選修4-125與圓有關(guān)的比例線段第二課時(shí)課件

——相交弦、切割線、切線長定理2.5與圓有關(guān)的比例線段1．圓周角定理(1)圓周角定理圓上一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的

．(2)圓心角定理圓心角的度數(shù)等于

．推論1同弧或等弧所對的圓周角

；同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧也

．推論2半圓(或直徑)所對的圓周角是

；90°的圓周角所對的弦是

．一半它所對弧的度數(shù)相等相等直角直徑2．圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)與判定定理(1)性質(zhì)定理1圓的內(nèi)接四邊形的對角

．定理2圓內(nèi)接四邊形的外角等于它的內(nèi)角的

．(2)判定判定定理如果一個(gè)四邊形的對角互補(bǔ)，那么這個(gè)四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)

．推論如果四邊形的一個(gè)外角等于它的內(nèi)角的對角，那么這個(gè)四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)

．互補(bǔ)對角共圓共圓5．與圓有關(guān)的比例線段(1)相交弦定理圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點(diǎn)分成的兩條線段長的

相等．(2)割線定理從圓外一點(diǎn)引圓的兩條割線，這一點(diǎn)到每條割線與圓的交點(diǎn)的兩條線段長的

相等．(3)切割線定理從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線，切線長是這點(diǎn)到割線與圓交點(diǎn)的兩條線段長的

．(4)切線長定理從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點(diǎn)的連線平分兩條切線的

．積積比例中項(xiàng)夾角如圖,已知點(diǎn)P為⊙O外一點(diǎn),割線PBA、PDC分別交⊙O于A、B和C、D.求證:PA?PB=PC?PD.證法2：連接AC、BD，∵四邊形ABDC為⊙O的內(nèi)接四邊形,∴∠PDB=∠A，又∠P=∠P,∴△PBD∽△PCA.∴PD：PA=PB：PC.∴PA?PB=PC?PD.割線定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條割線，這一點(diǎn)到每一條割線與圓的交點(diǎn)的兩條線段長的乘積相等.應(yīng)用格式（幾何語言描述）:∵PAB,PCD是⊙O的割線,∴PA?PB=PC?PD.OCPADB點(diǎn)P從圓內(nèi)移動到圓外.相交弦定理PA?PB=PC?PDOBDACP圖3割線定理PA?PB=PC?PD圖5OCPADB使割線PA繞P點(diǎn)運(yùn)動到切線的位置.OA(B)PCD切割線定理PA2=PC?PD使割線PC繞P點(diǎn)也運(yùn)動到切線的位置.切線長定理PA=PC,∠APO=∠CPOOA(B)PC(D)2.聯(lián)系直角三角形中的射影定理，你還能想到什么？ADCBC′O說明了“射影定理”是“相交弦定理”和“切割線定理”的特例！BADC

例1.圓內(nèi)的兩條弦AB,CD交于圓內(nèi)一點(diǎn)P,已知PA=PB=4.PC=PD,求CD的長.CDABP解:設(shè)CD=x,則PD=,PC=由相交弦定理,得PA?PB=PC?PD∴4×4=?求得x=10,∴CD=10練習(xí)1.如圖,割線PAB,PCD分別交圓于A,B和C,D.(1)已知PA=5,PB=8,PC=4,則PD=,PT=(2)已知PA=5,PB=8,PO=7,則半徑R=103ODPATBCPA·PB=(7-R)·(7+R)例2如圖,E是圓內(nèi)兩弦AB和CD的交點(diǎn)，直線EF//CB,交AD的延長線于點(diǎn)F，F(xiàn)G切圓于點(diǎn)G.求證：(1)△DFE∽△EFA;(2)EF=FG.OBECADFG證明：(1)∵EF//CB,∴∠DEF=∠DCB.∵∠DCB和∠DAB都是上的圓周角.∴∠DAB=∠DCB=∠DEF.∵∠DFE=∠EFA（公共角）,∴△DFE∽△EFA.(2)由(1)知∴△DFE∽△EFA，∴EF2=FA?FD.又∵FG是圓的切線，∴FG2=FA?FD.∴EF2=FG2,即FG=EF.

例3.如圖,兩圓相交于A,B兩點(diǎn),P是兩圓公共弦AB上的任一點(diǎn),從P引兩圓的切線PC,PD.

求證:PC=PDPABDC析：PC2=PA?PB又PD2=PA?PBPC2=PD2PC=PD例4.如圖,AB是⊙O的直徑,過A,B引兩條弦AD和BE,相交于點(diǎn)C,求證:AC?AD+BC?BE=AB2.ABDECOF分析:A,F,C.E四點(diǎn)共圓BC?BE=BF?BA.F,B,D,C四點(diǎn)共圓AC?AD=AF?AB.AC?AD+BC?BE=AF?AB+BF?BA=AB(AF+BF)=AB2例5如圖，AB、AC是⊙O的切線，ADE是⊙O的割線，連接CD、BD、BE、CE.問題1:由上述條件能推出哪些結(jié)論？∴

CD:CE=AC:AE,∴CD?AE=AC?CE.………(2)同理可證BD?AE=AC?CE.

……………………

(3)∵AC=AB,∴由(2)(3)可得BE?CD=BD?CE.

………(4)探究1:由已知條件可知∠ACD=∠AEC,而∠CAD=∠EAC,∴△ADC∽△ACE.……(1)CAOBED圖1問題2在圖1中,使線段AC繞A旋轉(zhuǎn)，得到圖2.其中EC交圓于G,DC交圓于F.此時(shí)又能推出哪些結(jié)論？CAOBED圖1CAOBED圖2GF探究2:連接FG.與探究1所得到的結(jié)論相比較,可以猜想△ACD∽△AEC.下面給出證明.∵AB2=AD?AE,而AB=AC,

∴△ADC∽△ACE.……(5)而∠CAD=∠EAC,∴AC2=AD?AE,同探究1的思路，還可得到探究1得出的結(jié)論(2)(3)(4).另一方面，由于F、G、E、D四點(diǎn)共圓.∴∠CFG=∠AEC.又∵∠ACF=∠AEC.∴∠CFG=∠ACF.故FG//AC.

……(6)CD?AE=AC?CE,BD?AE=AC?CE.BE?CD=BD?CE問題3在圖2中,使線段AC繼續(xù)繞A旋轉(zhuǎn)，使割線CFD變成切線CD,得到圖3.此時(shí)又能推出哪些結(jié)論？探究3:可以推出探究1、2中得到的(1)——(6)的所有結(jié)論.CAOBED圖2GFCAOBED圖3PQG此外，∵AC//DG.

∵

△ADC∽△ACE.由(7)(8)兩式可得：AC?CD=AE?CG.

………

(9)連接BD、BE,延長GC到P,延長BD交AC于Q,則∠PCQ=∠PGD=∠DBE,所以C、E、B、Q四點(diǎn)共圓.………

(10)

你還能推出其他結(jié)論嗎？△ADC∽△ACE.…(1)CD?AE=AC?CE.…(2)BD?AE=AC?CE…(3)BE?CD=BD?CE.…(4)△ADC∽△ACE.…(5)DG//AC.…(6)6.如圖,PA是⊙O的切線,M是PA的中點(diǎn),求證:∠MPB=∠MCP∵M(jìn)A2=MB?MC=PM2∴△MBP∽△PMC∴∠MPB=∠MCPAPCBMO思路：習(xí)題2.5習(xí)題2.57.如圖,AD,BE,CF分別是△ABC三邊的高,H是垂心,AD延長線交△ABC外接圓于點(diǎn)G,求證:DH=DGACEGBFHD132AECDPBFO習(xí)題2.58.如圖,⊙O直徑AB的延長線與弦CD的延長線交于點(diǎn)P,AE=AC.求證:PF?PO=PA?PB⌒⌒12△POC∽△PDFPF?PO=PD?PC又PD?PC=PB?PAPF?PO=PB?PA思路：習(xí)題2.59題將例5的圖(1)作如下變化:以A為中心,把線段AC繞A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度,連接EC并延長與圓相交于F,連接DC并延長與圓相交于G,連接FG,其他條件同例5,你能推出哪些結(jié)論?如果∠BAD=∠CAD,又有什么結(jié)論?

B

A

EC

O

DFGAB2=AD?AE①CF?CE=CD?CG②∴AC2=AD?AE∵AC=AB∵∠CAD=∠EAC,∴

△ADC∽△ACE

∴∠ACD=∠AEC=∠G∴

AC//FG③

如果∠BAD=∠CAD,如圖,

B

A

EC

DFG2134

∵△ABD∽△ACD(?