2023年上海市楊浦區(qū)中考數(shù)學(xué)三模試卷含答案解析

2023年上海市楊浦區(qū)中考數(shù)學(xué)三模試卷一、選擇題：本大題共6小題，每小題4分，滿分24分1．下列分?jǐn)?shù)中，能化為有限小數(shù)的是（）A．B．C．D．2．下列運算正確的是（）A．a(chǎn)+a=a2B．a(chǎn)2?a=2a3C．a(chǎn)3÷a2=aD．（a2）3=a53．如果=2a﹣1，那么（）A．a(chǎn)B．a(chǎn)≤C．a(chǎn)D．a(chǎn)≥4．下列一組數(shù)據(jù)：﹣2、﹣1、0、1、2的平均數(shù)和方差分別是（）A．0和2B．0和C．0和1D．0和05．下列四個命題中真命題是（）A．矩形的對角線平分對角B．菱形的對角線互相垂直平分C．梯形的對角線互相垂直D．平行四邊形的對角線相等6．如果圓O是△ABC的外接圓，AC=BC，那么下列四個選項中，直線l必過圓心O的是（）A．l⊥ACB．l平分ABC．l平分∠CD．l平分二、填空題：本大題共12小題，每小題4分，共48分7．用代數(shù)式表示實數(shù)a（a＞0）的平方根：．8．在實數(shù)范圍內(nèi)因式分解：x3﹣2x2y+xy2=．9．已知方程﹣=2，如果設(shè)y=，那么原方程轉(zhuǎn)化為關(guān)于y的整式方程為．10．一次函數(shù)y=kx+b的圖象如圖所示，則當(dāng)x的取值范圍是時，能使kx+b＞0．11．某公司承擔(dān)了制作600個道路交通指引標(biāo)志的任務(wù)，在實際操作時比原計劃平均每天多制作了10個，因此提前了5天完成任務(wù)，如果設(shè)原計劃x天完成，那么根據(jù)題意，可以列出的方程是：．12．一臺組裝電腦的成本價是4000元，如果商家以5200元的價格賣給顧客，那么商家的盈利率為．13．?dāng)S一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子，骰子的六個面上的點數(shù)分別為1到6的整數(shù)，那么擲出的點數(shù)小于3的概率為．14．已知=，=，那么=（用向量、的式子表示）15．已知，在△ABC中，點D、E分別在邊AB、AC上，DE∥BC，AD=2DB，BC=6，那么DE=．16．將某班級全體同學(xué)按課外閱讀的不同興趣分成三組，情況如表格所示，則表中a的值應(yīng)該是．第一組第二組第三組頻數(shù)1216a頻率bc20%17．將等邊△ABC沿著射線BC方向平移，點A、B、C分別落在點D、E、F處，如果點E恰好是BC的中點，那么∠AFE的正切值是．18．如圖，在△ABC中，AB=AC=10，BC=12，點P為BC邊上一動點，如果以P為圓心，BP為半徑的圓P與以AC為直徑的圓O相交，那么點P離開點B的距離BP的取值范圍是．三、解答題：本大題共7小題，共78分19．先化簡，再求值：﹣﹣，其中x=．20．解方程組：．21．已知：在平面直角坐標(biāo)系xOy中，過點A（﹣5，2）向x軸作垂線，垂足為B，連接AO，點C在線段AO上，且AC：CO=2：3，反比例函數(shù)y=的圖象經(jīng)過點C，與邊AB交于點D．（1）求反比例函數(shù)的解析式；（2）求△BOD的面積．22．如圖，A，B兩地之間有一座山，汽車原來從A地到B地須經(jīng)C地沿折線A﹣C﹣B行駛，全長68km．現(xiàn)開通隧道后，汽車直接沿直線AB行駛．已知∠A=30°，∠B=45°，則隧道開通后，汽車從A地到B地比原來少走多少千米？（結(jié)果精確到0.1km）（參考數(shù)據(jù)：≈1.4，≈1.7）23．已知：Rt△ABC中，∠ACB=90°，CP平分∠ACB交邊AB于點P，點D在邊AC上．（1）如果PD∥BC，求證：AC?CD=AD?BC；（2）如果∠BPD=135°，求證：CP2=CB?CD．24．已知點A（2，﹣2）和點B（﹣4，n）在拋物線y=ax2（a≠0）上．（1）求a的值及點B的坐標(biāo)；（2）點P在y軸上，且△ABP是以AB為直角邊的三角形，求點P的坐標(biāo)；（3）將拋物線y=ax2（a≠0）向右并向下平移，記平移后點A的對應(yīng)點為A′，點B的對應(yīng)點為B′，若四邊形ABB′A′為正方形，求此時拋物線的表達(dá)式．25．已知，AB=5，tan∠ABM=，點C、D、E為動點，其中點C、D在射線BM上（點C在點D的左側(cè)），點E和點D分別在射線BA的兩側(cè)，且AC=AD，AB=AE，∠CAD=∠BAE．（1）當(dāng)點C與點B重合時（如圖1），聯(lián)結(jié)ED，求ED的長；（2）當(dāng)EA∥BM時（如圖2），求四邊形AEBD的面積；（3）聯(lián)結(jié)CE，當(dāng)△ACE是等腰三角形時，求點B、C間的距離．2023年上海市楊浦區(qū)中考數(shù)學(xué)三模試卷參考答案與試題解析一、選擇題：本大題共6小題，每小題4分，滿分24分1．下列分?jǐn)?shù)中，能化為有限小數(shù)的是（）A．B．C．D．【考點】有理數(shù)的除法．【分析】本題需根據(jù)有理數(shù)的除法法則分別對每一項進(jìn)行計算，即可求出結(jié)果．【解答】解：A∵=0.3…故本選項錯誤；B、∵=0.2故本選項正確；C、=0.142857…故本選項錯誤；D、=0.1…故本選項錯誤．故選B．2．下列運算正確的是（）A．a(chǎn)+a=a2B．a(chǎn)2?a=2a3C．a(chǎn)3÷a2=aD．（a2）3=a5【考點】同底數(shù)冪的除法；合并同類項；同底數(shù)冪的乘法；冪的乘方與積的乘方．【分析】A、根據(jù)合并同類項的法則計算；B、根據(jù)同底數(shù)冪的乘法法則計算；C、根據(jù)同底數(shù)冪的除法計算；D、根據(jù)冪的乘方計算．【解答】解：A、a+a=2a，此選項錯誤；B、a2?a=a3，此選項錯誤；C、a3÷a2=a，此選項正確；D、（a2）3=a6，此選項錯誤．故選C．3．如果=2a﹣1，那么（）A．a(chǎn)B．a(chǎn)≤C．a(chǎn)D．a(chǎn)≥【考點】二次根式的性質(zhì)與化簡．【分析】由二次根式的化簡公式得到1﹣2a為非正數(shù)，即可求出a的范圍．【解答】解：∵=|1﹣2a|=2a﹣1，∴1﹣2a≤0，解得：a≥．故選D4．下列一組數(shù)據(jù)：﹣2、﹣1、0、1、2的平均數(shù)和方差分別是（）A．0和2B．0和C．0和1D．0和0【考點】方差；算術(shù)平均數(shù)．【分析】先求出這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，再根據(jù)方差公式S2=[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]進(jìn)行計算即可．【解答】解：這組數(shù)據(jù)：﹣2、﹣1、0、1、2的平均數(shù)是（﹣2﹣1+0+1+2）÷5=0；則方差=[（﹣2﹣0）2+（﹣1﹣0）2+（0﹣0）2+（1﹣0）2+（2﹣0）2]=2；故選A．5．下列四個命題中真命題是（）A．矩形的對角線平分對角B．菱形的對角線互相垂直平分C．梯形的對角線互相垂直D．平行四邊形的對角線相等【考點】命題與定理．【分析】分析是否為真命題，需要分別分析各題設(shè)是否能推出結(jié)論，從而利用排除法得出答案．【解答】解：矩形的對角線不能平分對角，A錯誤；根據(jù)菱形的性質(zhì)，菱形的對角線互相垂直平分，B正確；梯形的對角線不互相垂直，C錯誤；平行四邊形的對角線平分，但不一定相等，D錯誤．故選B．6．如果圓O是△ABC的外接圓，AC=BC，那么下列四個選項中，直線l必過圓心O的是（）A．l⊥ACB．l平分ABC．l平分∠CD．l平分【考點】三角形的外接圓與外心．【分析】根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)即可得出結(jié)論．【解答】解：∵圓O是△ABC的外接圓，∴點O在三邊的垂直平分線上．∵AC=BC，∴當(dāng)l平分∠C時，l也是AB邊的垂直平分線．故選C．二、填空題：本大題共12小題，每小題4分，共48分7．用代數(shù)式表示實數(shù)a（a＞0）的平方根：．【考點】平方根．【分析】根據(jù)開方運算，可得一個數(shù)的平方根．【解答】解：用代數(shù)式表示實數(shù)a（a＞0）的平方根為：，故答案為：．8．在實數(shù)范圍內(nèi)因式分解：x3﹣2x2y+xy2=x（x﹣y）2．【考點】實數(shù)范圍內(nèi)分解因式；提公因式法與公式法的綜合運用．【分析】這個多項式含有公因式x，應(yīng)先提取公因式，然后運用完全平方公式進(jìn)行二次分解．【解答】解：x3﹣2x2y+xy2，=x（x2﹣2xy+y2）…（提取公因式）=x（x﹣y）2．…（完全平方公式）9．已知方程﹣=2，如果設(shè)y=，那么原方程轉(zhuǎn)化為關(guān)于y的整式方程為3y2﹣6y﹣1=0．【考點】列代數(shù)式．【分析】由設(shè)出的y，將方程左邊前兩項代換后，得到關(guān)于y的方程，去分母整理即可得到結(jié)果．【解答】解：設(shè)y=，方程﹣=2變形為y﹣=2，整理得：3y2﹣6y﹣1=0．故答案為：3y2﹣6y﹣1=010．一次函數(shù)y=kx+b的圖象如圖所示，則當(dāng)x的取值范圍是x＜2時，能使kx+b＞0．【考點】一次函數(shù)的圖象．【分析】根據(jù)函數(shù)圖象與x軸的交點坐標(biāo)可直接解答．【解答】解：因為直線y=kx+b與x軸的交點坐標(biāo)為（2，0），由函數(shù)的圖象可知x＜2時，y＞0，即kx+b＞0．11．某公司承擔(dān)了制作600個道路交通指引標(biāo)志的任務(wù)，在實際操作時比原計劃平均每天多制作了10個，因此提前了5天完成任務(wù)，如果設(shè)原計劃x天完成，那么根據(jù)題意，可以列出的方程是：﹣=5．【考點】由實際問題抽象出一元一次方程．【分析】根據(jù)原計劃時間﹣實際時間=5，列出方程即可．【解答】解：∵根據(jù)原計劃時間﹣實際時間=5，∴﹣=5．故答案為﹣=5．12．一臺組裝電腦的成本價是4000元，如果商家以5200元的價格賣給顧客，那么商家的盈利率為30%．【考點】有理數(shù)的混合運算．【分析】根據(jù)利潤率的公式：利潤率=利潤÷成本×100%進(jìn)行計算．【解答】解：÷4000×100%=30%．答：商家的盈利率為30%．13．?dāng)S一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子，骰子的六個面上的點數(shù)分別為1到6的整數(shù)，那么擲出的點數(shù)小于3的概率為．【考點】概率公式．【分析】點數(shù)小于3的有2種情況，除以總個數(shù)6即為向上的一面的點數(shù)小于3的概率．【解答】解：∵共有6種情況，點數(shù)小于3的有2種，∴P（點數(shù)小于3）=．故答案為14．已知=，=，那么=﹣（用向量、的式子表示）【考點】*平面向量．【分析】根據(jù)+=，即可解決問題．【解答】解：∵+=，∴=﹣．故答案為﹣．15．已知，在△ABC中，點D、E分別在邊AB、AC上，DE∥BC，AD=2DB，BC=6，那么DE=4．【考點】相似三角形的判定與性質(zhì)；平行線分線段成比例．【分析】根據(jù)平行線分線段成比例定理即可解決問題．【解答】解：∵AD=2DB，∴AD：AB=2：3，∵DE∥BC，∴=，∵BC=6，∴=，∴DE=4．故答案為4．16．將某班級全體同學(xué)按課外閱讀的不同興趣分成三組，情況如表格所示，則表中a的值應(yīng)該是7．第一組第二組第三組頻數(shù)1216a頻率bc20%【考點】頻數(shù)與頻率．【分析】首先根據(jù)各小組的頻率之和等于1得出第一組與第二組的頻率和，然后求出數(shù)據(jù)總數(shù)，從而求出a的值．【解答】解：∵1﹣20%=80%，∴（16+12）÷80%=35，∴a=35×20%=7．故答案為：7．17．將等邊△ABC沿著射線BC方向平移，點A、B、C分別落在點D、E、F處，如果點E恰好是BC的中點，那么∠AFE的正切值是．【考點】等邊三角形的性質(zhì)；銳角三角函數(shù)的定義．【分析】根據(jù)題意畫出圖形，利用等邊三角形的性質(zhì)解答即可．【解答】解：連接AE，如圖：，∵將等邊△ABC沿著射線BC方向平移，點E恰好是BC的中點，∴設(shè)等邊三角形的邊長為a，∴AE=，AE⊥BF，∴∠AFE的正切值=，故答案為：18．如圖，在△ABC中，AB=AC=10，BC=12，點P為BC邊上一動點，如果以P為圓心，BP為半徑的圓P與以AC為直徑的圓O相交，那么點P離開點B的距離BP的取值范圍是≤BP≤9．【考點】圓與圓的位置關(guān)系．【分析】過點A作AD⊥BC，利用等腰三角形的性質(zhì)得出CD的長，利用圓與圓的位置關(guān)系解答即可．【解答】解：①過點A作AD⊥BC，過O作OH⊥BC，如圖∵在△ABC中，AB=AC=10，BC=12，∴CD=BD=6，∴AD=，設(shè)BP=r時，兩圓相外切，則PO=r+5，PH=BC﹣r﹣CH又易求OH=4，CH=3；則有勾股定理（r+5）2=（9﹣r）2+42，解得r=②當(dāng)兩圓內(nèi)切時，過點A作AD⊥BC，過O作OH⊥BC，如圖易知OP=r﹣5，PH=9﹣r，OH=4同理由勾股定理求得r=9故答案為：≤BP≤9．三、解答題：本大題共7小題，共78分19．先化簡，再求值：﹣﹣，其中x=．【考點】分式的化簡求值．【分析】原式三項通分并利用同分母分式的加減法則計算得到最簡結(jié)果，將x的值代入計算即可求出值．【解答】解：原式=﹣﹣====，當(dāng)x=﹣2時，原式==1+．20．解方程組：．【考點】高次方程．【分析】先將原方程組進(jìn)行變形，利用代入法和換元法可以解答本題．【解答】解：，由①，得③，將①③代入②，得，設(shè)x2=t，則，即t2﹣10t+9=0，解得，t=1或t=9，∴x2=1或x2=9，解得x=±1或x=±3，則或或或，即原方程組的解是：或或或．21．已知：在平面直角坐標(biāo)系xOy中，過點A（﹣5，2）向x軸作垂線，垂足為B，連接AO，點C在線段AO上，且AC：CO=2：3，反比例函數(shù)y=的圖象經(jīng)過點C，與邊AB交于點D．（1）求反比例函數(shù)的解析式；（2）求△BOD的面積．【考點】待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式；反比例函數(shù)的性質(zhì)．【分析】（1）由A點的坐標(biāo)結(jié)合中點的坐標(biāo)公式可得出點C的坐標(biāo)，將點C的坐標(biāo)代入到反比例函數(shù)解析式即可求出k值，從而得出反比例函數(shù)的解析式；（2）AB⊥x軸于B，于是得到OB=5，根據(jù)三角形的面積公式即可得到結(jié)論．【解答】解：（1）∵AC：CO=2：3，點A（﹣5，2），∴C點的坐標(biāo)為（﹣3，），將點C（﹣3，），代入到反比例函數(shù)y=中得：=，解得：k=﹣．∴反比例函數(shù)的解析式為y=﹣；（2）∵AB⊥x軸于B，∴OB=5，∴△BOD的面積=×5×=3．22．如圖，A，B兩地之間有一座山，汽車原來從A地到B地須經(jīng)C地沿折線A﹣C﹣B行駛，全長68km．現(xiàn)開通隧道后，汽車直接沿直線AB行駛．已知∠A=30°，∠B=45°，則隧道開通后，汽車從A地到B地比原來少走多少千米？（結(jié)果精確到0.1km）（參考數(shù)據(jù)：≈1.4，≈1.7）【考點】解直角三角形的應(yīng)用．【分析】首先過點C作CD⊥AB，垂足為D，設(shè)CD=x，即可表示出AC，BC的長，進(jìn)而求出x的值，再利用銳角三角函數(shù)關(guān)系得出AD，BD的長，即可得出答案．【解答】解：如圖，過點C作CD⊥AB，垂足為D，設(shè)CD=x．在Rt△ACD中，sin∠A=，AC==2x，在Rt△BCD中，sin∠B=，BC==x，∵AC+BC=2x+x=68∴x=≈=20．在Rt△ACD中，tan∠A=，AD==20，在Rt△BCD中，tan∠B=，BD==20，AB=20+20≈54，AC+BC﹣AB=68﹣54=14.0（km）．答：隧道開通后，汽車從A地到B地比原來少走14.0千米．23．已知：Rt△ABC中，∠ACB=90°，CP平分∠ACB交邊AB于點P，點D在邊AC上．（1）如果PD∥BC，求證：AC?CD=AD?BC；（2）如果∠BPD=135°，求證：CP2=CB?CD．【考點】相似三角形的判定與性質(zhì)．【分析】（1）根據(jù)角平分線的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)證得∠CPD=∠PCA，得出PD=CD，然后證得△APD∽△ABC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可證得結(jié)論；（2）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求得∠B=∠CPD，即可證得△PCB∽△PDC根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可證得結(jié)論．【解答】（1）證明：如圖，∵PD∥BC，∴∠PCB=∠CPD，∵∠PCB=∠PCA，∴∠CPD=∠PCA，∴PD=CD，∵PD∥BC，∴△APD∽△ABC，∴=，∴AC?PD=AD?BC，∴AC?CD=AD?BC；（2）證明：∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，CP平分∠ACB交邊AB于點P，∴∠PCB=∠PCA=45°，∵∠B+45°+∠CPB=180°，∴∠B+∠CPB=135°，∵∠BPD=135°，∴∠CPB+∠CPD=135°，∴∠B=∠CPD，∴△PCB∽△PDC，∴=，∴CP2=CB?CD．24．已知點A（2，﹣2）和點B（﹣4，n）在拋物線y=ax2（a≠0）上．（1）求a的值及點B的坐標(biāo)；（2）點P在y軸上，且△ABP是以AB為直角邊的三角形，求點P的坐標(biāo)；（3）將拋物線y=ax2（a≠0）向右并向下平移，記平移后點A的對應(yīng)點為A′，點B的對應(yīng)點為B′，若四邊形ABB′A′為正方形，求此時拋物線的表達(dá)式．【考點】二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征；坐標(biāo)與圖形變化-平移．【分析】（1）把點A（2，﹣2）代入y=ax2，得到a，再把點B代入拋物線解析式即可解決問題．（2）求出直線AB解析式，再分別求出過點A垂直于AB的直線的解析式，過點B垂直于直線AB的解析式即可解決問題．（3）先求出點A′坐標(biāo)，確定是如何平移的，再確定拋物線頂點的坐標(biāo)即可解決問題．【解答】解：（1）把點A（2，﹣2）代入y=ax2，得到a=﹣，∴拋物線為y=﹣x2，∴x=﹣4時，y=﹣8，∴點B坐標(biāo)（﹣4，﹣8），∴a=﹣，點B坐標(biāo)（﹣4，﹣8）．（2）設(shè)直線AB為y=kx+b，則有，解得，∴直線AB為y=x﹣4，∴過點B垂直AB的直線為y=﹣x﹣12，與y軸交于點P（0，﹣12），過點A垂直AB的直線為y=﹣x，與y軸交于點P′（0，0），∴點P在y軸上，且△ABP是以AB為直角邊的三角形時．點P坐標(biāo)為（0，0），或（0，﹣12）．（3）如圖四邊形ABB′A′是正方形，過點A作y軸的垂線，過點B、點A′作x軸的垂線得到點E、F．∵直線AB解析式為y=﹣x﹣12，∴△ABF，△AA′E都是等腰直角三角形，∵AB=AA′==6，∴AE=A′E=6，∴點A′坐標(biāo)為（8，﹣8），∴點A到點A′是向右平移6個單位，向下平移6個單位得到，∴拋物線y=﹣x2的頂點（0，0），向右平移6個單位，向下平移6個單位得到（6，﹣6），∴此時拋物線為y=﹣（x﹣6）2﹣6．25．已知，AB=5，tan∠ABM=，點C、D、E為動點，其中點C、D在射線BM上（點C在點D的左側(cè)），點E和點D分別在射線BA的兩側(cè)，且AC=AD，AB=AE，∠CAD=∠BAE．（1）當(dāng)點C與點B重合時（如圖1），聯(lián)結(jié)ED，求E