初中數(shù)學(xué)：弧長(zhǎng)及扇形的面積練習(xí)題

初中數(shù)學(xué)：弧長(zhǎng)及扇形的面積練習(xí)題一、選擇題1．如圖K－29－1，等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為4，D，E，F(xiàn)分別為邊AB，BC，AC的中點(diǎn)，分別以A，B，C三點(diǎn)為圓心，以AD長(zhǎng)為半徑作三條圓弧，則圖中三條圓弧的弧長(zhǎng)之和是()圖K－29－1A．πB．2πC．4πD．6π2.如圖K－29－2，AD是半圓O的直徑，AD＝12，B，C是半圓O上兩點(diǎn)．若eq\o(AB,\s\up8(︵))＝eq\o(BC,\s\up8(︵))＝eq\o(CD,\s\up8(︵))，則圖中陰影部分的面積是()圖K－29－2A．6πB．12πC．18πD．24π二、填空題3．如圖K－29－3，在△ABC中，∠BAC＝100°，AB＝AC＝4，以點(diǎn)B為圓心，AB長(zhǎng)為半徑作圓弧，交BC于點(diǎn)D，則eq\o(AD,\s\up8(︵))的長(zhǎng)為________．(結(jié)果保留π)圖K－29－34．如圖K－29－4，在邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD中，先以點(diǎn)A為圓心，AD長(zhǎng)為半徑畫弧，再以AB邊的中點(diǎn)為圓心，AB長(zhǎng)的一半為半徑畫弧，則兩弧之間的陰影部分的面積是________．(結(jié)果保留π)圖K－29－45．如圖K－29－5，△ABC是正三角形，曲線CDEF叫正三角形的漸開線，其中eq\o(CD,\s\up8(︵))，eq\o(DE,\s\up8(︵))，eq\o(EF,\s\up8(︵))的圓心依次是A，B，C，如果AB＝1，那么曲線CDEF的長(zhǎng)是________．圖K－29－56．如圖K－29－6，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2eq\r(3)，以點(diǎn)C為圓心，CB長(zhǎng)為半徑畫弧，與AB邊交于點(diǎn)D，將eq\o(BD,\s\up8(︵))繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)180°后點(diǎn)B與點(diǎn)A恰好重合，則圖中陰影部分的面積為________．圖K－29－6三、解答題7．如圖K－29－7，在扇形OAB中，∠AOB＝90°，半徑OA＝6.將扇形OAB沿過點(diǎn)B的直線折疊，點(diǎn)O恰好落在扇形上的點(diǎn)D處，折痕交OA于點(diǎn)C，求整個(gè)陰影部分的周長(zhǎng)和面積．圖K－29－78．如圖K－29－8，AB是⊙O的直徑，C是圓上一點(diǎn)，連接CA，CB，過點(diǎn)O作弦BC的垂線，交eq\o(BC,\s\up8(︵))于點(diǎn)D，連接AD.(1)求證：∠CAD＝∠BAD；(2)若⊙O的半徑為1，∠B＝50°，求eq\o(AC,\s\up8(︵))的長(zhǎng)．圖K－29－89．如圖K－29－9，在△ABC中，∠ACB＝130°，∠BAC＝20°，BC＝4，以點(diǎn)C為圓心，BC長(zhǎng)為半徑的圓交AB于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E.(1)求BD的長(zhǎng)；(2)求陰影部分的面積．圖K－29－910．如圖K－29－10，C，D是半圓O上的三等分點(diǎn)，直徑AB＝4，連接AD，AC，DE⊥AB，垂足為E，DE交AC于點(diǎn)F.(1)求∠AFE的度數(shù)；(3)求陰影部分的面積(結(jié)果保留π和根號(hào)).圖K－29－1011．如圖K－29－11，把Rt△ABC的斜邊AB放在直線l上，按順時(shí)針方向?qū)ⅰ鰽BC在l上轉(zhuǎn)動(dòng)兩次，使它轉(zhuǎn)到△A″B″C″的位置，設(shè)BC＝1，AC＝eq\r(3)，則頂點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A″的位置時(shí)，(1)求點(diǎn)A所經(jīng)過的路線長(zhǎng)；(2)點(diǎn)A所經(jīng)過的路線與l圍成的圖形的面積是多少？圖K－29－11研究型在學(xué)習(xí)扇形的面積公式時(shí)，同學(xué)們推得S扇形＝eq\f(nπR2,360)，并通過比較扇形面積公式與弧長(zhǎng)公式l＝eq\f(nπR,180)，得出扇形面積的另一種計(jì)算方法S扇形＝eq\f(1,2)lR.接著老師讓同學(xué)們解決兩個(gè)問題：?jiǎn)栴}Ⅰ：求弧長(zhǎng)為4π，圓心角為120°的扇形面積．問題Ⅱ：某小區(qū)設(shè)計(jì)的花壇形狀如圖K－29－12中的陰影部分，已知弧AB和弧CD所在圓的圓心都是點(diǎn)O，弧AB的長(zhǎng)為l1，弧CD的長(zhǎng)為l2，AC＝BD＝d，求花壇的面積．(1)請(qǐng)你解答問題Ⅰ.(2)在解完問題Ⅱ后的全班交流中，有名同學(xué)發(fā)現(xiàn)扇形面積公式S扇形＝eq\f(1,2)lR類似于三角形面積公式；類比梯形面積公式，他猜想花壇的面積S＝eq\f(1,2)(l1＋l2)d.他的猜想正確嗎？如果正確，寫出推導(dǎo)過程；如果不正確，請(qǐng)說明理由．圖K－29－12

詳解詳析【課時(shí)作業(yè)】[課堂達(dá)標(biāo)]1．[解析]B依題意知：圖中三條圓弧的弧長(zhǎng)之和＝eq\f(60π×\f(1,2)×4,180)×3＝2π.故選B.2．[解析]A∵eq\o(AB,\s\up8(︵))＝eq\o(BC,\s\up8(︵))＝eq\o(CD,\s\up8(︵))，∴∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝60°，∴陰影部分的面積＝eq\f(60π×62,360)＝6π.故選A.3．[答案]eq\f(8π,9)[解析]∵在△ABC中，∠BAC＝100°，AB＝AC，∴∠B＝∠C＝eq\f(1,2)(180°－100°)＝40°.∵AB＝4，∴eq\o(AD,\s\up8(︵))的長(zhǎng)為eq\f(40π×4,180)＝eq\f(8π,9).4．[答案]2π5．[答案]4π[解析]eq\o(CD,\s\up8(︵))的長(zhǎng)是eq\f(120π×1,180)＝eq\f(2π,3)，eq\o(DE,\s\up8(︵))的長(zhǎng)是eq\f(120π×2,180)＝eq\f(4π,3)，eq\o(EF,\s\up8(︵))的長(zhǎng)是eq\f(120π×3,180)＝2π，則曲線CDEF的長(zhǎng)是eq\f(2π,3)＋eq\f(4π,3)＋2π＝4π.故答案為4π.6．[答案]2eq\r(3)－eq\f(2π,3)[解析]依題意，有AD＝BD.又∠ACB＝90°，所以CB＝CD＝BD，即△BCD為等邊三角形，∴∠BCD＝∠B＝60°，∠A＝∠ACD＝30°.由AC＝2eq\r(3)，求得BC＝2，AB＝4，S弓形BD＝S扇形BCD－S△BCD＝eq\f(60π×22,360)－eq\r(3)＝eq\f(2,3)π－eq\r(3)，故陰影部分的面積為S△ACD－S弓形AD＝eq\r(3)－(eq\f(2π,3)－eq\r(3))＝2eq\r(3)－eq\f(2π,3).7．解：如圖，連接OD.根據(jù)折疊的性質(zhì)，得CD＝CO，BD＝BO，∠DBC＝∠OBC，∴OB＝OD＝BD，即△OBD是等邊三角形，∴∠DBO＝60°，∴∠CBO＝eq\f(1,2)∠DBO＝30°.∵∠AOB＝90°，∴OC＝OB·tan∠CBO＝6×eq\f(\r(3),3)＝2eq\r(3)，∴S△BDC＝S△OBC＝eq\f(1,2)·OB·OC＝eq\f(1,2)×6×2eq\r(3)＝6eq\r(3).∵S扇形OAB＝eq\f(90,360)π×62＝9π，leq\o(AB,\s\up8(︵))＝eq\f(90,180)π×6＝3π，∴整個(gè)陰影部分的周長(zhǎng)為AC＋CD＋BD＋leq\o(AB,\s\up8(︵))＝AC＋OC＋OB＋leq\o(AB,\s\up8(︵))＝OA＋OB＋leq\o(AB,\s\up8(︵))＝6＋6＋3π＝12＋3π，整個(gè)陰影部分的面積為S扇形OAB－S△BDC－S△OBC＝9π－6eq\r(3)－6eq\r(3)＝9π－12eq\r(3).8．解：(1)證明：∵點(diǎn)O是圓心，OD⊥BC，∴eq\o(CD,\s\up8(︵))＝eq\o(BD,\s\up8(︵))，∴∠CAD＝∠BAD.(2)連接CO，∵∠B＝50°，OB＝OC，∴∠OCB＝∠B＝50°，∴∠AOC＝100°，∴eq\o(AC,\s\up8(︵))的長(zhǎng)為eq\f(100π×1,180)＝eq\f(5π,9).9．解：(1)如圖，過點(diǎn)C作CH⊥AB于點(diǎn)H.在△ABC中，∠B＝180°－∠A－∠ACB＝180°－20°－130°＝30°.在Rt△BCH中，∵∠CHB＝90°，∠B＝30°，BC＝4，∴CH＝eq\f(1,2)BC＝2，BH＝eq\r(3)CH＝2eq\r(3).∵CH⊥BD，∴DH＝BH，∴BD＝2BH＝4eq\r(3).(2)連接CD.∵BC＝DC，∴∠CDB＝∠B＝30°，∴∠BCD＝120°，∴陰影部分的面積＝扇形CBD的面積－△CBD的面積＝eq\f(120π×42,360)－eq\f(1,2)×4eq\r(3)×2＝eq\f(16,3)π－4eq\r(3).10．解：(1)連接OD，OC，∵C，D是半圓O上的三等分點(diǎn)，∴eq\o(AD,\s\up8(︵))＝eq\o(CD,\s\up8(︵))＝eq\o(BC,\s\up8(︵))，∴∠AOD＝∠DOC＝∠COB＝60°，∴∠CAB＝30°.∵DE⊥AB，∴∠AEF＝90°，∴∠AFE＝90°－30°＝60°.(2)由(1)知∠AOD＝60°.又∵OA＝OD，∴△AOD是等邊三角形．∵AB＝4，∴OA＝AD＝2.∵DE⊥AO，∴DE＝eq\r(3)，∴S陰影＝S扇形AOD－S△AOD＝eq\f(60·π×22,360)－eq\f(1,2)×2×eq\r(3)＝eq\f(2,3)π－eq\r(3).11．解：(1)在Rt△ABC中，BC＝1，AC＝eq\r(3)，∴AB＝2，∴cos∠ABC＝eq\f(1,2)，∴∠ABC＝60°，則∠ABA′＝120°，∠A′C″A″＝90°，∴l(xiāng)eq\o(AA′,\s\up8(︵))＝eq\f(120π×2,180)＝eq\f(4π,3)，leq\o(A′A″,\s\up8(︵))＝eq\f(90π×\r(3),180)＝eq\f(\r(3),2)π，∴點(diǎn)A所經(jīng)過的路線長(zhǎng)為eq\f(4π,3)＋eq\f(\r(3),2)π.(2)S扇形BAA′＝eq\f(1,2)leq\o(AA′,\s\up8(︵))·AB＝eq\f(1,2)×eq\f(4π,3)×2＝eq\f(4π,3)，S扇形C″A′A″＝eq\f(1,2)leq\o(A′A″,\s\up8(︵))·C″A′＝eq\f(1,2)×eq\f(\r(3)π,2)×eq\r(3)＝eq\f(3,4)π，S△A′B′C′＝eq\f(1,2)×1×eq\r(3)＝eq\f(\r(3),2)，∴點(diǎn)A所經(jīng)過的路線與l圍成的圖形的面積是eq\f(4,3)π＋eq\f(3,4)π＋eq\f(\r(3),2)＝eq\f(25,12)π＋eq\f(\r(3),2).[素養(yǎng)提升][解析]根據(jù)扇形面積公式、弧長(zhǎng)公式之間的關(guān)系，結(jié)合已知條件推出結(jié)果．解：(1)根據(jù)弧長(zhǎng)公式l＝eq\f(nπR,180)，弧長(zhǎng)為4π，圓心角為120°，可得R＝6，∴S扇形＝eq\f(1,2)lR＝eq\f(1,2)×4π×6＝12π.(2)他的猜想正確．設(shè)大扇形的半徑為R，小扇形的半徑為r，圓心角的度數(shù)為n°，則由l＝eq\f(nπR,180)，得R＝eq\f(180l1,nπ)，r＝eq\f(180l2,nπ)，∴花壇的面積為eq\f(1,2)l1R－eq\f(1,2)l2r＝eq\f(1,