數(shù)字信號處理31課件

第四節(jié)

基--2按頻率抽取的FFT算法Decimation-in-Frequency(DIF)

(Sander-Tukey)一、算法原理設輸入序列長度為N=2M(M為正整數(shù)，將該序列的頻域的輸出序列X(k)(也是M點序列，按其頻域順序的奇偶分解為越來越短的子序列，稱為基2按頻率抽取的FFT算法。也稱為Sander-Tukey算法。二、算法步驟

1.分組DFT變換：已證明頻域上X(k)按k的奇偶分為兩組，在時域上x(n)按n的順序分前后兩部分，現(xiàn)將輸入x(n)按n的順序分前后兩部分:前半子序列x(n),0≤n≤N/2-1;后半子序列x(n+N/2),0≤n≤N/2-1;例：N=8時，前半序列為：x(0),x(1),x(2),x(3);后半序列為：x(4),x(5),x(6),x(7);則由定義輸出（求DFT）3.變量置換--13.變量置換--23.變量置換--34.結(jié)論1一個N點的DFT被分解為兩個N/2點DFT。X1(k),X2(k)這兩個N/2點的DFT按照：可見：如此分解，直至分到2點的DFT為止。4.結(jié)論2三、蝶形流圖表示蝶形單元：時域中，前后半部表示式用蝶形結(jié)表示。x(n)x(n+N/2)與時間抽取法的推演過程一樣，由于N=2L,N/2仍為偶數(shù)，所以可以將N/2點DFT的輸出X(k)再分為偶數(shù)組和奇數(shù)組，這樣就將一個N/2點的DFT分成兩個N/4點DFT的輸入，也是將N/2點的DFT的輸入上、下對半分后通過蝶形運算而形成，直至最后為2點DFT。將N=8點分解成2個4點的DIF的信號流圖4點DFTx(0)x(1)x(2)x(3)4點DFTx(4)x(5)x(6)x(7)X(0)X(2)X(4)X(6)X(1)X(3)X(5)X(7)X1(k)前半部分序列后半部分序列x1(n)x2(n)X2(k)(2)N/2(4點)-->N/4(2點)FFT

(a)先將4點分解成2點的DIF：因為4點DIF還是比較麻煩，所以再繼續(xù)分解。（b)一個2點的DIF蝶形流圖2點DFT2點DFTx1(0)x1(1)x1(2)x1(3)x3(0)x3(1)x4(0)x4(1)X(0)X(4)X(2)X(6)(3)將N/4（2點）DFT再分解成2個1點的DFT

(a)求2個一點的DFT最后剩下兩點DFT,它可分解成兩個一點DFT，但一點DFT就等于輸入信號本身，所以兩點DFT可用一個蝶形結(jié)表示。取x3(0)、x3(1)為例。(b)2個1點的DFT蝶形流圖1點DFTx3(0)1點DFTx3(1)X(0)X(4)進一步簡化為蝶形流圖：X(0)X(4)x3(0)x3(1)(4)一個完整N=8的按頻率抽取FFT的運算流圖x(0)x(1)x(2)x(3)x(4)x(5)x(6)x(7)X(0)X(4)X(2)X(6)X(1)X(5)X(3)X(7)m=0m=1m=2（6）DIF與DIT比較1相同之處：（1）DIF與DIT兩種算法均為原位運算。（2）DIF與DIT運算量相同。它們都需要（6）DIF與DIT比較2不同之處：（1）DIF與DIT兩種算法結(jié)構(gòu)倒過來。DIF為輸入順序，輸出亂序。運算完畢再運行“二進制倒讀”程序。DIT為輸入亂序，輸出順序。先運行“二進制倒讀”程序，再進行求DFT。（2）DIF與DIT根本區(qū)別：在于蝶形結(jié)不同。DIT的復數(shù)相乘出現(xiàn)在減法之前。DIF的復數(shù)相乘出現(xiàn)在減法之后。作業(yè)試畫出N=16點的基-2按頻率抽取的FFT流圖（DIF）。一、利用FFT計算IFFT的思路1將下列兩式進行比較二、利用FFT計算IFFT的思路2利用FFT計算IFFT時在命名上應注意：(1)把FFT的時間抽取法，用于IDFT運算時，由于輸入變量由時間序列x(n)改成頻率序列X(k),原來按x(n)的奇、偶次序分組的時間抽取法FFT，現(xiàn)在就變成了按X(k)的奇偶次序抽取了。（2）同樣，頻率抽取的FFT運算用于IDFT運算時，也應改變?yōu)闀r間抽取的IFFT。四.直接利用FFT流圖的方法

1.思路前面的兩種IFFT算法，排程序很方便，但要改變FFT的程序和參數(shù)才能實現(xiàn)?，F(xiàn)介紹第三種IFFT算法，則可以完全不必改動FFT程序。2.直接利用FFT流圖方法的推導可知：只須將頻域成份一個求共軛變換，即（1）將X(k)的虛部乘以-1，即先取X(k)的共軛，得X*(k)。(2)將X*(k)直接送入FFT程序即可得出Nx*(n)。(3)最后再對運算結(jié)果取一次共軛變換，并乘以常數(shù)1/N，即可以求出IFFT變換的x(n)的值。此為DFT可用FFT程序3.直接利用FFT流圖方法的注意點（1）FFT與IFFT連接應用時，注意輸入輸出序列的排列順序，即應注意是自然順序還是倒序。（2）FFT和IFFT共用同一個程序時，也應注意利用FFT算法輸入輸出的排列順序，即應注意自然順序還是例位序（3）當把頻率抽取FFT流圖用于IDFT時，應改稱時間抽取IFFT流圖。（4）當把時間抽取FFT流圖用于IDFT時，應改稱頻率抽取IFFT流圖。作業(yè)用C語言完成N=128點的DIT，DIF及IDIT，IDIF。第六節(jié)

線性調(diào)頻Z變換一、引入以上提出FFT算法，可以很快地求出全部DFT值。即求出有限長序列x(n)的z變換X(z)在單位園上N個等間隔抽樣點zk處的抽樣值。它要求N為高度復合數(shù)。即N可以分解成一些因子的乘積。例N=2L實際上：（1）也許對其它圍線上z變換取樣發(fā)生興趣。如語音處理中，常常需要知道某一圍線z變換的極點所處的復頻率。（2）只需要計算單位圓上某一段的頻譜。如窄帶信號，希望在窄帶頻率內(nèi)頻率抽樣能夠非常密集，提高分辨率，帶外則不考慮。（3）若N是大素數(shù)時，不能加以分解，又如何有效計算這種序列DFT。例N=311，若用基2則須補N=28=512點，要補211個零點。二、問題提出由上面三個問題提出：為了提高DFT的靈活性，須用新的方法。線性調(diào)頻z變換(CZT)就是適用這種更為一般情況下，由x(n)求X(zk)的快速變換CZT：來自于雷達專業(yè)的專用詞匯。三、算法原理

1.定義Z變換采用螺線抽樣,可適用于更一般情況下由x(n)求X(zk)的快速算法,這種變換稱為線性調(diào)頻Z變換(簡稱CZT).2.CZT公式推導1已知x(n)，0≤n≤N-1,則它的z變換是：為適應z可以沿平面內(nèi)更一般的路徑取值，故：沿z平面上的一段螺線作等分角的抽樣，則z的取樣點Zk可表示為：其中M：表示欲分析的復頻譜的點數(shù)。M不一定等于N。A，都為任意復數(shù)。2.CZT公式推導22.CZT公式推導33.用CZT求解DFT的流圖4.CZT變換各點的值5、圖形6、說明1（1）A為起始樣點位置6、說明2（2）zk是z平面一段螺線上的等分角上某一采樣點。6、說明36、說明46、說明57、CZT的實現(xiàn)步驟17、CZT的實現(xiàn)步驟27、CZT的實現(xiàn)步驟37、CZT的實現(xiàn)步驟47、CZT的實現(xiàn)步驟57、CZT的實現(xiàn)步驟67、CZT的實現(xiàn)步驟78、CZT變換運算流程圖9、CZT運算量的估算19、CZT運算量的估算210、CZT運算量與直接運算量比較當M、N足夠小時，直接算法運算量少。但M、N值比較大時（大于50），CZT算法比直接算法的運算量少得多。例M=50，N=50，N*M=2500次而CZT<1600次。11、CZT算法的特點與標準FFT算法相比，CZT算法有以下特點：（1）輸入序列長N及輸出序列長M不需要相等。（2）N及M不必是高度合成數(shù)，二者均可為素數(shù)。（3）Zk的角間隔是任意的，其頻率分辨率也是任意的。（4）周線不必是z平面上的圓，在語音分析中螺旋周線具有某些優(yōu)點。（5）起始點z0可任意選定，因此可以從任意頻率上開始對輸入數(shù)據(jù)進行窄帶高分辨率的分析。（6）若A=1,M=N,可用CZT來計算DFT，即使N為素數(shù)時，也可以。總之，CZT算法具有很大的靈活性，在某種意義上說，它是一個一般化的DFT。12、CZT變換的應用1（1）利用CZT變換計算DFT。12、CZT變換的應用2（2）對信號的頻譜進行細化分析。其中對窄帶信號頻譜或?qū)Σ糠指信d趣的頻譜進行細化分析。這樣CZT只對感興趣的頻率區(qū)段進行采樣。計算量小很多，有利于實時處理?；蛟诒ＷC實時處理的情況下，可大提高頻率分辨率。12、CZT變換的應用3（3）求解z變換X(z)的零、極點。用于語音信號處理過程中。具體方法：利用不同半徑同心圓，進行等間隔的采樣。作業(yè)第七節(jié)FFT的應用凡是利用付里葉變換來進行分析、綜合、變換…的地方，都可以利用FFT算法來減少其計算量。FFT主要應用在（1）快速卷積（2）快速相關(guān)（3）頻譜分析一、快速卷積設x(n)的長度為N點，h(n)的長度為M點，則：y(n)的長度為N+M-1點。所以直接計算y(n)線性卷積運算量為NM。1.利用圓周卷積代替線卷積用圓周卷積（FFT）代替線卷積的必要條件：x(n)、h(n)補零加長至L=N+M-1.然后計算圓卷積。求出y(n)代表線卷積。2、用FFT計算y(n)的步驟(1)求H(k)=DFT[h(n)](L點）(2)求X(k)=DFT[x(n)](L點）(3)計算Y(k)=X(k)H(k)(L點）(4)求y(n)=IDFT[Y(k)](L點）2、用FFT計算y(n)與直接計算y(n)的運算量比較3、分段卷積的方法（1）重疊相加法（2）重疊保留法設x(n)的長度為長序列N，h(n)為短序列列M。（1）重疊相加法1（1）x(n)為分段，每段長為p點，p選擇與M數(shù)量組相同。用xi(n)表示x(n)的第i段.（1）重疊相加法2（1）重疊相加法例子（2）重疊保留法1（2）重疊保留法2（2）重疊保留法例子二、快速相關(guān)

1.方法2.步驟三、頻譜分析這里我們僅介紹FFT的儀器設備：快速付里葉分析儀。其功能為：（1）能分析確定性信號的頻譜。（2）估計隨機信號的功率譜（3）并對信號進行快速卷積濾波（4）計算相關(guān)函數(shù)1.頻譜分析儀