8-6 周期性與對稱性（精講）（基礎(chǔ)版）（解析版）

8.6周期性與對稱性（精講）（基礎(chǔ)版）思維導(dǎo)圖思維導(dǎo)圖考點(diǎn)呈現(xiàn)考點(diǎn)呈現(xiàn)例題剖析例題剖析考點(diǎn)一對稱性【例1-1】（2022·浙江已知函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)對稱，則（

）A． B． C．1 D．3【答案】C【解析】圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，，又，，，解得：，.故選：C.【例1-2】（2022·湖北）設(shè)函數(shù)，則滿足的的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】假設(shè)，所以，所以，所以為奇函數(shù)，而是向右平移1個單位長度，向上平移3個單位長度，所以的對稱中心為，所以，由求導(dǎo)得因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)即，取等號，所以所以在R上單調(diào)遞增，因?yàn)榈盟?，解得，故選：B【一隅三反】1．（2022·河南安陽）設(shè)函數(shù)，若函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，則（

）A． B．0 C．1 D．2【答案】B【解析】因?yàn)楹瘮?shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，故函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，即為奇函數(shù)，故，所以.故選：B.2．（2022·全國·單元測試）（多選）已知函數(shù)，則（

）A．在單調(diào)遞增B．在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減C．的圖象關(guān)于直線對稱D．的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱【答案】BC【解析】函數(shù)的定義域滿足，即，即函數(shù)的定義域是，∵，設(shè)，則函數(shù)在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，又函數(shù)單調(diào)遞增，由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知函數(shù)在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，故A錯誤，B正確；因?yàn)?,所以，即函數(shù)圖象關(guān)于直線對稱，故C正確；又，，所以，所以D錯誤．故選：BC．3．（2022·浙江寧波）已知函數(shù)，使不等式成立的一個必要不充分條件是（

）A． B．或 C．或 D．或【答案】D【解析】因?yàn)楹瘮?shù)，所以函數(shù)的圖象關(guān)于對稱，當(dāng)時，單調(diào)遞增，根據(jù)對稱性可知，當(dāng)時，單調(diào)遞減，若不等式成立，則，即，可得，解得或，結(jié)合選項(xiàng)可知使不等式成立的一個必要不充分條件是或，故選：D4．（2022·全國·高一課時練習(xí)）已知圖象開口向上的二次函數(shù)，對任意，都滿足，若在區(qū)間上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由，得函數(shù)圖象的對稱軸是直線，又二次函數(shù)圖象開口向上，若在區(qū)間上單調(diào)遞減，則，解得．故選：B.考點(diǎn)二周期性【例2-1】（2022·陜西）已知定義在上的奇函數(shù)滿足，當(dāng)時，，則（

）A．3 B．0 C． D．【答案】D【解析】因?yàn)椋?，所以的周期?，所以，又是定義在上的奇函數(shù)，所以，所以，又因?yàn)樵谥?，令，得，所以，又?dāng)時，，所以令，，所以.故A，B，C錯誤.故選：D.【例2-2】（2022·安徽蚌埠·一模）已知定義在上的偶函數(shù)滿足，若，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】根據(jù)題意,函數(shù)滿足,則,又由為偶函數(shù)，則有,則有,即函數(shù)是周期為4的周期函數(shù),，令可得.，，所以故選：B【一隅三反】1．（2022·新疆）已知是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，滿足，若，則（

）A．2 B． C．0 D．2022【答案】A【解析】,又，，函數(shù)的周期.又函數(shù)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，，，，，又.故選：A.2．（2022·山西·太原市外國語學(xué)校高三開學(xué)考試）已知是上的奇函數(shù)，且，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題意，函數(shù)為上的奇函數(shù)，可得，所以，所以是周期為4的周期函數(shù)，所以，因?yàn)?，令，得，因?yàn)闉樯系钠婧瘮?shù)，所以，所以.故選：A.3．（2022·廣西桂林·模擬預(yù)測（文））函數(shù)的最小正周期是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】，因?yàn)椋缘淖钚≌芷跒?故選：D.4．（2022·云南紅河）已知是定義在R上的奇函數(shù)，，都有，若當(dāng)時，，則（

）A． B．0 C．1 D．2【答案】C【解析】是定義在R上的奇函數(shù)，，得，當(dāng)時，，，都有，是周期為4的周期函數(shù)，.故選：C.考點(diǎn)三函數(shù)性質(zhì)的綜合運(yùn)用【例3-1】（2022·廣東）已知定義在上的奇函數(shù)滿足，且在區(qū)間上是增函數(shù)，則（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】由題意可知，故函數(shù)是周期函數(shù)，且周期為，則，，，因?yàn)槠婧瘮?shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，則該函數(shù)在區(qū)間上也為增函數(shù)，故函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，所以，即.故選：D.【例3-2】（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知定義在上的函數(shù)是奇函數(shù)且滿足，，數(shù)列是等差數(shù)列，若，，則（

）A． B． C．2 D．3【答案】B【解析】因?yàn)楹瘮?shù)是奇函數(shù)且滿足，可得，則，即，所以為周期為3的函數(shù)，又因?yàn)閿?shù)列是等差數(shù)列，且，，可得，解得，，所以，所以，因?yàn)?，所以，所以，所?故選：B.【例3-3】（2022·山西運(yùn)城）（多選）已知函數(shù)，都有成立，且任取，，，以下結(jié)論中正確的是（

）A． B．C． D．若，則【答案】BCD【解析】由函數(shù)滿足，則函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱，又，，則函數(shù)在為增函數(shù)，對于選項(xiàng)A，因?yàn)?，所以，即A錯誤；對于選項(xiàng)B，由已知有在為減函數(shù)，在為增函數(shù)，即，即B正確；對于選項(xiàng)C，，又在為增函數(shù)，所以，即C正確；對于選項(xiàng)D，當(dāng)，則，則，即D正確，故選：BCD．【一隅三反】1．（2022·黑龍江·嫩江市高級中學(xué)高三開學(xué)考試）（多選）已知偶函數(shù)滿足，則下列說法正確的是（

）A．函數(shù)是以2為周期的周期函數(shù) B．函數(shù)是以4為周期的周期函數(shù)C．函數(shù)為偶函數(shù) D．函數(shù)為奇函數(shù)【答案】BD【解析】由題意知偶函數(shù)滿足，則，即，故，故函數(shù)是以4為周期的周期函數(shù)，故A錯誤，B正確；令，則，故函數(shù)是奇函數(shù)，由于此函數(shù)的函數(shù)值不一定恒為零，故一般情況下不是偶函數(shù)，C錯誤；令，則，由于，故，即，所以，即函數(shù)為奇函數(shù)，D正確，故選：BD2．（2022·河南·南陽中學(xué)高三階段練習(xí)（理））已知函數(shù)，的定義域均為R，且，，若的圖象關(guān)于直線對稱，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因?yàn)榈膱D象關(guān)于直線對稱，故，因?yàn)?，故，因?yàn)?，故，所以，故，所以，故，所以為周期函?shù)且周期為.因?yàn)榍?，故，又，故即，而即，故，而且，故，?故，故選：A.3．（2022·山東·臨沂二十四中）（多選）已知為偶函數(shù)，且為奇函數(shù)，若，則（

）A． B． C． D．【答案】ABC【解析】A選項(xiàng)，因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以，因?yàn)闉槠?/p>