BC=300.敵方汽車10s行駛了300m，

那么它1h行駛的距離為300×6×60=108000（m）,

即它行駛的速度為108km/h.知2－講1.勾股定理是一個重要的數(shù)學定理，它將圖形(直角三

角形)與數(shù)量關(guān)系(三邊關(guān)系)有機結(jié)合起來；在幾何及

日常生活中都有著廣泛的應用．2．運用勾股定理進行計算分三步：第一步：注意應用的

前提，即看是不是直角三角形；第二步：分清求解的

對象，即看是求直角邊長，還是斜邊長或者兩種均有

可能；第三步：運用勾股定理進行計算．

知2－講

例3〈實際應用題〉兩棵樹之間的距離為8m，兩棵

樹的高度分別是8m，2m，一只小鳥從一棵樹的

樹頂飛到另一棵樹的樹頂，這只小鳥至少要飛多

少米？導引：先根據(jù)題意畫出圖形，然后添加輔助線，構(gòu)造直

角三角形，再利用勾股定理求解．知2－講解：根據(jù)題意畫出示意圖，如圖所示，

兩棵樹的高度分別為AB＝8m，CD＝2m，

兩棵樹之間的距離BD＝8m，

過點C作CE⊥AB，垂足為E，連接AC.

則BE＝CD＝2m，EC＝BD＝8m，AE＝AB－BE＝8－2＝6(m)．

在Rt△ACE中，由勾股定理，得AC2＝AE2＋EC2，

即AC2＝62＋82＝100，所以AC＝10m.

答：這只小鳥至少要飛10m．知2－練如圖，一個長為2.5m的梯子，一端放在離墻腳1.5m處，另一端靠墻，則梯子頂端距離墻腳(

)A．0.2mB．0.4mC．2mD．4mC知2－練2(中考·安順)如圖，有兩棵樹，一棵高10m，另一棵高4m，兩樹相距8m，一只小鳥從一棵樹的樹頂飛到另一棵樹的樹頂，小鳥至少飛行(

)A．8mB．10mC．12mD．14mB

用拼圖驗證勾股定理的方法：首先通過拼圖找出面積之間的相等關(guān)系，再由面積之間的相等關(guān)系結(jié)合圖形進行代數(shù)變形即可推導出勾股定理．

它一般都經(jīng)過以下幾個步驟：拼出圖形→寫出圖形面積的表達式→找出相等關(guān)系→恒等變形→導出勾股定理．1.1探索勾股定理第2課時勾股定理的驗證與應用第一章勾股定理123456789101112131．勾股定理的驗證方法很多，主要是用________法說明，要注意兩點：(1)通過割補、拼擺，用相同的直角三角形得到一個圖形；面積1知識點勾股定理的驗證(2)根據(jù)拼成的圖形得到一個________關(guān)系式，通過恒等變形即可得到勾股定理．例：圖①反映的面積關(guān)系式為___________________________；圖②反映的面積關(guān)系式為___________________________．面積返回

2．(中考?襄陽)“趙爽弦圖”巧妙地利用面積關(guān)系驗證了勾股定理，是我國古代數(shù)學的驕傲．如圖所示的“趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形和一個小正方形拼成的一個大正方形，設直角三角形較長直角邊長為a，較短直角邊長為b，若(a＋b)2＝21，大返回正方形的面積為13，則小正方形的面積為(

)A．3B．4C．5D．6C3．歷史上對勾股定理的一種驗證方法采用了如圖所示的圖形，其中兩個全等直角三角形的邊AE，EB在一條直線上，其中用到的面積相等的關(guān)系式是(

)

A．S△EDA＝S△CEBB．S△EDA＋S△CEB＝S△CDEC．S四邊形CDAE＝S四邊形CDEBD．S△EDA＋S△CDE＋S△CEB＝S四邊形ABCD返回√4．在Rt△ABC中，a，b是兩直角邊，c為斜邊，如果已知a，b，那么c2＝________；如果已知a，c，那么b2＝________；如果已知b，c，那么a2＝_______．當不能直接運用勾股定理求線段長度時，a2＋b2c2－a22知識點勾股定理的應用c2－b2則設所求線段的長度為x，并選擇一個合適的直角三角形，根據(jù)勾股定理，列出含________的方程．x返回5．(中考?淮安)如圖，在邊長為1的小正方形組成的網(wǎng)格中，點A，B都是格點，則線段AB的長度為(

)A．5B．6

C．7D．25A返回6．如圖是一張直角三角形紙片，兩直角邊AC＝6cm，BC＝8cm，現(xiàn)將△ABC折疊，使點B與點A重合，折痕為DE，則BE的長為(

)A．4cmB．5cm

C．6

cm

D．10cmB返回7．(中考?荊州)《九章算術(shù)》中的“折竹抵地”問題(如圖)：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺，問折高者幾何？意思是：一根竹子，原高一丈(一丈＝10尺)，一陣風將竹子折斷，其竹梢恰好抵地，抵地處離竹子底部6尺遠，問折斷處離地面的高度是多少？設折斷處離地面的高度為x尺，則可列方程為(

)A．x2－6＝(10－x)2B．x2－62＝(10－x)2C．x2＋6＝(10－x)2D．x2＋62＝(10－x)2返回√8．(中考?紹興)如圖，小巷左右兩側(cè)是豎直的墻，一架梯子斜靠在左墻時，梯子底端到左墻腳的距離為0.7m，頂端距離地面2.4m．如果保持梯子底端位置不動，將梯子斜靠在右墻時，頂端距離地面2m，則小巷的寬度為(

)A．0.7mB．1.5mC．2.2mD．2.4mC返回9．如圖，一艘輪船以16nmile/h的速度從港口A出發(fā)向東北方向航行，另一艘輪船以12nmile/h的速度同時從港口A出發(fā)向東南方向航行，離開港口2h后，兩船相距(

)nmile.A．25B．30C．40D．50C返回10．如圖，在正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為1，△ABC在網(wǎng)格中，頂點均為格點．求點A到直線BC的距離．1題型面積法、勾股定理在求線段長中的應用返回S△ABC＝4×5－×2×5－×2×2－×3×4＝7.因為BC2＝32＋42＝52，所以BC＝5.設點A到直線BC的距離為h，因為S△ABC＝

BC?h，所以×5h＝7，所以h＝.故點A到直線BC的距離是.解：11．如圖，河岸上A，B兩點相距25km，C，D為兩村莊，DA⊥AB于點A，CB⊥AB于點B，已知DA＝10km，CB＝15km，要在AB所在直線上建一個水泵站E，使得C，D兩村莊到水泵站E的距離相等．求水泵站E應建在距A點多遠處．2題型勾股定理在實際中的應用解：設AE＝xkm，則BE＝(25－x)km.在Rt△ADE中，DE2＝AD2＋AE2.在Rt△BCE中，CE2＝BC2＋BE2.因為DE＝CE，所以102＋x2＝152＋(25－x)2，即100＋x2＝225＋625－50x＋x2，解得x＝15.故水泵站E應建在距A點15km的地方．返回化斜為直法在說明線段平方關(guān)系中的應用12．如圖，AD是△ABC的中線，試說明AB2＋AC2＝2(AD2＋CD2)．3題型過點A作AE⊥BC于點E.在Rt△ABE，Rt△ACE和Rt△ADE中，由勾股定理得AB2＝AE2＋BE2，AC2＝AE2＋EC2，AE2＝AD2－DE2，所以AB2＋AC2＝2AE2＋BE2＋EC2＝2(AD2－DE2)＋(BD－DE)2＋(CD＋DE)2＝2AD2－2DE2＋BD2－2BD?DE＋DE2＋CD2＋2CD?DE＋DE2＝2AD2＋BD2＋CD2－2BD?DE＋2CD?DE.解：因為AD是△ABC的中線，所以BD＝CD.所以AB2＋AC2＝2AD2＋2CD2，即AB2＋AC2＝2(AD2＋CD2)．返回13．如圖，在一棵樹的10m高的B處有兩只猴子，其中一只猴子爬下樹，走到離樹20m處的池塘A處，另一只猴子爬到樹頂D后直接躍向池塘A處(假設它躍過的路線為直線)．如果兩只猴子所經(jīng)過的路程相等，求這棵樹的高．方程思想【思路點撥】通過設未知數(shù)，根據(jù)兩只猴子經(jīng)過的路程相等表示出AD的長度，再利用勾股定理列方程求解．解：設BD＝xm，由題意知BC＋AC＝BD＋AD，所以AD＝(30－x)m.所以(10＋x)2＋202＝(30－x)2.解得x＝5.所以x＋10＝15，即這棵樹的高為15m.返回第一章

勾股定理1.2一定是直角三角形嗎1課堂講解由三邊關(guān)系確定直角三角形勾股數(shù)2課時流程逐點導講練課堂小結(jié)作業(yè)提升問題1：在一個直角三角形中三條邊滿足什么樣

的關(guān)系呢？答：在一個直角三角形中兩直角邊的平方和

等于斜邊的平方.問題2：如果一個三角形中有兩邊的平方和等于第

三邊的平方，那么這個三角形是否就是直

角三角形呢？1知識點由三邊關(guān)系確定直角三角形知1－導做一做下面的每組數(shù)分別是一個三角形的三邊長a,b,c,

而且都滿足a2+b2=c2：3,4,5；5,12,13；8,15,17；7,24,25.分別以每組數(shù)為三邊長畫出三角形，它們都是直角三角形嗎？你是怎么想的？與同伴進行交流.知1－講直角三角形的判定：如果三角形的三邊長a，b，c滿足a2＋b2＝c2，那么這個三角形是直角三角形．知1－講2．利用邊的關(guān)系判定直角三角形的步驟：(1)比較三邊長a，b，c的大小，找出最長邊．(2)計算兩短邊的平方和，看它是否與最長邊的平方

相等；若相等，則是直角三角形，且最長邊所對

的角是直角；若不相等，則此三角形不是直角三

角形．知1－講

例1一個零件的形狀如圖1所示，按規(guī)定這個零

件中∠A和∠DBC都應為直角.工人師傅量得

這個零件各邊尺寸如圖2所示，這個零件符

合要求嗎？圖2圖1知1－講（來自教材）解：在△ABD中，AB2+AD2=9+16=25=BD2，

所以△ABD是直角三角形，∠A是直角.

在△BCD中，BD2+BC2=25+144=169=CD2，

所以△BCD是直角三角形，∠DBC是直角.

因此，這個零件符合要求.知1－講

例2判斷滿足下列條件的三角形是不是直角三角形：(1)在△ABC中，∠A＝25°，∠C＝65°；(2)在△ABC中，AC＝12，AB＝20，BC＝16；(3)一個三角形的三邊長a，b，c滿足b2－a2＝c2.導引：判斷一個三角形是不是直角三角形，如果條件與角

相關(guān)，則考慮用定義判斷，如果條件與邊相關(guān)，

則考慮用邊的關(guān)系判斷．第(1)題可以直接根據(jù)直

角三角形的定義判斷；第(2)(3)題可以依據(jù)邊的關(guān)

系判斷．知1－講解：(1)在△ABC中，因為∠A＋∠B＋∠C＝180°，所以∠B＝180°－25°－65°＝90°.所以△ABC是直角三角形．(2)在△ABC中，因為AC2＋BC2＝122＋162＝202＝AB2，所以△ABC是直角三角形，且∠C為直角．(3)因為三角形的三邊長滿足b2－a2＝c2，即b2＝a2＋c2，所以此三角形是直角三角形，且b是斜邊長．警示：判斷一個三角形的形狀時，除考慮是否為直角三角形

外，還要考慮是否為等腰三角形．總

結(jié)知1－講判斷一個三角形是不是直角三角形有兩種方法：(1)利用定義，即如果已知條件與角度有關(guān)，可借助三

角形的內(nèi)角和判斷；(2)利用直角三角形的判定條件，即若已知條件與邊有

關(guān)，一般通過計算得出三邊的數(shù)量關(guān)系來判斷，看

是否符合較短兩邊的平方和等于最長邊的平方．知1－練(中考·淮安)下列四組線段中，能組成直角三角形的

是(

)A．a(chǎn)＝1，b＝2，c＝3B．a(chǎn)＝2，b＝3，c＝4C．a(chǎn)＝2，b＝4，c＝5D．a(chǎn)＝3，b＝4，c＝51D知1－練3如圖，每個小正方形的邊長均為1，則△ABC是(

)A．直角三角形B．銳角三角形C．鈍角三角形D．等腰三角形A2知識點勾股數(shù)知2－講1.勾股數(shù)：滿足a2＋b2＝c2的三個正整數(shù)，稱為勾股數(shù)．常見的勾股數(shù)有：3，4，5；5，12，13；8，15，17；7，24，25；9，40，41；….知2－講2．判斷勾股數(shù)的方法：(1)確定是不是三個正整數(shù)；(2)確定最大數(shù)；(3)計算：看較小兩數(shù)的平方和是否等于最大數(shù)的平方．3．易錯警示：勾股數(shù)必須同時滿足兩個條件：(1)三個數(shù)都是正整數(shù)；(2)兩個較小數(shù)的平方和等于最大數(shù)的平方．知2－講

例3

下面四組數(shù)中是勾股數(shù)的一組是(

)A．6，7，8

B．5，8，13

C．1.5，2，2.5

D．21，28，35導引：根據(jù)勾股數(shù)的定義：滿足a2＋b2＝c2的三個正

整數(shù)a，b，c稱為勾股數(shù)．A．62＋72≠82，不是勾股數(shù)，故錯誤；B．52＋82≠132，不是勾股數(shù)，故錯誤；C．1.5和2.5不是整數(shù)，所以不是勾股數(shù)，故錯誤；D．212＋282＝352，是勾股數(shù)，故正確．D總

結(jié)知2－講確定勾股數(shù)的方法：

首先看這三個數(shù)是不是正整數(shù)；然后看較小兩個數(shù)的平方和是否等于最大數(shù)的平方．記住常見的勾股數(shù)(3，4，5；5，12，13；8，15，17；7，24，25)可以提高解題速度．知2－講例4觀察下面的表格所給出的三個數(shù)a，b，c，其中a＜b＜c.

(1)試找出它們的共同點，并說明你的結(jié)論；(2)當a＝21時，求b，c的值．3，4，532＋42＝525，12，1352＋122＝1327，24，2572＋242＝2529，40，4192＋402＝412……a，b，ca2＋b2＝c2知2－講導引：只要能夠發(fā)現(xiàn)每組三個數(shù)之間的規(guī)律即可，這就

需從不同的角度去觀察、分析，運用從特殊到一

般的思想來解答．解：(1)各組數(shù)的共同點：①各組數(shù)均滿足a2＋b2＝c2；②最小數(shù)a是奇數(shù)，其余的兩個數(shù)b，c是連續(xù)的

正整數(shù)；③最小奇數(shù)的平方等于另外兩個連續(xù)正整數(shù)的和．知2－講由以上特點可猜想并說明這樣一個結(jié)論：設x為大于1的奇數(shù)，將x2拆分為兩個連續(xù)正整數(shù)之和，

即x2＝y(tǒng)＋(y＋1)，則x，y，y＋1就能構(gòu)成一組勾股數(shù)．理由：因為x2＝y(tǒng)＋(y＋1)(x為大于1的奇數(shù))，所以x2＋y2＝y(tǒng)＋(y＋1)＋y2＝y(tǒng)2＋2y＋1＝(y＋1)2.所以x，y，y＋1是一組勾股數(shù)．(2)運用以上結(jié)論，當a＝21時，212＝441＝220＋221.所以b＝220，c＝221.總

結(jié)知2－講尋找與大于且等于3的奇數(shù)組成勾股數(shù)的一種方法：先選一個大于1的奇數(shù)，然后把這個數(shù)的平方寫成兩個連續(xù)正整數(shù)的和，則這個奇數(shù)和分成的兩個連續(xù)正整數(shù)就構(gòu)成了一組勾股數(shù)，如452＝2025＝1012＋1013，則45，1012，1013就是一組勾股數(shù)，運用此法可以得到許多組勾股數(shù).知2－練1下列各組數(shù)中，不是勾股數(shù)的是(

)A．5，12，13B．7，24，25C．8，12，15D．3k，4k，5k(k為正整數(shù))C如果三角形的三邊長a，b，c滿足a2+b2=c2，

那么這個三角形是直角三角形.勾股數(shù)：滿足a2+b2=c2的三個正整數(shù)，稱為

勾股數(shù).1.2一定是直角三角形嗎第一章勾股定理1234567891011121314151617由三邊關(guān)系確定直角三角形1．如果三角形的三邊長a，b，c滿足a2＋b2＝c2，那么這個三角形是____________．2．下列各組長度的線段能構(gòu)成直角三角形的是(

)A．30，40，50B．7，12，13C．5，9，12D．3，4，6直角三角形1知識點A返回3．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的對邊分別為a，b，c，且(a＋b)(a－b)＝c2，則(

)A．∠A為直角

B．∠C為直角C．∠B為直角

D．△ABC不是直角三角形A返回4．(中考?南京)下列長度的三條線段能組成鈍角三角形的是(

)A．3，4，4B．3，4，5C．3，4，6D．3，4，7C返回返回5．已知△ABC的三邊長分別為5，12，13，則△ABC的面積為(

)A．30 B．60C．78 D．無法確定A6．(中考?眉山)如圖，每個小正方形的邊長均為1，A，B，C是小正方形的頂點，則∠ABC的度數(shù)為(

)

A．90°B．60°C．45°D．30°C返回7．△ABC的三邊長分別為a，b，c，下列條件：①∠A＝∠B－∠C；②∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5；③a2＝(b＋c)(b－c)；④a∶b∶c＝5∶12∶13.其中能判定△ABC是直角三角形的有(

)A．1個 B．2個 C．3個 D．4個返回C8．(中考?達州)如圖，在5×5的正方形網(wǎng)格中，從在格點上的點A，B，C，D中任取三點，所構(gòu)成的三角形恰好是直角三角形的概率為(

)

A. B. C. D.返回D9．閱讀下列解題過程：已知a，b，c為△ABC的三邊長，且滿足a2c2－b2c2＝a4－b4，試判斷△ABC的形狀．錯解：因為a2c2－b2c2＝a4－b4，①所以c2(a2－b2)＝(a2－b2)(a2＋b2)．②所以c2＝a2＋b2.③所以△ABC為直角三角形．④(1)上述解題過程，從哪一步開始出現(xiàn)錯誤？請寫出該步的代號：________．(2)錯誤的原因是________________________．(3)本題正確的結(jié)論是____________________________________．返回③不能確定a2－b2是否為0△ABC為等腰三角形或直角三角形10．滿足a2＋b2＝c2的三個正整數(shù)，稱為____________．11．下列各組數(shù)能構(gòu)成勾股數(shù)的是________(填序號)．①6，8，10；②7，8，10；③

，

，1.勾股數(shù)2知識點勾股數(shù)①返回12．下列各組數(shù)中，是勾股數(shù)的是(

)A．14，36，39 B．8，24，25C．8，15，17 D．10，20，26C返回13．下列幾組數(shù)：①9，12，15；②8，15，17；③7，24，25；④n2－1，2n，n2＋1(n是大于1的整數(shù))．其中是勾股數(shù)的有(

)A．1組

B．2組C．3組

D．4組D返回14．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的對邊分別為a，b，c，如果a＝

，b＝

，c＝2，這個三角形是直角三角形嗎？請說明理由．小利的解答如下：解：這個三角形不是直角三角形．理由如下：1題型確定直角三角形條件在辨析題中的應用因為a2＋b2＝

2＋

2＝

，c2＝4，所以a2＋b2≠c2.所以△ABC不是直角三角形．請問小利的解答正確嗎？若不正確，請給出正確的解答過程，并畫出這個三角形．解：小利的解答不正確．正確的解答過程如下：這個三角形是直角三角形．理由如下：因為>2>，所以b是這個三角形的最長邊．因為a2＋c2＝

2＋22＝

，b2＝

2＝

，所以a2＋c2＝b2.返回所以△ABC是直角三角形．畫出的△ABC如圖所示．15．如圖，在四邊形ABCD中，AB＝BC＝2，CD＝3，AD＝1，且∠B＝90°.求∠BAD的度數(shù)．2題型確定直角三角形條件在求角度中的應用連接AC.因為∠B＝90°，AB＝BC＝2，所以△ABC為等腰直角三角形．所以∠BAC＝45°.又因為CD＝3，AD＝1，所以AC2＋AD2＝AB2＋BC2＋AD2＝4＋4＋1＝9，CD2＝9.解：所以AC2＋AD2＝CD2.所以△ACD是直角三角形且∠CAD＝90°.所以∠BAD＝45°＋90°＝135°.返回確定直角三角形條件在實際問題中的應用16．如圖，A，B兩塊試驗田相距200m，C為水源地，AC＝160m，BC＝120m，為了方便灌溉，現(xiàn)有兩種方案修筑水渠．甲方案：從水源地C直接修筑兩條水渠分別到試驗田A，B；3題型乙方案：過點C作AB的垂線，垂足為H，先從水源地C修筑一條水渠到線段AB上的H處，再從H分別向試驗田A，B修筑水渠．(1)請判斷△ABC的形狀(要求寫出推理過程)．(2)兩種方案中，哪一種方案所修的水渠較短？請通過計算說明．(1)因為AC2＋BC2＝1602＋1202＝40000，AB2＝2002＝40000，所以AC2＋BC2＝AB2.所以△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°.(2)甲方案所修的水渠較短．因為△ABC是直角三角形，解：返回所以△ABC的面積＝

AB?CH＝

AC?BC.所以CH＝＝＝96(m)．因為AC＋BC＝160＋120＝280(m)，CH＋AH＋BH＝CH＋AB＝96＋200＝296(m)，所以AC＋BC＜CH＋AH＋BH.所以甲方案所修的水渠較短．17．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，P是△ABC內(nèi)一點，且PA＝3，PB＝1，PC＝2.求∠BPC的度數(shù)．旋轉(zhuǎn)法【思路點撥】解答本題要緊扣兩個切入點：(1)由于∠BPC是一鈍角，想辦法將其分割成一直角與一特殊角(30°，60°，45°)的和的形式；(2)用旋轉(zhuǎn)法將△CPB繞點C順時針旋轉(zhuǎn)90°到△CP′A的位置．解：如圖，將△CPB繞點C順時針旋轉(zhuǎn)90°得△CP′A，則P′C＝PC＝2，P′A＝PB＝1，∠BPC＝∠AP′C，連接PP′.

∵∠PCP′＝90°，∴PP′2＝22＋22＝8.∵P′A＝1，PA＝3，∴PP′2＋P′A2＝8＋1＝9，PA2＝9.∴PP′2＋P′A2＝PA2.∴∠AP′P＝90°.易知∠CP′P＝45°，∴∠BPC＝∠AP′C＝∠AP′P＋∠CP′P＝90°＋45°＝135°.返回第一章

勾股定理1.3勾股定理的應用1課堂講解勾股定理及直角三角形的判定在求最值中的應用勾股定理及直角三角形的判定的實際應用2課時流程逐點導講練課堂小結(jié)作業(yè)提升1、勾股定理的內(nèi)容是什么？2、勾股定理的逆定理是什么？復習提問1知識點勾股定理及直角三角形的判定在求最值中的應用知1－導如圖所示，有一個圓柱，它的高等于12cm，底面上圓的周長等于18cm.在圓柱下底面的點A有一只螞蟻，它想吃到上底面上與點A相對的點B處的食物，沿圓柱側(cè)面爬行的最短路程是多少？（1）自己做一個圓柱，嘗試從點A到

點B沿圓柱側(cè)面畫出幾條路線，

你覺得哪條路線最短呢？知1－導（2）如圖所示，將圓柱側(cè)面剪開展成一個長方形，從點A到點B的最短路線是什么？你畫對了嗎？（3）螞蟻從點A出發(fā)，想吃到點B處的食物，它沿圓柱側(cè)

面爬行的最短路程是多少？知1－講求圓柱側(cè)面上兩點間的最短路線長的方法：先將圓柱的側(cè)面展開，確定兩點的位置，兩點連接的線段即為最短路線，再在直角三角形中，利用勾股定理求其長度即可．知1－講

例1

如圖，有一個圓柱形玻璃杯，高為12cm，底面

周長為18cm，在杯內(nèi)離杯底4cm的點C處有一滴

蜂蜜，此時一只螞蟻正好在杯外壁，離杯上沿4cm與蜂蜜相對的點A處，

則螞蟻到蜂蜜的最短路

線長為________．15cm知1－講

導引：化曲為直，即將圓柱側(cè)面適當展開成平面圖形，

再結(jié)合軸對稱的知識求解．具體過程如下：

如圖，作CD⊥FA于D，作A關(guān)于EF的對稱點A′，

連接A′C，與EF交于B，則A→B→C為最短路線．由題意知DC＝9cm，F(xiàn)D＝8cm，F(xiàn)A′＝4cm，

在Rt△A′DC中，A′C2＝A′D2＋DC2＝(FA′＋FD)2

＋DC2＝(4＋8)2＋92＝225＝152，

故A′C＝15cm.因為AB＋BC＝A′B＋BC＝A′C，所以最短路線長為15cm.2知識點勾股定理及直角三角形的判定的實際應用知2－講1.求長方體(或正方體)表面上兩點間的最短路線長的方法：

先將長方體(或正方體)的表面展成平面圖形，展開時一

般要考慮各種可能的情況．在各種可能的情況中，分別

確定兩點的位置并連接成線段，再利用勾股定理分別求

其長度，長度最短的路線為最短路線．知2－講

例2〈探究題〉如圖，長方體的高為3cm，底面是

正方形，其邊長為2cm.現(xiàn)有一只螞蟻從A處出

發(fā)，沿長方體表面到達C處，則螞蟻爬行的最

短路線的長為(

)A．4cm

B．5cmC．6cmD．7cmB知2－講導引：考慮將長方體表面展開成平面圖形的各種情

況，分類討論求解．如圖，連接AC.在圖①中，AC2＝(2＋2)2＋32＝25；在圖②中，AC2＝22＋(3

＋2)2＝29.因為29＞25，所以螞蟻爬行的最短路線

的長為5cm.知2－練如圖，正方體的邊長為1，一只螞蟻沿正方體的

表面從一個頂點A爬行到另一個頂點B，則螞蟻爬行的最短路程的平方是(

)A．2B．3C．4D．5D知2－導做一做李叔叔想要檢測雕塑（如圖）底座正面的邊AD和邊BC是否分別

垂直于底邊AB，但他隨身只帶了卷尺.（1）你能替他想辦法完成任務嗎？（2）李叔叔量得邊AD長是30cm，

邊AB長是40cm,點B,D之間的距

離是50cm,邊AD垂直于邊AB嗎?（3）小明隨身只有一個長度為20cm的刻度尺，他能有辦法檢驗

邊AD是否垂直于邊AB嗎？邊BC與邊AB呢？1.在解一些求高度、寬度、長度、距離等的問題時，首

先要結(jié)合題意畫出符合要求的直角三角形，也就是把

實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題，進而把要求的量看作直角

三角形的一條邊，然后利用勾股定理進行求解．2.在日常生活中，判斷一個角是否為直角時，除了用三

角板、量角器等測量角度的工具外，還可以通過測量

長度，結(jié)合計算來判斷．

知2－講知2－講

例3如圖是一個滑梯示意圖，若將滑道AC水平放置，

則剛好與AB一樣長.已知滑梯的高度CE=3m,CD=1m,試求滑道AC的長.解：設滑道AC的長度為xm,則AB的長度為xm,AE的長度為（x－1）m,

在Rt△ACE中，∠AEC=90°，

由勾股定理得AE2+CE2=AC2，即(x－1)2+32=x2,

解得x=5.故滑道AC的長度為5m.知2－講（來自教材）

例4〈實際應用題〉假期中，小明和同學們到某海島上

去探寶旅游，按照探寶圖，他們在點A登陸后先

往東走8km到達C處，又往北走了2km，遇到障

礙后又往西走了3km，再往北

走了6km后往東拐，僅走了1km就找到了藏寶點B，如圖，

登陸點A到藏寶點B的距離

是________．知2－講10km知2－講導引：如圖，過點B作BD⊥AC，垂足為D，連接AB，

則看圖可以得出AD，BD的長度，在直角三角

形ABD中，AB為斜邊，根據(jù)勾股定理計算出AB的長即可．知2－練(中考·廈門)已知A，B，C三地位置如圖所示，∠C＝90°，A，C兩地的距離是4km，B，C兩地的距離是3km，則A，B兩地的距離是________；若A地在C地的正東方向，則B地在C地的________方向．15km正北知2－練

如圖，甲貨船以16nmile/h的速度從港口A出發(fā)向東北方向航行，乙貨船以12nmile/h的速度同時從港口A出發(fā)向東南方向航行，離開港口3h時兩船相距(

)A．35nmile

B．50nmile

C．60nmile

D．40nmile2C1．解決實際問題的方法是建立數(shù)學模型求解．2．在尋求最短路徑時，往往把空間問題平面化，

利用勾股定理及其逆定理解決實際問題．123456789101112131415勾股定理及直角三角形的判定在求最值中的應用1．最短路線的求法：因為在平面內(nèi)，兩點之間________最短，所以在求立體圖形中兩點間的最短距離時，首先把立體圖形轉(zhuǎn)化為平面圖形，然后利用________來求，或利用“兩點一線”型，用對稱點法找出點，然后用__________求解．線段1知識點勾股定理返回勾股定理2．如圖，圓柱的底面直徑為

，BC＝12，動點P從A點出發(fā)，沿著圓柱的側(cè)面移動到BC的中點S的最短距離為(

)A．10 B．12C．20 D．14A返回3．如圖，長方體的長為9，寬為4，高為12，點B與點C的距離為1，一只螞蟻如果要沿長方體的側(cè)面從點A爬行到點B，需要爬行的最短距離是(

)A．12 B．13C．15 D．17B返回返回4．如圖，長方體的底面相鄰兩邊長分別為2cm和4cm，高為5cm.若一只螞蟻從P點開始經(jīng)過4個側(cè)面爬行一圈到達Q點，則螞蟻爬行的最短路徑長為________．13cm5．如圖，牧童在A處放牛，牧童家在B處，A，B處距河岸的距離AC，BD的長分別為500m和700m，且C，D兩地距離為500m，天黑前牧童從A點將牛牽到河邊飲水，再趕回家，那么牧童最少要走(

)A．1000m B．1200mC．1300m D．1700mC返回6．如圖，透明的圓柱形容器(容器厚度忽略不計)的高為12cm，底面周長為10cm，在容器內(nèi)壁離容器底部3cm的點B處有一粒飯粒，此時一只螞蟻正好在容器外壁，且離容器上沿3cm的點A處，則螞蟻吃到飯粒需爬行的最短路徑的長是________．13cm返回7．在求一些高度、長度、距離、寬度等量時，首先要結(jié)合題意畫出符合要求的________________，也就是把實際問題轉(zhuǎn)化為____________，進而把要求的量看成直角三角形的一條邊長，然后利用勾股定理進行求解．返回直角三角形數(shù)學問題2知識點勾股定理及直角三角形的判定的實際應用8．如圖，有兩棵樹，一棵樹高8m，另一棵樹高3m，兩樹相距12m．一只小鳥從一棵樹的樹梢飛到另一棵樹的樹梢，則小鳥至少飛行(

)A．12m B．14mC．13m D．15m返回C9．如圖，小亮將升旗的繩子拉到旗桿底端，繩子末端剛好接觸到地面，然后將繩子末端拉到距離旗桿8m處，發(fā)現(xiàn)此時繩子末端距離地面2m，則旗桿的高