高等數(shù)學概率中心極限定理

高等數(shù)學概率中心極限定理第一頁，共二十五頁，2022年，8月28日

一、中心極限定理的客觀背景

在實際問題中，常常需要考慮許多隨機因素所產(chǎn)生總影響.例如：炮彈射擊的落點與目標的偏差，就受著許多隨機因素的影響.第二頁，共二十五頁，2022年，8月28日

空氣阻力所產(chǎn)生的誤差，對我們來說重要的是這些隨機因素的總影響.如瞄準時的誤差，炮彈或炮身結構所引起的誤差等等.第三頁，共二十五頁，2022年，8月28日

一般來講，如果一個隨機現(xiàn)象是眾多獨立的隨機因素的總和，而某一項偶然因素對總和的影響是均勻的、微小的，即沒有一項起特別突出的作用，則可以斷定描述這一隨機現(xiàn)象的隨機變量近似地服從正態(tài)分布。

中心極限定理是研究相互獨立的隨機變量序列的和的分布，在適當條件下向正態(tài)分布收斂的規(guī)律性問題.

二、中心極限定理第四頁，共二十五頁，2022年，8月28日

為方便起見，我們不研究n個隨機變量之和本身而考慮它的標準化的隨機變量

的分布函數(shù)的極限.第五頁，共二十五頁，2022年，8月28日分布是標準正態(tài)分布.在一定的條件下，可以證明，中心極限定理這就是下面要介紹的的極限第六頁，共二十五頁，2022年，8月28日我們只討論幾種簡單情形.定理1(李雅普諾夫定理)設…是相互獨立的隨機變量序列，有期望值及方差（i=1,2,…），若每個對總和的影響不大，令,則第七頁，共二十五頁，2022年，8月28日李雅普諾夫定理表明：當n充分大，且每個r.v.對總和的影響不大時，n個具有期望和方差的r.v.之和近似地服從正態(tài)分布，其標準化近似地服從標準正態(tài)分布。中心極限定理的重要應用：近似計算有關隨機事件的概率。第八頁，共二十五頁，2022年，8月28日例1、一個螺絲釘?shù)闹亓渴且粋€隨機變量，期望值是100g，標準差是10g。求一盒（100個）同型號螺絲釘?shù)闹亓砍^10200g的概率。第九頁，共二十五頁，2022年，8月28日例2、對敵人的防御地段進行100次轟炸，每次轟炸命中目標的炸彈數(shù)目是一個隨機變量，其期望值為2，方差為1.69。求在100次轟炸中有180到220顆炸彈命中目標的概率。第十頁，共二十五頁，2022年，8月28日例3、計算機在進行加法時每個加數(shù)取整數(shù)（取最為接近于它的整數(shù)），設所有的取整誤差是相互獨立的，且它們都在[-0.5，0.5]上服從均勻分布。求：（1）若將1500個數(shù)相加，誤差總和的絕對值超過15的概率是多少？（2）最多幾個書加在一起可使得誤差總和的絕對值小于10的概率不超過90%？第十一頁，共二十五頁，2022年，8月28日定理2(棣莫佛－拉普拉斯定理）

設隨機變量~B(n,p)(0<p<1)，則有（1）局部極限定理：當時，（2）積分極限定理：當時，第十二頁，共二十五頁，2022年，8月28日拉普拉斯定理表明：當n充分大時，二項分布以正態(tài)分布為極限。拉普拉斯定理的重要應用：近似計算二項分布。也就是說，若~B(n,p)，則當n充分大時，近似地服從標準正態(tài)分布。第十三頁，共二十五頁，2022年，8月28日例4、10部機器獨立工作，每部停機的概率為0.2。求3部機器同時停機的概率。第十四頁，共二十五頁，2022年，8月28日例5、設電站供電網(wǎng)有10000盞電燈，夜晚每一盞燈開燈的概率都是0.7，而假定開、關時間彼此獨立，估計夜晚同時開著的燈數(shù)在6800與7200之間的概率。第十五頁，共二十五頁，2022年，8月28日

某單位有200部電話分機,每部電話約有5%的時間要使用外線通話.設每部電話是否使用外線通話是相互獨立的.

求:該單位總機至少需要安裝多少條外線才能以90%以上的概率保證每部電話需要使用外線時可以打通?例6、第十六頁，共二十五頁，2022年，8月28日P{每部電話需要使用外線時可以打通}=P{使用外線的電話數(shù)目≤k}=P{X1+X2++X200≤k}第十七頁，共二十五頁，2022年，8月28日

求最小的k,使P{每部電話需要使用外線時可以打通}≥90%求最小的k,使P{X1+X2++X200≤k}≥90%求最小的k,使∴該單位總機至少需要安裝14條外線.第十八頁，共二十五頁，2022年，8月28日

某市保險公司開辦一年人身保險業(yè)務.被保險人每年需交付保險費160元.若一年內發(fā)生重大人身事故,其本人或家屬可獲2萬元賠金.己知該市人員一年內發(fā)生重大人身事故的概率為0.005.現(xiàn)有5000人參加此項保險.

求:保險公司一年內從此項業(yè)務所得到的總收益在20萬元到40萬元之間的概率.解:

例4第十九頁，共二十五頁，2022年，8月28日∴

Xi～b(1,p).P=0.005X1,X2,,X200相互獨立.則:

P{20萬元≤總收益≤

40萬元}=P{20萬元≤0.016萬元保險費參保人數(shù)-2萬元賠金一年內發(fā)生重大人身事故的人數(shù)≤40萬元}=P{20≤0.0165000-2(X1+X2++X5000)≤40}第二十頁，共二十五頁，2022年，8月28日∵

np=25np(1-p)=250.995

∴總收益在20萬元到40萬元之間的概率為0.6826.第二十一頁，共二十五頁，2022年，8月28日不知大家是否還記得街頭賭博的演示?

現(xiàn)在我們用中心極限定理來揭穿這個賭博中的奧秘.請看演示：高爾頓釘板試驗的理論解釋

街頭賭博

再看演示請點擊第二十二頁，共二十五頁，2022年，8月28日如圖,釘板有n=16層，可以求出標準差

n次碰釘后小球的位置Yn近似服從正態(tài)分布N(0,n).E(Yn)=0,Var(Yn)=n.左右8顆釘子以內的概率近似為95.6%,根據(jù)正態(tài)分布的查表計算知道,落在2以內即中線

說,落在這以外的概率只有4%左右.即是第二十三頁，共二十五頁，2022年，8月28日如圖釘板有n=16層，可以求出標準差

根據(jù)正態(tài)分布的查表計算知道,落在2以內即中線左右8顆釘子以內的概率近似為95.6%,即是說,落在這以外的概率只有4%左右.現(xiàn)在你知道為什么擺攤的人敢于在上面放那么值錢的東西了吧!第二十四頁，共二十