篇密集頻譜校正及非線性系統(tǒng)分岔問題的

本文所呈交的是在導(dǎo)師指導(dǎo)下完成的。中取得的研究成果除加以標(biāo)注和致謝的地方外，不包含其他人已經(jīng)或撰寫過的研究成果，也不包括本人獲得其他而使用過的材料。與我一同工作的對本作的任何貢獻(xiàn)均已在中作了明確的說明并表示謝意。 期 和混沌問題：包括分岔圖的無窮嵌套結(jié)構(gòu)和多吸共存、穩(wěn)態(tài)解的跳躍突變、對稱破缺分岔、混沌吸的激變等現(xiàn)象，以及參數(shù)空間解域的演化和相互作用規(guī)律。主要工作有：別和校正的可行性，兩個密集頻率成分頻譜的譜分解校的適用條件，給出判斷兩分量1~6根譜線之間均能有效識別和校正，且可能推廣到校正兩個以上頻率分量組成的密集法。實(shí)現(xiàn)了“周期解、混沌解均可求解，低周期、高周期、主要、次要解枝皆能，將多吸它們來對感的或有疑問的穩(wěn)態(tài)解作出進(jìn)一步的確認(rèn)與分析，最終形成一個全方位、集成化、方應(yīng)用多初始點(diǎn)分岔分析法有效地了Holmes-Duffing方程解和非解中的主要解枝和適合發(fā)現(xiàn)非線性動力系統(tǒng)中的多吸共存現(xiàn)象，以及與此相關(guān)的跳躍現(xiàn)象及對稱破缺分岔等。明確了對稱周期解通向混沌的道路：對稱P-n解→對稱破缺→孿生稱P-n解→正級聯(lián)→孿生I-n混沌解→合并激變→I-n混沌解。用基于多初始點(diǎn)求解策略和求解器的宏觀切片分析法在參數(shù)平面里成功繪制了Hénon映射發(fā)現(xiàn)登陸現(xiàn)象是可逆的，登陸過程使多吸共存現(xiàn)象，逆登陸過程產(chǎn)生多吸共存 變——內(nèi)部激變，解域激變線一側(cè)混沌吸的激變由邊界激變轉(zhuǎn)化為內(nèi)部激變；簡單解域、復(fù)合象之間的內(nèi)在聯(lián)系。級聯(lián)交匯區(qū)內(nèi)兩交匯子域，多吸共存。在級聯(lián)交匯區(qū)會發(fā)生周期解的本文命名并系統(tǒng)地研究了解域在演化過程中相遇所產(chǎn)生的交錯現(xiàn)象，據(jù)此對多吸共存現(xiàn)解域不同子域間有交疊，它們之間就會發(fā)生交錯。廣義交錯區(qū)多吸共存，所以解域交錯產(chǎn)生多吸共存現(xiàn)象。域。低力幅下，在頻率以下的低頻段會發(fā)生一系列孿生稱P-1解域的三角形交匯。從高頻振及1/2、1/3等次諧波。交匯區(qū)即參數(shù)空間的區(qū)。②系統(tǒng)存在大量高級復(fù)合解域，其中的交匯現(xiàn)象也是嵌套的。孿生稱解域是重合的、成對出現(xiàn)的，演化規(guī)律完全相同。對稱解域中既P-nP-n解的狹義跳P-nP-n解的跳躍，泛指各種穩(wěn)定穩(wěn)態(tài)解之間的跳躍。在多吸共存的參數(shù)區(qū)域（廣義交錯區(qū)）均會發(fā)生廣義跳躍現(xiàn)象。頻譜分析，信號處理，離散頻譜，密集頻譜，頻譜校正，非線性，非線性動力系統(tǒng)，分岔，混沌，Duffing方程，Hénon映射，跳躍，對稱破缺，突變，激變，全局分析CorrectionofIntensiveSpectraandBifurcationofNonlinearSystemsbyNumericalMethodTwosubjectsarestudiedinthisdissertation.Thefirstistheidentificationtheoryandcorrectionmethodofdiscreteintensivespectrainfrequency.Thesecondisthebifurcationandchaosofnonlineardynamicsystemsinparameterspace.Theinfinite-nestinghierarchyofbifurcationdiagrams,thecoexistingofattractors,thecatastrtophicbifurcation(jumpphenomenon)ofthestablesolutions,thesymmetrybreakingbifurcation,thecrisesofchaoticmotions,thelanding,joiningandcrossingphenomenaofsolutionsinparameterspacearestudiedindetail.Thebasictheoryandargumentationoffeasibilityforidentificationandcorrectionoftheintensivediscretespectrainfrequency isputforward.Thepreconditionofthecorrectionmethodforoverlappedspectrumwithtwointensivefrequencycomponentsispointedout.Theyticalconditiontojudgethespectrallinesofthetwofrequencycomponentslyinginonedirectiononcomplexneisobtained.Thenasimplefrequency--correctionmethodisbroughtforwardforintensivespectra.Themethodisaprolongationoftheratio(interpolation)method.Thecalculationofcorrectionofthemethodisassimpleastheoneoftheratiomethod.Whetherthespectrallinesofthetwocomponentslieinonedirectionornot,whetherthefrequencyintervalbetweenthemislessthanoneresolutionorvaryingfrom1to6spectrallines,themethodrunswellinallthesesituations.Italsocanbebroadenedtocorrectthespectrumthatconsistsofthreeintensivefrequencycomponents.Theresultsofsimulationforthespectrumoftwointensivecomponentsareverygood.Frequencies,amplitudesandphaseanglesobtainedbythemethodareofhighprecision.Theleakageeffect,picked-fenceeffectandthemainlobeinterferearealleliminated.Bycombiningthebifurcationysiswiththeglobalysis,anumericalmethod,socalledtheMulti-initial-conditionsBifurcationysisMethod(MBAM),isproposedforthebifurcationandchaosysisofnonlineardynamicsystems.Themeritofthemethodisthatitcanobtainboththeperiodicandchaoticsolutions,tracebothlowerandhighperiodic,mainandsubordinatesolutionbranches,anditcanshowthecoexistingphenomenaofattractorsontheMulti-initial-conditionsBifurcationDiagrams(MBDs).Sometechnicalproblemshavebeensolvedinthecourseofprogrammingofthemethod.ThesoftwareisequippedwithpowerfulfunctionsofdataprocessingandgraphicysisandtheMBDscanbeyzedeasilyandquicklyindetail.Thespectrumysis,stabilityysis,Lyapunovexponentysisandglobalysisbasedonpointmapareallintegratedintheprogram.Sothefurtheraffirmanceandysesofinterestingordoubtingsolutionscanbedoneimmediay.ThemainsolutionbranchandaseriesofsubordinatebranchesintheHolmes-DuffingequationaretracedsuccessfullybytheMBAM.ItisfoundthattheMBDscanprovideinformationseveraltimesmorethansingle-pointbifurcationdiagramsandtheMBMisverygoodatfindingtheJumpphenomena(cuspcatastrophe)andSymmetryBreakingbifurcationinnonlineardynamicsystems.ManyJumpphenomenaandSymmetryBreakingbifurcationsarefoundonhigherperiodbranches(windows)oronthesamesymmetricbranch.Thepathfromsymmetricsolutionstochaosgenerallyis“symmetricP-nsolutionssymmetrybreakingtwin-antisymmetricP-nsolutionspositivecascadetwinI-nchaoticsolutionmergingcrisissingleI-nchaoticTheevolvementsofstablesolutionsonbranchesaresummarizedintoseveralpatterns.Kindsofcomplexsolutionbranchesandwindowscanbesimplyyzedbytheuseofthesepatterns.ThereareBasicPatterns(PositiveandInverseCascade,fromsubharmoniccascadetoinversecascadeofchaosortheoppositeorder)andComplexPatterns(composedofseveralbasicpatternsconnectedbytachesofJump).TherearepletepatternsthatispartsofaComplexPatterns.Apartfromthe pleteones,complexpatternsareofsymmetrypropertyaboutthejumptachesinaThemainsolutionandseveralhigh-rankingsolutionsofHénonmaparetracedandplottedsuccessfullyontheparameternebyMacroSlicing-upTechniquebasedontheMBAM.Theevolvingrulesandinctionofstablesolutionsareinvestigatedsystematicallyandsummarizedas“l(fā)andingbetweenranks,crossingbetween sandjoiningamongsub- s”.Onephenomenon(landing,joiningorcrossing)maynestinanotherphenomenon.TheconceptofSolution onparameterneisintroduceddefiniy.Solution sareenclosedbystaticbifurcationlinesandboundaryorinteriorcrisislines.Aclassifyingsystemisproposedtoclassifyvarioussolution s.Itisfoundthattherankofsolution sisinfinite,whichistherootstockoftheinfinite-nestingpropertyofbifurcationdiagrams.Simpleorcomplexsolution sonparameternecorrespondtothesimpleorcomplexsolutionbranchesontheMBDs.Thereareperiod-doublingcascadesonthecross-sectionofsimple sandthesolutionsgotochaosalongtheroadofperiod-doublingbifurcation.Complex sarejoinedbyseveralsimple swithsameperiod.ThereisatleastapairofJoiningSub- sand panyingsub- ssometimesincomplex AphenomenonnamedSon-to-Father-TypeLandingisobservedinthecourseofevolvementof sandanOverbridgeModelisestablishedforit.TheStep-likeCrisisofchaoticmotionsoccurredinthefatherbeforethesonlandingisunpuzzledbythemodelsuccessfully.Itisfoundthatthecrisisstepsofchaosonthebifurcationdiagramscanserveassymptomsfortheexistencesoffloatingbranchesandlandingphenomena.TheLandingInctionbetweensonandfather inthecourseoflandingisrevealed.Becauseofthelandinginction,alittleCrisisSlopewithaCrisisSidesteparises,aChaoticChannel(i.e.,theperiodicwindow)forminthechaoticareainstateparameterspaceandthechaoticareaisenlargedatthesametime.Itisfoundthat:(a)Thecourseoflandingisinvertible.Landingeliminatesthemulti-attractor-coexistingphenomenonandtheinversecoursecausesit.(b)AftercrossingtheLandingLineandarrivingattheWindowStageoftheson ,theStep-likeCrisisonthefather disappearsbutamorepowerfulwindow-typecatastrtophe--interiorcrisisbursts;thecrisesonthecrisislinesideofthesonchangefromboundarytointerior.(c)TheSon-Father-TypeLandingphenomenamayoccuramongsimple,complexandhigh-rank sandcanbeclassifiedaccordingtothelocationof(d)Whenhigh-rankscrossingtheone-dimensionalquatricmap(i.e.,b=0inHénonmap),theymustexperiencethelandingcoursesortheinversecourses.AnotherphenomenonnamedJoining,itsCascade-joiningDistrictandSub--joiningDistrictarediscoveredinthecourseofevolvementofcomplexsolutionsontheparameterne.TheimplicitlandingphenomenaoftypeI-IandP-I,andcrossingphenomenonbetweenthetwojoiningsub-sisrevealed.Thejoiningphenomenonofsub-sdefinedinthisdissertationhasmuchmoremeaningthanthe‘knotting’and‘crossroad’phenomenaofthedoublingbifurcationlines.Joiningphenomenaaredividedintotwokinds:Quadrangle-typeJoiningandTriangle-typeJoining,accordingtotheshapeofthecascade-joiningdistrict.ATwo-opposite-arch-bridgesModelisestablishedfortheformerinstateparameterspace.ThelattercorrespondstotheHFJoining-typeLandingandcomplieswithOverbridgeModelpartly.ItisfoundthattheconstructionoftheMBDsisdifferentfromeachotherifthesub--joiningdistrictisslicedindifferentdirectionsorpositions.ThecomplexbranchesorwindowsobeyingthecomplexpatternsonMBDsareproducedbyslicingthroughthesub--joiningdistricts.Theinherentrelationshipbetweenthejoiningphenomenaofsolutionsandthejumpphenomenaofsolutionsisdiscovered.Thereareatleasttwoattractorsandthetwojoiningsub-overlapstoeachother.Thenthejumpphenomenaofperiodicorchaoticsolutionswilloccuratthecascade-joiningdistrict.TheJoiningInctionbetweenthesub-inthecourseofJoiningisrevealedforthequadrangle-typejoining.ItenlargestheJoiningDistrictfromcascade-joiningdistricttoSub--joiningDistrict,producesEqual-periodPeriodicWindows(theperiodicwindowandthechaotichavesameperiodnumber),littleChaoticWindows(interiorcrisesoccurredatbothendsofthisspecialwindow)andCrisisSlope.Italsocauseschaoticcrises.Thephenomenaareclassifiedaccordingtothelocationofjoining.Itisfoundthattheyareofinfinite-nestingpropertyandthesamepropertyofsolutionsoriginatesinit.Onecomplexcanmultiplymorethanonesoncomplexandthesonwillhaveitsownsonandgrandson.Theoffspringofthetwojoiningsub-sformstwocatenae.Therearesomesimilaritiesbetweenjoinsinthesamecatena.Therearesomesymmetrypropertiesbetweenjoinsoccurredineachcatenaandthisistherootofthesymmetrypropertyofcomplexpatterns.Thejoiningphenomenonoccursinverysmallregionofparameters.Itisaratherdrasticmovement.TheCrossingphenomenonoccurringwhentwosolutionscomeacrossisstudiedindetailandaproperreasonisprovidedforthemechanismofappearingofmulti-attractorscoexisting.Thecrossingphenomenaaredividedintotwokinds:floating-typeandwindow-typecrossing.ThelattercomplieswiththeTwo-opposite-arch-bridgesModel.TheconceptofGeneralizedCrossingthatincludestheformertwocrossing,joining-typecrossingandlanding-typecrossingisintroduced.Aslongasdifferent soverlaptoeachotherinadistrict,thecrossingphenomenonthenoccurs.Multi-attractorscoexistintheCrossingDistrict.Socrossingof scausesmulti-attractorscoexisting.Pilotstudywiththemacroslicing-uptechniquehasbeensurveyedonthesystemofHolmes-Duffingexcitedbyharmonic.Thereareallthethreephenomenaindifferentialsystemtoo.Itisfoundthat:(a)themain ofHolmes-Duffingsystemisacomplex .Atlower level,inlowfrequencybandbelowtheresonancefrequency,thereisaseriousoftriangle-typejoinsoftwinantisymmetricP-1solution s.Thejoiningdistricts esmallerandthe ehigherwhenthefrequencychangesformhighertolower.Thesecoursesofjoiningshouldcorrespondtothemainresonance,1/2,1/3,subharmonicresonancesrespectively.Thejoiningdistrictsaretheresonancedistrictsintheparameterspace.(b)Therearelotsofhigh-rankcomplex sinDuffingsystem.Thejoiningphenomenaarealsonested.Thetwin-antisymmetricsolutionsareoverlapped,appearinpairs,andtheevolvementsarequitethesame.Therearejoinsamongsymmetricbranchesandtherewillalsobejoinsamongtwin-antisymmetricbranches.(c)Thelandingbetweenranksofsandcrossingbetweensolutionsaredistributedinbroadareaintheparameterspace.Generalizingthecommonjumphenomenaencounteredinthecourseofswee-frequencyysis,aconceptofGeneralizedJumisintroduced.WhateverdirectionsthetriangleorQuadranglejoiningdistrictswouldbesliced,thejumpphenomenoninnarrowsenseofP-nsolutiontoanotherP-nsolutionoccursaslongasthecascadejoiningdistrictisslicedacrossthetwoadjacentsidesfromtheinflexion.Thegeneralizedjumgenerallyreferstothejumbetweenvariouskindsofstablestatesolutions.Sogeneralizedjummayoccurinparameterareawheremulti-attractorscoexist(i.e.GeneralizedCrossingspectrumysis,signalprocessing,discretespectrum,intensivespectrum,spectrumcorrection,nonlinear,nonlineardynamicsystem,bifurcation,chaos,Duffingequation,Hénonmap,jump,symmetrybreaking,catastrophe,crisis,globalysis 第一章 第二章離散密集頻譜識別和校正方法研 第三章研究分岔混沌問題的多初始點(diǎn)數(shù)值積分策略及實(shí) 第四章Duffing振子的跳躍現(xiàn)象及對稱破缺分 第五章參數(shù)空間中Hénon映射的穩(wěn)態(tài)解域及其演化規(guī)律研 P-5解域K沿a軸方向的演 第六章微分動力系統(tǒng)中的交匯、交錯及登陸現(xiàn) 第七章 參考文 致 附錄A作者簡 附錄B攻 期間的學(xué) 附錄C攻 期間參加的科研項(xiàng) 測量儀器的失真度檢測、機(jī)械故障診斷、結(jié)構(gòu)動力特性分析、振動源或噪聲源及其途徑和驗(yàn)研究中找到用武之地，是識別非線性動力系統(tǒng)混沌運(yùn)動的主要之一[3]。除頻譜分析外，小波析仍將是目前最主要的信號分析。半，幅值偏度誤差可達(dá)3.92dB或36.3%，而相位誤差可達(dá)90[2]。時域加窗處理可以擬制泄漏，但不能根本消除它。通過選擇旁瓣極低的凱塞—貝塞爾是一對。旁瓣性能好則主瓣寬，犧牲了頻率分辨率，不利于識別頻率分布較集中的密集頻譜。信息對機(jī)器設(shè)備狀態(tài)監(jiān)測與故障診斷是十分有用和重要的[89]。的頻率、幅度和相位的FFT測量值進(jìn)行校正是可行的。fd=(1-2s)f1s(=0.001~0.01)一般又要提高檢測精度。在通訊、、聲納等領(lǐng)域也經(jīng)常會遇到這樣的要求，在電子偵察中，頻率估計(jì)則是一個問題。因而離散頻譜校正技術(shù)具有很高的實(shí)用價(jià)值。如前所述，頻譜分析廣泛應(yīng)用于許多物理學(xué)和工程學(xué)領(lǐng)域，是一種重要的信號處理。雖然,非線性振動是非線性動力學(xué)中發(fā)展較早、也相對較為成學(xué)科之一。機(jī)械工程中存在大量非是最早將非線性理論應(yīng)用于工程實(shí)際的學(xué)科之一。聞邦椿及其的科研集體在振動利用工程中作出了杰出的工作，取得了豐碩成果[49,50及其引文]。無論是抑制有害振動還是利用振動，都需要借助歸宿。所以分岔理論及其分析方法是研究混沌產(chǎn)生的機(jī)理和途徑的重要[45]?；煦缡且环N對初值敏感、長期不可預(yù)測的不規(guī)則運(yùn)動，具有分形及無窮嵌套自相似等復(fù)雜性運(yùn)動的界限[3]。雖然19世紀(jì)末Poincaré在研究三體問題時已 到20世紀(jì)60年代Lorenz發(fā)現(xiàn)了耗散系統(tǒng)混沌運(yùn)動的奇怪吸 非線性動力系統(tǒng)中普遍存在多吸共存現(xiàn)象（在參數(shù)空間同一點(diǎn)有多個穩(wěn)定的穩(wěn)態(tài)解）。對初始條件非常敏感。這是有別于混沌區(qū)的另一種初值敏感性。有稱在一個由兩個轉(zhuǎn)子組成的機(jī)械系統(tǒng)中同時存在多達(dá)3000個以上的周期吸[125]。對多吸共存現(xiàn)象的研究屬于系統(tǒng)全局電站的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)常常就這種棘手的問題。味著出現(xiàn)新的穩(wěn)定穩(wěn)態(tài)解枝或原有解枝的。所以全局分析與分岔問題密切相關(guān)。Duffing振子主的跳躍現(xiàn)象、自催化反應(yīng)施樂格(Schl?gl)模型中的滯后現(xiàn)象、物理中的磁滯現(xiàn)象混沌吸激變(Crisis)現(xiàn)象的重要[161-164]。[44,45,52]解釋?；镜臄?shù)值積分方法仍是目前進(jìn)行非線性基礎(chǔ)理論研究的主要數(shù)值實(shí)驗(yàn)，更是解決多自由度、強(qiáng)耦合、強(qiáng)非線性和可變參數(shù)非線性系統(tǒng)主要的工具[351]。計(jì)算機(jī)量限制，樣本長度不能加大到足以使密集頻譜不再密集的程度；其次加大樣本長度勢必分辨率，達(dá)到較高的分析精度。ZoomFFT是基于復(fù)調(diào)制移頻的高分辨率分析法，于上世紀(jì)70年代發(fā)展起來的頻譜分析技術(shù)。它采用移頻（復(fù)調(diào)制，將需分析的頻帶移到以零為中心對稱的頻高頻率分辨率）、FFT及譜分析、頻率成分調(diào)整這樣一個流程，實(shí)現(xiàn)對感頻段的細(xì)化分析。根據(jù)變換時間尺度變化性質(zhì)，時間尺度的擴(kuò)展意味著頻率尺度的壓縮。所以ZoomFFT技術(shù)提忽略各分量之間的，采用單頻信號的窗譜校來對各分量分別進(jìn)行校正[31]。對密集離散頻譜在電學(xué)等領(lǐng)域尤其重視諧和信號頻率的精確估計(jì)。1970年，DCRifeGAVincent提出了估計(jì)正弦信號頻率的重心法[12]，1974LCPalmerDFT對諧和信號頻率進(jìn)行估計(jì)[13]。1975年JohnCBurges[14]、1979VKJain[15]等從事電學(xué)領(lǐng)域研究工作的學(xué)者采用內(nèi)插法對加矩形窗的離散Hanning窗的內(nèi)插法[16]，進(jìn)一步提高了離散高次諧波參數(shù)的分析精度。相對誤差在一種校正方法一次校正就能同時獲得這面的準(zhǔn)確信息。90年代中期，與、黃迪山和徐這期間，余佳兵等(1996)和徐培民(1997)DFT角度進(jìn)行了理論概括，在此基礎(chǔ)(1995)FFTFFT譜來測量兩同頻信號間的相位差能達(dá)二次FFT時對原采樣序列的后半部置零，加同樣的窗，作同樣點(diǎn)數(shù)的FFT計(jì)算。相位差校的校成功應(yīng)用于轉(zhuǎn)子振動監(jiān)測[9]。1998年，劉渝也了類似方法[36,37]，差別是作兩段長度不等的FFT運(yùn)算。、張曉飛和(1999)對采樣序列分前后兩段作變換實(shí)現(xiàn)了同樣的方法[38]。1995年，劉進(jìn)明、應(yīng)懷樵提出一種FFT譜連續(xù)細(xì)化分析的變換法[39]，該方法在FFT全DFT細(xì)化分析進(jìn)行校正。方法適應(yīng)性好，精度與比值法相當(dāng)，但相位精度稍高一些，缺點(diǎn)是校正過程分兩步完成，DFT局部細(xì)化使校正速度下降太多。由于沒有增加采樣長FFT+DFTZoomFFT，不能識別密集頻譜。1997年，陳奎孚、焦內(nèi)譜線測量精度的最大因素是來自鄰近其他頻率分量的旁瓣或主瓣，以及當(dāng)頻率較低或接近Nyquest頻率時來自以零頻率或Nyquest頻率為軸的鏡像[33]。較為嚴(yán)重時，會導(dǎo)致比值法失FFT譜很難識別其頻率構(gòu)成，確定各頻率分量的參數(shù)，各種單頻率信號頻譜校不再適合此類多頻信單個頻率分量的校正精度和校正方法的分辨率是一對，經(jīng)過多年努力，近頻分辨能力也只是提高到窗譜主瓣寬度[40]。1999年，、和莫克斌等首次明確提出一種校正兩個密集頻率成分重疊頻譜的方法[43]，2000年，、在文[32]基礎(chǔ)上利用識別和判定單頻率信號的相位判據(jù)和幅分離，然后利用單頻信號頻譜校正的比值法分別校正其參數(shù)，可簡稱為“譜分解校”。對于兩分岔問題于力學(xué)失穩(wěn)現(xiàn)象的研究。伯努利(Bernoulli)和歐拉(Euler)等早在18世紀(jì)已研究過軸向壓力作用下的桿件屈曲問題，1834年雅可比(Jacobi)在研究橢球形旋轉(zhuǎn)液體平衡時使用“Bifurcation”（分岔、分叉、分枝）一詞。2030年代，安德羅諾夫(Andronov)和龐特里雅金振子主的跳躍為代表的跳躍現(xiàn)象。1.1.2節(jié)已，這屬于突變理論中的尖點(diǎn)突變現(xiàn)象。包光偉圖(phaseportrait)，給出穩(wěn)態(tài)解在參數(shù)空間的分布情況，從而達(dá)到對系統(tǒng)結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性的全面了解。為由于實(shí)際系統(tǒng)大都十分復(fù)雜，分岔?xiàng)l件的確定和穩(wěn)態(tài)解的計(jì)算往往都很，所以不得不采用定性了全新的方向，對非線性科學(xué)的發(fā)展有著深遠(yuǎn)的影響。與此同時，Lyapunov奠定了運(yùn)動穩(wěn)定性的理論基礎(chǔ)，給出了嚴(yán)格的穩(wěn)定性定義，創(chuàng)立了判定穩(wěn)定性的直接法。20世紀(jì)二、三十年代，前蘇聯(lián)的Andronov（安德羅諾夫）和他的學(xué)生們用定性方法嚴(yán)格證實(shí)了早年由Poincar，今天被Hopf分岔的存在性[63]。近代研究分岔問題的主要理論方法有奇異性方法、中心流形方法、PB等。對于分岔問題，通?？梢韵扔肔yapunov-S 中心流形方法也可用來對問題進(jìn)行降維處理。中心流形定理[60,61,66,67,70]表明系統(tǒng)的長期性態(tài)是由系統(tǒng)在低維的中心流形上的行為確定的。J.Carr[66]證明了系統(tǒng)奇點(diǎn)的穩(wěn)定性與中心流形上簡常微分方程的規(guī)范形概念最早是由Poincaré在其博士中，后來經(jīng)過Birklioff，Arnold等的工作逐步發(fā)展成較完整的理論。在用中心流形方法對原方程降維后，PB規(guī)范形方法[68-72]在平衡后繼函數(shù)法和Shilnikov法[70,74]在研究二維和系統(tǒng)的同宿分岔問題中有重要作用。非線性振動中經(jīng)典的解析方法（如小參數(shù)攝動法、平均法、多尺度法、諧波平衡法等[44485758]）可以定量研究周高深的數(shù)學(xué)理論，而且往往難以進(jìn)行，要得到定量結(jié)果則更加，因此數(shù)值計(jì)算和模擬成為研究2060年代以來，隨著大型高速電子計(jì)算機(jī)和有效的大規(guī)模算法十分明顯的成效[45,75,76]。環(huán)節(jié)。求自治系統(tǒng)的平衡點(diǎn)歸結(jié)為一個非線性代數(shù)方程組的求解問題，在非奇異點(diǎn)可以用各種迭代法求解。自治系統(tǒng)的極限環(huán)和非自治系統(tǒng)的周期解可以用基于Poincaré點(diǎn)映射原理的直接數(shù)值積分方法求解[5758]（迭代方程控制的離散動力系統(tǒng)的周期軌道可直接迭代求解）。求解周期驅(qū)動非將穩(wěn)態(tài)周期解求解問題轉(zhuǎn)化為常微分方程兩點(diǎn)邊值問題求解的思想由來已久，早在1957年括了Hitzl和Zele[96]用離散變換所得的理論計(jì)算結(jié)果。1994年黃和謝柏松又將該方法推廣到離散映射，并就一二次非線性映射與文獻(xiàn)[97]的數(shù)值計(jì)算結(jié)果進(jìn)行了比較。代數(shù)分析法的唯一缺點(diǎn)是對高周期軌道，其代數(shù)運(yùn)算極其復(fù)雜。日益發(fā)展的計(jì)算機(jī)軟件（如，Mathcad法——打靶型迭代法[98]HénonHénon]推關(guān)系式，編制了確定這類系統(tǒng)P-k解分岔曲線的通用程序，并計(jì)算了耦合Logistic映射的分岔曲為了用數(shù)值方法了解在參數(shù)連續(xù)變化時穩(wěn)態(tài)解的演化過程，并從中發(fā)現(xiàn)奇異性（多重解、轉(zhuǎn)折個初始解點(diǎn)出發(fā)，一步步對解曲線“連續(xù)地”，從而得到穩(wěn)態(tài)解隨參數(shù)的變化規(guī)律。這是求解用延拓法求得周期解的一個近似，再用打靶法提高精度，則形成打靶延拓法。文獻(xiàn)[101-106]詳細(xì)討論了打靶法和延拓法的理論基礎(chǔ)及實(shí)際應(yīng)用。非線性科學(xué)中心在分岔問題數(shù)值方法研究方面取得了一系列成果[45,76及其引文,106,107]。幅值增量諧波平衡法建立響應(yīng)幅度與激勵頻率之間的關(guān)系，已被證明等價(jià)于諧波平衡Newton-Raphsom方法[48,113]，并在彈性系統(tǒng)的大幅度振動[111]、Duffing[112]等系統(tǒng)中得到應(yīng)用，給出諧波，幅值增量諧波平衡出現(xiàn)數(shù)值不穩(wěn)定。相位增量諧波平衡法很好地解決了這一問題[114]。文[115]Holmes-Duffing方程的一來解決高周期解的分岔問題目前還不太現(xiàn)實(shí)，還有許多工作要作。例如，對大型轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動程、VanderPol方程、Mathieu方程、Hénon映射等）進(jìn)行非線性基礎(chǔ)理論研究，數(shù)值積分（或直接多種算法[48,123]，最常用的是四階定步長Runge-Kutta法。用數(shù)值積分（或直接迭代）方法研究動力法進(jìn)行分岔研究，在多吸共存的參數(shù)區(qū)域都應(yīng)追蹤每一解枝的演化情況。當(dāng)用基于延拓法的各局分析只有依靠數(shù)值研究。最基本的全局分析數(shù)值方法是基于Poincaré點(diǎn)映射原理的數(shù)值積分法。固定系統(tǒng)所有參數(shù)，在相空間選擇一個感的有限區(qū)域，按一定密度將其劃分為網(wǎng)格，用數(shù)值積吸，就可對系統(tǒng)的全局性態(tài)有初步了解。這種方法的計(jì)算量會隨著系統(tǒng)維數(shù)的增高、分析區(qū)域?yàn)榱颂岣哂?jì)算效率，學(xué)者Hsu（徐皆蘇）根據(jù)點(diǎn)映射的思想于20世紀(jì)80年代初提出了一了2~3個數(shù)量級[44,48]。計(jì)算效率和精度之間是一對，效率提高必然導(dǎo)致精度降低。針對簡單胞映射中模糊且不合理的假設(shè)——胞尺寸足夠小，HsuMarkon鏈的廣義胞映射法[129]，方法比較精確，但計(jì)射法。胡海巖[48]Poincaré映射有較大畸變的Hsu提出瞬態(tài)過程結(jié)構(gòu)的胞映射分析[134]，1995年Hsu進(jìn)一步研究了廣義胞映射與偏序集(poset)和圖論數(shù)學(xué)分支的對應(yīng)關(guān)系[135]。1999年、洪靈利用這一思想提出廣義胞映射圖論方法吸和吸引域的幾何結(jié)構(gòu)，混沌吸激變現(xiàn)象的發(fā)生機(jī)理；④混沌的控制和應(yīng)用。由于對混沌吸結(jié)構(gòu)的不規(guī)則性；(2)利用數(shù)值方法得到功率譜，如果有連續(xù)功率譜，則認(rèn)為混沌出現(xiàn)；(3)用LyapunovLyapunov指數(shù)大于零可作為混沌存在的一個重要判據(jù)；(5)對于耗散系統(tǒng)，確定吸及其吸引域邊界的維數(shù)有助于判斷吸的奇怪性。具有分?jǐn)?shù)維的吸及吸引域邊界的出現(xiàn)通常是混沌的重要特征；(6)測度熵有效的方法[129161-164]。Smale意HamiltonMelnikov函數(shù)法去估計(jì)混沌出現(xiàn)的閾值[70]。對KAM環(huán)KAM定理的條件不滿足時，KAM環(huán)面的破壞會導(dǎo)致顯著的混沌行為[147]；③符號動斷系統(tǒng)的混沌行為，目前已成功地用于由一維映射或某些常微分方程描述的系統(tǒng)的混沌和吸特(4)KAMHamilton系統(tǒng)中產(chǎn)生混沌的重要途徑。除了這幾種較常見的通向混沌的道路為邊界激變（boundarycrisis,混沌吸突然出現(xiàn)或，attractordestruction/creation）、內(nèi)部激變個混沌吸突然合并或單個混沌吸突然，attractormerging/splitting,多發(fā)生在對稱系統(tǒng)中）內(nèi)部激變伴隨著沖出激變前限制吸運(yùn)動的相空間區(qū)域的陣發(fā)性爆發(fā)(intermittentbursting)；合并激變伴隨著在激變前的多個吸行為特征間的陣發(fā)換(intermittentswitching)。Grebogi、OttYorke[154]1982年首先命名的，并用一維平方映射對邊界激變和內(nèi)部激變作了解釋和說明。在此之前，GrebogiUeda等人分別在離散系統(tǒng)和微分系統(tǒng)[154-156]中觀察到這一現(xiàn)象。顯然，激變屬于混沌運(yùn)動的分岔現(xiàn)象。Thompson等人[157]認(rèn)為邊界激變是不確定性最高的一類全局分岔，并稱之為“分岔”。關(guān)于邊界激變還有如下事實(shí)[158]Hénon映射這樣嚴(yán)格耗散（Jacobi矩陣行列式的值處處小于和瞬態(tài)混沌。文[163]GCMDDuffing方程的內(nèi)部激變，發(fā)現(xiàn)在常微分值時，混沌吸連同他的吸引域突然，同時這個混沌鞍也突然增大。為初始條件（或采用參數(shù)延拓的思想）來系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)解隨分岔參數(shù)的變化情況。這適合系統(tǒng)的主要解枝。對于同一分岔參數(shù)下有多個吸共存的情況，如在系統(tǒng)發(fā)生跳躍現(xiàn)象、對稱破缺而且能高周期解枝；不僅能連續(xù)主要解枝隨分岔參數(shù)的變化，而且能在多吸共存的參數(shù)析法[9192]，還是基于打靶法、延拓法或諧波平衡法的各種數(shù)值方法，當(dāng)面對完整解枝上的高周期穩(wěn)態(tài)解、特別是混沌解時往往都顯得力不從心。只有基于Poincaré點(diǎn)映射原理的數(shù)值積分法（或離散更進(jìn)一步，使不同解域間的相互作用研究成為可能。本文第五章選擇經(jīng)典的迭代方程——Hénon映射作為研究對象，在參數(shù)平面上用多初始點(diǎn)分岔分析法研究其中的多吸共存現(xiàn)象，繪制幾個低第二章引在不增加采樣長度的情況下，根據(jù)變換時間尺度性質(zhì)可知無法在頻域?qū)⒚芗l率成分區(qū)解校推廣到窗譜主瓣較小，即兩分量間距在1~6個頻率分辨率之間的情形。其次，在概括單頻比值校原理的基礎(chǔ)上，試圖將該方法推廣到由兩個及以上的頻率分量構(gòu)成的密集頻譜校正2.1進(jìn)行分類。諧和信號具有單一頻率，簡稱單頻信號。變換（DFT）理論，以及離散頻譜信號的變換與DFT的關(guān)系，并討論利用FFT技術(shù)分|條件且絕對可積，即x(t)|dt，那么x(t)的 |X(f)x(t)ej2πftdt 能挑選時間歷程中能反映信號主要特點(diǎn)的一段采樣值進(jìn)行處理。即必須對抽樣后的函數(shù)x(t)進(jìn)行截效應(yīng)（Leakageeffect）。嚴(yán)格地說，與時域抽樣一樣，頻域抽樣將使時域的截?cái)嗪瘮?shù)xT(t)周期化，因此頻域抽樣相當(dāng)于時域延拓。頻域遮住，即頻域抽樣產(chǎn)生柵欄效應(yīng)（Picketfenceeffect）。經(jīng)過以上三步修改，時域和頻域都變成離散的而且是周期的。時域周期為截?cái)啻伴LT，頻域周的變換對，稱為離散級數(shù)。從信息量的觀點(diǎn)，在時域、頻域各取一個周期，已包含了全部信息。這種人為地在時域、頻域各取一個周期的離散值之間的相應(yīng)算法關(guān)系，即為離散際上，離散變換的真正意義在于：可以對任意連續(xù)的時域信號進(jìn)行抽樣和截?cái)?，然后作DFT變換。設(shè)x(t)=x(t+T)是以T為周期的周期函數(shù)，f0=1/T為其基頻。其級數(shù)為：x(t)

，cn

1T/TT/

-

其變 X(f)

nx(t)e-j2πftdtcδ(fnf0 n

w(t)

|t|T/

x(t)x(t)w(t) |t|T/ X(f)

(t)e-j2ftdt T/2x(t)e-j2ft

T/

X(f)T

XT(nf0)δ(fnf0 換XT(f)被間隔為f0=1/T的頻域脈沖序列抽樣的結(jié)果再乘以系數(shù)1/T。所以，對于能量無限的周期信號，既可以展開為級數(shù)獲得其頻譜，也可像能量有限的非周期時間連續(xù)信號一樣由離散變換計(jì)算其頻譜。但截?cái)啻伴L要等于信號的周期，或是周期的Asin(2πft)

j2πf -j2πf

Acos(2πft)A(ej2πf0te-j2πf0t 0 002 FT(Asin(2πft))A(δ(ff)δ(f

2

FT(Acos(2πft))A(δ(ff)δ(ff 最后需要的是，一般在理論分析中變換均從時間無限的時域信號出發(fā)，得到頻率無于截?cái)啻跋蛴移揭屏薚/2距離，加偏置窗。根據(jù)變換的時延定理，加偏置窗不影響頻譜的幅fs內(nèi)的離散幅值譜關(guān)于縱坐標(biāo)軸是對稱的，所以作譜圖時只要畫出f>0的N/2+1根譜線即可。窗時，可以忽略各分量之間的，采用單頻信號的比值校來對各諧和分量分別進(jìn)行校正。為時間，T為窗時間長度，為歸一化時間變量，l=fT=f/f為譜線數(shù)，或稱無量綱頻率，f為赫茲頻w(

2 aicos(2iπ 2K為余弦項(xiàng)的數(shù)目。ai取不同值便可得到諸如矩形窗、漢寧(Hanning)窗、海明(Hamming)窗等各種余弦組合窗函數(shù)[2]，如表2.1所示。其付里葉變換為∶KailW(l)Sinc(lπ)i0li

其中Sinc(xsin(x)，W(0)=a00<|i|<K時W(iai，當(dāng)|i|KW(i)=0。第一個零點(diǎn)出現(xiàn)在 2.1Table2.1Thedefinationsandfeaturesofwindow窗名K最大旁瓣旁瓣衰減率矩形12漢寧24海明2a0=0.54,422

W0(l)ejlπW

X0(l)=Aej(ll0)+A 2X(l)Aejej(ll0)πW(ll0 2的離散頻譜信號，由于對其中某一分量的截?cái)嗫赡苁欠钦芷诘摹Q句話說，由于信號頻近l0的正整數(shù)，||<0.5，則頻域采樣得：2X(m)Aejej(mi)πW(mi 2k=m-i(k=0,1,2,…)表示各譜線相對于譜峰所在譜線的相對譜線數(shù)，則由FFT測得的代表校正基線，i為基線數(shù)l0FFTi的頻率修正量k表示上式得：2 2 XkAW(k) (k0,1,2, 2,

X1/X0 X1/X1 X1/X W

W

W

X(k)1AejkW(k 2 X(k)的各矢量均共線。所以，不局限于窗譜主瓣內(nèi)，單頻信號所有譜線在復(fù)平窗譜主瓣內(nèi)相鄰兩根譜線相角相差180°。此即文[10]、[33]所謂的相位共線原則。另由式（2.13）及式(2.24)l成線性關(guān)系，兩根譜線之間的相位差為l0位于兩根譜線中部，即頻率誤差——頻率修正量接近半90FFT結(jié)果直接得到的信號相位是完全不能用的。這也就是長期以來在機(jī)器狀態(tài)監(jiān)測與故障診斷領(lǐng)域困擾著人們的相位測問題。離散頻譜的泄漏和現(xiàn)自它們各自以f=0和f=fN為軸的鏡像的泄漏或；靠近fN的分量的泄漏還會引起頻率[16]。(4)角）也不精確相等；(3)各譜線的相角非嚴(yán)格相差180°，復(fù)平面上各矢量也非嚴(yán)格共線。在不計(jì)各種噪聲影響的情況下，根據(jù)上述所列幾種差別，可定義一些衡量泄漏（）情況嚴(yán)法來進(jìn)行校正。對于密集離散頻譜信號，當(dāng)因主瓣而使兩峰合二為一時，這些指標(biāo)可用來確認(rèn)密集頻率分量的存在性，即譜圖上顯見的單峰是僅由一個頻率成份構(gòu)成的，還是由兩個頻率成瓣寬度，(2)Nyquist頻率（否則校正精度較差），(3)有較高信噪比。在此基礎(chǔ)上，再選用窗譜主瓣內(nèi)相對較高的譜線進(jìn)行計(jì)算（、中取數(shù)值較大者計(jì)算頻率修正量），才N個諧和量組成的離散頻譜信號為 N2X0(l)1Anejnδ(lln)（正半軸上 21頻譜X(l)為X0l)與窗譜ejlπW(l)的卷積：N2X(l)X0(l)ejlπW(l)1Anejnej(lln)πW(lln 2整數(shù)，是ln的校正基線數(shù)，而|n|<0.5ln的頻率修正量。對式(2.27)頻域采樣得： 2X(i)1Anej(nπn)ej(iin)πW(iinn)Xn 22 Xn(i)1Anej(nπn)ej(iin)πW(iinn2

2.2離散頻譜的分解與合成Fig.2.2Thecomposing posingofdiscretespectrumN個諧和量組成的離散頻譜信號的頻譜等于各分量頻譜的疊加。表現(xiàn)在復(fù)平面上即為：在每一頻率點(diǎn)上，分信號頻譜的矢量和即為和信號的頻譜矢量。圖2.2表示兩個分信號在復(fù)平面上的合成情況：ci=ai+bi，其中ci表示和信號的頻譜矢量，aibi表示分信號的頻譜矢量。與單頻比值法一樣，也可用相對譜線數(shù)來表示式(2.28)mn=i-in(mn=0,±,N2 2n n

2 X(i)1An2

mnW(mnn)Xn(mn

X(m)1AejmnW(m 2 量，由于nXn(mn0(|mn|K當(dāng)不具備比值法第一個適用條件（2.3.2節(jié)）時，密集頻譜的校正問題。如2.1節(jié)所方法來提高分析精度。但細(xì)化方法無一例外為兩步法，增加分析時間，影響校正速度，不利于理想。所以有必要研究密集頻譜的校正方法。1999年，、和莫克斌等首次明確提出一種校正兩個密集頻率成分頻譜的方法[43]，2000年，、在文[33]基礎(chǔ)上利用識別和判定單頻分解?！?。文[43]重點(diǎn)討論了兩個頻率分量間距不到一個頻率分辨率的主瓣嚴(yán)重的情況，最面上共線（3的時窗，如漢寧窗），而且所有譜線均共線?；谶@一事實(shí)，本節(jié)將譜分解校推廣到頻率間距大于一個頻率分辨率的密集頻譜情況。mm|mm

|0, (k0, 2.2ciaibixAbi，與ci=ai+bixA軸上投影得：

cixcos(i2)bixcos ° 加漢寧窗時，譜圖上只有一個位于i=250的峰。以該點(diǎn)為中心，取i= 線為對象，旋轉(zhuǎn)投影軸進(jìn)行搜索，結(jié)果如圖2.3所示。見表譜圖上在l1附近只有一個峰。角度2=2+2-/2=63oi=252、253dl>2.3時，譜圖上出現(xiàn)一高一矮FFT運(yùn)算，與文[39]的細(xì)分量的譜矢量方位線重合時方法失效。另外，1)2)由于所用三根譜線處的泄漏量的敏感程度要高于比值法，抗干擾性也較比值法差。3)4)更為可惜的

2.3Fig.2.3Themapofdifferrencesbetwentheleftandrightcorrectionvstheangleoftheprojectionaxis2.2dl=0.5Table2.2Theresultsof posingat2.3dl=2.0Table2.3Theresultsof posingat相關(guān)譜 在不增加采樣長度的情況下，根據(jù)變換時間尺度性質(zhì)可知無法在頻域?qū)⒚芗l率成分區(qū)理論最難解決的問題。由式(2.27)~(2.31)可見，只要ln(n=1,2,…,N)互不相等，即in互不相等或在里含有多少個頻率成分，離散變換中都包含了各分量的完整信息，而且加窗后和信號x()的X(l)X(i)Xn(i)疊加而成的。所以像線性系統(tǒng)的模態(tài)參數(shù)識別一樣，理論上在頻域?qū)Ω鞣至渴强梢赃M(jìn)行參數(shù)識別的。非密集頻譜的單頻比值校的成功應(yīng)用就是有力的明種頻域參數(shù)識別校。 Zn1Anej(nπn 2N X(i)Zncos[(iin)π]W(iinn

NZ1Z2,…ZN后，代入其余各式，即可得到關(guān)于n2NN個方程聯(lián)立可求出n的一組值。這就是密集頻譜頻域參數(shù)識別的基本原理。的頻率間距的大??；③所加窗函數(shù)的類型。本節(jié)先討論N=2即兩個鄰近譜峰的參數(shù)識別。kFFT譜圖上兩個譜峰之間的譜線距離)，則對基線及其鄰近的兩條譜線展開

當(dāng)校正基線間距k大于窗譜主瓣寬度Df時兩分量之間只發(fā)生旁瓣，k=Df時以旁瓣為主，可能伴有輕微主瓣（若|lnlm|<Df），k<Df時以主瓣為主，當(dāng)kDf/2只有主瓣。(2.36-3)、(2.36-5)兩式合二為一，可由(2.36-2)、(2.36-3)、(2.36-6)三式中任一式求出1、2；k=1時FFT譜圖上只有一個譜峰，主瓣嚴(yán)重，i21=i1，i1＋1=i2，(2.36-1)與(2.36-5)、(2.36-3)與(2.36-4)k=0時i1=i2，F(xiàn)FT譜圖上也只有一個譜峰，兩分量的校正基線為同一根譜線，主瓣最為Z2求出A1、A2、1、2。Z1

Z2

11) 0X

矩形窗的窗譜函數(shù)為W(lsin(πl(wèi))，代入式(2.36-2a)、(2.36-3a)、(2.36-5a)、(2.36-6a)π–k(k+1)X(i1– –k(k–1)X(i1+ –k(k–1)X(i2– –k(k+1)X(i2+ 1 X(i11) X(i11) X(i21) X(i2 1X X X(i X(i1 (2–1–1)12+2(1–1)1+(1–1)2–21=0 漢寧窗的窗譜函數(shù)為W(l) 1i 2i

2 3

1 1Table2.4Thehighestpowernumberof12inthecomplexequations(Hanningk1111k111111k:k=1時，(2.36-3)同(2.36-4)，(2.36-5)同(2.36-+3[X(i1)+2X(i1+1)+ –2[2X(i1)+X(i2)+3X(i1–1)]=0 [2X(i2)–X(i1)–X(i2+1)]12+2[X(i2+1)–X(i2–1)]1+[3X(i2+1)–X(i1)–2X(i2)]2–2[2X(i2)+X(i1)+3X(i2+ (2–1–1)12+(2–31+1)1–2(1–1)2–2(2+31+1)=0 k=0時幅值譜圖上只呈現(xiàn)一個峰，這時(2.36)中后三式與前三式相同，聯(lián)立(2.36-2)、(2.363)兩Z1、Z2，代入(2.36-1)得關(guān)于頻率修正量1、2的方程。Z1

X(i1)W(1)X(i1)W(1 2， 2，

11 11

令

X(i1)X

X(iX

可見，基線距離k=0時，無論是加矩形窗還是加漢寧窗，式(2.36-1)的形式均為

m|0, (m0,

Z1Aej(2π2)1Aej(1π1mπ)1A2Ze rZ 1 2 2 2

r

1A2ejmπr1=1，則將式(2.41)代入式(2.35)2X(i)2

X(i)R(i) X( R(

rZ2X(i2)W(1)X(i1)W(k1)cos(kπ Z1 比較式(2.37)與式(2.45)r=Z2/Z1后的變形，并無實(shí)質(zhì)差別。不過，從而導(dǎo)致關(guān)于頻率修正量12的方程(2.36-2e)及(2.36-6e)(2.36-2h)及(2.36-6h)(2.36-1d)和(2.36-1e)數(shù)目均減半，k=0時還得補(bǔ)充i1-2或i1+2點(diǎn)的方程才能求解。7k=1~6根譜線的鄰近譜正基線為同一根譜線，k=1表示兩分量的校正基線相鄰。k>0時有多個復(fù)系數(shù)方程可用來四根譜線中，由幅值最大者對應(yīng)方程識別出的1、2的精度未見得是最高的，往往是一高一低。而取(2.36-2)、(2.36-3)兩式的平均值作為1的估計(jì)，(2.36-5)、(2.36-6)兩式的平均值作為2的估計(jì)，有情況，當(dāng)k>1時有多個實(shí)系數(shù)方程可資利用，也可利用平均的思想改善校正精度。

c1rc0ic0rc1ic3rc0ic0rc3i ccc0r

ccc0r

11 2r 2r c