第講 數(shù)學(xué)：線性代數(shù)七概率與數(shù)理統(tǒng)計(jì)一新

六、二次型（一）二次型及其矩陣表示二次齊次函數(shù)稱為二次型。其中A為對(duì)稱陣。對(duì)稱陣A就稱為二次型f的矩陣，而f就稱為對(duì)稱陣A的二次型。規(guī)定二次型f的秩就是對(duì)稱陣A的秩。合同矩陣（二）二次型的標(biāo)準(zhǔn)形只含平方項(xiàng)的二次型稱為二次型的標(biāo)準(zhǔn)形。對(duì)于二次型，主要的問題是：尋求可逆的線性變換把二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形，這就是使這也就是要尋求可逆陣C，使定理對(duì)于對(duì)稱陣A,必有正交陣P，使其中但是，二次型的標(biāo)準(zhǔn)形不唯一，即與對(duì)稱陣A合同的對(duì)角陣不唯一。當(dāng)然，這些對(duì)角陣的秩都等于R(A）。慣性定理給定二次型f，它的不同標(biāo)準(zhǔn)形中系數(shù)取正值的個(gè)數(shù)（稱為正慣性指數(shù)）保持不變。給定對(duì)稱陣A，與A合同的一切對(duì)角陣中主對(duì)角線元素取正值的個(gè)數(shù)全相等。正定二次型（三）例題(A)0(B)1(C)2(D)4【解】對(duì)f的矩陣施行初等變換：由f的秩為2知R(A）=2，故a-2=0,a=2。因此應(yīng)選（C）。故所用正交變換為第六節(jié)概率與數(shù)理統(tǒng)計(jì)概率與數(shù)理統(tǒng)計(jì)是隨機(jī)數(shù)學(xué)的兩個(gè)分支。要求讀者初步掌握處理隨機(jī)現(xiàn)象的基本方法。一、隨機(jī)事件與概率直觀上說，在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事情稱為隨機(jī)事件（簡稱事件）;概率是隨機(jī)事件發(fā)生可能性大小的度量。記事件A的概率為P(A）。把必然事件（記作U）與不可能事件（記作V）看作特殊的隨機(jī)事件。規(guī)定（一）隨機(jī)事件之間的關(guān)系1．包含事件B包含事件A表示“當(dāng)A發(fā)生時(shí)B必定發(fā)生”，記作BA（或AB）。2．相等事件A與B相等表示“AB且BA"，記作A=B。3．互不相容（或互斥）事件A與B互不相容表示“A與B不可能同時(shí)發(fā)生”，記作AB＝V。（二）隨機(jī)事件之間的運(yùn)算1．和事件事件A與B的和事件表示“A與B中至少有一個(gè)發(fā)生”，記作A+B（或AB）。2．積事件事件A與B的積事件表示“A與B同時(shí)發(fā)生”，記作AB（或AB）。3．對(duì)立事件（或逆事件）事件A的對(duì)立事件表示“A不發(fā)生”，記作。4．差事件事件A與B的差事件表示“A發(fā)生且B不發(fā)生”，記作A-B（或A）。（三）概率的計(jì)算公式1．求逆公式P（）=1-P（A）。2．加法公式P(A+B)＝P（A)＋P（B）-P（AB）。當(dāng)A與B互不相容時(shí)，P(A+B)=P(A)+P(B）。3.P(B-A)＝P（B）-P(AB）。當(dāng)AB，那么P(A)P(B)，且P(B-A)=P(B）-P(A）。4．乘法公式P（AB）＝P（AB）P（B)=